Gabarito Somente

Uma função f X Y é injetora se fx1 fx2 sempre que x1 x2 para x1 x2 X Sobre funções é correto afirmar que Escolha uma opção a não existe função injetora de ℕ em ℝ b toda função injetora é sobrejetora c f ℕ ℕ dada por fx x² 4x 10 é injetora d não existe função injetora de ℕ em ℕ e f ℕ ℕ dada por fx 4x 10 é injetora Considere o teorema a seguir e sua demonstração Teorema Seja A um multiconjunto finito com k elementos diferentes com r₁ rₖ repetições considere o tamanho de A igual a n r₁ rₖ e o número de npermutações de A igual a n r₁ rₖ Demonstração Rotule os elementos diferentes de A como a1 ak Em uma permutação n existem n posições que precisam ser atribuídas a elementos Primeiro escolha as r₁ posições para o primeiro elemento a1 há K maneiras de fazer isso Em seguida atribua r₂ posições para o segundo elemento a2 fora das posições n r₁ que ainda restam para escolher Isso equivale a B escolhas Continuando assim o número total de opções será n r₁ n r₁ r₂ C n r₁ r₂ rₖ Desse modo podemos afirmar que Escolha uma opção a K n r₂ B n r₁ r₂ e C n r₁ r₂ rₖ₁ r₁ b K n r₂ B n r₁ r₂ e C n r₁ r₂ rₖ₁ rₖ c K n r₁ B n r₁ r₂ e C n r₁ r₂ rₖ rₖ d K n r₁ B n r₁ r₁ e C n r₁ r₂ rₖ₁ r₁ e K n r₁ B n r₁ r₂ e C n r₁ r₂ rₖ₁ rₖ Sejam as relações ℛ 1 2 3 4 5 6 5 4 e S 1 2 4 5 considerando a definição das operações entre relações temos que I 4ℛ¹S5 II 2ℛ¹S¹1 III nℛS 2 IV 3ℛ¹S4 É verdade o que se afirma em Escolha uma opção a I e III b III e IV c I e II d II e III e I e IV Considere os conjuntos A 1 2 3 B 1 2 e C a b e as seguintes afirmações I A x B A x C II nA x B nA x C III B x C A x C IV 3 b A x C e 2 3 A x B É correto o que se afirma em Escolha uma opção a II e III b II e IV c I e III d III e IV e I e IV Considere a relação R x y 2x y 5 definida no conjunto dos números naturais e as seguintes afirmações I nR II R1 x y 2x y 5 III nDomR1 DomR IV nR1 2 É correto o que se afirma em Escolha uma opção a I e IV b III e IV c I e II d II e III e I e III Considere o problema a seguir e sua solução Problema Existem quantos números inteiros entre 0 e 100000 tal que a soma dos algarismos é 13 Solução Podemos apenas considerar os números de 0 a 99999 uma vez que a soma dos algarismos de 100000 não é 13 Todo número entre 0 e 99999 pode ser escrito como A em que 0 xi 9 para i 1 2 5 Assim o nosso problema consiste em encontrar o número de soluções da equação B com a restrição 0 xi 9 Para isso temos que encontrar o coeficiente de x13 na expansão da seguinte função geradora ordinária Fx 1 x x2 x95 1 x101 x5 1 x1051 x5 Como 1 x105 1 5x10 10x20 10x30 5x40 x50 e os monômios 10x20 10x30 5x40 x50 possuem grau maior que 13 precisamos dos coeficientes de x7 e x13 na expansão de 1 x5 que são respectivamente 5 313 5 3 1 3 7 3 35 e 5 13113 5 13 1 13 17 13 2380 Logo o coeficiente de x13 em 1 x1051 x5 é 535 C 2205 que é a solução para o problema Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A x1x2x3x4x5 B x1 x2 x3 x4 x5 10 e C 1 2380 b A x1x2x3x4x5 B x1 x2 x3 x4 x5 13 e C 2 2380 c A x1 x2 x3 x4 x5 B x1 x2 x3 x4 x5 13 e C 5 2380 d A x1 x2 x3 x4 x5 B x1x2x3x4x5 13 e C 5 2380 e A x1x2x3x4x5 B x1 x2 x3 x4 x5 13 e C 1 2380 Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto dos números naturais e o subconjunto dos números naturais pares I O conjunto P 2 4 6 dos números naturais pares é enumerável II Não existe uma bijeção f N P III f N P dada por fn 2n é uma bijeção entre N e P IV nP nN É correto o que se afirma em Escolha uma opção a I e II b I e IV c I e III d II e IV e II e III Sejam A 1 2 3 B x y z e C α β γ três conjuntos dados considere as seguintes relações R 1 x 2 x 3 z A x B S x α y β y γ z α B x C É verdade que Escolha uma opção a SR 1 α 2 α 3 β 3 γ b SR1 α 1 α 2 α 3 c SR 1 α 2 α 3 α d SR RS e SR1 está bem definida Considere o polinômio x1 x2 x35 e as seguintes afirmações I O coeficiente de x12x22x3 é 30 II O coeficiente de x11x21x33 é 51 53 III O coeficiente de x22x32 é 50 2 2 IV O coeficiente de x12x2x32 é 20 É verdade o que se afirma em Escolha uma opção a I e IV b II e IV c I e III d II e III e I e II Considere a sequência numérica 1 1 1 1 e as seguintes afirmações I A função geradora de 1 1 1 1 é Gx 11x II A função geradora de 2 0 2 0 é Gx 21x2 III A função geradora de 0 0 0 1 1 1 é Gx x31x IV A função geradora de 1 2 3 4 é Gx 11x2 É correto o que se afirma em Escolha uma opção a II e III b I e IV c I e III d II e IV e III e IV Considere a proposição a seguir e sua demonstração Proposição Se n 2 é um número natural então 122334n1n n1nn13 Demonstração Para n 2 temos 12 212213 1233 2 Suponha que a proposição é válida para n k isto é 122334k1k A Vamos provar que a proposição é válida para n k 1 ou seja proveremos que 122334k1k kk1 kk1k23 De fato 122334k1k kk1 k1kk13 kk1 B C Isso prova que o resultado também é válido para n k 1 Sendo assim concluímos que a proposição é válida Desse modo podemos afirmar que Escolha uma opção a A k1kk13 B kk1k1kk13 e C kk1k23 b A kk1k23 B kk1k1kk13 1 e C k1k2k33 c A k1kk13 B kk1k1kk13 1 e C kk1k13 d A kk1k23 B kk1k1kk13 e C k1k2k33 e A k1kk13 B kk1k13 1 e C kk1k23 Considere as proposições a seguir p n é par q n 1 é ímpar r n2 é par É verdadeiro que Escolha uma opção a p q b p r e q r c q p d r p e p q e q r Considere o problema a seguir e sua solução Problema Encontre a sequência gerada pela função geradora ordinária Gx x³1 2x Solução Sabemos que Δ 1 x x² x³ Substituindo x por 2x temos 11 2x 1 2x 2x² 2x³ Agora basta multiplicar a expressão anterior por x³ e obtemos x³1 2x B Portanto Gx x³ 2x⁴ 4x⁵ 8x⁶ Então Gx é a função geradora da sequência numérica C Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A 11x B x³ x³2x x³2x² x³2x³ e C 001248 b A x1x B x³ x³2x x³2x² x³2x³ e C 0101248 c A 11x B x⁸ x³2x x³2x² x³2x³ e C 0001248 d A x1x B x³ x³2x x³2x² x³2x³ e C 0001248 e A 1x1x B x³ x⁴2x x⁴2x² x⁴2x³ e C 0001248 Teorema O coeficiente de xp na expansão 1 x x² ⁿ é igual a np1 p Solução De fato temos que 1 x x² ⁿ 11xⁿ A Aplicando o B temos que 1xn Σ p0 até n p xp Σ p0 até n p 1p xp Pela definição de coeficiente binomial generalizado temos que o coeficiente de xp é igual a n p1p nn1n2np11p p np1np2n1nn1pn1 C np1 p Assim podemos afirmar que Considere o teorema a seguir e sua demonstração Escolha uma opção a A 1xⁿ B teorema binomial e C np pn1 b A 1xn B teorema binomial e C np1 pn1 c A 1xn B teorema binomial e C np1 pn1 d A 1xn B teorema de Pitágoras e C np1 pn1 e A 1xⁿ B teorema de Pitágoras e C np pn1 Considere a função f N0 Z definida de maneira recursiva por f0 1 f1 2 fx 1 fx 3 fx 1 e as seguintes afirmações I f2 é um número primo II f3 é um número par III f4 é um número primo IV f5 17 É verdadeiro o que se afirma em Escolha uma opção a I e IV b II e IV c III e IV d I e II e II e III Considere o problema a seguir e sua solução Problema Existem quantos números inteiros entre 0 e 100000 tal que a soma dos algarismos é 13 Solução Podemos apenas considerar os números de 0 a 99999 uma vez que a soma dos algarismos de 100000 não é 13 Todo número entre 0 e 99999 pode ser escrito como A em que 0 xi 9 para i 1 2 5 Assim o nosso problema consiste em encontrar o número de soluções da equação B com a restrição 0 xi 9 Para isso temos que encontrar o coeficiente de x13 na expansão da seguinte função geradora ordinária Fx 1 x x2 x95 1 x10 1 x5 1 x105 1 x5 Como 1 x105 1 5x10 10x20 10x30 5x40 x50 e os monômios 10x20 10x30 5x40 x50 possuem grau maior que 13 precisamos dos coeficientes de xi e x13 na expansão de 1 x5 que são respectivamente 5 choose 3 13 5 3 1 choose 3 7 choose 3 35 e 5 choose 13 113 5 13 1 choose 13 17 choose 13 2380 Logo o coeficiente de x13 em 1 x105 1 x5 é 5 35 C 2205 que é a solução para o problema Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A x1x2x3x4x5 B x1 x2 x3 x4 x5 10 e C 1 2380 b A x1x2x3x4x5 B x1 x2 x3 x4 x5 13 e C 2 2380 c A x1 x2 x3 x4 x5 B x1 x2 x3 x4 x5 13 e C 5 2380 d A x1 x2 x3 x4 x5 B x1x2x3x4x5 13 e C 5 2380 e A x1x2x3x4x5 B x1 x2 x3 x4 x5 13 e C 1 2380 Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto dos números naturais e o subconjunto dos números naturais pares I O conjunto P 2 4 6 dos números naturais pares é enumerável II Não existe uma bijeção f N P III f N P dada por fn 2n é uma bijeção entre N e P IV nP nN É correto o que se afirma em Escolha uma opção a I e II b I e IV c I e III d II e IV e II e III Considere a sequência numérica 1 1 1 1 e as seguintes afirmações I A função geradora de 1 1 1 1 é Gx 1 1 x II A função geradora de 2 0 2 0 é Gx 2 1 x2 III A função geradora de 0 0 0 1 1 1 é Gx x3 1 x IV A função geradora de 1 2 3 4 é Gx 1 1 x2 É correto o que se afirma em Escolha uma opção a II e III b I e IV c I e III d II e IV e III e IV Considere a proposição a seguir e sua demonstração Proposição Se n 2 é um número natural então 1 2 2 3 3 4 n 1 n n 1 nn1 3 Demonstração Para n 2 temos 1 2 2 1 22 1 3 1 2 3 3 2 Suponha que a proposição é válida para n k isto é 1 2 2 3 3 4 k 1 k A Vamos provar que a proposição é válida para n k 1 ou seja provaremos que 1 2 2 3 3 4 k 1 k k k 1 kk 1k 2 3 De fato 1 2 2 3 3 4 k 1 k k k 1 k 1 kk 1 3 k k 1 B C Isso prova que o resultado também é válido para n k 1 Sendo assim concluímos que a proposição é válida Desse modo podemos afirmar que Escolha uma opção a A k 1 kk 1 3 B kk 1 k 1 kk 1 3 e C kk 1k 2 3 b A kk 1k 2 3 B kk 1 k 1 kk 1 3 1 e C k 1k 2k 3 3 c A k 1 kk 1 3 B kk 1 k 1 kk 1 3 1 e C kk 1k 1 3 d A kk 1k 2 3 B kk 1 k 1 kk 1 3 e C k 1k 2k 3 3 e A k 1 kk 1 3 B kk 1 k 1 kk 1 3 1 e C kk 1k 2 3 Considere as proposições a seguir p n é par q n 1 é ímpar r n2 é par É verdadeiro que Escolha uma opção a p q b p r e q r c q p d r p e p q e q r Considere o problema a seguir e sua solução Problema Encontre a sequência gerada pela função geradora ordinária Gx x3 1 2x Solução Sabemos que A 1 x x2 x3 Substituindo x por 2x temos 1 1 2x 1 2x 2x2 2x3 Agora basta multiplicar a expressão anterior por x3 e obtemos x3 1 2x B Portanto Gx x3 2x4 4x5 8x6 Então Gx é a função geradora da sequência numérica C Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A 1 1 x B x3 x32x x32x2 x32x3 e C 0 0 1 2 4 8 b A x 1 x B x3 x32x x32x2 x32x3 e C 0 1 0 1 2 4 8 c A 1 1 x B x3 x32x x32x2 x32x3 e C 0 0 0 1 2 4 8 d A x 1 x B x3 x32x x32x2 x32x3 e C 0 0 0 1 2 4 8 e A 1 x 1 x B x3 x42x x42x2 x42x3 e C 0 0 0 1 2 4 8 Teorema O coeficiente de xp na expansão 1 x x2 n é igual a n p 1 choose p Solução De fato temos que 1 x x2 n 1 1 xn A Aplicando o B temos que 1 xn sum from p0 to infinity n choose pxp sum from p0 to infinity n choose p1p xp Pela definição de coeficiente binomial generalizado temos que o coeficiente de xp é igual a n choose p1p nn 1n 2n p 11p p n p 1n p 2n 1 n n 1 pn 1 C n p 1 choose p Assim podemos afirmar que Considere o teorema a seguir e sua demonstração Escolha uma opção a A 1 xn B teorema binomial e C n pp n 1 b A 1 xn B teorema binomial e C n p 1p n 1 c A 1 xn B teorema binomial e C n p 1p n 1 d A 1 xn B teorema de Pitágoras e C n p 1p n 1 e A 1 xn B teorema de Pitágoras e C n pp n 1 Considere a função f N0 Z definida de maneira recursiva por f0 1 f1 2 fx 1 fx 3 fx 1 e as seguintes afirmações I f2 é um número primo II f3 é um número par III f4 é um número primo IV f5 17 É verdadeiro o que se afirma em Escolha uma opção a I e IV b II e IV c III e IV d I e II e II e III Sejam as relações R 1 2 3 4 5 6 5 4 e S 1 2 4 5 considerando a definição das operações entre relações temos que I 4R¹n S5 II 2R¹n S¹1 III nRS 2 IV 3R¹n S4 É verdade o que se afirma em Escolha uma opção a I e III b III e IV c I e II d II e III e I e IV Considere os conjuntos A 1 2 3 B 1 2 e C a b e as seguintes afirmações I A x B A x C II nA x B nA x C III B x C A x C IV 3 b e A x C e 2 3 A x B É correto o que se afirma em Escolha uma opção a II e III b II e IV c I e III d III e IV e I e IV Considere a relação R x y 2x y 5 definida no conjunto dos números naturais e as seguintes afirmações I nR II R¹ x y 2x y 5 III nDomR¹ DomR IV nR¹ 2 É correto o que se afirma em Escolha uma opção a I e IV b III e IV c I e II d II e III e I e III Uma função f X Y é injetora se fx1 fx2 sempre que x1 x2 para x1 x2 X Sobre funções é correto afirmar que Escolha uma opção a não existe função injetora de ℕ em ℝ b toda função injetora é sobrejetora c f ℕ ℕ dada por fx x² 4x 10 é injetora d não existe função injetora de ℕ em ℕ e f ℕ ℕ dada por fx 4x 10 é injetora Considere o teorema a seguir e sua demonstração Teorema Seja A um multiconjunto finito com k elementos diferentes com r1 rk repetições considere o tamanho de A igual a n r1 rk e o número de npermutações de A igual a n r1 rk Demonstração Rotule os elementos diferentes de A como a1 ak Em uma permutação n existem n posições que precisam ser atribuídas a elementos Primeiro escolha as r1 posições para o primeiro elemento a1 há K maneiras de fazer isso Em seguida atribua r2 posições para o segundo elemento a2 fora das posições n r1 que ainda restam para escolher Isso equivale a B escolhas Continuando assim o número total de opções será n r1 n r1 r2 C n r1 r2 rk Desse modo podemos afirmar que Escolha uma opção a K n r2 B n r1 r2 e C n r1 r2 rk1 r1 b K n r2 B n r1 r2 e C n r1 r2 rk1 rk c K n r1 B n r1 r2 e C n r1 r2 rk rk d K n r1 B n r1 r1 e C n r1 r2 rk1 r1 e K n r1 B n r1 r2 e C n r1 r2 rk1 rk Sejam A 1 2 3 B x y z e C α β γ três conjuntos dados considere as seguintes relações R 1 x 2 x 3 z A x B S x α y β y γ z α B x C É verdade que Escolha uma opção a SR 1 α 2 α 3 β 3 γ b SR¹ α 1 α 2 α 3 c SR 1 α 2 α 3 α d SR R S e SR¹ está bem definida