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Questões 1) [2,0] (Fluidos: empuxo) Um bloco de madeira de volume 5,24.10**-4 m**3 flutua na água, e um pequeno objeto de aço de massa m é colocado em cima dele. Quando m = 310 g, o sistema está em equilíbrio e o topo do bloco de madeira está no nível da água. (a) [1,0] Qual é a densidade da madeira? (b) [0,5] O que acontece com o bloco quando o objeto de aço é substituído por outro cuja massa é MENOR do que 310 g? (c) [0,5] O que acontece com o bloco quando o objeto de aço é substituído por outro cuja massa é MAIOR do que 310 g? Explique. Considere ρagua = 10**3 kg/m**3. 2) [3,0] (Fluidos, tubulação) A água escoa através da tubulação da figura abaixo e sai para a atmosfera na seção C da extremidade direita. O diâmetro da tubulação de é 2,00 cm em A, 1,00 cm em B e 0,80 cm em C. A pressão, no centro da tubulação em A, é 1,22 atm e a vazão é 0,800 L/s. Os tubos verticais estão abertos para a atmosfera. Determine o nível (acima da linha média do fluxo, como mostrado) das interfaces líquidas nos dois tubos verticais (ha e hb). Suponha escoamento laminar estacionário e não-viscoso. Dado: 1 atm = 1,013.10**5 Pa. Dica: Você vai usar vazão volumétrica, Bernoulli e, finalmente, Stevin. Lembre que, nos contatos do líquido com atmosfera, a pressão vale 1 atm. 3) [2,0] (Oscilações amortecidas) Uma força de amortecimento Fd = - bvx atua sobre um rato infeliz de 300 g que se move preso na extremidade de uma mola cuja constante é k = 2,50 N/m. (a) [1,0] Se a constante b tem um valor igual a 9,00 kg/s, qual é a frequência (angular) de oscilação do rato? [1,0] Para que valor de b o movimento é criticamente amortecido? 4) [2,0] (Oscilações, MHS) A posição de uma partícula é dada por x(t) = 2,5 cos(πt), com x em metros e t em segundos. (a) [1,0] Determine a rapidez máxima (módulo da velocidade, vmax) e a aceleração máxima (módulo de amax) da partícula. (b) [1,0] Determine a rapidez (v) e aceleração (a) quando x = 1,5 m, escrevendo também as expressões de v(t) e a(t) explicitamente. 5) [1,0] (Conceitual, é hora de pôr no gráfico!) Em oscilações amortecidas vimos que, dependendo do fator de amortecimento b, podemos ter 3 situações distintas. Nomeie os 3 tipos de movimento e faça um gráfico mostrando, de forma superposta, como se comporta o movimento, x(t), do sistema massa-mola nos 3 casos (gráfico feito no lado em aula). Qual seria a melhor situação para o amortecedor de um carro? Por quê? Bônus: [2,0] (Conceitual) O que é ressonância? Por que ela ocorre? Qual seria a frequência natural (frequência de ressonância) de uma menina numa balança de comprimento L = 2,0 m e massa m = 40 kg supondo que o sistema possa ser considerado como um pêndulo simples? (1) m = 0,310 kg E P1 V = 5,24.10^-4 m^3 y P2 a) No equilíbrio E = P1 + P2 ρágua . Vd . g = m . g + ρmad . V . g Nessa situação vemos que Vd = V ρágua . V = m + ρmad . V ρmad = ρágua - m / V ρmad = 10^3 - 0,310 / 5,24.10^-4 = 0,408.10^3 kg/m^3 or também ρmad = 0,41.10^3 kg/m^3 (ACETO) b) Se m < 310 g o empuxo e os pesos encontram nova situação de equilíbrio na qual um pedaço do bloco de madeira emerge na linha d'água. Ou seja, Vd < V pois com menos peso total o empuxo também se reduz. c) Com m > 310 g o peso total será maior que o empuxo máximo possível (com Vd = V) e assim há uma força resultante p/ baixo (direção y) fazendo com que o sistema acelere até o fundo. DIAMETRO RAIO ⌀A = 2,00 cm → rA = 1,00 cm ⌀B = 1,00 cm → rB = 0,50 cm ⌀C = 0,80 cm → rC = 0,40 cm SEJA PA A PRESSAO NA LINHA MEDIA EM A PB A " " " " B PC A " " " " C APLICANDO BERNOULLI P/ ESSES PTOS TEMOS; PA + 1/2 ρvA² = PB + 1/2 ρvB² = PC + 1/2 ρvC² (I) pois YA = YB = YC TEMOS AINDA QUE IVA = IVB = IVC = 0,800 L/s (II) = 0,800 x 10⁻³ m³ --- s λ = 8,00 x 10⁻⁴ m³ --- s E PC = PO = 1,013 x 10⁵ Pa DE (II) SEGUE QUE AA * vA = AC * vC => π rA² * vA = vC --- π rC² vC = (1,00 cm)² * vA => vC = 6,25 * vA (III) 0,40 cm E AA * vA = AB * vB => vB = π rA² * vA --- π rB² vB = (1,00)² * vA => vB = 4,00 * vA (IV) 0,50 MAS AA * vA = 8,00 x 10⁻⁴ m³/ s vA = 8,00 x 10⁻⁴ m³ ---- s 1 --- π (1,0 x 10⁻² m)² vA = 2,546 m/s vB = 10,186 m/s vC = 15,915 m/s E DE (I) SEGUE QUE PA + 1/2 ρvA² = PB + 1/2 ρvB² PB = PA + 1/2 ρ(vA² - vB²) PB = 1,22, 1,013.10⁵ + 1/2,10³ (-99,2725) PB = 1,24.10⁵ - 949.10⁵ = 0,75.10⁵ Pa PB = 0,74 atm PC = PB + 1/2 ρvB² - 1/2 ρvC² PC = 0,75.10⁵ + 1/2.10³ (vB² - vC²) PC = 0,75.10⁵ - 0,75.10⁵ = 0 atm COMO SABEMOS QUE PC = 1 atm CONCLUIMOS QUE AS PRESSOES SAO VALORES MANOMETRICOS PA' = PA + PO = 2,22 atm PB' = PB + PO = 1,74 atm PC' = PC + PO = 1,00 atm PRESSAO absoluta EM A: PA' = PO + ρ g hA ρ g hA = 1,22. 1,013.10⁵ Nm² h_A = 1,22.10^{3}.10 \frac{5N}{m^2} \frac{1}{10^{-3} \cancel{m^3}} \frac{1}{9,80 \cancel{m^2}} h_A = 12,61 m P_B' = P_0 + \rho g h_B \rho g h_B = 0,74.1,013.10^5 \frac{N}{m^2} h_B = 7,65 m (3) m = 9,300 kg k = 2,50 \ N/m b = 9,900 \ kg/s W' = \sqrt {\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}} \quad \text{oscilações amortecidas} W' = \sqrt {\frac{2,50}{0,300} - \frac{0,900^2}{4.0,300^2}} = 2,466 \ s^{-1} \text{O MOVIMENTO É CRITICAMENTE AMORTECIDO} \, \text{QDO} \; W' = 0 \; \text{ou seja;} \ \frac{k}{m} = \frac{b_c^2}{4m^2} \to b_c = \sqrt{4mk} = 2 \sqrt{km} \therefore \; b_c = 2 \sqrt{2,50.0,300} = 1,732 \ kg/s (4) X(t) = 2,5 \cos(\pi t) V(t) = -2,5. \pi. \sin(\pi t) = -7,9 \sin(\pi t) a(t) = -2,5. \pi^{2}. \cos(\pi t) = -24,7 \cos(\pi t) \text{Assim vemos IMEDIATAMENTE que} a) \; V_{\text{MAX}} = 7,9 \; m/s \; \text{e} \; a_{\text{MAX}} = 24,7 \; m/s^2 b) \; V(t) = -7,9 \sin(\pi t) a(t) = -24,7 \cos(\pi t) \text{QUANDO}\; x = 1,5\; \text{m TEMOS} 1,5 = 2,5 \cos (\pi t_i) \therefore \; \cos (\pi t_i) = \frac{1,5}{2,5} \therefore \sin (\pi t_i) = 0,8 \cos (\pi t_i) = 0,6 \; \text{pois} \; \sin^{2}\phi + \cos^{2}\phi = 1 \therefore \; V(t_i) = -7,9.0,8 = -6,32 \; m/s a(t_i) = -24,7.0,6 = -14,82\; m/s^2 5) OSCILAÇÕES AMORTEC IDAS PODEMOS TER: i) SUB-AMORTECIMENTO: w' < w, ii) AMORTECIMENTO CRÍTICO: w' = 0 ; MASSA VOLTA RAPIDAMENTE À ORIGEM (X = 0) iii) SUPER AMORTECIMENTO: NOVAMENTE w' = 0 MAS A MASSA VOLTA AGORA MAIS LENTAMENTE À ORIGEM (X = 0) A MELHOR SITUAÇÃO P/ AS MOLAS DE UM AMORTECEDOR DE CARRO SERIA O CASO CRÍTICO, POIS NÃO QUEREMOS OSCILAÇÃO E QUEREMOS RECUPERAÇÃO RÁPIDA. BÔNUS RESONANCIA É O FENÔMENO DE OSCILAÇÕES FORÇADAS EM MÁXIMA AMPLITU ELA OCORRE QUANDO FORÇAMOS UM SISTEMA VIBRAR EM SUA PRÓPRIA FREQUÊNCIA NATURAL DE OSCILAÇÃO (OU MUITO PRÓXIMO DELA). L = 2,00 m g = 9,80 m/s² (TERRA) w₀ = √(g/L) = √(9,80 m/s² / 2,00 m) = 2,21 s⁻¹ (NÃO DEPENDE DA MASSA!)
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Questões 1) [2,0] (Fluidos: empuxo) Um bloco de madeira de volume 5,24.10**-4 m**3 flutua na água, e um pequeno objeto de aço de massa m é colocado em cima dele. Quando m = 310 g, o sistema está em equilíbrio e o topo do bloco de madeira está no nível da água. (a) [1,0] Qual é a densidade da madeira? (b) [0,5] O que acontece com o bloco quando o objeto de aço é substituído por outro cuja massa é MENOR do que 310 g? (c) [0,5] O que acontece com o bloco quando o objeto de aço é substituído por outro cuja massa é MAIOR do que 310 g? Explique. Considere ρagua = 10**3 kg/m**3. 2) [3,0] (Fluidos, tubulação) A água escoa através da tubulação da figura abaixo e sai para a atmosfera na seção C da extremidade direita. O diâmetro da tubulação de é 2,00 cm em A, 1,00 cm em B e 0,80 cm em C. A pressão, no centro da tubulação em A, é 1,22 atm e a vazão é 0,800 L/s. Os tubos verticais estão abertos para a atmosfera. Determine o nível (acima da linha média do fluxo, como mostrado) das interfaces líquidas nos dois tubos verticais (ha e hb). Suponha escoamento laminar estacionário e não-viscoso. Dado: 1 atm = 1,013.10**5 Pa. Dica: Você vai usar vazão volumétrica, Bernoulli e, finalmente, Stevin. Lembre que, nos contatos do líquido com atmosfera, a pressão vale 1 atm. 3) [2,0] (Oscilações amortecidas) Uma força de amortecimento Fd = - bvx atua sobre um rato infeliz de 300 g que se move preso na extremidade de uma mola cuja constante é k = 2,50 N/m. (a) [1,0] Se a constante b tem um valor igual a 9,00 kg/s, qual é a frequência (angular) de oscilação do rato? [1,0] Para que valor de b o movimento é criticamente amortecido? 4) [2,0] (Oscilações, MHS) A posição de uma partícula é dada por x(t) = 2,5 cos(πt), com x em metros e t em segundos. (a) [1,0] Determine a rapidez máxima (módulo da velocidade, vmax) e a aceleração máxima (módulo de amax) da partícula. (b) [1,0] Determine a rapidez (v) e aceleração (a) quando x = 1,5 m, escrevendo também as expressões de v(t) e a(t) explicitamente. 5) [1,0] (Conceitual, é hora de pôr no gráfico!) Em oscilações amortecidas vimos que, dependendo do fator de amortecimento b, podemos ter 3 situações distintas. Nomeie os 3 tipos de movimento e faça um gráfico mostrando, de forma superposta, como se comporta o movimento, x(t), do sistema massa-mola nos 3 casos (gráfico feito no lado em aula). Qual seria a melhor situação para o amortecedor de um carro? Por quê? Bônus: [2,0] (Conceitual) O que é ressonância? Por que ela ocorre? Qual seria a frequência natural (frequência de ressonância) de uma menina numa balança de comprimento L = 2,0 m e massa m = 40 kg supondo que o sistema possa ser considerado como um pêndulo simples? (1) m = 0,310 kg E P1 V = 5,24.10^-4 m^3 y P2 a) No equilíbrio E = P1 + P2 ρágua . Vd . g = m . g + ρmad . V . g Nessa situação vemos que Vd = V ρágua . V = m + ρmad . V ρmad = ρágua - m / V ρmad = 10^3 - 0,310 / 5,24.10^-4 = 0,408.10^3 kg/m^3 or também ρmad = 0,41.10^3 kg/m^3 (ACETO) b) Se m < 310 g o empuxo e os pesos encontram nova situação de equilíbrio na qual um pedaço do bloco de madeira emerge na linha d'água. Ou seja, Vd < V pois com menos peso total o empuxo também se reduz. c) Com m > 310 g o peso total será maior que o empuxo máximo possível (com Vd = V) e assim há uma força resultante p/ baixo (direção y) fazendo com que o sistema acelere até o fundo. DIAMETRO RAIO ⌀A = 2,00 cm → rA = 1,00 cm ⌀B = 1,00 cm → rB = 0,50 cm ⌀C = 0,80 cm → rC = 0,40 cm SEJA PA A PRESSAO NA LINHA MEDIA EM A PB A " " " " B PC A " " " " C APLICANDO BERNOULLI P/ ESSES PTOS TEMOS; PA + 1/2 ρvA² = PB + 1/2 ρvB² = PC + 1/2 ρvC² (I) pois YA = YB = YC TEMOS AINDA QUE IVA = IVB = IVC = 0,800 L/s (II) = 0,800 x 10⁻³ m³ --- s λ = 8,00 x 10⁻⁴ m³ --- s E PC = PO = 1,013 x 10⁵ Pa DE (II) SEGUE QUE AA * vA = AC * vC => π rA² * vA = vC --- π rC² vC = (1,00 cm)² * vA => vC = 6,25 * vA (III) 0,40 cm E AA * vA = AB * vB => vB = π rA² * vA --- π rB² vB = (1,00)² * vA => vB = 4,00 * vA (IV) 0,50 MAS AA * vA = 8,00 x 10⁻⁴ m³/ s vA = 8,00 x 10⁻⁴ m³ ---- s 1 --- π (1,0 x 10⁻² m)² vA = 2,546 m/s vB = 10,186 m/s vC = 15,915 m/s E DE (I) SEGUE QUE PA + 1/2 ρvA² = PB + 1/2 ρvB² PB = PA + 1/2 ρ(vA² - vB²) PB = 1,22, 1,013.10⁵ + 1/2,10³ (-99,2725) PB = 1,24.10⁵ - 949.10⁵ = 0,75.10⁵ Pa PB = 0,74 atm PC = PB + 1/2 ρvB² - 1/2 ρvC² PC = 0,75.10⁵ + 1/2.10³ (vB² - vC²) PC = 0,75.10⁵ - 0,75.10⁵ = 0 atm COMO SABEMOS QUE PC = 1 atm CONCLUIMOS QUE AS PRESSOES SAO VALORES MANOMETRICOS PA' = PA + PO = 2,22 atm PB' = PB + PO = 1,74 atm PC' = PC + PO = 1,00 atm PRESSAO absoluta EM A: PA' = PO + ρ g hA ρ g hA = 1,22. 1,013.10⁵ Nm² h_A = 1,22.10^{3}.10 \frac{5N}{m^2} \frac{1}{10^{-3} \cancel{m^3}} \frac{1}{9,80 \cancel{m^2}} h_A = 12,61 m P_B' = P_0 + \rho g h_B \rho g h_B = 0,74.1,013.10^5 \frac{N}{m^2} h_B = 7,65 m (3) m = 9,300 kg k = 2,50 \ N/m b = 9,900 \ kg/s W' = \sqrt {\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}} \quad \text{oscilações amortecidas} W' = \sqrt {\frac{2,50}{0,300} - \frac{0,900^2}{4.0,300^2}} = 2,466 \ s^{-1} \text{O MOVIMENTO É CRITICAMENTE AMORTECIDO} \, \text{QDO} \; W' = 0 \; \text{ou seja;} \ \frac{k}{m} = \frac{b_c^2}{4m^2} \to b_c = \sqrt{4mk} = 2 \sqrt{km} \therefore \; b_c = 2 \sqrt{2,50.0,300} = 1,732 \ kg/s (4) X(t) = 2,5 \cos(\pi t) V(t) = -2,5. \pi. \sin(\pi t) = -7,9 \sin(\pi t) a(t) = -2,5. \pi^{2}. \cos(\pi t) = -24,7 \cos(\pi t) \text{Assim vemos IMEDIATAMENTE que} a) \; V_{\text{MAX}} = 7,9 \; m/s \; \text{e} \; a_{\text{MAX}} = 24,7 \; m/s^2 b) \; V(t) = -7,9 \sin(\pi t) a(t) = -24,7 \cos(\pi t) \text{QUANDO}\; x = 1,5\; \text{m TEMOS} 1,5 = 2,5 \cos (\pi t_i) \therefore \; \cos (\pi t_i) = \frac{1,5}{2,5} \therefore \sin (\pi t_i) = 0,8 \cos (\pi t_i) = 0,6 \; \text{pois} \; \sin^{2}\phi + \cos^{2}\phi = 1 \therefore \; V(t_i) = -7,9.0,8 = -6,32 \; m/s a(t_i) = -24,7.0,6 = -14,82\; m/s^2 5) OSCILAÇÕES AMORTEC IDAS PODEMOS TER: i) SUB-AMORTECIMENTO: w' < w, ii) AMORTECIMENTO CRÍTICO: w' = 0 ; MASSA VOLTA RAPIDAMENTE À ORIGEM (X = 0) iii) SUPER AMORTECIMENTO: NOVAMENTE w' = 0 MAS A MASSA VOLTA AGORA MAIS LENTAMENTE À ORIGEM (X = 0) A MELHOR SITUAÇÃO P/ AS MOLAS DE UM AMORTECEDOR DE CARRO SERIA O CASO CRÍTICO, POIS NÃO QUEREMOS OSCILAÇÃO E QUEREMOS RECUPERAÇÃO RÁPIDA. BÔNUS RESONANCIA É O FENÔMENO DE OSCILAÇÕES FORÇADAS EM MÁXIMA AMPLITU ELA OCORRE QUANDO FORÇAMOS UM SISTEMA VIBRAR EM SUA PRÓPRIA FREQUÊNCIA NATURAL DE OSCILAÇÃO (OU MUITO PRÓXIMO DELA). L = 2,00 m g = 9,80 m/s² (TERRA) w₀ = √(g/L) = √(9,80 m/s² / 2,00 m) = 2,21 s⁻¹ (NÃO DEPENDE DA MASSA!)