Fundamentos da Matemática: Funções de Uma Variável

UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 1 MÓDULO 4 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA O SABER QUE VOCÊ MERECE raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 2 Caroa alunoa Bemvindoa ao curso de Fundamentos da Matemática Funções de uma Variável que visa aprimorar os conhecimentos sobre Limites Conti nuidade Derivadas bem como suas respectivas aplicações Nesta etapa de aprendizado você será estimulado a partindo do co nhecimento basilar de limites compreender o conceito de derivadas des de a primeira derivada até a derivada de ordem superior além de verificar a relação existente entre diferenciabilidade e continuidade podendo fami liarizarse com as mais diversas aplicações das derivadas Bom estudo Ao final deste curso esperase que você seja capaz de Compreender o conceito de limite passando pelas propriedades que envolvem sua obtenção e o conceito de continuidade Compreender o conceito de primeira derivada bem como as no tações utilizadas e ter exemplos práticos das mais diversas aplicações Compreender o conceito de derivada de ordem superior enten dendo como achar as derivadas de segunda ordem em diante e as regras que envolvem o conceito de diferenciação implícita Compreender a relação existente entre diferenciabilidade e con tinuidade além de verificar e ser submetido a exercícios queremetem às mais importantes aplicações práticas de todo o conteúdo do curso raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 3 1 LIMITES 11 INTRODUÇÃO O Conceito de limite é algo que pode ser pensado até mesmo de for ma intuitiva vejamos Quando temos um bolo e vamos dividir para duas pessoas fica fácil observar que cada pessoa receberá metade do bolo Da mesma forma se este bolo for dividido para quatro pessoas cada uma receberá um quarto do bolo com oito pessoas cada uma receberá um pedaço que é a metade do tamanho anterior com as quatro pessoas e assim por diante Sem grande esforço podemos perceber que quanto maior for o nú mero de pessoas menor será o pedaço de tal sorte que com um núme ro muito grande de pessoas tendendo a infinitas pessoas o pedaço será muito pequeno tendendo mas nunca chegando a zero Este entendimento de que algo tende a determinado valor mas não assume tal valor é a essência para compreender o conceito de Limite 12 REVISÃO DOS CONCEITOS DE DOMÍNIO CONTRADOMÍNIO E IMAGEM Antes de iniciarmos o assunto de Limites necessário se faz revisar alguns tópicos que serão de fundamental importância para o assunto Li mites e Continuidade Damos o nome de Domínio ao conjunto de todos os valores possí veis que a variável independente da função pode assumir Por exemplo na função fx x 2 o conjunto de todos os valores que o x pode assumir é chamado de Domínio Contradomínio é o conjunto que compreende todos os valores que a variável dependente fx pode assumir Imagem por sua vez é o conjunto de valores que a função irá assu raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 4 13 DEFINIÇÃO DE LIMITE EM FUNÇÕES Quando trabalhamos com limite em funções este indica o valor de que fx se aproxima quando o x tende a determinado número Para o cálculo do limite caso este seja determinado basta substituir o valor para o qual o x está tendendo lembrandose sempre de se atentar para as restrições caso haja EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcule o limite da função a seguir quando o valor de x tende a 2 mir portanto o conjunto Imagem é um subconjunto do conjunto Contra domínio raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 5 14 PROPRIEDADES DOS LIMITES Supondo que existam e que C seja um número real qualquer temos EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO LIMITES 1 Sabendo que calcule raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 6 2 Sabendo que 6 calcule 3 Calcule raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 7 15 INDETERMINAÇÃO DOS LIMITES O exemplo a seguir é um caso típico de indeterminação do limite Observe que quando substituímos o valor de x igual a 1 na expressão temos uma indeterminação matemática o que corresponde a uma indeterminação matemática Neste caso específico a utilização dos conceitos de FATORAÇÃO aju da a resolver o problema da indeterminação Os conceitos de PRODUTOS NOTÁVEIS também são úteis para resol ver casos de indeterminação raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 8 16 LIMITES LATERAIS Cálculo dos limites laterais Gráfico das funções com os limites destacados raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 9 2 CONTINUIDADE Dizemos que uma função f é contínua num ponto a de seu domínio Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio dizemos que f é contínua EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONTINUIDADE 1 verifique se é contínua para todo valor de x raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 10 2 verifique se é contí nua para o valor de x 2 QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre Limites e Continuidade acesse O GUIA COMPLETO PARA QUEM NÃO É CDF Cálculo Tradução da 2ª Edi ção Página 57 e seguintes Disponível em h t t p s w w w g o o g l e c o m b r b o o k s e d i t i o n O G u i a C o m p l e t o p a r a Q u e m N C 3 A 3 o C 3 8 9 C D FOFPBQAAQBAJhlptBRgbpv1dqlimitesecontinuidadeprint secfrontcover raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 11 3 DEFINIÇÃO DE PRIMEIRA DERIVADA E APLICAÇÕES 31 RELEMBRANDO CONCEITOS IMPORTANTES 311 EQUAÇÃO DA RETA E COEFICIENTE ANGULAR Podemos representar a equação reduzida de uma reta por y ax b onde b é o coeficiente linear ponto em que o gráfico cruza com o eixo vertical y a é o coeficiente angular ou declividade que nada mais é que a tangente da inclinação Podemos dizer que o coeficiente angular representa a taxa de va riação entre ΔyΔx 312 RETA TANGENTE Usando um linguajar para facilitar o entendimento do assunto po demos dizer que a reta tangente é aquela que se comporta na região pró xima ao ponto de tangência de forma semelhante à curva analisada A importância de saber sobre a RETA TANGENTE está no fato de que compreendendo o seu comportamento podese prever o comportamento da curva tangenciada por ela de forma mais simples raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 12 313 EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE Dada a fórmula da equação reduzida da reta que também pode ser escrita da seguinte forma a x x0 y y0 temos que o ponto de tan gência é o ponto P x0 y0 pertencente tanto à reta tangente quanto à curva Para montar a equação da reta tangente basta então acharmos o coeficiente angular da reta tangente O coeficiente angular da reta tangente a é chamado de DERIVADA que podemos chamar de f x 32 DEFINIÇÃO FORMAL DE DERIVADA A derivada de uma função y f x é a função f x de tal forma que para qualquer x pertencente ao D f tem o valor dado por raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 13 Observações Se o limite existir Caso exista a derivada em todos os pontos de seu domínio dáse o nome de derivável ou diferenciável 33 OUTRAS NOTAÇÕES DE DERIVADA EXERCÍCIO RESOLVIDO f x f3 232 233 f3 18 63 f3 27 f 3Δx23Δx2 23 Δx3 f 3Δx2326ΔxΔx262Δx3 f 3Δx1812Δx2Δx262Δx3 f 3Δx2Δx214Δx27 f 3Δx2Δx214Δx27 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 14 34 REGRAS DE DERIVAÇÃO DERIVADA DE UMA CONSTANTE Se C é uma constante e f x C então f x 0 REGRA DA POTÊNCIA Se n é um número inteiro positivo f x xn então f x n x n1 DERIVADA DE UMA CONSTANTE MULTIPLICADA POR UMA FUNÇÃO A derivada é igual a fx C f x C f x raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 15 DERIVADA DE UMA SOMA Se h x f x g x então h x f x g x DERIVADA DO PRODUTO DERIVADA DO QUOCIENTE Sejam f e g funções e h a função definida por hx fxgx em que gx é diferente de 0 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO REGRAS DE DERIVAÇÃO raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 16 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 17 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 18 4 APLICAÇÕES DE DERIVADA 1ª DERIVADA 41 PRIMEIRA APLICAÇÃO Determinar os intervalos em que a função é crescente Determinar os intervalos em que a função é decrescente Localizar os valores máximos e mínimos de uma função pontos estacionários EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO APLICAÇÃO DE DERIVADA PRIMEIRA Determine os intervalos crescentedecrescente e valores de má ximo e de mínimo raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 19 42 SEGUNDA APLICAÇÃO TAXA DE VARIAÇÂO EXEMPLO RESOLVIDO Produção total de uma empresa em função do número de empre gados x Px A produtividade média raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 20 Enquanto a taxa de variação de produtividade for maior que a pro dutividade média então é interessante continuar contratando QUER SABER MAIS SOBRE O ASSUNTO Para saber mais sobre o assunto Derivadas acesse BOULOS PAULO INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Volume 1 Cálculo Dife rencial Página 23 e seguintes Disponível em httpswwwgooglecombrbookseditionIntroduC3A7 C 3 A 3 o a o C C 3 A 1 l c u l o Vo l 1 L K f M D wA A Q B A J h l p tBRgbpv1dqcC3A1lculo1printsecfrontcover raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 21 5 DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR Dada uma função derivável f sabemos que uma notação para a sua derivada primeira é f a sua derivada dada por fé denominada a de rivada segunda de f a sua derivada dada por fé denominada a derivada terceira de fe assim por diante A derivada de ordem n dada por fn é obtida pela derivada da deri vada de ordem n1 de f EXERCÍCIO RESOLVIDO Dada a função ache as derivadas segunda ter ceira e quarta Primeira Derivada f x5x433x2f x5x49x2 Segunda Derivada f x45x329x f x20x318x Terceira Derivada f x320x218 f x60x218 Quarta Derivada Observações utilizamos a notação fx até a terceira derivada e depois temos a seguinte d4 fdx4 260x120x raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 22 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 23 6 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA REGRA DA CADEIA Muitas vezes a variável y não aparece isolada de forma explícita como nos exemplos que tivemos em aula o que facilita o cálculo da di ferenciação então temos que realizar algumas etapas até que possamos isolar f x Importante destacar que nas situações em que a diferenciação se dá de forma implícita devemos ter conhecimento de uma técnica utilizada quando temos funções compostas a serem derivadas que é chamada de Regra da Cadeia EXERCÍCIO RESOLVIDO FUNÇÃO COMPOSTA Calcular a derivada da seguinte função composta raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 24 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO REGRA DA CADEIA Calcule as derivadas das funções compostas a seguir raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 25 61 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA APLICAÇÃO Muitas vezes a variável y não aparece isolada de forma explícita como nos exemplos que tivemos em aula o que facilita o cálculo da dife renciação então temos que realizar algumas etapas até que possamos isolar f x Como proceder quando temos uma situação como esta EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcular a derivada da função Vamos iniciar isolando o y y2 4 x2 y4x2 dydx 2x4x2 dydx x4x2 RESOLVENDO POR DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA x2y24 ddxx2y2ddx4 ddx x2 ddx y2 ddx4 2x 2ydydx0 2ydydx2 dydx2x2yxy raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 26 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA Calcule o valor das seguintes derivadas raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 27 7 DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE Dizemos que uma função f é contínua num ponto a de seu domínio Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio dizemos que f é contínua Diferenciabilidade gera continuidade ou seja se uma função é dife rençável em um ponto ela é contínua nesse ponto Podemos nos perguntar se a recíproca do fato anterior vale ou seja se toda função contínua é diferençável A resposta para essa pergunta é não basta tomar como exemplo a função fx x Sabemos que no ponto x 0 esta função apesar de contínua não é diferençável EXERCÍCIO RESOLVIDO DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE Dada a função verificar se é contínua raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 28 Inicialmente vamos verificar o x225x500indeterminação Resolvendo o problema da indeterminação x5x5x5 x51 Substituindo o valor de x5termos5510 Calculando f5 f5 55 f5 10 Como f5 x225x5 Podemos afirmar que a função é continua EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE Verificar a continuidade das seguintes funções raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 29 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 30 x raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 31 8 APLICAÇÕES DE DERIVADAS RECORDAÇÃO Determinar os intervalos em que a função é crescente Determinar os intervalos em que a função é decrescente Localizar os valores máximos e mínimos de uma função pon tos estacionários EXERCÍCIO RESOLVIDO Dada a função verificar quando é crescente e quando é decrescente Calcular a primeira derivada f x3x24x Estudar o sinal 3x24x0 x3x40 x0 x 3x40 x 3x4 x 3x4 x 43 Teste com valores menores do que 43 f 2 322424 Teste com valores entre 43 e 0 f 1 312411 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 32 Teste com valores maiores do que 0 f 1 312417 Portanto é crescente para x 43 e x 1 e decrescente para 43 x 0 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO APLICAÇÕES DE DERIVADAS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 33 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 34 9 PRINCIPAIS DERIVADAS raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 35 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 36 Extraído na íntegra de DERIVADAS PUC GOIÁS Disponível em httpprofessorpucgoiasedubrSiteDocenteadminarquivosUpload17601mate rialtabeladerivadaseintegraispdf Acesso em 02AGO22 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 37 10 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste ebook você foi apresentado aos assuntos Limite e continuidade em que foram abordados além dos concei tos introdutórios e a definição de limite e continuidade quando falamos em funções as principais propriedades que envolvem o assunto Ainda dentro de limites observou como lidar com a indetermina ção de limites e a importância dos limites laterais Definição de primeira derivada e aplicações em que foram elenca dos além do conceito de derivada as regras de derivação as notações mais utilizadas e exemplos das aplicações mais usuais Derivada de ordem superior ediferenciação implícita em que foram apresentadas as derivadas de ordem superior a partir da segunda deriva da e vários exercícios com sua utilização além de utilizar a diferenciação implícita quando a variável y não aparecer de forma isolada na função utilizada para o cálculo Diferenciabilidade e continuidade neste tópico foi mostrada a rela ção existente entre diferenciabilidade e continuidade sendo consignado que diferenciabilidade gera continuidade ou seja se uma função é dife renciável em um ponto ela é contínua nesse ponto Aplicações de derivadas foram abordadas algumas das principais aplicações a saber determinaçãodos intervalos em que uma função é crescente ou decrescente e alocalizaçãodos valores máximos e mínimos de uma função pontos estacionários Toda a parte conceitual foi complementada com diversos exercí cios de fixação e indicação de material complementar raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 38 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Pearson Makron Books1999 GONÇALVES M FLEMMING D Cálculo A funções limite derivação inte gração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo vol I Editora LTC 2001 KELLEY W MICHAEL O GUIA COMPLETO PARA QUEM NÃO É CDF CÁL CULO Rio de Janeiro RJ Alta Books 2013 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 39 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO LIMITES 1 48 2 72 3 10 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONTINUIDADE 1 É contínua 2 Não é contínua EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO REGRAS DE DERIVAÇÃO 1 Conjunto vazio 2 22x21 3 80 4 9x2 58x3 3 6 15x4 15x2 4x 3 7 16x7 15x4 16x3 6 84x4x4 42x21 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO APLICAÇÃO DE DERIVADAS PRIMEIRA 1 Crescente 1 x 3 decrescente x 1 ou x 3 2 Crescente x 1 ou x1 decrescente 1 x 1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR 1 fx sen x 2 f4x cos x sen x EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO REGRA DA CADEIA 1 5x4 sen x5 2 f x8x2 3x42x3 raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 40 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 2 dydx senxyysenxyx1 3 dydx2x5y4 4 4 EXERCÍCÍOS DE FIXAÇÃO DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE 1 É contínua 2 Não é contínua 3 É contínua 4 É contínua EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO APLICAÇÃO DE DERIVADAS 1 x 1 x 1 crescente e 1 x 1 decrescente 2 Área máxima 40000 m2 3 a 48 pessoas por dia b 0 significa que está sob controle c 437 aproximadamente raphael coelho brum braggio 34034403896 UNIDADE CURRICULAR FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 41 legalecombr O SABER QUE VOCÊ MERECE raphael coelho brum braggio 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