Filtros Digitais - Fundamentos Classificacao e Aplicacoes

Processamento de sinais 2 Fundamentos sobre Filtros Digitais Introdução Um Filtro Digital é um algoritmo que produz uma sequência de saída yn em resposta a uma sequência de entrada xn O algoritmo do Filtro Digital produz a saída yn em um dado instante n como uma soma ponderada dos valores presente e passados da entrada e de valores passados da saída Os Filtros Digitais tem como objetivo a separação de sinais que foram misturados ou a restauração de sinais que foram distorcidos de alguma maneira Em suma Filtros Digitais são sistemas para extração ou discriminação de informação contida em sinais 3 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtragem é o processo no qual alguns componentes de frequência têm a sua amplitude modificada podendo até ocorrer a eliminação de algumas destas componentes de frequência Há duas classes de filtros que podem ser destacadas a classe de filtros que moldam a frequência que são filtros que mudam a forma do espectro de frequência do sinal e os filtros de frequência seletiva que são filtros que permitem que determinadas faixas de frequência passem sem atenuação enquanto outras faixas de frequência sofrem grandes atenuações podendo até ser eliminadas A montagem de um filtro digital se resume a escolher a resposta em frequência adequada Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtro Analógico Filtro Digital Fundamentos sobre Filtros Digitais Na forma de Diagrama de Blocos FiltroAnalógico e Filtro Digital 5 6 Fundamentos sobre Filtros Digitais As duas respostas são equivalentes pois os valores no tempo correspondentes ao domínio discreto DT e contínuo CT são os mesmos 7 Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Existem quatro classes básicas de filtros cuja denominação depende das frequências que rejeitam ou deixam passar passabaixa passaalta passabanda rejeitabanda Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Filtro passabaixas 8 Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Filtro passaaltas 9 Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Filtro passabanda 10 Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Filtro rejeitabanda 11 Fundamentos sobre Filtros Digitais Resposta em frequência dos filtros típicos 12 Fundamentos sobre Filtros Digitais Problemas no projeto dos filtros 13 Fundamentos sobre Filtros Digitais Problemas no projeto dos filtros 14 15 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos São os filtros construídos apenas com os elementos passivos dos circuitos ou seja resistores capacitores e indutores Filtros Analógicos Filtros ativos São os filtros que empregam na sua construção elementos passivos associados a algum elemento ativo amplificador como por exemplo transistores e amplificadores operacionais Fundamentos sobre Filtros Digitais FiltrosAnalógicos Filtros passivos Filtro Passa Baixa Observe que a medida que a frequência vai aumentando a função de transferência assume valores menores 𝐻 0 Da mesma forma com a frequência em 0 temos 𝐻 0 1 16 Fundamentos sobre Filtros Digitais Um filtro passabaixas pode ser obtido também a partir de um circuito RL tomando a saída do resistor FiltrosAnalógicos Filtros passivos Filtro Passa Baixa O gráfico de 𝐻𝜔 abaixo mostra a curva característica ideal e a real A Frequência De Meia Potência Equivale A Frequência De Corte Dos Gráficos De Bode No Filtros Conhecidas Como Frequências De Corte 𝜔𝐶 É ObtidaAjustandose 𝐻 𝜔 Para 1 2 17 Fundamentos sobre Filtros Digitais FiltrosAnalógicos Filtros passivos Filtro PassaAlta Um filtro passaaltas pode ser formado quando a saída de um circuito RC é obtida a partir do resistor conforme abaixoAfunção de transferência é dada por Observe que 𝐻 1 e 𝐻 0 0 O gráfico de 𝐻𝜔 abaixo mostra a curva característica ideal e a real 18 Fundamentos sobre Filtros Digitais FiltrosAnalógicos Filtros passivos Filtro Passa Faixa fornece um filtro passafaixa quando a O circuito RLC em série ressonante saída é extraída do resistor como mostra a figura Afunção de transferência é dada por Observe que 𝐻 0 E 𝐻 0 0 19 20 Fundamentos sobre Filtros Digitais FiltrosAnalógicos Filtros passivos Filtro Passa Faixa O gráfico de 𝐻𝜔 abaixo mostra a curva característica ideal e a real O filtro passafaixa deixa passar uma faixa de frequências 𝜔1e 𝜔2 centralizada em 𝜔0 a frequência central que é dada por Um filtro passafaixa é projetado para deixar passar todas as frequências dentrode uma faixade frequências 𝜔1 𝜔 𝜔2 O filtro passafaixa anterior é um circuito ressonante em série as frequências de meia potência a largura de banda e o fator de qualidade são determinados conforme visto anteriormente Fundamentos sobre Filtros Digitais OBSERVE QUE 𝐻 1 E 𝐻 0 1 FiltrosAnalógicos Filtros passivos Filtro Rejeita Faixa Em filtro que impede a passagem de uma faixa de frequências entre dois valores designados 𝜔1e 𝜔2 é conhecido por várias denominações como filtro cortafaixa rejeitafaixa ou filtro notch Um filtro rejeitafaixa é formado quando a saída do circuito RLC em série ressonante é obtida da associação LC em série 21 Fundamentos sobre Filtros Digitais FiltrosAnalógicos Filtros passivos Filtro Rejeita Faixa O gráfico de 𝐻𝜔 abaixo mostra a curva característica ideal e a real a frequência central que é dada por de banda e o fator de As frequências de meia potência a largura qualidade são calculados usandose as fórmulas da seção anterior 𝜔0 é denominada frequência de rejeição enquanto a largura de banda correspondente 𝐵 𝜔2 𝜔1 é conhecida como largura de banda de rejeição 22 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Síntese das características dos filtros ideais 23 Fundamentos sobre Filtros Digitais FiltrosAnalógicos Filtros ativos Filtro SallenKey 24 Fundamentos sobre Filtros Digitais FiltrosAnalógicos Filtros ativos Filtro SallenKey 25 Fundamentos sobre Filtros Digitais FiltrosAnalógicos Filtros ativos Filtro SallenKey 26 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais 1 27 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais 2 28 2 2 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR 3 29 3 30 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Existem duas implementações eficientes adotáveis para filtros FIR 1 Implementação no domínio do tempo A implementação no domínio do tempo utiliza poucos coeficientes do filtro e efetua a filtragem através de uma convolução do sinal de entrada com estes coeficientes Esta implementação é bastante eficiente quando a ordem do filtro não é grande tipicamente abaixo de 32 31 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR 2 Implementação no domínio da frequência A implementação no domínio da frequência modela a curva de resposta em frequência desejada com o mesmo número de pontos do sinal de entrada Então é feita a FFT do sinal e o resultado é multiplicado no domínio da frequência pela curva desejada Após ser efetuada a FFT inversa do sinal resultante obtemos um sinal no domínio do tempo filtrado da melhor forma possível dentro daquele espaço amostral A desvantagem deste método é que se necessita efetuar duas FFTs uma direta e uma inversa além de que este método só pode ser utilizado em aplicações que não exijam processamento em tempo real e onde o número de amostras consideradas é fixo e limitada ao tamanho da maior matriz suportada pelos algoritmos utilizados 32 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Como pode ser observado na equação 3 para filtros FIR Pode ser criar um filtro passabaixas simples através da média de um determinado sinal discreto Suponha um exemplo de contagem de carros que passam por minuto em uma ponte Porém é necessário conhecer não o valor instantâneo do número de carros e sim a média dos últimos 5 minutos os valores podem ser visto na tabela 01 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Tabela 1 Nº de carros e a média que passam sobre a ponte 33 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Observe que a equação para cálculo de yn é dada por 4 que é uma equação do tipo FIR como já pode ser verificado na equação 3 34 35 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático A ação do filtro FIR como passabaixas pode ser melhor visualizado através do gráfico da figura que segue 36 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Agora análise o mesmo exemplo para 10 carros constante até 15 minutos fechada e depois a ponte é ou seja não passará nenhum carro O gráfico se assemelha a resposta de um pulso em um filtro passabaixas clássico 37 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Verifique o gráfico com a utilização do tempo de 8 minutos comparado ao de 5 minutos apresentado na figura que segue 38 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Observe o gráfico para a situação da ponte aberta em 10 minutos 39 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR A resposta de um filtro de resposta infinita ao impulso é função dos sinais de entrada presentes e passados e dos sinais de saída passados A equação diferencial representa um filtro IIR porque é uma função dos elementos de excitação e resposta A dependência das saídas passadas recursividade faz com que a duração da resposta seja infinita mesmo quando cessaram os sinais de entrada Devido ao fato que nestes filtros os sinais de saída já calculados farão parte no cálculo dos sinais de saída ainda por calcular estes filtros também são chamados de filtros recursivos 40 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR No caso dos filtros IIR o problema da aproximação para o projeto de filtros digitais não é conceitualmente diferente ao problema para projeto de filtros analógicos O problema do projeto de filtros digitais requer a determinação dos coeficientes da equação diferencial para preencher as características desejadas para o filtro como resposta em frequência Como já existem abordagens clássicas para o projeto de filtros analógicos foram desenvolvidas aproximações que mapeiam os polos e zeros analógicos do plano s para o plano z de forma a alcançar as características desejadas do filtro digital 41 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 42 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Neste curso será utilizada a técnica de Transformação Bilinear devido ao fato de que esta técnica é a mais utilizada em aplicações onde se deseja preservar a magnitude da resposta em frequência do filtro analógico ainda que com a inclusão de distorção de fase Ela é baseada na seguinte equação 𝟐 𝟏 𝒛𝟏 𝒔 𝑻 𝟏 𝒛𝟏 𝟐 𝒛 𝟏 𝒔 𝑻 𝒛 𝟏 43 44 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 01 Transforme a função de transferência analógica Em sua equivalente transformada z utilizando a transformação bilinear Suponha T1 Simplificando 𝐻𝑎𝑧 2 2𝑧1 1 𝑧1 1 𝑧1 4 1 2𝑧1 𝑧2 1 𝑧1 2 10 1 𝑧1 1 𝑧1 6 3 𝑧1 1 𝑧1 4 8𝑧1 4𝑧2 10 10𝑧2 6 12𝑧1 6𝑧2 1 𝑧1 2 45 Solução Por fim Obs O coeficiente que acompanha o termo de maior ordem no denominador deve ser igual a um neste exemplo o denominador e numerador foram divididos por 20 𝐻𝑎𝑧 3 𝑧1 1 𝑧1 𝟒 8𝑧1 4𝑧2 𝟏𝟎 10𝑧2 𝟔 12𝑧1 6𝑧 1 𝑧1 2 2 3 𝑧1 20 4𝑧1 0𝑧2 1 𝑧1 𝐻𝑎𝑧 3 3𝑧1 𝑧1 𝑧2 20 4𝑧1 3 2𝑧1 𝑧2 𝟐𝟎 4𝑧1 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝑯𝒂𝒛 𝟎 𝟏𝟓 𝟎 𝟏𝒛𝟏 𝟎 𝟎𝟓𝒛𝟐 𝟏 𝟎 𝟐𝒛𝟏 Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 01 Fundamentos sobre Filtros Digitais 46 O resultado será Obs¹ O coeficiente que acompanha o termo de maior ordem no denominador deve ser igual a um neste exemplo denominador e numerador foram divididos por 20 Obs²As duas soluções são equivalentes basta multiplicar o numeradordenominador da primeira solução por z² 𝟎 𝟏𝟓𝒛𝟐 𝟎 𝟏𝒛 𝟎 𝟎𝟓 𝑯 𝒛 𝒛𝟐 𝟎 𝟐𝒛 𝟐 𝒛 𝟏 𝒔 𝑻 𝒛 𝟏 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 01 Este exemplo foi resolvido com a equação 𝟐 𝟏 𝒛𝟏 𝒔 𝑻 𝟏 𝒛𝟏 Utilizando a outra equação da transformação bilinear 47 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 01 No matlab existe um comando para cálculo dos coeficientes da transformação bilinear babilinearcdfs onde c coeficiente do numerador da função Ha d coeficiente do denominador da função Ha b coeficiente do numerador da função Hz a coeficiente do denominador da função Hz fs 1T 48 clear all close all clc exemplo c 1 1 d 1 5 6 T1 fs1T babilinearcdfs Ao executar o algoritmo obtémse como resposta os mesmos coeficientes que foram calculados 𝑯𝒂𝒛 𝟎 𝟏𝟓 𝟎 𝟏𝒛𝟏 𝟎 𝟎𝟓𝒛𝟐 𝟏 𝟎 𝟐𝒛𝟏 𝑯 𝒛 𝟎 𝟏𝟓𝒛𝟐 𝟎 𝟏𝒛 𝟎 𝟎𝟓 𝒛𝟐 𝟎 𝟐𝒛 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 01 A seguir é apresentada a função bilinear no Matlab utilizando o exemplo resolvido anteriormente 4 com diagrama de bode dado por Fundamentos sobre Filtros Digitais 9 Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 02 Seja o filtro analógico 50 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 02 Utilizando o comando bilinear com tempo de amostragem de Ts001s obtémse Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 02 Simulando ambos os filtros no SIMULINK de acordo com o diagrama de blocos que segue 51 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 02 Colocando um sinal senoidal de w 01rads ambas as saídas ficam 52 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 02 Para w 1rads ambas as saídas ficam 53 54 Como pode ser observado o método bilinear apresenta uma resposta do filtro muito semelhante ao sistema analógico Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 02 Para w 10rads ambas as saídas ficam 55 Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Para o cálculo projeto e análise de filtros digitais do tipos FIR e IIR existem algumas programas que facilitam estas ações dentre elas o MATLAB é uma delas Nesta seção serão explorados algumas dessas ferramentas do MATLAB O MATLAB possui um ferramenta que ajuda o usuário no projeto de filtros digitais chamado de FDATOOL Filter Design and Analisys Tools Ferramenta de Projeto eAnálise de filtros Fundamentos sobre Filtros Digitais 56 1 Digite o comando fdatool no MATLAB e será aberta a seguinte tela Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL A seguir será apresentado um procedimento para o cálculo do filtro IIR no FDATOOL 57 Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 2 Selecione o tipo de resposta do filtro Como exemplo passabaixas 3Selecione o projeto do filtro como IIR 4 Especifique a ordem do filtro Como exemplo 3ª ordem 5 Escolha Fs48000Hz e Fc10kHz Ao final a tela do FDATOOL ficará da seguinte forma 58 Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 6 Pressione o botão Design Filter e será apresentado a seguinte resposta do filtro 59 numa estrutura simples Logo selecione está opção conforme apresentado na figura que segue Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 7 Para verificar os coeficientes do filtro na forma encontrada pelo método bilinear o filtro deverá ser colocado 60 Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 8 Para verificar os coeficientes selecione a opção conforme a figura que segue 61 Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 9 E os valores encontrados são apresentados na figura que segue Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 10 Após executado o procedimento é possível simular o SIMULINK o filtro projetado conforme apresentado na figura que segue Taxa de amostragem utilizada neste exemplo é 190000 s 62 63 Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL Para uma frequência de 1kHz é gerado o seguinte gráfico Para uma frequência de 10kHz é gerado o seguinte gráfico 64 Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab MATLAB é muito semelhante ao realizado pelo filtro IIR ser opção alterado Design No caso deverá principalmente a Filter Segue um exemplo da configuração do FDATOOL para um filtro FIR passabaixas com taxa de amostragem de 001s e frequência de corte de 1Hz Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL O projeto do filtro digital FIR no 65 filtros diretamente para o SIMULINK ele deverá estar aberto para análise da resposta através da opção na figura que do filtro apresentada segue Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL No FDATOOL é possível transferir os coeficientes dos Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL No SIMULINK ele aparecerá como um bloco chamado DIGITAL FILTER como pode ser observado na figura seguinte 66 Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL Clicando no DIGITAL FILTER é possível verificar os coeficientes calculados no FDATOOL 67 Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 1 f 01Hz Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL Executando a simulação para as algumas frequências a resposta da saída ficou da seguinte forma 68 Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL 2 f 1Hz 69 Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL 3 f 10 Hz 70