Lista de Exercícios Resolvidos Calculo Diferencial Derivadas e Aplicações

1 A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Assim sendo seja a função ft t³ 3t 1 assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada ft A 3t² 1 B 3t² 3 C 3t² t D t² 3t 2 Ao estudar o Cálculo Diferencial descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio Um exemplo disto é a função exponencial que possui diferenciação de ordem superior infinita Observe as derivadas da função exponencial analise as sentenças a seguir e em seguida assinale a alternativa CORRETA A As sentenças I e II estão corretas B Somente a sentença II está correta C As sentenças II e III estão corretas D As sentenças I e IV estão corretas 3 Usando uma folha quadrada de cartolina de lado 12 cm desejase construir uma caixa sem tampa cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante Determine o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível Acerca deste fato analise as sentenças e assinale a alternativa CORRETA A I e III B II e IV C I e IV D II e III 4 Um ponto x y do plano cartesiano movese segundo as equações x 2t² t e y t³ 2t O valor de dydx quando t 2 é A 2 B 3 C 5 D 1 5 A derivada é bastante útil no momento de estudar taxas de variação onde estão envolvidas grandezas físicas isto é claro garantindo que a modelagem desta grandeza seja descrita por uma função matemática Entendese a derivada como o coeficiente angular da reta tangente à curva dada porém mais intuitivamente ela pode ser utilizada para descrever se uma curva deve subir ou descer ao longo de um certo intervalo A Todas estão corretas B II e III estão corretas C I e II estão corretas D I e III estão corretas 6 Dada uma expressão algébrica qualquer podemos transformála se possível no produto de duas ou mais expressões algébricas A este procedimento damos o nome de fatoração Existem diferentes tipos de fatoração e os mais utilizados são A Existe apenas uma maneira de simplificação B Fator Comum e Agrupamento C Somente o Trinômio do quadrado perfeito D Trinômio do quadrado perfeito e divisão de frações 7 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta por duas funções Sobre a utilização correta da regra da cadeia classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas y cos2x implica em y 2sin2x y ln2x² implica em y 2x² y tan 2x² implica em y sec²2x² y 3x 3³ implica em y 93x 3² Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V V F B F F V V C F F F V D V V F V 8 Para a determinação matemática da taxa de contaminação de um certo ambiente identificando seus máximos e mínimos ou seja a determinação da taxa de variação instantânea de uma função f em um ponto Xo utilizase o conceito de A Derivada B Limite C Integral D Seriação 9 Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de um lago formando uma mancha circular Em determinado instante a mancha tem um raio de 100 metros que cresce a uma taxa de variação instantânea de 10 metros por hora Usando pi 3 estimase que nesse instante a área da superfície do lago coberta pela mancha de óleo está crescendo em m² h a uma taxa instantânea igual a I 60 II 30 III 3000 IV 6000 A Somente a opção II está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção IV está correta 10 Um corpo é lançado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade de 40 ms num lugar onde o módulo da aceleração da gravidade é 10 ms² conforme a figura anexa Lembrando que deste modo podemos descrever a equação horária de seu movimento modelando a situação como uma função quadrática tal que ft 40t 5t² Considerandose que a única força atuante sobre o corpo é seu peso concluise que o tempo de subida do corpo é A 1 segundo B 2 segundos C 8 segundos D 4 segundos 3 Usando uma folha quadrada de cartolina de lado 12 cm desejase construir uma caixa sem tampa cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante Determine o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível Acerca deste fato analise as sentencas e assinale a alternativa CORRETA I O valor do tamanho do corte x deverá ser apenas 2 II Existe mais de um valor que permite o volume máximo III O volume máximo é 128cm³ IV O volume máximo supera 144cm³ pois o lado da cartolina é 12cm A I e III B II e IV C I e IV D II e III 4 Um ponto x y do plano cartesiano movese segundo as equações x 2t² t e y t³ 2t O valor de dydx quando t 2 é A 2 B 3 C 5 D 1 1 A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Assim sendo seja a função ft t³ 3t 1 assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada ft A 3t² 1 B 3t² 3 C 3t² t D t² 3t 2 Ao estudar o Cálculo Diferencial descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio Um exemplo disto é a função exponencial que possui diferenciação de ordem superior infinita Observe as derivadas da função exponencial analise as sentenças a seguir e em seguida assinale a alternativa CORRETA I A derivada primeira desta função é 12eˣ II A derivada segunda desta função é 14eˣ² III A derivada terceira desta função é 14eˣ⁴ IV A derivada terceira desta função é 14eˣ³ A As sentenças I e II estão corretas B Somente a sentença II está correta C As sentenças II e III estão corretas D As sentenças I e IV estão corretas 5 A derivada é bastante útil no momento de estudar taxas de variação onde estão envolvidas grandezas físicas isto é claro garantindo que a modelagem desta grandeza seja descrita por uma função matemática Entendese a derivada como o coeficiente angular da reta tangente à curva dada porém mais intuitivamente ela pode ser utilizada para descrever se uma curva deve subir ou descer ao longo de um certo intervalo Quanto ao gráfico da função fRR definida por fx x4 2x3 1 analise as opções e assinale a opção correta I Tem no intervalo 01 a sua concavidade voltada para baixo II Tem máximo em x 15 III Possui ponto de inflexão em x 0 A Todas estão corretas B II e III estão corretas C I e II estão corretas D I e III estão corretas 6 Dada uma expressão algébrica qualquer podemos transformála se possível no produto de duas ou mais expressões algébricas A este procedimento damos o nome de fatoração Existem diferentes tipos de fatoração e os mais utilizados são A Existe apenas uma maneira de simplificação B Fator Comum e Agrupamento C Somente o Trinômio do quadrado perfeito D Trinômio do quadrado perfeito e divisão de frações 7 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta por duas funções Sobre a utilização correta da regra da cadeia classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas y cos2x implica em y 2sin2x y ln2x² implica em y 2x² y tan 2x² implica em y sec²2x² y 3x 3³ implica em y 93x 3² Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V V F B F F V V C F F F V D V V F V 8 Para a determinação matemática da taxa de contaminação de um certo ambiente identificando seus máximos e mínimos ou seja a determinação da taxa de variação instantânea de uma função f em um ponto Xo utilizase o conceito de A Derivada B Limite C Integral D Seriação 9 Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de um lago formando uma mancha circular Em determinado instante a mancha tem um raio de 100 metros que cresce a uma taxa de variação instantânea de 10 metros por hora Usando pi 3 estimase que nesse instante a área da superfície do lago coberta pela mancha de óleo está crescendo em m² h a uma taxa instantânea igual a I 60 II 30 III 3000 IV 6000 A Somente a opção II está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção IV está correta 10 Um corpo é lançado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade de 40 ms num lugar onde o módulo da aceleração da gravidade é 10 ms² conforme a figura anexa Lembrando que deste modo podemos descrever a equação horária de seu movimento modelando a situação como uma função quadrática tal que ft 40t 5t² Considerandose que a única força atuante sobre o corpo é seu peso concluise que o tempo de subida do corpo é A 1 segundo B 2 segundos C 8 segundos D 4 segundos Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicalancamentoverticalobjetoshtml Acesso em 09082018