Formulación Hamiltoniana 2

Transformaciones canónicas infinitesimales.\nUna transformación infinitesimal es aquella que difiere infinitesimalmente de la transformación identificada:\n\n𝑦A = 𝑥A + 𝜖𝑥A \n\nDescomponiendo la transformación de manera explícita en términos de coordenadas y momentos:\n\n𝑞A = 𝑞A + 𝜖𝑞\n𝑃A = 𝑃A + 𝜖𝑃A\n\nPor otra parte, la transformación identificada se puede obtener como derivadas de la siguiente función\n\nF2(𝑞,𝐷) = 𝑞A𝑃A,\n\nya que\n\n𝑞A = ∂F2\n∂𝑃A = 𝑞A\n\n𝑃A = ∂F2\n∂𝑞A = 𝑃A Esto quiere decir que la función que genera la transformación infinitesimal debe ser de la forma:\n\nF2(𝑞,𝐷) = 𝑞A𝑃A + 𝜖 ∈ 𝒢(𝑞,𝑃,𝑡)\n\n(Límite infinitesimal)\n\nEntonces, vemos que\n\n𝑃A = ∂F2\n∂𝑞A = 𝑃A + 𝜖 ∂𝑮\n∂𝑞A \n\n=> 𝑞A = 𝑞A + 𝜖∂𝑮\n∂𝑃A\n\n= 𝑞A + 𝜖 ∂𝑮\n∂𝑞A\n\n= 𝑞A + 𝜖∂𝑮 ∂𝑃B + 𝜖 ∂𝑮 ∂𝑃C\n\n= 𝑞A + 𝜖 ∂𝐺 ∂𝑃A \n\n→ 𝜖𝑞A = 𝑞A − 𝑞A = 𝜖 ∂𝑪 ∂𝑞A\n\nPor lo tanto,\n\n𝜖𝑞A = 𝜖 ∂𝑮𝑃A\n\n=> 𝑑𝑥A = 𝜖{𝑥A,𝑮} 𝜖 es infinitesimal, esto es, 𝜖 ≡ 𝑑𝑥,\ncon 𝑑 un parámetro real. Entonces, el cambio 𝑑𝑥A es infinitesimal, es decir, 𝑑𝑥A = 𝑑𝑥A.\n\nPor lo tanto, podemos escribir\n\n𝑑𝑥A = 𝜖{𝑥A,𝑮} \n\n→ 𝑑𝑥A = 𝑑𝑎{𝑥A,𝑮}\n\no también\n\nd𝑥A\n𝑑𝑎 = {𝑥A,𝑮}\n\nAsumiendo, por ejemplo, que α = t y 𝑮 = H,\nentonces\n\n𝑑𝑥A\n𝑑α → ẋA = {𝑥A,𝐻}\n\n→ Las ecs. de Hamilton. la transformación infinitesimal es canónica.\nPrueba\nEntonces, 8 X_A = e_{ }X_A,G_\gamma = \dot{Y}_A - X_A , esto es,\n\dot{Y}_A = X_A + e_{ }X_A,G_\gamma . Enfances,\n\{Y_A,Y_B\} = \{ X_A + e_{ }X_A,G_\gamma , X_B + e_{ }X_B,G_\gamma \}\n=\{ X_A,X_B \} + e_{ } \{ X_A,X_B\} \n=\{X_A,X_B\} + e_{ } \left( \{ X_A,X_B \} + \{ X_A,G_\gamma \} + \{ X_B,G_\gamma \}\right)\n=\dot{\Pi}_{AB} + e_{ }\{G \}X_A,X_B\}\n=\dot{\Pi}_{AB} + e_{ } \{ G,\dot{\Pi}_{AB}\}\n=\dot{\Pi}_{AB}\to \text{canónica} Constantes de movimiento.\nsea f una función del espacio fase. Entonces, su derivada con respecto del tiempo está dada por\n\frac{df(x)}{dt} = \dot{f} = \frac{\partial f}{\partial X_A}\dot{X}_A + \frac{\partial f}{\partial t},\ si\ f\ no\ depende\ explícitamente\ de\ t,\ \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = 0.\n\frac{d f}{d X_A}\dot{\Pi}_{AB}\frac{d H}{d X_B} + \frac{d f}{d t}\ \dot{f} = \dot{f} = \{ f,H \} + \frac{d f}{d t}\ \quad \text{Evaluación de la función f.}\nse\ dice\ que\ f\ es\ una\ constante\ de\ movimiento\ si \dot{f} = 0,\ esto es,\ f\ es\ constante\ de\ movimiento\ si\n\{f,H\} + \frac{d f}{d t} = 0\ \Rightarrow\ \{ H,f \}\ =\ \frac{d f}{d t}\ \si\ f\ no\ depende\ explícitamente\ de\ t,\ sino\ sólo\ implícitamente\ a\ través\ de\ las\ coordenadas\{X_A\},\ la\ condición\ de\ constancia\ en\ el\ tiempo\ se\ reduce\ a\ \{f,H\}=0. Conocidas dos constantes de movimiento, la identidad de Jacobi permite determinar constantes de movimiento adicionales.\nsean f_1 y f_2 constantes de movimiento,\ esto es,\{ H,f_1 \} = 0\{ H,f_2 \} = 0.\nEntonces, es cierto que\n\{ f_1,f_2,\{H\} \} + \{ f_2 , \{ H,f_1 \} \} + \{ H,f_1,f_2 \} = 0,\ \leftarrow\ \{ H,f_3 \} = 0,\ donde\ f_3 = \{ f_1,f_2 \}. 22\nAhora, considere una transformación canónica infinitesimal de generador G y parámetros ε: \n δ x A = ε T A B ∂ G ∂ x B\n = ε { x A , G } \nBajo esta transformación, el cambio en una función f del espacio fase está dado por: \n δ f ≡ f ( x + δ x ) − f ( x )\n = f ( x ) + ∂ f ∂ x A δ x A − f ( x )\n = ∂ f ∂ x A δ x A\n = −∂ f ∂ x A T A B ∂ G ∂ x B\n ⇒ δ f = ε { f , G } \nDe importancia fundamental es estudiar el cambio en la función hamiltoniana: \n δ H = ε { H , G } 2\nPero notando que\n δ G δ t = { G , H } + ∂ G ∂ t = { G , H } \nLo asumimos que la transformación no depende explícitamente de t.\nEsto es,\n { H , G } = − d G d t o { H , G } = − ε d G d t ,\n de donde encontramos\n δ H = − ε d G d t\n Resultado Fundamental. \nSi G es constante de movimiento, d G d t = 0. Entonces, las constantes de movimiento generan transformaciones que dejan invariante a H.\nEste resultado establece la conexión entre constantes de movimiento y las simetrías del sistema.\nA nivel cuántico, H y G generan un base como 24\nComo una primera aplicación, considere las transformaciones canónicas generadas por el momento p b: \n δ x A = ε { x A , p b } \n δ p A = ε { p A , p b } \n δ p A = ε T A B ⇒ \n Q A − q A = ε δ B B\n Q A = q A + ε δ B B\n) p b genera un desplazamiento ε a lo largo de la coordenada q b .\nAsimismo, si G corresponde a la coordenada q b , tenemos\n δ x A = ε { x A , q b } ≠ 0 sólo si x A → p A\n δ p A = ε { p A , q b } = − ε δ b A\nR A = P A ⇔ ε δ B A ⇒ q b desplaza a p b por una cantidad −ε. Ahora, si \\( \\frac{d p_B}{dt} = 0 \\), es decir, si \\( p_B \\) es constante de movimiento, lo cual quiere decir que \\( \\{ p_B, H \\} = 0 \\), y que entonces \\( \\delta H = - \\epsilon \\frac{d p_B}{dt} = 0, \\) estos, \\( \\delta H \\) es invariante bajo desplazamientos a lo largo de la coordenada \\( q_b: \\)\n\n\\( \\delta H = H(q_1, \\ldots, q^b + \\epsilon, p_1, \\ldots, p_N) - H(q, p) = H(q, p) \\times \\frac{\\partial H}{\\partial q_b} \\delta q_b - H(q, p) \\)\n\n\\( = \\frac{\\delta H}{\\delta q_b} \\epsilon = 0 \\Rightarrow \\frac{\\partial H}{\\partial q_b} = 0 \\)\n\nH no depende de la coordenada \\( q_b. \\)\n\n\\( H \\) no cambia \\( q_b \\)\n\n\\( \\Rightarrow p_b \\) se conserva\n\n\\( \\Rightarrow \\) podemos medir \\( B \\) (tiene sentido).