Geometria Espacial - Volume da Esfera

Trabalho de pesquisa e apresentação 100 pontos Fazer comentário para a turma É composto de duas etapas 1 um trabalho escrito de preferência no formato word apenas o plano da apresentação e 2 uma apresentação que pode ser um PowerPoint um arquivo do GeoGebra um sólido feito com materiais concretos ou outro produto que auxilie na apresentação No mais podem entrar em contato comigo no classroom ou por email Abraços e bom trabalho Rubrica critérios 5 pontos 100 Anexos Seus trabalhos 2 Sem data de entrega Adicionar trabalho Cálculo do Volume de uma Esfera no GeoGebra 3D Exemplo com raio 3 Objetivo Calcular o volume Determinar o volume de uma esfera com raio r 3 Visualizar em 3D Criar uma animação do preenchimento da esfera no GeoGebra 3D Confirmar resultados Verificar se o cálculo manual coincide com o cálculo dinâmico Fórmula do Volume da Esfera Onde V é o volume r é o raio π 314159 Cálculo Passo a Passo r 3 Substituir o valor do raio Calcular a potência Simplificar a fração Resultado aproximado Volume da Esfera 36π Aproximadamente 113097 unidades cúbicas Implementação no GeoGebra Criar a esfera Utilizei o comando Esfera000 r para criar uma esfera centrada na origem Definir o raio Criar o segmento do raio e exibir seu valor r 3 Adicionar controle deslizante Criar controle deslizante t para simular o preenchimento gradual Criar esfera interna Adicionar Esfera000 t para visualizar o preenchimento Detalhes da Implementação Elementos Dinâmicos Texto dinâmico Animação do controle deslizante t Visualização do preenchimento gradual Visualização no GeoGebra 3D Esfera externa fixa com r 3 Esfera interna crescendo gradualmente com o parâmetro t Rótulo dinâmico mostrando o volume Vt em tempo real Visualização tridimensional interativa Resultado Conclusão Cálculo Manual O cálculo teórico resultou em V 36π 113097 unidades cúbicas Confirmação Visual O GeoGebra confirmou o valor calculado e permitiu visualizar todo o processo Integração A combinação de teoria matemática e ferramentas digitais facilita a compreensão do conceito Esfera 3D no GeoGebra Raio Volume e Animação de Preenchimento Relatório de Atividade August 15 2025 1 Objetivo Neste trabalho construí uma esfera no GeoGebra 3D exibi o seu raio e criei uma animação que simula o preenchimento do volume Em seguida apresento o cálculo detalhado do volume de uma esfera de raio r 0 a relação com a área da superfície e como esses resultados se conectam à animação 2 Modelo geométrico A esfera de raio r centrada na origem é descrita por x2 y2 z2 r2 O raio é o segmento que liga o centro O 000 a um ponto da superfície por exemplo B r00 seu comprimento é OB r 3 Volume por seções circulares método dos discos Para cada altura fixa z rr a interseção com o plano z const é um círculo de raio ρz r2 z2 Logo a área da seção é Az πρz2 πr2 z2 O volume total é a soma integral das áreas das seções Vr rr Az dz rr πr2 z2 dz Integração Vr π rr r2 z2 dz π r2 z z33rr pois r2 dz r2 z z2 dz z33 π r2 r r33 r2 r r33 π r3 r33 r3 r33 π 2r3 2r33 π 6r33 2r33 43 π r3 4 Volume por coordenadas esféricas verificação Em coordenadas esféricas ρ θ φ com 0 ρ r 0 θ π e 0 φ 2π o Jacobiano é ρ2 sin θ Assim V 02π 0π 0r ρ2 sin θ dρ dθ dφ ρ330r cos θ0π φ02π r33 2 2π 43 π r3 O resultado coincide com o método dos discos 5 Área da superfície como derivada do volume A área da superfície da esfera de raio r é Sr dVdr ddr 43 π r3 4π r2 Interpretação se o raio aumenta em dr o volume cresce aproximadamente em Sr dr 4π r2 dr 6 Conexão com a animação no GeoGebra Na animação fiz o preenchimento com uma esfera interna de raio t controlado por um slider O volume preenchido em cada instante é Vt 43 π t3 A fração preenchida em relação ao volume total da esfera de raio r é fraçãot VtVr tr3 Observação importante Se o slider t cresce linearmente no tempo o volume não cresce linearmente cresce com o cubo Para obter um preenchimento visualmente linear em volume defino um novo controle s 0 1 e imponho t r s13 Vt Vr s Assim animando s de 0 a 1 o volume cresce linearmente de 0 a Vr 7 Exemplo numérico r 3 Para o raio usado na construção V3 43 π 33 43 π 27 36π 113097 Se em certo instante da animação t 09 V09 43 π 093 43 π 0729 0972 π 3053 A fração preenchida é 0933 033 0027 ou seja cerca de 27 do volume total 8 Resumo das fórmulas Volume Vr 43 π r3 Área da superfície Sr 4π r2 Volume preenchido raio t Vt 43 π t3 Fração preenchida VtVr tr3 9 Passos que segui no GeoGebra resumo 1 Defini r 3 e criei a esfera Esfera000 r 2 Exibi o raio com o segmento OB de O 000 a B r00 3 Criei o slider t 0 r e a esfera interna Esfera000 t 4 Configurei corestransparência e iniciei a animação do slider Image of a 3D red sphere with x y z axes and grid in the background Image of a 3D red sphere with x y z axes and grid in the background