Exercícios Resolvidos de Cálculo - Taxa de Variação e Derivação

Odete Amanda UCSal 20241 12 A Determinar a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 25m para 3m Sejam A a área do quadrado e x seu lado Sabemos que A x2 A variação média de A em relação a x quando x varia de 25 m a 3 m é dada por dA dx A3 A25 3 25 9 625 05 275 05 55 Portanto a área do quadrado varia 55 m2 quando o comprimento do lado varia de 25m para 30m B Determinar a taxa de variação instantânea da área de um quadrado em relação ao lado quando este mede 4m A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por dA dx quando x 4 ou seja pelo valor Ax para x 4 Como Ax 2x quando x 4 A4 8 Portanto quando x 4m a taxa de variação da área do quadrado será de 8m2 por cada metro que varia no comprimento do lado 13 Uma escada de 5m de altura está apoiada numa parede vertical Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 ms a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede quando a base se encontra a 4m da parede i Dizer que a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 ms significa dizer que dx dt 3 ii O que se quer saber é a que velocidade com que desliza a parte superior da escada ao longo da parede quando a base se encontra a 4m da parede ou seja se quer saber quanto vale em ms dy dt iii Qual a relação de x 4 com esse cálculo A relação está no fato de que x e y estão relacionados numa única sentença pois eles são catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa 5 A relação é x2 y2 25 onde xxt yyt dx dt 3 e se procura dy dt Observando que x2 y2 25 temos que y2 25 x2 y 25 x2 que é uma composta pois x xt Determinando 𝐝𝐲 𝐝𝐭 y 25 x2 y 25 x2 1 2 𝐝𝐲 𝐝𝐭 dy dx dx dt 1 2 25 x2 1 2 2x 3 Ou seja dy dt 6x 225 x2 Como x 4 dy dt 6 4 225 16 24 29 24 6 4 Odete Amanda UCSal 20241 Resp Quando a base se encontra a 4m da parede a parte superior da escada desliza ao longo da parede a uma velocidade de 4ms Nas questões 14 a 19 usando as fórmulas de derivação determinar 14 a derivada de 2 a ordem das seguintes funções A fx 3 2x x2 em x0 0 B fx cos2x em x 0 0 fx 2 2x fx 2 f0 2 fx 2sen2x fx 4cos2x f0 4cos0 f0 41 4 15 a derivada genérica de 2 a ordem das seguintes funções A fx ln3x2 f x 1 gx gx f x 1 3x2 6x fx fx 6x 3x2 2 x fx 2x1 fx 2x2 f x 2 x2 B fx sen3xcos2x fx 3cos3xcos2x 2sen3xsen2x fx 9sen3xcos2x6cos3xsen2x6cos3xsen2x4sen3xcos2x 9sen3xcos2x6cos3x sen2x 6cos3xsen2x 4sen3xcos2x 13sen3xcos2x12cos3xsen2x 16 a derivada de 3 a ordem das seguintes funções A fx e8x em x0 0 B fx x23 x6 em x0 1 fx 8e8x fx 64e8x fx 512e8x f0 512e0 512 f x6x7 f x 42x8 f x336x9 336 x9 f 1336 19 336 17 as derivadas de 1 a e 2a ordem da função A fx x3 em x0 1 fx 3x2 f1 312 3 fx 6x f1 61 6 B y 3sen x 4 cos2 x 4 em x0 𝜋 y 1 4 3cos x 4 2cos x 4 1 4 sen x 4 y 3 4 cos x 4 1 2 cos x 4 sen x 4 yπ 3 4 cos π 4 1 2 cos π 4 sen π 4 3 4 2 2 1 2 2 2 2 2 32 8 2 8 32 2 8 y 1 4 3 4 sen x 4 1 2 1 4 sen x 4 sen x 4 1 4 cos x 4 cos x 4 y 3 16 sen x 4 1 8 sen2 x 4 1 8 cos2 x 4 Odete Amanda UCSal 20241 yπ 3 16 sen π 4 1 8 sen2 π 4 1 8 cos2 π 4 3 16 2 2 32 32 C s t lnt2 em t0 2 st 1 lnt2 t 2 t st lnt2 2 s2 ln22 2 2 ln2 2 st 2 t st 1 18 a derivada de 2a ordem da função A fx 13 x 2 em x0 1 fx 13x 21 f x 13x 22 1 13x 22 f x 26x 23 1 26x 23 f x 26 x 23 f 1 26 1 23 26 33 26 27 B fx 9 4x no ponto x0 2 fx 9 4x 1 2 f x 1 2 9 4x 1 2 4 f x 2 9 4x 1 2 f x 1 2 2 9 4x 3 2 f x 9 4x 3 2 f x 1 94x3 f 2 1 9 83 1 19 a derivada de 3a ordem da função A fx ex no ponto x 0 1 f x ex f x ex f x ex f 1 e1 e B função fx 2x 38 em x0 1 f x 82x 37 2 16 2x 37 f x 7 16 2x 36 2 224 2x 36 f x 6 224 2x 35 2 2688 2x 35 f 0 26882 1 35 2688 15 2688