Funciones Y Funcionales

Introducción\nFunciones y funcionales:\nFunciones. Considere el mapeo\nR^n -> R.\n(x1,...,xn) -> f(x1,...,xn)\nla derivada parcial de f(x1,...,xn) con\nrespecto a la variable xi se define por\n\ndf\n/dxi = lim {1/ε} f(x1,..., xi + ε.dji,..., xn)\nε->0\n -f(x1,...,xn) {\nEn particular,\n\ndxi/dxj = lim {1/ε} {xi + ε.dji - xi}\nε->0\n= dji;\npor otra parte, la diferencial o variación\nde f se define por\ndf = Σ (∂f/∂xi) dxi la integral de f en alguna región Ω de R\nes un número y se define por\n∫ d^nX f(x1,...,xn), d^nX = dx1...dxn\n\nFunciones: C^∞(M) el conjunto de todas\nsean y has funciones f con derivadas de\ntodos los órdenes definidas en una vari-edad M (M puede ser IR o IR^n). Una funcional es un mapeo de la forma:\nC^∞(M) -> R\nla funcional F de la función f se denota por [F]. Definimos una funcional mediante un proceso de integración.\n[F] = ∫ dx G(f(x), f(1)(x),..., f(m)(x)),\ndonde ρ(i)(x) = d^i/dx^i f(x), con x ∈ M.\nen general debe considerarse funcionales\ndependientes de un número arbitrario N\nde funciones f1,..., fn que a su vez\nestán definidas en una variedad soporte\nM de dimensión n, es decir,\nfi = fi(x1,...,xn). En lo que sigue se toma N=n=1 por\nsimplicidad.\nen analogía con el análisis ordinario, la\nderviada funcional se define como\n\nδF[F] = lim F [f(w) + εf(x - y)] - F[f(x)]\n\nε->0\n\nEn particular,\n\ndF(x) / dF(y) = lim f(w) + εδ(x - y) - f(x)\nε->0\n= δ(x - y)\nSuponga que F depende de f pero no de\nsus derivadas.\n\n[F[F]] = ∫ dx G(f(x));\nentonces, la derivada funcional es, por definición,\n\nδF[F] = lim { 1/ε } ∫dx {G(f(x) + εδ(x - y)) - G(f(x))}\nε->0 Atando que G(f(x)) es una función, podemos hacer el siguiente desarrollo en serie de Taylor hasta primer orden en ε:\nG(f(x) + ε ∂(x−y)) = G(f(x)) + ε ∂G/∂f(x) ∂(x−y),\nasí que\n∂F[ ]/∂f(ψ) = lim (1/ε) ∫ dx { ∂G/∂f(x) ε ∂(x−y) } | ε → 0\n= ∫ dx ∂G/∂f(x) ∂(x−y)\n\npor otra parte, usando el resultado\n∂f(x)/∂f(ψ) = δ(x−y),\npodemos escribir de manera equivalente\n∂F[ ]/∂f(ψ) = ∫ dx ∂G/∂f(x) ∂f(x)/∂f(ψ) → Note que en esencia es una regla de la cadena. Ahora asuma que F depende de f y su primera derivada:\nF[ ] = ∫ dx G(f(x), df(x)/dx)\n\nEn este caso, el cálculo de la derivada funcional es un poco más elaborado. Por definición,\n∂F[ ]/∂f(ψ) = lim (1/ε) ∫ dx { G(f(x) + ε ∂(x−y), df(x)/dx) − G(f(x), df(x)/dx) }\n= lim (1/ε) ∫ dx { G(f(x) + ε ∂(x−y), df(x)/dx) − G(f(x), df(x)/dx) }\n+ (∂G/∂(df(x)/dx)) ε ∂f(x)/∂f(ψ)\n = lim (1/ε) ∫ dx G(f(x), df(x)/dx) + ∂G/∂f(x) ∂f(x)/∂f(ψ)\n = ∫ dx { ∂G/∂f(x) ∂f(x)/∂f(ψ) − d/dx (∂G/∂f(x)) ∂f(x)/∂f(ψ) }\n+ d/dx [ ∂G/∂(df(x)/dx) ] { ∂f(x)/∂f(ψ) }\n= ∫ dx { [ ∂G/∂f(x) − d/dx (∂G/∂f(x)) ] ∂f(x)/∂f(ψ)}\n= ∫ dx { [ ∂G/∂f(x) − d/dx (∂G/∂f(x)) ] ∂f(x)/∂f(ψ) }\n\n= ∫ dx { [ ∂G/∂f(x) − d/dx (∂G/∂(df(x)/dx)) ] ∂f(x)/∂f(ψ) }\n\npor lo tanto,\n∂F[ ]/∂f(ψ) = (∂f/∂f ) . ( -d/dψ ∂/∂y ∂(df(x)/df) + ∫ dx { ∂G/∂(df(x)/df) [Termino de su\nperficie. Por otra parte, recuerde que la diferencial de una función f de n variables x_i se define por\n\ndf = \\sum_{i=1}^n \\frac{\\partial f}{\\partial x_i} dx_i.\n\nLa variación de la funcional F, denotada por \\delta F, es la generalización de este resultado y se define por\n\n\\[ \\delta F[f] = \\int_1^2 dy \\; \\delta f(y) \\; \\frac{\\delta F[f]}{\\delta f(y)}, \\]\n\ndonde se asume un dominio de definición de f(y) en el intervalo [y_1, y_2].\n\nSuponiendo que como en el caso previo, F[f] es definida por\n\n\\[ F[f] = \\int dx \\, G(f(x), \\frac{df}{dx}) \\]\n\ny usando el resultado de la derivada pontencial,\n\n\\[ \\frac{\\delta F[f(x)]}{\\delta f(y)} = \\left[ \\frac{\\partial}{\\partial f(y)} - \\frac{d}{dy} \\frac{\\partial}{\\partial f(y)} \\right] G\n\n+ \\int_1^2 dx \\; \\frac{d}{dx} \\left[ \\frac{\\partial G}{\\partial f(x)} \\; \\delta f(x) \\right], \\] se obtiene para la variación de F:\n\n\\[ \\delta F[f] = \\int_1^2 dy \\; \\delta f(y) \\; \\left[ \\frac{\\partial}{\\partial y} f(y) - \\frac{d}{dy} \\frac{\\partial}{\\partial y} f(y) \\right] G \\]\n\n+ \\int_1^2 dx \\; \\frac{d}{dx} \\left[ \\frac{\\partial G}{\\partial f(x)} \\; \\frac{\\delta f(x)}{dx} \\right]\n\n= \\int_1^2 dy \\; \\delta f(y) \\; \\left[ \\frac{\\partial}{\\partial y} f(y) - \\frac{d}{dy} \\frac{\\partial}{\\partial y} f(y) \\right] G\n\n+ \\frac{\\partial G}{\\partial f} \\bigg|_{x=x_2} \\; \\delta f(x_2) - \\frac{\\partial G}{\\partial f} \\bigg|_{x=x_1} \\; \\delta f(x_1) \n\n= \\int_1^2 dy \\; \\delta f(y) \\; \\left[ \\frac{\\partial}{\\partial y} f(y) - \\frac{d}{dy} \\frac{\\partial}{\\partial y} f \\right] G\n\n+ \\frac{\\partial G}{\\partial f} \\bigg|_{x=x_2} \\; \\delta f(x_2) - \\frac{\\partial G}{\\partial f} \\bigg|_{x=x_1} \\; \\delta f(x_1) Por lo tanto,\n\n\\[ \\delta F = \\int_1^2 dx \\; \\delta f(x) \\; \\left[ \\frac{\\partial}{\\partial f(x)} - \\frac{d}{dx} \\frac{\\partial}{\\partial f(x)} \\right] G \\]\n\n+ \\frac{\\partial G}{\\partial f} \\bigg|_{x=x_2} \\; \\delta f(x_2) - \\frac{\\partial G}{\\partial f} \\bigg|_{x=x_1} \\; \\delta f(x_1)\n\nsi los puntos 1 y 2 se mantienen fijos durante la variación, \\delta f(x_1) = \\delta f(x_2) = 0.\n\n\\[ \\delta F = \\int_1^2 dx \\; \\delta f(x) \\; \\left[ \\frac{\\partial}{\\partial f(x)} - \\frac{d}{dx} \\frac{\\partial}{\\partial f(x)} \\right] G \\]\n\nse dice que F[f] es extrema para alguna f(x) si su variación en torno a esta f(x) es cero, esto es, si\n\n\\[ \\delta F[F] = 0, \\]\n\nlo cual es equivalente a\n\n\\[ \\frac{\\delta F[f]}{\\delta f(y)} = 0 \\]\n\ny, de acuerdo con el resultado anterior,\n\n\\[ \\frac{\\delta F}{\\delta f} = \\left( \\frac{\\partial}{\\partial f} - \\frac{d}{dx} \\frac{\\partial}{\\partial f} \\right) G = 0. \\] 10 En mecánica clásica, la acción del sistema es una función de las coordenadas q(a)(t) a través de la función lagrangiana L(q(a)(t), q(a)(t)):\n\nS[q(a)] = ∫ dt L(q(a)(t), q(a)(t))\n\nDe acuerdo con el análisis anterior, tenemos la siguiente correspondencia:\nF = S, G → L, f → q(a), x → t;\nasí que las ecuaciones:\n\n∂F[q] \n∂f = 0\n\nd / dx (∂G / ∂x) = ∂G / ∂f,\n\nse convierte en\n\n∂S[q(a)] / ∂q(a) = 0\n\n!\nd/dt (∂L / ∂q(a)) = ∂L / ∂q(a)\n\n→\nEcuaciones de Lagrange