Exercícios de Integral

UNESP FCLAR Departamento de Economia SEGUNDA AVALIAÇÃO DE ECONOMIA MATEMÁTICA I Data Nome RA Instruções Resolva os exercícios deixando todos os cálculos na folha Coloque as respostas a tinta Respostas sem os cálculos não serão consideradas 1 Calcule as integrais a 1 pt xex2 dx b 1 pt x cos 3x dx 2 3 pts Se o capital de uma companhia ao longo do tempo é Ft então a derivada Ft é denominada fluxo de investimento Suponha que o fluxo de investimento de uma certa companhia seja frac1sqrtt t sen t com t medido em meses Calcule o acréscimo de capital ao longo do segundo ano isto é 12 le t le 24 3 Podese mostrar que o valor esperado ou esperança de uma variável aleatória X é dado pela integral mathbbEX intinftyinfty x fx dx onde f é a função de densidade de probabilidade Além disso definimos a variância de uma variável aleatória X como VX mathbbEX2 mathbbEX2 O desvio padrão é sigma sqrtVX Ele mede a dispersão dos pontos ao redor da média a 15 pts A função densidade de probabilidade da distribuição uniforme sobre o intervalo ab é dada por fx leftbeginmatrix frac1ba se a le x le b 0 case contrario endmatrixright Para uma variável com distribuição uniforme de probabilidade mostre que mathbbEX fracba2 e VX fracba212 b 15 pts Um atacadista vende entre 100 e 200 toneladas de grãos com distribuição uniforme de probabilidade Determine a esperança a variância e o desvio padrão desta operação UNESP FCLAR Departamento de Economia Data SEGUNDA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA ECONÔMICA I DIURNO Instruções Esta avaliação contém 4 questões discursivas A pontuação está na frente de cada item As questões devem ser resolvidas com justificativas completas e todos os cálculos devem constar na folha de resolução Respostas sem os cálculos não serão consideradas Não será permitido folhas para rascunho Li e estou de acordo com as instruções Nome RA 1 Dada a função fx x2 x4 3 Determine a 1 ponto Os pontos de máximo e mínimo de f b 1 ponto O intervalo que f é côncava e o intervalo que f é crescente c 1 ponto Faça o gráfico de f 2 2 pontos Considere a função px frac4502x 7 onde x é a quantidade demandada de um certo bem e px a função que determina o preço de venda para determinada quantia Faça o gráfico da função para x ge 0 e identifique a área que corresponde ao valor do Excedente do Consumidor EC quando o preço de venda é R 10 Calcule o EC 3 2 pontos Calcule a área da região limitada pelos gráficos fx x2 x4 e gx x3 x 4 O tempo para consertar um eletrodoméstico tem uma distribuição de probabilidade exponencial dada pela função ft leftbeginmatrix 004545 et22 se t ge 0 0 se t 0 endmatrixright onde o tempo t é medido em minutos a 15 ponto Determine o tempo médio ou o valor esperado para o conserto do eletrodoméstico b 15 ponto Determine o tempo T para que a probabilidade do tempo de conserto maior do que este T seja 10 ou seja Pt ge T 10 4 A distribuição de probabilidades de Pareto cuja função de densidade de probabilidade é dada por fx leftbeginmatrix fracalpha betaalphaxalpha 1 se x ge beta 0 case contrario endmatrixright com parâmetros alpha 1 e beta 0 é frequentemente usada na modelagem da distribuição de renda numa população a 15 pts Seja X uma variável aleatória com distribuição de Pareto por exemplo a renda de uma população Mostre que mathbbEX beta fracalphaalpha 1 b 15 pts Numa população a renda é distribuída segundo a distribuição de Pareto com alpha3 e beta 1000 Que proporção da população ganha abaixo da média Avaliação de Economia Matemática I Noturno Departamento de Economia FCLUNESPAraraquara Nome Instruções Resolva os exercícios deixando todos os cálculos na folha Coloque as respostas a tinta Respostas sem cálculos não serão consideradas Sobre o futuro da Matemática No futuro como no passado as grandes ideias devem ser ideias simplificadoras André Weil 19061998 Título do seu trabalho sobre a História da Matemática 1 esta questão vale 2 pontos Calcule a área da região sombreada na figura abaixo 2 esta questão vale 1 pontos Resolva a integral 𝑥 12𝑥2 𝑑𝑥 2 0 3 esta questão vale 2 pontos Resolva a integral 𝑥2 1 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 4 esta questão vale 2 pontos Encontre os valores de k tal que a integral 𝑒𝑘𝑥 0 𝑑𝑥 seja divergente e convergente Para o caso da convergência determine o valor 9 10 11 12 5 esta questão vale 2 pontos Encontre o polinômio de Taylor de grau 3 para a função 𝑓𝑥 𝑒 𝑥 2 ao redor do zero Usando o polinômio obtenha uma aproximação para 𝑓 1 2 6 esta questão vale 1 pontos Na figura abaixo S representa a curva da oferta e D a curva da Demanda Descreva o polígono e a área que representa o Excedente do Consumidor e o Excedente do Produtor no preço de equilíbrio Formulas 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑓𝑥 𝑓0 𝑓0𝑥 𝑓0 2 𝑥2 𝑓𝑛0 𝑛 𝑥𝑛 13 14 2ª Avaliação de Economia Matemática I Diurno Departamento de Economia FCLUNESP 27082014 Instruções Resolva os exercícios deixando todos os cálculos na folha Coloque as respostas a tinta Respostas sem os cálculos não serão consideradas Sobre o futuro da Matemática No futuro como no passado as grandes ideias devem ser ideias simplificadoras André Weil 19061998 Título do trabalho sobre a História da Matemática 1 valor da questão 1 Analisando a figura abaixo responda se temos Excedente do Produtor ou Excedente do Consumidor e a área de qual polígono representa este Excedente ao preço P1 2valor da questão 1 Resolva x dx sen 3 2 3 valor da questão 1 Resolva 2 1 ln2 dx x x 4 valor da questão 2 Calcular a área da figura abaixo Preço P2 Oferta P1 Q1 Q2 Quantidade A B C D E F F 15 16 17 18 5 valor da questão 1 Resolva 3 0 2 cos sen π dx x x 6 valor da questão 2 Encontre o polinômio de Taylor de grau 5 da função x f x sen ao redor do zero n n x n f x f x f f f x 0 2 0 0 0 2 K 7 valor da questão 2 Faça o gráfico da função e x x f 3 e da área que corresponde a 0 3 dx e x Qual o valor desta área 19 20 21 UNESP FCLAR Departamento de Economia Data Atividade Extra integrais O calculo do peso morto1 Considere o mercado de um bem particular como carne bovina A curva demanda deste bem que associa a cada quantidade q medida em quilos a um preco p e p Dq q2 60q 900 A curva oferta desta mercadoria que especifica a quantidade que os produtores desejam ofertar para cada nıvel de preco pago pelos consumidores e p Oq q2 Mercado sem imposto O grafico abaixo expressa as curvas demanda e oferta para o mercado de carne bovina deste exemplo Pergunta 1 Encontre o equilıbrio de mercado e identifique este ponto no grafico Pergunta 2 Encontre o excedente total da economia Identifique as regioes do grafico que representam o excedente do consumidor e o excedente do produtor Mercado com imposto 1A grosso modo o peso morto esta associado a ineficiˆencia dos mercados pela cobranca de impostos nos produtos Assim o peso morto representa a perda de excedente total da economia 1 22 23 Suponha que como incentivo ao consumo de carne de frango o governo decrete que para cada quilo de carne vendida devera ser repassado para o governo o valor de R 9000 Assim o equilıbrio com imposto sera obtido fazendo o seguinte calculo q2 90 q2 60q 900 O grafico abaixo expressa as curvas demanda e oferta para o mercado de carne bovina deste exemplo Pergunta 3 Qual o equilıbrio com imposto Identifique este ponto no grafico Pergunta 4 Qual o valor que os produtores recebem no equilıbrio com imposto Pergunta 5 Considerando o equilıbrio com o imposto qual e a receita do governo Identifique este valor no grafico Pergunta 6 Qual regiao representa o excedente do consumidor e qual regiao representa o exce dente do produtor Como obtemos estes valores Pergunta 7 Qual o excedente total da economia considerando o equilıbrio com imposto Pergunta 8 A diferenca entre o excedente total da economia no mercado sem imposto e o excedente total da economia na economia com imposto e o peso morto Qual e este valor Identifique este valor no grafico Pergunta 9 Como podemos obter o peso morto usando integrais Pergunta 10 Encontre a excedente total da economia considerando que o valor do imposto e arbitrario igual a i 2 24 25 26 27 28 29 30 31 Segunda Avaliação de Economia Matemática 1 a Vamos fazer substituição Com efeito u x2 dudx 2x du 2x dx dx du 2x E temos x ex2 dx x eu du2x 12 eu du 12 eu C 12 ex2 C b Nessa integral vamos fazer integração por partes teremos então x cos 3x dx x cos 3x dx ddx x cos3x dx dx E veja que ddx x 1 fazemos u 3x dudx 3 dx du3 Logo teremos que cos 3x dx cos u du3 13 cos u du 13 sen u 13 sen 3x Ou seja x cos3x dx x sen3x3 13 sen3x dx x sen3x3 13 13 cos3x C Pois com u 3x dudx 3 dx du3 sen 3x dx sen u du3 13 sen u du cos u3 13 cos 3x E logo x cos 3x dx x sen 3x3 19 cos 3x 2 Dado que o fluxo do capital é Ft 1t t sen t com 12 t 24 Então o acréscimo do capital nesse período é ΔF F 24 F 12 Logo veja que ΔF 1224 Ft dt 1224 1t t sen t dt 1224 t12 t sent dt Aqui devemos usar integração por partes 1224 t12 dt t sen t dt ddt t sent dt dt evaluated from 12 to 24 t12 1224 t cos t cost dt 1224 2412 1212 24 cos24 12 cos12 sen t 1224 24 12 12 cos12 24 cos 24 sen24 sen12 Que é o acúmulo do capital no período 3 Mostraremos o desejado Ex b a2 Com efeito temos que Ex x fx dx a x fx dx a b x fx dx b x fx dx fx 0 fx 0 a b x fx dx fx 1b a a b xb a dx 1b a x²2 ab 12b a b² a² b ab a2b a b a2 Ex b a2 Por outro lado mostraremos que Vx b a²12 Com efeito como Vx Ex² Ex² temos que Ex² x² fx dx a x² fx dx a b x² fx dx b x² fx dx fx 0 fx 1b a fx 0 Separase a integral em intervalos condizentes com a definição da fx a b x² fx dx a b x²b a dx x³3b a ab b³ a³3b a b³ a³3b a b² ba a² 3 Daí temos que Vx Ex² Ex² b² ba a²3 b a2 ² b² ba a²3 b² 2ba a²4 112 4b² 4ba 4a² 3b² 6ba 3a² 112 b² 2ba a² b a²12 E temos o desejado b Nesse caso b 200 e a 100 são os extremos Logo temos do item a que Ex 200 1002 3002 150 Vx 200 100²12 100²12 1000012 7 A distribuição de Pareto é fx α βα xα1 se x β 0 caso contrário a A esperança é Ex x fx dx β x fx dx β x fx dx fx 0 β x α βα xα1 dx a A esperança é Ex de a x fx dx de β a x fx dx de a β x fx dx de β a x αβα xα1 dx de β a αβα xα dx αβα de β a xα dx αβα xα1 α1 from β to αβα 11α 0 βα1 αβα βα α1 αβα2 1 Portanto Ex αβ α1 4 b Nesse caso teremos que avaliar a integral PEx de β a E fx dx de β a E αβα xα1 dx αβα de β a E xα1 dx Logo PEx βα βα βα Eα 1 βα α1αβ α 1 α1α αα Portanto nós obtivemos que a proporção pedida é com α 3 dada por PEx 1 23 33 27 8 27 1927 PEx 1927 ganham até a média 5 a Os pontos de máximo e mínimo da função são os pontos x q que satisfazem dfdxxq 0 Então veja que 0 dfdxxq ddxx2 x43xq 2x 4x3 0xq 2q 4q3 2q1 2q2 0 Logo q1 0 Ademais veja que 1 2q2 0 2q2 1 q 12 12 Temos como pontos críticos q1 0 q2 12 e q3 12 Agora usamos o teste da derivada segunda de modo que d2dx2 f 2 12x2 Agora veja que d²fdx² x0 2 120 2 0 Logo x 0 é ponto de mínimo pois d²fdx²x0 0 d²fdx² x 12 2 12 12² 2 12 12 2 6 4 0 Logo x 12 são pontos de máximo pois d²fdx²x 12 0 b A função f é crescente no intervalo determinado de modo que sua derivada seja estritamente positiva Portanto temos dfdx 0 Logo dfdx 0 ddx x² x⁴ 3 0 2x 4x³ 0 x2 4x² 0 2x1 2x² 0 Temos que d²f dx² 2 12x² 0 2 12x² 0 1 6x² 0 6x² 1 x² 16 x 16 ou x 16 Logo a f é côncava para baixo em x 16 e em 16 x Por outro lado a f é côncava para cima em d²f dx² 2 12x² 0 2 12x² 0 1 6x² 0 6x² 1 x² 16 16 x² 16 16 x 16 Então f é concava para cima desde que 16 x 16 temos a inequação 2x1 2x² 0 2x1 x21 x2 0 Assim veja que os intervalos x 0 requer que 1 x2 0 x 2 Logo se x 0 x 2 e temos 0 x 2 como intervalo x 0 requer que 1 x2 0 x2 1 x 2 1 x2 0 x 2 Não satisfaz pois tomamos x 0 Então com x 2 temos que f é crescente em x 2 A f é côncava nos intervalos determinados por d²fdx² 0 e a f é côncava para cima d²fdx² 0 e a f é côncava para baixo Como d²fdx² 2 12x² c O gráfico de f é f12 3 f12 325 6 px 450 2x 7 O gráfico de px é Para px 10 como dado na questão temos 10 450 2x 7 1 45 2x 7 2x 7 45 2x 38 x 19 Excedente do consumidor O cálculo do excedente do consumidor é dado pela integral Ec from 0 to 19 px dx from 0 to 19 450 2x 7 dx 450 from 0 to 19 1 2x 7 dx fazemos u 2x 7 dudx 2 dx du2 Além disso u0 7 u19 219 7 45 que são os novos limites de integração 450 from 7 to 45 1u du2 225 from 7 to 45 1u du 225 lnu evaluated from 7 to 45 225 ln45 ln7 225 ln457 Ec 225 ln457 6 px 450 2x 7 O gráfico de px é Para px 10 como dado na questão temos 10 450 2x 7 1 45 2x 7 2x 7 45 2x 38 x 19 Excedente do consumidor O cálculo do excedente do consumidor é dado pela integral Ec from 0 to 19 px dx from 0 to 19 450 2x 7 dx 450 from 0 to 19 1 2x 7 dx fazemos u 2x 7 dudx 2 dx du2 Além disso u0 7 u19 219 7 45 que são os novos limites de integração 450 from 7 to 45 1u du2 225 from 7 to 45 1u du 225 lnu evaluated from 7 to 45 225 ln45 ln7 225 ln457 Ec 225 ln457 8 O tempo médio será dado por Et integral from to t ft dt integral from to 0 t ft dt integral from 0 to t ft dt ft0 integral from 0 to t 004545 et22 dt a integral from 0 to t et22 dt a 004545 a t integral et22 dt integral dtdt integral et22 dt0 Ou seja i dtdt 1 ii integral et22 dt u t22 dudt 122 dt 22 du Portanto integral et22 dt integral eu 22 du 22 integral eu du 22 eu 22 et22 8 b Queremos T de modo que Pt T 10 A probabilidade é dada por P integral from to ft dt Logo temos que P 10 integral from to ft dt P 10 integral from T to ft dt Daí segue que 10 integral from T to a et22 dt a integral from T to et22 dt a et22 22 from T to 22 a limit as t approaches of et22 eT22 22 a 0 eT22 22 a eT22 Onde usamos a integral calculada em a logo segue que 10 22 a eT22 10100 22 a eT22 eT22 1220 a 7 Para p termos a integral é necessário achar nos os pontos de interseção Com efeito teremos que fx gx x2 x4 x3 x xx x3 x2 1x x1 x2 x2 1 0 x1 x21 x 0 x1 x1 x1 x 0 Logo as raízes são x 0 x 1 e x 1 E logo o gráfico dado é Logo a área pedida é a seguinte A integral from 1 to 0 gx fx dx integral from 0 to 1 fx dx abs value of integral from 0 to 1 gx dx integral from 1 to 0 x3 x x2 x4 dx integral from 0 to 1 x2 x4 dx abs value of integral from 0 to 1 x3 x dx x44 x22 x33 x55 from 1 to 0 x33 x55 from 0 to 1 abs value of x44 x22 from 0 to 1 17 12 13 15 13 15 abs value of 14 12 415 A 415 Dai temos eT22 1 220a Portanto lneT22 ln1 220a ln1 9999 T22 ln1 9999 ln9999 Logo T 22ln9999 Dessa forma segue que Et 0 t ft dt a t et22 dt ddt t et22 dt dz0 a t et2222 22 et22 dt0 a 22 t et22 22 22 et220 a limt 22 t et22 222 et22 a 222 a 222 219978 Aqui introduzimos a 004545 como forma de tornar a notação mais limpa ao longo do desenvolvimento Perceba que novamente usamos o cálculo do valor esperado para termos o desejado 9 Passo 1 Achar os pontos de intersecção que corresponderão aos extremos da integral Logo segue que y₁ x² e y₂ 2x x² portanto 2x x² x² Ou seja y₁ y₂ x² 2x x² 2x² 2x x² x xx1 0 x 0 e x 1 Logo os extremos são x 0 e x 1 Passo 2 Avaliar a integral A ⁰¹ y₂ y₁ dx curva de cima 2x x² curva de baixo x² todo cálculo de intersecção é feito seguindo esse passo a passo Portanto A ⁰¹ y₂ y₁ dx ⁰¹ 2x x² x² dx ⁰¹ 2x 2x² dx 2x²2 2x³3⁰¹ 1 23 13 A 13 10 ₀² x12x² dx Façamos a mudança u 1 2x² logo dudx 4x dx du4x Com isso temos que os novos limites de integração são obtidos a partir da função ux 1 2x² logo U0 1 U2 1 22² 189 Daí temos ₀² x12x² dx ₁⁹ xudu4x 14 ₁⁹ duu 14 ₁⁹ u12 du 14 u1212 ₁⁹ 12 u12 ₁⁹ 12 912 112 12 31 22 1 ₀² x12x² dx 1 11 Essa integral deve ser dividida em 2 x² 1 senx dx x² senx dx senx dx Essa parte é simples e dá cosx Aqui precisamos fazer a integração por partes Com efeito veja x² senx dx x² senx dx ddx x² senx dx dx x² cosx 2x cosx dx x² cosx 2 x cosx dx Agora devemos fazer x cosx dx por partes novamente Com efeito x cosx dx x cosx dx ddx x cosx dx x senx senx dx x senx cosx x senx cosx Portanto x² senx dx x² cosx 2 x senx cosx x² cosx 2x senx 2 cosx Então ficam Com isso ficamos com x² 1 senx dx x² senx dx senx dx x² cosx 2x senx 2 cosx cosx K x² cosx 2x senx cosx K sendo K uma constante de integração 12 Façamos u kx dudx k dx duk logo segue que dx duk e veja que ux u0 0 com isso temos que ₀ ekx dx ₀ eu duk 1k eu ₀ 1k ekx ₀ Lim x ekxk 1k Perceba que é necessário que lim x ekxk exista logo k 0 e k 0 Pois se k 0 temos uma indeterminação e logo a integral diverge Além disso se k 0 lim x ekx e a integral diverge Por outro lado se k 0 ou seja k k temos que Lim x ekxk 1k Lim x ekx 1k Lim x 1ekx 1k 0 0 e a integral irá convergir 0 dados mas que 13 Para grau três usase 0 dados mas que 14 Nesse modelo temos Excedente do consumidor é o polígono AB Logo sua área e valor do excedente do consumidor é EC ãA ãB Pc PE Qt Pc PE QF Qt 2 Pc PE Qt QF Qt 2 Pc PE 2Qt QF Qt 2 Pc PE QF Qt 2 Esse é o excedente do consumidor Excedente do produtor é os polígonos C e F Logo Ep ãC ãF PE PP Qt Qp Qt PE PP 2 PE PP QF Qt 2 Esse é o excedente do produtor 15 No gráfico dado o excedente é do produtor pois a curva dada é da oferta O polígono que representa esse polígono de vértices P1 P2 C F 16 2 senx3 dx 2dx senx3 dx 2x senx3 dx Fazemos u x3 dudx 13 Logo dx 3 du Então 2 senx3 dx 2x senu 3 du 2x 3 senu du 2x 3 cosu 2x 3 cosx3 k 2 senx3 dx 2x 3 cosx3 k 17 12 ln2xx dx Fazemos aqui u ln2x que nos dá u ln2x dudx 12x d2x 22x 1x dx x du Ademais os extremos ficam x1 nos dá u1 ln2 x2 nos dá u2 ln4 Logo segue que 12 ln2xx dx ln2ln4 ux x du ln2ln4 u du u22 ln2ln4 12 ln42 ln22 12 2 ln22 ln22 32 ln22 12 ln2xx dx 32 ln22 18 Passo 1 Achar Note que nesse gráfico dado os extremos são fornecidos e esses são x0 e x1 logo basta fazermos A0¹ x x² dx área inferior área superior 0¹ x¹² x² dx x³232 x³30¹ 2x³23 x³30¹ 23 13 13 A 13 19 Basta fazermos U cosx Veja que isso nos dá que dudx dcosxdx dudx senx dx dusenx E os extremos de integração são u0 cos0 1 uπ3 cosπ3 12 Logo temos que 0π3 senxcos²x dx 1¹² senxu² dusenx 1¹² 1u² du 1¹² u² du 1u 1 ¹²₁ 1u ¹²₁ 112 11 2 1 1 0π3 senxcos²x dx 1 21 O gráfico de fx e³ˣ é A parte hachurada corresponde a área da região desde que x 0 Logo ponde u3x dudx 3 dx du3 temos que ⁰ e³ˣ dx uᵘ0 eᵘ du3 13 ⁰ eᵘ du eᵘ3 ⁰ e⁰3 lim u eᵘ3 e⁰3 03 13 ⁰ e³ˣ dx 13 22 p q² 60q 900 Demanda com ainda p q² Oferta a O ponto de equilíbrio é a interseção das curvas de oferta e demanda Logo q² q² 60q 900 900 60q 0 90 6q 0 6q 90 q 906 3325 23 15 q 15 Logo q 15 e o preço é p 225 esse é o ponto de equilíbrio b O excedente do consumidor é a parte hachurada em rosa O excedente do produtor é a parte hachurada em azul O excedente total é a soma desses dois excedentes que pode ser calculado com uso de integrais fazendo Etot ₀¹⁵ q² 60q 900 q² dq ₀¹⁵ 900 60q dq 900q 60q²2 ₀¹⁵ 6750 Etot 6750 Essa integral é uma aplicação da intersecção das duas curvas Mercado Com imposto 24 O equilíbrio com imposto conforme dado é obtido fazendo q2 90 q2 60q 900 90 60q 900 60q 810 q 816 272 E o equilíbrio é obtido em q 272 135 é o ponto do eixo horizontal que comfea a reta laranja 25 Nesse ponto os produtores recebem Esses valores podem ser obtidos fazendo Ea Etot Rgov Parte Eb Livre de Receita triangular Importo tributária excedente total que é c b Eb Área delimitada por q2 yq 225 com 0 q 272 Logo Eb 0272 225 q2 225q q33 0272 272 225 2723 13 2217375 Eb 2217375 De forma analogia é Ea Basta fazemos Ea 0272 Dq 225 dq 0272 q2 60q 900 225 dq q33 30q2 900q 225q 0272 357218 496512 26 No equilíbrio com imposto a receita do governo corresponde a área do retângulo verde do gráfico Desse modo ela é Rgov 272 Dq 272 p272 272 2722 60 272 900 272 2722 272 272 900 60 2722 840 153090 Receita gov 153090 Pois é a área das curvas associadas a ponto em que o imposto é aplicado 27 Veja o gráfico a seguir O excedente do consumidor é dado pela área Ea que é a parte rosa do gráfico Para o produtor é a parte Eb associada a área azul Esses valores podem ser obtidos fazendo Ea ETot Rgav Parte triangular Eb Livre de Imposto Receita tributária Excedente total qui é CD Eb Área delimitada por q² yq 225 com 0 q 272 Logo Eb 225 q² 225q q³3 0 272 272 225 272³ 13 2217375 Eb 2217375 De forma análoga é para Ea Basta fazermos Ea Dq 225 dq q² 60q 900 225 dq 0 0 q³3 30q² 900q 225 q 0 272 3572018 496512 28 O excedente total será a soma dos exatos excedentes do consumidor produtor e Receita do Governo sendo assim a soma das áreas rosa azul e verde do gráfico 29 Esse valor será igual a área em vermelho no gráfico uma vez que o peso morto é todo excedente sem imposto menos o excedente do caso com imposto Logo esse é Pmorto Ea Eb Rgav Que é a área da parte vermelha Ou seja Pmorto Dq Sq dq Dq demanda Srq oferta 272 15 900 60q dq 900q 30q 272 15 1352 Pmorto 1352 31 Seja i o imposto então temos q² i q² 60q 900 960 i 900 q 900 i60 sendo q novo valor de equilíbrio Logo o novo excedente total é dado por ETot Dq Scq dq 0 900 60q dq 0 q 900q 60q²2 0 900q 30q² 900900 i60 30900 i60² ETot 900 i60900 900 i2 900 i60900 i2 E temos o desejado