Geometria Diferencial - Exercícios sobre Esferas, Geodésicas e Curvatura Gaussiana

1 Vamos considerar a esfera S2 x2 y2 z2 r2 Escolha um valor numérico para r e escolher também dois pontos A B S2 no hemisfério norte e fora dos planos coordenados Parametrizar o arco de geodésica determinado por estes pontos Calcular a distância na esfera S2 entre estes dois pontos 2 Sejam S2 x2 y2 z2 1 S1 x y z S2 z 0 S2 x y z S2 y 0 Seja φ ID2 S2 x y φx y x y fx y onde ID2 x y IR2 x2 y2 1 e f ID2 IR fx y 1 x2 y2 Seja Ψ ID2 S2 u v Ψu v u 1 u2 v2 v Sejam U φ1S1 S2 e V Ψ1S1 S2 Explicitar a lei de correspondência da mudança de coordenadas F Ψ o φ1 U V Calcular o Jacobiano de F em um ponto escolhido de U 3 Exibir uma parametrização φ U IR2 IR3 da superfície S x y z IR3 x2 y2 z2 Determinar se a curva C S parametrizada por γt φt t é uma geodésica 4 Seja S IR3 a superfície de revolução gerada pela rotação ao redor do eixo Z da curva plana C parametrizada pelo comprimento de arco por c I IR IR3 t ct ft 0 ht Demonstrar que a curvatura Gaussiana é dada por K ftft Escolha um valor constante K 1 para usar esta fórmula e encontrar uma superfície de curvatura Gaussiana constante K