Exercícios de Derivadas Integrais e Funções

CÁLCULO I Prova 2 Nome Assinatura Observações Resolva as questões de forma clara objetiva organizada e justifique cada passo Respostas ilegíveis ou sem justificativas não serão consideradas válidas Questão 1 40 pontos Considere a função fx x3 x2 x 1 a 03 pontos Qual é o domínio da f b 05 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 05 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 05 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidede de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 07 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f Questão 2 20 pontos Calcule as derivadas das seguintes funções a fx x 3x21 b fx ecosx3 Questão 3 20 ponto Calcule as seguintes integrais a x2 7x 5cos2x dx b 13x59 dx ① Temos a função fx x3 x2 x 1 a Como não há restrições para valores que os elementos x R do domínio podem assumir concluímos que Df R b Interseção com o eixo dos y x 0 f0 03 02 0 1 1 Interseção com o eixo dos x y 0 x3 x2 x 1 0 Observe que x 1 é raiz da equação x3 x2 x 1 0 pois 13 12 1 1 0 Então x3 x2 x 1 é divisível por x 1 Assim obtemos x3 x2 x 1 x1x21 x1x1x1 logo as raízes de f são 1 e 1 sendo 1 raiz de multiplicidade 2 Os pontos de interseção com os eixos são 0 1 1 0 e 1 0 c Como Df R não há assíntotas verticais Sendo lim x fx lim x x3 x2 x 1 lim x x31 1x 1x2 1x3 temos que não há assíntotas horizontais visto que lim x fx e lim x fx Por fim verificamos se há assíntotas oblíquas fazendo lim x fxx lim x x2 x 1 1x lim x x21 1x 1x2 1x3 Portanto não há assíntotas d Temos que fx 3x2 2x 1 Encontrando os pontos críticos 3x2 2x 1 0 x 2 4 12 23 2 46 x 1 ou x 13 Estudando os sinais de fx Portanto fx é crescente em 13 1 e fx é decrescente em 13 1 e Temos que fx23x21206x2 Estudando os sinais de fx 6x20 6x2 x13 Concluímos que f tem concavidade voltada para baixo em 13 pois fx0 quando x 13 f tem concavidade voltada para cima em 13 pois fx0 quando x pertence a esse intervalo f tem mudança de concavidade quando x13 e yf1313313213112719131162706 f Conforme já obtido os pontos críticos de f são x13 e x1 Aplicando o Teste da segunda derivada obtemos Como f1361322240 f tem máximo relativo em x13 Como f161240 f tem mínimo relativo em x1 Perceba ainda que f não tem extremos globais pois os intervalos de crescimento e decrescimento obtidos são ilimitados o que implica em ImfR Encontrando os valores extremos locais f1313313213112719131322712 f10 g 2 a fxx 3x21 Reescrevendo f para facilidade de operação fxx123x21 Então pela derivada da potência e regra do quociente obtemos fx12 x12 1 3x21 3x21x212 fx12 x12 32xx212 fx 12x 6xx212 b fxecosx3 Egrindo yfx ux3 e vcosu obtemos yev Aplicando a regra da cadeia temos que y evv ecosu senu u ecosx3senx3x3 y ecosx3 sen x3 3x2 3x2 sen x3 ecosx3 logo fx 3x2 sen x3 ecosx3 3 a Defina w2x Então xw2 e dx12 dw Assim podemos escrever x²7x5cos2x dx w2² 7w2 5 cosw dw2 x²7x5 cos2x dx 12 w²4 7w2 5 cosw dw Aplicando a técnica de integração por partes defino u w²4 7w2 5 e dv cosw dw Então du w2 72 dw e v senw o que resulta em w²4 7w2 5 cosw dw u v v d u w²4 7w2 5 senw senw w2 72 dw Desta vez defina u w2 72 du 12 dw e dv senw dw v cosw Assim w²4 7w2 5 cosw dw w²4 7w2 5 senw u v v du w²4 7w2 5 senw w2 72 cosw 12 cosw dw w²4 7w2 5 senw w2 72 cosw 12 senw C₁ C₁ ℝ w²4 7w2 112 senw w2 72 cosw C₁ C₁ ℝ Dessa forma x²7x5 cos2x dx 12 w²4 7w2 112 senw w2 72 cosw C₁ C₁ ℝ w²8 7w4 114 senw w4 74 cosw C C ℝ Voltando para a variável inicial w 2x x² 7x 5 cos2x dx x²2 7x2 114 sen2x x2 74 cos2x C b Temos que 13x 5⁸ dx 3x 58 dx Esgendo u 3x 5 obtemos du 3 dx dx du3 Assim 13x 5⁸ dx u8 du3 13 u8 du 13 u8181 C C ℝ u737 C 121 u7 C 121 3x 57 C Logo 13x 5⁸ dx 121 3x 57 C₁ C ℝ