A Matemática do Ensino Médio Volume 2

A Matemática do Ensino Médio Volüme 2 Elon Lages Lima Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner Augusto César Morgado UNIFO COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA A Matemática do Ensino Médio Volume 2 Elon Lages Lima Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner Augusto Cesar Morgado COMPRA Quinta Edição Coleção do Professor de Matemática SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA UnNersidade de Fortaleza BIBLIOTECA CENTRAL Copyright 2004 2002 2000 1999 1998 by Elon Lages Lima Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Cesar Morgado Direitos reservados 1998 pela Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina 1 10 Horto 22460320 Rio de Janeiro RJ Impresso no Brasil Printed in Brazil Coleção do Professor de Matemática Capa Ródolfo Capeta Distribuição e vendas Sociedade Brasileira de Matemática email vendalivrossbmorgbr Tel 21 25295073 vwwsbmorgbr ISBN 85858181 15 4 L1NWGZ I1Q05 CE fUK 1 ALEZA L ri Brzu Data Prefácio O programa de Matemática da segunda série do Ensino Médio tem dois temas centrais o estudo de Matemática Discreta e a introdução à Geometria Espacial É comum e natural que o aluno sinta dificuldades iniciais em ambos os temas Alguns tópicos de Matemática Discreta Análise Combinatória por exemplo utilizam técnicas bei diferentes daquelas a que o aluno está acostumado Nesses tópicos o aluno precisa colocar em jogo seu raciocínio crítico e criativo com muito mais freqüência do que nas séries anteriores Por outro lado a Geometria Espacial envolve um esforço de imaginação bastante superior ao da Geometria Plana principalmente devido às limitações causadas pela representação bidimensional das figuras Para ajudar os alunos a superar estas dificuldades é fundamental que os professores tenham um bom domínio do material a ser coberto Não é suficiente que o professor simplesmente saiba resolver os proble mas comumente apresentados nos livrostexto Sem uma orientação ade quada correse o risco de transmitir para os alunos a idéia de que esses assuntos requerem o uso de um enorme manancial de truques reforçan do a idéia de que Matemática é um assunto difícil e exclusivo de uns pou cos Este livro escrito para professores do EnsinoMédio e estudantes de li cenciatura em Matemática visa fornecer ao professor subsídios para evi tar que isso ocorra Este volume é o segundo de uma trilogia abordando os temas mais importantes relativos a cada uma das séries do Ensino Médio e vêm se juntar aos demais livros da Coleção do Professor de Mate mática publicada pela Sociedade Brasileira de Matemática com apoio do IMPA Este livro foi usado pela primeira vez em janeiro de 1997 no segundo módulo do curso para aperfeiçoamento de professores realizado no IMPA e tendo como instrutores o Prof Elon Lages Lima e os autores Gostaríamos de registrar e agradecer a valiosa contribuição do Prof Elon no conteúdo final do material aqui apresentado através de críticas e su gestões sempre bem fundadas O livro tem duas partes bem distintas A primeira parte escrita por Augusto César Morgado é dedicada à Matemática Discreta contendo o estudo de Progressões com aplicações à Matemática Financeira Análi se Combinatória e Probabilidade Uma preocupação sempre presente é a de evitar o uso excessivo de fór mulas Na maior parte dos casos elas são desnecessárias e substituídas com vantagem pelo uso consciente das definições e dos princípios funda mentais Por exemplo os professores são aconselhados a ensinar os alu nos a fazer uso inteligente do princípio da multiplicação em Análise Combinatória ao invés de recorrer a uma profusão de fórmulas cujo uso é muitas vezes confuso para o aluno professor aqui eu uso arranjos ou combinações A segunda parte do livro escrita por Paulo Cezar Pinto Carvalho e Eduardo Wagner é dedicada à Geometria Espacial e tem duas preocupa ções fundamentais A primeira é oferecer uma boa fundamentação do as sunto para o professor discutindo diversas formas de levar esses fundamentos para os alunos A segunda é procurar oferecer em cada tó pico sugestões de atividades em sala de aula que visam a tornar o assun to mais interessante para o aluno e facilitar o desenvolvimento de sua visão e intuição espaciais Para tal sempre que possível são apresenta dos exemplos de objetos do mundo real que ilustrem conceitos importan tes O leitor poderá estranhar a não inclusão neste volume de matrizes e sistemas de equações lineares assuntos muitas vezes estudados na se gunda série do Ensino Médio Esse estudo no entanto é geralmente feito de forma puramente algébrica ignorando os aspectos geométricos fun damentais para um entendimento adequado do assunto Nesta coleção esse assunto faz parte do 30 volume juntamente com Geometria Analíti ca e é abordado de um ponto de vista bem mais geométrico do que o nor malmente encontrado nos livrostexto A publicação deste livro contou com o apoio da FAPERJ em convênio com a CAPES com o valioso apoio do IMPA e com a perícia e paciência de Wilson Góes Rio de Janeiro Janeiro de 1998 Augusto César Morgado Eduardo Wagner Paulo Cezar Pinto Carvalho Conteúdo Capítulo 1 Progressões 11 Progressões Aritméticas 1 12 Progressões Geométricas 22 13 Sobre o Ensino de Progressões 40 Capítulo 2 Matemática Financeira Capítulo 3 Recorrência 31 Sequências Definidas Recursivamente 65 32 Recorrências Lineares de Primeira Ordem 68 33 Recorrências Lineares de Segunda Ordem 74 Capítulo 4 Combinatória 41 Princípios Básicos 85 42 Permutações e Combinações 94 43 O Triângulo Aritmético 107 44 O Binômio de Newton 109 45 Sobre o Ensino de Combinatória 111 Capítulo 5 Probabilidade 51 Conceitos Básicos 113 52 Probabilidade Condicional 123 Capítulo 6 Médias e o Princípio das Gavetas 61 Médias 138 62 A Desigualdade das Médias 153 63 Desigualdade das Médias Generalizada 156 Capítulo 7 Pontos Retas e Planos 71 Do Plano para o Espaço 161 72 Noções Primitivas e Axiomas 164 73 Posições de Retas 166 74 Posição Relativa de Reta e Plano 169 75 Posição Relativa de Dois Planos 170 76 Construindo Sólidos 172 77 Descobrindo Relações de Paralelismo 177 78 Planos Paralelos e Proporcionalidade 179 79 Atividades em Sala de Aula 182 Capítulo 8 Perpendicularismo 81 Retas Perpendiculares 188 82 Retas e Planos Perpendiculares 189 83 Construções Baseadas em Perpendicularismo de Reta e Plano 193 84 Planos Perpendiculares 201 85 Atividades em Sala de Aula 202 Capítulo 9 Medindo Distâncias e Ângulos 91 Distância Entre Dois Pontos 207 92 Distância de Ponto a Plano 209 93 Distância de Ponto a Reta 211 94 Distância Entre Retas Reversas 214 95 Ângulo Entre Retas 216 96 Ângulo Entre Planos 216 97 Ângulo Entre Reta e Plano 218 98 A Esfera 220 99 Atividades em Sala de Aula 223 Capítulo 10 Poliedros 101 Introdução 231 102 As Primeiras Relações 233 103 Duas Desigualdades 234 104 Poliedros Regulares 240 105 O Caso Plano do Teorema de Euler 242 106 Uma Outra Demonstração do Teorema de Euler no Plano 245 Capítulo 11 Volumes e Áreas 111 Introdução 251 112 O Paralelepípedo Retângulo 252 113 O Princípio de Cavalieri 255 114 O Prisma 257 115 A Pirâmide 258 116 Cilindros e Cones 264 117 Atividades para Sala de Aula 267 118 A Esfera 268 119 Atividades para Sala de Aula 270 Capítulo 12 Superfícies e Sólidos de Revolução 121 Introdução 275 122 Centros de Gravidade 277 123 Um Exemplo da Física 279 124 Centro de Gravidade de uma Poligonal 280 125 Área Lateral de um Tronco de Cone 282 126 Centro de Gravidade de um Polígono 286 127 A Rotação de um Retângulo 289 128 O Volume e a Área da Esfera 294 129 A Área da Esfera 295 1210 O Volume da Esfera 296 Capítulo 1 Progressões 11 Progressões Aritméticas São comuns na vida real grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais Exemplo 1 Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em janeiro e aumenta mensalmente sua produção de 30 veículos Quantos veículos produziu em junho Solução Os valores da produção mensal a partir de janeiro são 400 430 460 490 520 550 Em junho a fábrica produziu 550 veículos Poderíamos ter evitado escrever a produção mês a mês racio cinando do modo a seguir Se a produção aumenta de 30 veículos por mês em 5 meses ela aumenta de 5 x 30 150 veículos Em junho a fábrica produziu 400 150 550 veículos Progressões aritméticas são sequências nas quais o aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo A seqüência 400 430 460 490 520 550 é um exemplo de uma progressão aritmética O aumento constante de cada termo para o seguinte é chamado de razão de progressão A razão dessa progressão é igual a 30 Portanto uma progressão aritmética é uma seqüência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e represen tada pela letra r O 2 Progressões Exemplo 2 As seqüências 5 8 11 e 7 5 3 1 são progressões aritméticas cujas razões valem respectivamente 3 e 2 E Em uma progressão aritmética ai a2 a3 para avançar um termo basta somar a razão para avançar dois termos basta somar duas vezes a razão e assim por diante Assim por exemplo ai 3 as 8r pois ao passar de as para ai 3 avançamos 8 termos a12 a7 5r pois avançamos 5 termos ao passar de a7 para au a17 13r pois retrocedemos 13 termos ao passar de ai 7 para U4 e de modo geral a ai n 1r pois ao passar de ai para avançamos n 1 termos Exemplo 3 Em uma progressão aritmética o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50 Quanto vale o oitavo termo dessa progressão Solução a20 as 15r pois ao passar do quinto termo para 4 o vigésimo avançamos 15 termos Logo 50 30 15r e r 3 4 Analogamente as as 3r 30 3 3 34 O oitavo termo vale 34 Exemplo 4 Qual é a razão da progressão aritmética que se obtém inserindo 10 termos entre os números 3 e 25 Solução Temos ai 3 e ai2 75 orno a12 ai 11r temos 25 3 11r Daí r 2 Exemplo 5 O cometa Halley visita a Terra a cada 76 anos Sua última passagem por aqui foi em 1986 Quantas vezes ele visitou a Terra desde o nascimento de Cristo Em que ano foi sua primeira passagem na era cristã Solução Os anos de passagem do cometa foram 1986 1910 1834 e formam uma progressão aritmética de razão 76 O termo de ordem n dessa progressão é ar ai n 1r isto é a 1986 76n 1 2062 76n Temos a O quando n A Matemática do Ensino Médio Volume 2 3 2062 76 27 13 Portanto os termos positivos dessa progressão são os 27 primeiros ai a2 a3 a27 Logo ele nos visitou 27 vezes na era cristã e sua primeira passagem na era cristã foi no ano a27 2062 76 x 27 10 Poderíamos também ter resolvido o problema aproveitando o fato dos termos dessa progressão serem inteiros Em uma progressão aritmética de termos inteiros e razão não nula todos os termos dão o mesmo resto quando divididos pelo módulo da razão Como 1986 dividido por 76 dá resto 10 todos os anos em que o cometa por aqui passou dão resto 10 quando divididos por 76 A primeira visita ocorreu entre os anos 1 e 76 inclusive Entre esses anos o único que dividido por 76 dá resto 10 é o ano 10 Para descobrir a ordem desse termo usamos a ai n 1r isto é 10 1986 76n 1 Daí n 2052 76 27 Muitas vezes é conveniente enumerar os termos de uma pro gressão aritmética a partir de zero conforme mostra o exemplo a seguir Exemplo 6 O preço de um carro novo é de R 15 00000 e diminui de R 100000 a cada ano de uso Qual será o preço com 4 anos de uso Solução Chamando o preço com n anos de uso de a temos ao 15 000 e queremos calcular a4 Como a desvalorização anual é constante uri é uma progressão aritmética Logo azi ao4r 15 0004 x 1 000 11000 O preço será de R 1100000 O Exemplo 7 Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente Mostre que a razão dessa pro gressão é igual ao raio do círculo inscrito Solução Chamemos os lados do triângulo de x r x x r Esse é um bom truque para facilitar as contas ao representar uma 4 Progressões progressão aritmética com um número ímpar de termos começar pelo termo central Como a progressão é crescente a hipotenusa é o último termo Pelo Teorema de Pitágoras x r2 x 12 x2 Daí x2 4rx e já que x O pois x é um dos catetos x 4r Os lados são então 3r 4r e 5r O perímetro é 2p 3r 45 5r 12r e a área é S 3r 4r 6r2 O raio do círculo inscrito é S 6v2 r E 2 p 6r Exemplo 8 Determine 4 números em progressão aritmética crescente conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36 Solução Um bom truque para representar progressões aritmé ticas com um número par de termos é chamar os dois termos cen trais de x y e xy Isso faz com que a razão seja x y x y 41 A progressão então será x 3y x y xy x 3y Temos x 4 2 x x W2 x 4 2 36 4x 8 4x2 2N2 36 x 2 1 y 1 Como a progressão é crescente y O Logo x 2 e y 1 Os números são 1 1 3 5 E Exemplo 9 Em uma progressão aritmética o termo geral é dado por um polinômio em n a ai n 1r r n ai r Se r O ou seja se a progressão não for estacionária constante esse polinômio é de grau 1 Se r O isto é se a progressão for estacionária esse polinômio é de grau menor que 1 Por esse motivo as progressões aritméticas de razão r O são chamadas de progressões aritméticas de primeira ordem A Matemática do Ensino Médio Volume 2 Reciprocamente se em uma seqüência o termo de ordem n for dado por um polinômio em n de grau menor que ou igual a 1 ela será uma progressão aritmética Com efeito se xn an b xi é a progressão aritmética na qual a r e b al r ou seja r a e ai a b E Exemplo 10 Como em uma progressão aritmética ait ao nr a função que associa a cada natural n o valor de a é simplesmente a restrição aos naturais da função afim ax a0 rx Portanto pensando em uma progressão aritmética como uma função que associa a cada número natural n o valor a o gráfico dessa função é formado por uma seqüência de pontos colineares no plano Em outras palavras a é uma progressão aritmética se e somente se os pontos do plano que têm coordenadas 1 a1 2 a2 3 a3 etc estão em linha reta Á a4 a 3 a2 a i 1 2 3 4 Figura 11 Quando o grande matemático alemão Carl F Gauss 1777 1855 tinha sete anos de idade seu professor lhe pediu que calcu lasse a soma dos inteiros de 1 até 100 O professor ficou surpreso quando depois de poucos minutos o pequeno Gauss anunciou que o valor da soma era 5050 A resposta estava correta e curioso o professor lhe perguntou como conseguira fazer o cálculo tão rapi damente Gauss explicoulhe que somara primeiramente 1 100 6 Progressões 299 3 98 Assim obtivera 50 somas iguais a 101 e a resposta era 50 x 101 5 050 Baseados nessa idéia podemos calcular a soma dos n primei ros termos de uma progressão aritmética qualquer Fórmula da soma dos 11 primeiros termos de uma progressão aritmética A soma dos a primeiros termos da progressão aritmética ai az a3 é Prova Temos S ai a2 a3 an i a e escrevendo a soma de trás para a frente S u a an2 a2 ai Daí 2S aiana2a111a3an2 ania2ana Observe que ao passar de um parênteses para o seguinte a pri meira parcela aumenta de r e a segunda parcela diminui de r o que não altera a soma Portanto todos os parênteses são iguais ao primeiro a1 an Como são n parênteses temos 2S ai an n e S a atn 2 Exemplo 11 Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética 2 6 10 Solução azo 19r 2 19 x 4 78 2 7820 S20 2 800 Exemplo 12 A soma dos n primeiros números inteiros e positivos A Matemática do Ensino Médio Volume 2 7 é Lk12 k1 nn1 2 Observe que S é um polinômio do segundo grau em n sem termo independente Exemplo 13 A soma dos n primeiros números ímpares é 1 3 5 2n 1 1 2n 1 n 112 2 Observe que Sn é um polinômio do segundo grau em n sem termo independente E Exemplo 14 A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é ai arL11 ai n 1rin T 2 2n 2 n 2 2 Observe que se r O Sn é um polinômio do segundo grau em n desprovido de termo independente Se r O é um polinômio de grau menor que 2 sem termo independente Reciprocamente todo polinômio do segundo grau em n des provido de termo independente é o valor da soma dos n primei ros termos de alguma progreessão aritmética Com efeito Pn art2bn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética na qual 2 a e ai 2 b ou seja r 2a e ai a b Definese para seqüências o operador A chamado de opera dor diferença por Aan ani Uma seqüência an é uma progressão aritmética se e somente se Acua ani an é cons tante Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma seqüên cia an na qual as diferenças Aan ani In entre cada termo e o termo anterior formam uma progressão aritmética nãoesta cionária 8 Progressões Exemplo 15 A seqüência an 1 3 6 10 15 21 é uma progressão aritmética de segunda ordem porque a seqüência das diferenças entre cada termo e o termo anterior b Aa ai an 2 34 5 6 é uma progressão aritmética não estacionária E De modo geral uma progressão aritmética de ordem k k 2 é uma seqüência na qual as diferenças entre cada termo e o termo anterior formam uma progressão aritmética de ordem k 1 Exemplo 16 A tabela abaixo mostra uma seqüência an n3 n e suas diferenças a A2an etc a Agart n a Aa A2a A3 Cln 0 O O 6 6 1 O 6 12 6 2 6 18 18 6 3 24 36 24 6 4 60 60 30 E 5 120 90 E 6 210 E 7 E Se A3a como parece for constante Man será uma pro gressão aritmética Aan será uma progressão aritmética de se gunda ordem e a será uma progressão aritmética de terceira ordem Isso é verdade pois Cln TE3 TI ani a n 13 n 1 n3 n 3n2 3n A2a 3 n 12 3 n 1 3n2 3a 6n 6 e A3a realmente é constante Observe que nesse quadro a soma de dois elementos lado a lado é igual ao elemento que está embaixo do primeiro desses A Matemática do Ensino Médio Volume 2 9 elementos Isso nos permite calcular os elementos que estão as sinalados por III Da direita para a esquerda eles são iguais a 6 30 6 36 90 36 126 e 210 126 336 Portanto a7 336 e este foi o processo mais exótico que você já viu para calcular E Exemplo 17 Toda seqüência na qual o termo de ordem n é um polinômio em n do segundo grau é uma progressão aritmética de segunda ordem e reciprocamente se an é uma progressão aritmética de segunda ordem então Ur é um polinômio do se gundo grau em n Com efeito se ar an2 bit c com a O temos aan a 1 a an 12 bn 1 c an2 bn c 2an a b que é do primeiro grau em n De acordo com o exemplo 9 A4a é uma progressão aritmética nãoestacionária Por outro lado se an é uma progressão aritmética de se gunda ordem b aa ani an é uma progressão aritmética com razão diferente de zero e b1 b2 b3 ai a3 az a4 a3 an att ari ai é um polinômio do segundo grau em n Em conseqüência an também é um polinômio do segundo grau em n E Exemplo 18 A soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros e positivos é k1 e pode ser calculada do modo a seguir Eyk1 3 rLk 3 3Lk 2 3LkLl k I k1 k I k1 k1 10 Progressões Os dois primeiros somatórios têm várias parcelas comuns pois k13 23 33 n 13 k e tt E k3 13 23 33 113 k1 Simplificando as parcelas comuns aos dois membros obtemos TI n13 13 3L1c2 3LkE 1 Como Lk 1 2 n nn 1 2 k1 e Ll 11 1n k1 temos n 13 133Lk23n1121 11 k1 Daí E k2 k1 2n3 3n2 it 6 nn 12n 1 6 Observe que 12 22 4 112 E k2 é um polinômio do terceiro ki grau em n O Exemplo 19 Sabendo que 12 22 2 k2 k1 é um polinômio do terceiro grau em n poderíamos ter determinado 22 32 o valor de p n n2 pondo p n an3 bn2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 11 cn d Temos p 1 12p2 12 22 p3 12 22 32 e p 4 12 22 32 42 Obtemos o sistema de equações abcd 1 8a4b2cd 5 27a 9b 3c d 14 64a 16b4cd 30 Resolvendo encontramos a 1 b 1 c 1 d O Então 3 2 6 3 2 6 6 Os teoremas a seguir generalizam os últimos exemplos Teorema 1 113 21 319 nP Zkl é um polinômio de k1 grau p 1 em n Prova Vamos proceder por indução sobre p Para p 1 o teorema já foi provado no exemplo 12 Suponhamos agora que ky seja um polinômio de grau p 1 k1 em rt para todo p e 12 s Mostraremos que essa afirmação é verdadeira para p s 1 isto é mostraremos que z ks1 é um k1 polinômio de grau s 2 em n Observe que k 152 kS2s2kSi onde os termos que não foram escritos explicitamente formam um polinômio de grau s em k Temos então Lk 152 L ks2 s 2 L ks1 Fn k1 k1 k1 onde Fn é um polinômio de grau s 1 em n pela hipótese da indução 12 Progressões Simplificando os termos comuns aos dois primeiros somató rios obtemos Tt TI us2 1 s 2 L ksi Fn k1 Daí k1 que é um polinômio de grau s 2 em n cqd s2 FT1 s2 Ti Corolário Se F é um polinômio de grau p então t Fk é um k1 polinômio de grau p 1 em n Exemplo 20 Vamos calcular Sn L kk 2 Pelo corolário k1 sabemos que o valor dessa soma é um polinômio do terceiro grau em n Então Sn an3 bn2 cri d Atribuindo a n os valores 1 2 3 e 4 obtemos as equações abcd3 8a 4b 2c d 11 27a 9b 3c d 26 64a 16b 4c d 50 1 3 7 Resolvendo encontramos a 3 b i c 6 d 0 Então 1 3 3 2 7 2n3 9n2 7n nn 12n 7 S Tt n 2n 6n El 6 6 Teorema 2 an é uma progressão aritmética de ordem p p se e somente se a é um polinômio de grau p em n Prova Vamos proceder por indução sobre p Para p 2o teorema foi provado no exemplo 17 Suponhamos agora que o teorema seja verdadeiro para todo p c 2 3 s Mostraremos que essa afirmação é verdadeira A Matemática do Ensino Médio Volume 2 13 para p s 1 Se a é uma progressão aritmética de ordem s 1 b aa ani a é uma progressão aritmética de ordem s e pela hipótese da indução b é um polinômio de grau s em n Então bk ani ai é pelo corolário do teorema 1 um k1 polinômio de grau s 1 em n Daí ani e em conseqüência a são polinômios de grau s 1 em n Se a é um polinômio de grau s 1 em n Aa é um polinômio de grau s em n conforme você facilmente verificará Pela hipótese da indução aa é uma progressão aritmética de ordem s ou seja a é uma progressão aritmética de ordem s 1 E O exemplo a seguir é conhecido como teorema fundamental da somação e fornece uma técnica bastante eficiente para o cálculo de somas Exemplo 21 Mostre que L Aak ani ai k1 Solução L Aak aa2 aa3 a acua az a3a2a4a3 anan1ani a ani ai EJ Exemplo 22 Calcule f kk 1 k1 Solução Determinaremos ak tal que Aak kk 1 k2 k isto é determinaremos ak A1 k2 k Como aak é uma progressão aritmética de segunda ordem ak é uma progressão aritmética de terceira ordem Logo ah é um polinômio do terceiro grau Se ak ak3 bk2 ck d Aak aki ak ak13 bk12 ck1dak3 bk2 ckd 3ak2 3a 2bk a b c k2 k 14 Progressões Devemos ter c 31 e d é Yt kk 1 k1 1 3a 1 3a 2b 1 a b c O Daí a b O arbitrário Logo ak 1 k3 1 k d 3 3 chi al kr1 n13 n1 d d nn1n2 3 3 LI Exercícios Proceda como se não soubesse que há sugestões no final dos enun ciados e respostas no fim do livro 1 Formamse n triângulos com palitos conforme a figura A A7 n1 n2 Figura 12 Qual o número de palitos usados para construir n triângulos 2 Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em pro gressão aritmética Determine o ângulo mediano n3 3 Se 3 x x V9 x é uma progressão aritmética deter mine x e calcule o quinto termo 4 Calcule a soma dos termos da progressão aritmética 2 5 8 11 desde o 259 até o 419 termo inclusive 5 Calcule a soma de todos os inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos entre 200 e 400 6 Quantos são os inteiros compreendidos entre 100 e 500 que não são divisíveis nem por 2 nem por 3 e nem por 5 Quanto vale a soma desses inteiros A Matemática do Ensino Médio Volume 2 15 7 Quanto vale o produto aaqaq2aq3 aqn1 8 Determine o maior valor que pode ter a razão de uma pro gressão aritmética que admita os números 32 227 e 942 como termos da progressão 9 De quantos modos o número 100 pode ser representado como uma soma de dois ou mais inteiros consecutivos E como soma de dois ou mais naturais consecutivos 10 Um quadrado mágico de ordem n é uma matriz n x n cu jos elementos são os inteiros 1 2 n2 sem repetir nenhum tal que todas as linhas e todas as colunas têm a mesma soma O va lor dessa soma é chamado de constante mágica Por exemplo os quadrados 17 24 1 8 15 1 5 9 8 1 6 23 5 7 14 16 8 3 4 3 5 7 e 4 6 13 20 22 6 7 2 4 9 2 10 12 19 21 3 dl 18 25 2 91 são mágicos com constantes mágicas respectivamente iguais a 15 15 e 65 Aliás os dois últimos são hipermágicos pois as linhas colunas e também as diagonais têm a mesma soma Calcule a constante mágica de um quadrado mágico de ordem n 11 Os inteiros de 1 a 1000 são escritos ordenadamente em torno de um círculo Partindo de 1 riscamos os números de 15 em 15 isto é riscamos 1 16 31 O processo continua até se atingir um número já previamente riscado Quantos números sobram sem riscos 12 Podem os números 4 Vi3 e ig pertencer a uma mesma progressão aritmética 13 Suprimindo um dos elementos do conjunto 1 2 n a média aritmética dos elementos restantes é 161 Determine o valor de n e qual foi o elemento suprimido 16 Progressões 14 Um bem cujo valor hoje é de R 800000 desvalorizase de tal forma que seu valor daqui a 4 anos será de R 200000 Supondo constante a desvalorização anual qual será o valor do bem daqui a 3 anos 15 Um bem cujo valor hoje é de R 800000 desvalorizase de tal forma que seu valor daqui a 4 anos será de R 200000 Supondo que o valor do bem cai segundo uma linha reta determine o valor do bem daqui a 3 anos 16 Calcule a soma de todas as frações irredutíveis da forma 72 que pertençam ao intervalo 47 17 Qual a maior potência de 7 que divide 1000 18 Em quantos zeros termina o número resultante do cálculo de 1000 19 Calcule o valor das somas dos n primeiros termos das se quências a b 1 4 3 7 5 1 O 7 13 20 Repreentando por Lx a parte inteira do real x isto é o maior número inteiro que é menor que ou igual a x e por x o inteiro mais próximo do real x determine a b c d HTj 14 7n2 1 L372 LA H3AL3 1 1 1 1 11 V2 13 V 000 44 4 4 N 000 21 Prove que a soma de todos os inteiros positivos de n dígitos n 2 é igual ao número 49499955000 no qual há n3 dígitos sublinhados que são iguais a 9 e n 2 dígitos sublinhados que são iguais a 0 22 Determine o primeiro termo e a razão da progressão aritmé tica na qual a soma dos n primeiros termos é para todo n a A Matemática do Ensino Médio Volume 2 17 Sn 2n2 n b n 1 23 Determine no quadro abaixo 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 a o primeiro elemento da 3P linha b a soma dos elementos da 3P linha 24 Considere um jogo entre duas pessoas com as seguintes regras i Na primeira jogada o primeiro jogador escolhe um número no conjunto A 1 2 3 4 5 6 7 e diz esse número ii As pessoas jogam alternadamente iii Cada pessoa ao jogar escolhe um elemento de A somao ao número dito pela pessoa anterior e diz a soma iv Ganha quem disser 63 Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora e qual é essa estratégia 25 Refaça o exercício anterior para o caso do vencedor ser quem disser 64 26 Refaça o exercício 24 para o conjunto 3 45 6 27 Mostre que no exercício 24 se o conjunto fosse A 3 5 6 7 o segundo jogador tem uma estratégia que impede o primeiro jogador de ganhar 28 Na primeira fase do campeonato brasileiro de futebol que é disputado por 24 clubes quaisquer dois times jogam entre si uma única vez Quantos jogos há 29 Uma bobina de papel tem raio interno 5cm raio externo 10cm e a espessura do papel é 001cm Qual é o comprimento da 18 Progressões bobina desenrolada 30 Dividemse os números naturais em blocos do modo se guinte 1 23 456 7 8 91011121315 Em seguida suprimemse os blocos que contêm um número par de elementos formandose o quadro 1 4 5 6 11 12 13 14 15 Determine a o primeiro elemento da linha k b o elemento central da linha k c a soma dos elementos da linha k d a soma dos elementos das k primeiras linhas 31 Qual é o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano 32 Prove se an é um polinômio de grau p então aan é um polinômio de grau p 1 33 Prove o corolário do teorema 1 34 Quantos são os termos comuns às progressões aritméticas 25811 332 e 7 12 1722 157 35 Há dois tipos de anos bissextos os que são múltiplos de 4 mas não de 100 e os que são múltiplos de 400 a Quantos são os anos bissextos entre 1997 e 2401 b Se 12 de janeiro de 1997 foi quartafeira que dia será 12 de janeiro de 2500 c Qual o primeiro ano a partir de 1997 no qual o 12 de janeiro será também quartafeira d Escolhido um ano ao acaso qual a probabilidade dele ser bis sexto A Matemática do Ensino Médio Volume 2 19 36 Benjamim começou a colecionar calendários em 1979 Hoje sua coleção já tem algumas duplicatas por exemplo o calendário de 1985 é igual ao de 1991 mas ainda não está completa a Em que ano Benjamim completará sua coleção b Quando a coleção estiver completa quantos calendários dife rentes nela haverá 37 A razão entre as somas dos n primeiros termos de duas 2n 3 progressões aritméticas é 4n 1 para todo valor de n Quanto vale a razão entre seus termos de ordem n 38 O número triangular Tit é definido como a soma dos n pri meiros termos da progressão aritmética 1 2 3 4 O número quadrangular Q é definido como a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética 135 7 Analogamente são defini dos números pentagonais hexagonais etc A figura abaixo justi fica essa denominação Determine o número jgonal de ordem n Figura 13 39 Mostre que se Aak Abk então ak bk é constante 40 Se a 1 determine Aak 41 Se a 1 determine A1 Clk 42 Use o teorema fundamental da somação para calcular a k1 20 Progressões b E kk k 1 n 1 c E kk I Sugestões aos Exercícios 1 O aumento de um triângulo causa o aumento de 2 palitos O número de palitos constitui uma progressão aritmética de razão 2 2 A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo é 5400 3 x 3 x V9 x x 4 Do inteiro a inclusive ao inteiro b inclusive há b a 1 inteiros 6a Faça um diagrama para os conjuntos X x e Z 100 500 A x E X xé divisível por 2 B x E X xé divisível por 3 e C x E Xxé divisível por 5 Queremos determinar o número de elementos do complementar de AUBUC em relação ao universo X 8 Se para passar do 32 para o 227 e para o 942 avançamos respectivamente p e q termos temos 227 32 pr e 942 32 qr Daí 1 1 95 Como q 90 p e q são inteiros positivos é fácil descobrir todos os valores possíveis para p e 195 q basta descobrir todas as frações que são iguais a 910 9 Se 100 a 1 a 2 a eom 1 100 2a 1rt 2 Daí se conclui que 2a ii 1n 200 e tanto ii quanto 2a n 1 devem ser divisores de 200 Para evitar muitas contas note também que sempre um dos números n e 2a n 1 é ímpar 10 Calcule a soma de todos os elementos da matriz 11 Uma solução muito bonita pode ser obtida pensando nos pontos riscados como vértices de um polígono Uma solução normal pode ser obtida obser vando que o último número riscado na primeira volta é 991 o primeiro riscado na segunda volta é 6 etc 12 Proceda como no problema 8 1 2 fl 1 I 6 1 2 3 13 1 n1 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 21 15 Esse problema é igual ao anterior 16 Faça a soma de todas as frações e subtraia a soma das redutíveis que são as que têm numeradores múltiplos de 2 ou 3 Um diagrama de conjuntos ajuda 17 Você pode substituir 1000 1 x 2 x 3 x4 x5 x x 1000 por 7x14x21x x99471421x2x3x x142 18 Você deve determinar a maior potência de 10 que divide 1000 Para isso basta determinar a maior potência de 5 que divide 1000 19a Parta de k 14 k4 f 4k3 6k2 4k 1 e proceda como no exemplo 18 19b T 2k 13k 1 6k2 k 1 kr1 k1 20 Lx k k0 se e somente se kx k 1 krxd k k0 se e somente se 1 2x k2 2k 1 Há portanto 2k 1 inteiros positivos x para n1 os quais Vxj k A soma pedida é L 2k 1k k1 20c se x é inteiro positivo 1 x k k0 se e somente se K V x 2 1 1 1 u k ou seja k2 k x k2 k o ainda k2 k 1 xk 2 k 2 4 4 Há 2k inteiros positivos x tais que Vx k 21 A soma pedida é a soma de uma progressão aritmética de razão 1 com primeiro termo igual a 10 1 e último termo igual a 10n 1 23 O primeiro elemento da 31 linha é precedido por 1 2 30 termos 24 Para ter certeza de alcançar 63 você deve antes alcançar 55 27 Em algum momento o segundo jogador receberá uma soma maior que ou igual a 49 28 O Botafogo joga 23 partidas o primeiro dos times restantes joga 22 partidas que ainda não foram contadas etc 29 Considere a bobina formada por círculos cujos raios formam uma pro gressão aritmética cuja razão é a espessura do papel 30a Tratase de uma progressão aritmética de segunda ordem 22 Progressões 30b Tratase de uma progressão aritmética de segunda ordem 30c Tratase de uma progressão aritmética de terceira ordem 30d Tratase de uma progressão aritmética de quarta ordem 31 Tratase de uma progressão aritmética de segunda ordem 32 Basta mostrar que a n e ai 1 são polinômios de grau p cujos termos de maior grau são idênticos e cujos termos de grau p 1 são diferentes 33 Se Fk apkP a pik131 aik ao então L vk k1 ap kP ap L kP ai k ao k1 k1 k1 k1 34 Os termos da primeira progressão são da forma 2 3t 0 1C110 e os da segunda são da forma 75s 0s30 Devemos ter 2 3t 75s Daí 3f 51 s e t deve ser múltiplo de 5 Se t 5k s 3k1 As limitações 0Ct 110 e 0Cs 30 dão origem a uma limitação para k 35b Um ano nãobissexto tem 52 semanas e 1 dia um ano bissexto tem 52 semanas e 2 dias Logo o ano x 1 começa um dia da semana adiantado em relação ao ano x se x não é bissexto e dois dias adiantado se x é bissexto 35d Os anos se repetem em ciclos de 400 anos 36 Procure primeiramente entender porque os calendários de 1985 e 1991 são iguais Em segundo lugar note que como há mais anos nãobissextos do que bissextos provavelmente a coleção ficará completa quando Benjamim tiver todos os calendários de anos bissextos 37 Mostre que a razão dada é igual à razão entre os termos de ordem 2 41 Use o exercício 40 42a Use o exercício 41 42b Ak k k 1 1 42c A k kk 1 n 1 12 Progressões Geométricas Um problema interessante que costuma deixar os alunos intriga dos e os professores desconfiados é o problema a seguir adaptado A Matemática do Ensino Médio Volume 2 23 de um problema do exame nacional da MAA Mathematical Asso ciation of America Exemplo 1 Uma pessoa começando com R 6400 faz seis apos tas consecutivas em cada uma das quais arrisca perder ou ganhar a metade do que possui na ocasião Se ela ganha três e perde três dessas apostas podese afirmar que ela A ganha dinheiro B não ganha nem perde dinheiro C perde R 2700 D perde R 3700 E ganha ou perde dinheiro dependendo da ordem em que ocor reram suas vitórias e derrotas Comentário Em geral os alunos escolhem uma ordem para ver o que acontece aliás essa é até uma boa estratégia Por exemplo se ela vence as três primeiras apostas e perde as últimas três o seu capital evolui de acordo com o esquema 64 96 144 216 108 54 27 Se ela começou com R 6400 e terminou com R 2700 ela perdeu R 3700 Já houve um progresso Sabemos agora que a resposta só poderá ser C ou E Em seguida oa alunos costumam experimentar uma outra or dem por exemplo ganhando e perdendo alternadamente Obtêm se 64 96 48 72 36 4 54 27 Nessa ordem a pessoa também perdeu R 3700 Em seguida experimentam outra ordem torcendo para que a pessoa não termine com R 2700 o que permitiria concluir que a resposta é E Infelizmente encontram que a pessoa nova mente termina com R 2700 e permanecem na dúvida Alguns se dispõem a tentar todas as ordens possíveis mas logo desistem ao perceber que há 20 ordens possíveis Solução A melhor maneira de abordar problemas nos quais há uma grandeza variável da qual é conhecida a taxa porcentagem de variação é concentrar a atenção não na taxa de variação da 24 Progressões grandeza e sim no valor da grandeza depois da variação Neste problema devemos pensar assim Cada vez que ganha 1 o capital aumenta de 2 ou seja 50 e passa a valer 1 1 3 2 2 do que valia cada vez que perde o capital diminui de 1 ou seja 2 1 1 50 e passa a valer 1 2 do que valia Pensando assim fica claro que se a pessoa vence as três pri meiras apostas e perde as três últimas a evolução de seu capital se dá de acordo com o esquema 3 3 3 64 64 2 64 2 2 64 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1 64 2 2 2 2 3 3 3 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ela termina com 64 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 27 reais Além disso fica claro também que se as vitórias e derrotas tivessem ocorrido em outra ordem isso apenas mudaria a ordem dos fatores sem alterar o produto e a pessoa também terminaria com R 2700 Se ela começou com R 6400 e terminou com R 2700 ela perdeu R 3700 A resposta é C LII Exemplo 2 Aumentando de 20 o raio da base de um cilindro e diminuindo de 30 sua altura de quanto variará seu volume Solução O volume é diretamente proporcional ao quadrado do raio e à altura Portanto V kr2h onde k é a constante de pro porcionalidade Sabemos que k n mas isso é irrelevante para o problema Depois da variação os novos valores de r e de h serão r 12v e h 0 7h pois o que aumenta de 20 passa a valer 120 1 2 do que valia e o que diminui de 30 passa a valer 70 07 do que valia O novo volume será k12r2 07h1008kr2 h 1008V A Matemática do Ensino Médio Volume 2 25 O volume aumenta de 08 Exemplo 3 A população de um país é hoje igual a Po e cresce 2 ao ano Qual será a população desse país daqui a n anos Solução Se a população cresce 2 ao ano em cada ano a popula ção é de 102 da população do ano anterior Portanto a cada ano que passa a população sofre uma multiplicação por 102 1 02 Depois de n anos a população será Po 1 02 Exemplo 4 A torcida de certo clube é hoje igual a Po e decresce 5 ao ano Qual será a torcida desse clube daqui a n anos Solução Se a torcida decresce 5 ao ano em cada ano a torcida é 95 da torcida do ano anterior Portanto a cada ano que passa a torcida sofre uma multiplicação por 95 095 Depois de n anos a torcida será Po 0 95 E O que deve ter ficado claro nesses exemplos é que se uma grandeza tem taxa de crescimento igual a i cada valor da grandeza é igual a 1 i vezes o valor anterior Progressões geométricas são seqüências nas quais a taxa de crescimento i de cada termo para o seguinte é sempre a mesma Exemplo 5 A seqüência 1 2 4 8 16 32 é um exemplo de uma progressão geométrica Aqui a taxa de crescimento de cada termo para o seguinte é de 100 o que faz com que cada termo seja igual a 200 do termo anterior E Exemplo 6 A seqüência 1000 800 640 512 é um exemplo de uma progressão geométrica Aqui cada termo é 80 do termo anterior A taxa de crescimento de cada termo para o seguinte é de 20 E É claro então que numa progressão geométrica cada termo é igual ao anterior multiplicado por 1 i onde i é a taxa de cres cimento dos termos Chamamos 1 i de razão da progressão e representamos a razão por q Portanto uma progressão geométrica é uma seqüência na qual é constante o quociente da divisão de cada termo pelo termo ante 26 Progressões rim Esse quociente constante é chamado de razão da progressão e é representado pela letra q A razão q de uma progressão geomé trica é simplesmente o valor de 1i onde i é a taxa de crescimento constante de cada termo para o seguinte Exemplo 7 As sequências 2 6 18 54 e 128 32 8 2 são progressões geométricas cujas razões valem respectivamente qi 3 e q2 1 4 Suas taxas de crescimento são respectivamente ii 2 200 e i2 75 pois q 1i E Em uma progressão geométrica ai a2 a3 para avançar um termo basta multiplicar pela razão para avançar dois termos basta multiplicar duas vezes pela razão e assim por diante Por exemplo 013 a5q8 pois avançamos 8 termos ao passar de a5 para ai 3 a12 a7q 5 pois avançamos 5 termos ao passar de 117 a7 para a12 a4 13 pois ao passar de ai 7para a4 retrocedemos 13 termos de modo geral an ai qn1 pois ao passar de ai para avançamos n 1 termos Em muitos casos é mais natural numerar os termos a partir de zero como foi feito nos exemplos 3 e 4 nesse caso an aoqn pois avançamos n termos ao passar de ao para ay Exemplo 8 Em uma progressão geométrica o quinto termo vale 5 e o oitavo termo vale 135 Quanto vale o sétimo termo dessa progressão Solução as a5q3 pois ao passar do quinto termo para o oitavo avançamos 3 termos Logo 135 5q3 e q 3 Analoga mente a7 a5q2 5 32 45 O sétimo termo vale 45 Exemplo 9 Como em uma progressão geométrica an aoqn a função que associa a cada natural n o valor de an é simplesmente a restrição aos naturais da função exponencial ax a0 g Por tanto pensando em uma progressão geométrica como uma função que associa a cada número natural n o valor ar o gráfico dessa A Matemática do Ensino Médio Volume 2 27 função é formado por uma seqüência de pontos pertencentes ao gráfico de uma função exponencial Figura 14 Exemplo 10 Qual é a razão da progressão geométrica que se obtém inserindo 3 termos entre os números 30 e 480 Solução Temos al 30 e as 480 Como as al q4 480 30q4 q4 16 e q 3 Um resultado importante é a fórmula que relaciona taxas de crescimento referidas a períodos de tempo diversos Fórmula das taxas equivalentes Se I é a taxa de crescimento de uma grandeza relativamente ao período de tempo T eié a taxa de crescimento relativamente ao período t e se T rtt então 1 I 1 i Prova Seja Go o valor inicial da grandeza Após um período de tempo T o valor da grandeza será G01 I1 Como um período de tempo T equivale a n períodos de tempo iguais a t o valor da grandeza será também igual a G 01 in Logo G01 Go1 ir e 1 I 1 in cqd Exemplo 11 Se a população de um país cresce 2 ao ano quanto crescerá em 25 anos 28 Progressões Solução Temos i 2 O 02 e n 25 Daí 1 I 1 in 1 00225 16406 e I cid 06406 6406 Crescerá aproximadamente 6406 E Exemplo 12 Uma bomba de vácuo retira em cada sucção 2 do gás existente em certo recipiente Depois de 50 sucções quanto restará do gás inicialmente existente Solução Temos 2 002 e n 50 Daí 1 I 1i 1 002 03642 e I O 6358 6358 A quantidade de gás diminuirá de aproximadamente 6358 Restarão aproxima damente 3642 do gás inicialmente existente Outro resultado importante é a Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica uri 1 qn de razão q 1 é Sn ai 1 q Prova S ai az a3 H ani an Multiplicando por q obtemos qSr a2 a3 a4 an Subtraindo Sn qS ai isto é S1 q ai ai qn e finalmente S ai 1 1 q Exemplo 13 Diz a lenda que o inventor do xadrez pediu como re compensa 1 grão de trigo pela primeira casa 2 grãos pela segunda 4 pela terceira e assim por diante sempre dobrando a quantidade a cada nova casa Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas o número de grãos pedido pelo inventor do jogo é a soma dos 64 pri meiros termos da progressão geométrica 1 2 4 O valor dessa soma é 1 1264 2641 Sn 1 2 1 q A Matemática do Ensino Médio Volume 2 29 Calculando obtemos um estupendo número de vinte dígitos 18 446 744 073 709 551 615 Nas progressões geométricas em que iq 1 a soma dos n primeiros termos tem um limite finito quando n Do Como nesse caso um qfl 0 temos isto é um Sa 1 TI 00 1 q 1 0 ai um Sn 1q Exemplo 14 O limite da soma 03 003 0003 quando 1 o número de parcelas tende a infinito é igual a 0 3 1 O 1 3 O resultado é intuitivo pois somando um número muito grande de termos da progressão encontraremos aproximadamente a dízima periódica 0333333 1 E 3 Exemplo 15 Calcule o limite da soma da progressão geométrica 1 1 1 1 1 Solução um ST ci 1 2 1 i 1 q 12 O resultado admite uma interessante paráfrase Suponha que Salvador deva correr lkm Inicialmente ele corre metade dessa distância isto é 2 1 km em seguida ele corre metade da distância que falta isto é 1 km depois metade da distância restante isto 4 1 e km e assim por diante 8 Depois de n dessas etapas Salvador terá corrido 1 1 1 1 2 4 8 km 30 Progressões Se n for grande essa soma será aproximadamente igual a lkm Exemplo 16 O teorema fundamental da somação Aak k1 a n1 ai também nos permitiria determinar o valor da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica Supondo q 1 e observando que Aq k1 qk q k1 q k1q 1 temos fl li TL k1 ai L Ag k1 ai a2 a3 an ak L ai 1 k1 k1 k1 Cli n11 a1 1 qn Encerramos esta seção com a chamada fórmula de somação por partes Temos Aakbk akibki akbk akibki bk bkak1 Clk aklAbk bkaak Daí resulta akFiAbk Aakbk bkAak Somando obtemos a fórmula de somação por partes L ak laWk k1 a1 b1 bkadak k1 Exemplo 17 Calcule L k3k k1 Solução 33k 3 k1 3 k 3 k3 1 2 3k Logo 3k 1 A31c 1 n e L k3k k1 kA3k Aplicando a fórmula de somação por partes TL TL L ak iAbk anihr1 a1 b1 bkaak k1 k1 com aki k logo ak 1 e Aok ak1 ak 1 e bk 3k A Matemática do Ensino Médio Volume 2 31 temos k3k 2 L kA3k 1 n 3111 O 3k 11 2 k1 k1 k1 Mas 3n 3ni 3 L3k3 13 2 2 k1 Daí resulta L k3k 113n 1 3711 3 2n 1 3n1 4 4 4 2 k1 Exercícios 1 Aumentos sucessivos de 10 e 20 equivalem a um aumento único de quanto 2 Descontos sucessivos de 10 e 20 equivalem a um desconto único de quanto 3 Um aumento de 10 seguido de um desconto de 20 equivale a um desconto único de quanto 4 Aumentando sua velocidade em 60 de quanto você diminui o tempo de viagem 5 Um decrescimento mensal de 5 gera um decrescimento anual de quanto 6 O período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à raiz quadrada do seu comprimento De quanto devemos aumen tar o comprimento para aumentar de 20 o período 7 Mantida constante a temperatura a pressão de um gás per feito é inversamente proporcional a seu volume De quanto au menta a pressão quando reduzimos de 20 o volume 8 Se a base de um retângulo aurnenta de 10 e a altura diminui de 10 de quanto aumenta a área 32 Progressões 9 Um carro novo custa R 18 00000 e com 4 anos de uso vale R 120000 Supondo que o valor decresça a urna taxa anual constante determine o valor do carro com 1 ano de uso 10 Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão geométrica crescente Determine a razão dessa progressão 11 Os lados de um triângulo estão em progressão geométrica Entre que valores pode variar a razão 12 Qual o quarto termo da progressão geométrica r2 13 Determine três números em progressão geométrica conhe cendo sua soma 19 e a soma de seus quadrados 133 14 A soma de três números em progressão geométrica é 19 Subtaindose 1 ao primeiro eles passam a formar uma progressão aritmética Calculeos 15 Quatro números são tais que os três primeiros formam uma progressão aritmética de razão 6 os três últimos uma progressão geométrica e o primeiro número é igual ao quarto Determineos 16 Número perfeito é aquele que é igual à metade da soma dos seus divisores positivos Por exemplo 6 é perfeito pois a soma dos seus divisores é 1236 12 Prove que se 2P1 é um número primo então 2P1 1 é um número perfeito 17 Calcule o valor da soma de n parcelas 1 11 111 1 18 Mostre que o número 444 488 89 formado por n dígitos iguais a 4 n 1 dígitos iguais a 8 e um dígito igual a 9 é um quadrado perfeito Determine sua raiz quadrada 19 A espessura de uma folha de estanho é 01mm Formase uma pilha de folhas colocandose uma folha na primeira vez e em cada uma das vezes seguintes tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente Depois de 33 dessas operações a altura da pilha será aproximadamente A Matemática do Ensino Médio Volume 2 33 a a altura de um poste de luz b a altura de um prédio de 40 andares e o comprimento da praia de Copacabana d a distância RioSão Paulo e o comprimento do equador terrestre 20 Um garrafão contém p litros de vinho Retirae um litro de vinho do garrafão e acrescentase um litro de água obtendose uma mistura homogênea retirase a seguir um litro da mistura e acrescentase um litro de água e assim por diante Qual a quan tidade de vinho que restará no garrafão após n dessas operações 21 Calcule a soma dos divisores de 12600 que sejam a positivos b ímpares e positivos 22 Determine as geratrizes das dízimas periódicas a O 141 414 141 b 0 345 454 545 c 0 999 999 999 d 1 711 111 111 23 Determine os limites das somas abaixo 2 2 a 1 2 1 2 1 2 h 1 3 5 7 9 c d 1 2x 3x2 4x3 1 x 1 1 1 1 1 e 2 4 8 16 24 Largase uma bola de uma altura de 5m Após cada choque com o solo ela recupera apenas 49 da altura anterior Determine a a distância total percorrida pela bola b o tempo gasto pela bola até parar 25 Na figura abaixo temos uma linha poligonal de lados ora perpendiculares a AB ora perpendiculares a AC Sendo a e b 34 Progressões respectivamente os dois primeiros lados da poligonal pedese de terminar a o comprimento da mesma b o comprimento do nésimo lado da poligonal Figura 15 26 Na figura abaixo temos uma espiral formada por semicír culos cujos centros pertencem ao eixo das abcissas Se o raio do primeiro semicírculo é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do raio do semicírculo anterior determine a o comprimento da espiral b a abcissa do ponto P ponto assintótico da espiral Figura 16 27 Na figura abaixo temos uma seqüência de círculos tangentes a duas retas O raio do primeiro círculo é 1 e o raio do segundo é r 1 Cada círculo tangencia externamente o círculo anterior Determine a soma dos raios dos n primeiros círculos A Matemática do Ensino Médio Volume 2 35 Figura 17 28 Uma faculdade recebe todos os anos 300 alunos novos no primeiro semestre e 200 alunos novos no segundo semestre 30 dos alunos são reprovados no primeiro período e repetem o período no semestre seguinte Sendo ai e bn respectivamente o número de alunos do primeiro período no primeiro e no segundo semestres do ano n calcule um an e um b 29 Seja Sn a soma das áreas dos n primeiros quadrados obtidos a partir de um quadrado Q1 de lado 1 pelo seguinte processo os vértices do quadrado Qni são os pontos médios dos lados de Q Determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras 1 É possível escolher S de modo que S 1 9 2 É possível escolher S de modo que S 2 3 É possível escolher S de modo que S 2 1 4 É possível escolher S de modo que S 2 5 É possível escolher S de modo que S cx 2n 1 30 Calcule 1 75 L T i 32n 31 Sendo x e y positivos calcule a xVxVxVx b xVy Vx Vy 32 Começando com um segmento de tamanho 1 dividimo lo em três partes iguais e retiramos o interior da parte central obtendo dois segmentos de comprimento 13 Repetimos agora essa operação com cada um desses segmentos e assim por diante 36 Progressões Sendo Sn a soma dos comprimentos dos intervalos que restaram depois de n dessas operações determine a O valor de S b O valor de Sn c Certo livro muito citado em aulas de análise de erros de li vros didáticos afirma que ao final o conjunto dos pontos não retirados é vazio Isso é verdade 33 Se an é uma progressão geométrica de termos positi vos prove que bit definida por 13 log a é uma progressão aritmética 34 Se an é uma progressão aritmética prove que 19 definida por bn e é uma progressão geométrica 35 O rádio226 tem meiavida período de tempo em que metade da massa inicialmente presente se desintegra de 1600 anos A taxa de variação da massa é constante Em quanto tempo a terça parte da massa inicialmente presente se desintegrará 36 Sejam a 111 1 n dígitos iguais a 1 e b 100 05 n 1 dígitos iguais a 0 Prove que ab 1 é um quadrado perfeito e determine sua raiz quadrada 37 Seja A 1 2 Determine A 2 4 38 A curva de Koch é obtida em estágios pelo processo seguinte i No estágio 0 ela é um triângulo equilátero de lado 1 ii O estágio n 1 é obtido a partir do estágio a dividindo cada lado em três partes iguais construindo externamente sobre a parte central um triângulo equilátero e suprimindo então a parte central ver figura abaixo Sendo P e A respecti vamente o perímetro e a área do nésimo estágio da curva de Koch determine a P b A c1imP d lim A A Matemática do Ensino Médio Volume 2 37 Figura 18 39 Pitágoras que estudou a geração dos sons observou que duas cordas vibrantes cujos comprimentos estivessem na razão de 1 para 2 soariam em uníssono Hoje sabemos que a razão das freqüências dos sons emitidos por essas cordas seria a razão inversa dos seus comprimentos isto é de 2 para 1 e que duas cordas vibram em uníssono se e só se a razão de seus comprimentos é uma potência inteira de 2 A freqüência da nota lápadrão o lá central do piano é 440 Hz e a freqüência do lá seguinte mais agudo é 880 Hz Hz é a abreviatura de hertz unidade de freqüência que significa ciclo por segundo A escala musical ocidental de JS Bach para cá dita cromá tica divide esse intervalo em doze semitons iguais isto é tais que a razão das freqüências de notas consecutivas é constante Sabendo que essas notas são LÁ LÁ SI DÓ DÓ RÉ RÉ MI FÁ FÁ SOL SOL LÁ determine a a freqüência desse dó primeiro dó seguinte ao lá padrão 1 Pitagoras matemático de Sarnas cerca de cinco séculos e meio antes de Cristo 38 Progressões b a freqüência do sinal de discar de um telefone que é o primeiro sol anterior ao lá padrão c a nota cuja freqüência é 186 Hz 40 A lei de Weber Ernest Heinrich Weber 17951878 fisiolo gista alemão para resposta de seres humanos a estímulos físicos declara que diferenças marcantes na resposta a um estímulo ocor rem para variações de intensidade do estímulo proporcionais ao próprio estímulo Por exemplo um homem que sai de um am biente iluminado para outro só percebe uma variação da lumi nosidade se esta for superior a 2 só distingue entre soluções salinas se a variação da salinidade for superior a 25 etc Fechner Gustav Theodor Fechner 18011887 físico e filósofo alemão propôs um método de construção de escalas baseado na lei de Weber Propôs que enquanto os estímulos variassem em progressão geométrica as medidas das respostas variassem em progressão aritmética a Mostre que numa escala de Fechner as medidas da resposta y e do estímulo x se relacionam por y ablog x b Uma das mais conhecidas escalas de Fechner é a que mede a sensação de ruído Ela é definida por L 120 10log 1 o I onde L é a medida da sensação de ruído em decibéis dB e 1 é a intensidade sonora medida em Wm2 Duas bandas de heavy metal provocam um ruído quantos decibéis acima do ruído provocado por uma banda 41 Determine o valor de 00 k 2 a 2 i b Lk2k k1 2k k1 Sugestões aos Exercícios 9 O valor em mil reais do carro com n anos de uso forma a progressão geométrica na qual ao 18 e 124 12 Determine ai 13 a aq aq2 19 e a2 1212q2 C12q4 133 Divida 14 Comece pela progressão aritmética x T X X r A progressão A Matemática do Ensino Médio Volume 2 39 geométrica será x T 1 X X T Temos x T 1 X X FT 19 e x r x r1 x 6 x 6 15 Os números são x 6 x x 6 x 6 e x 6 16 Os divisores são da forma 2 217 1 3 com OC E O 1 p 1 e 3 E O 1 Para calcular a soma dos divisores some separadamente os divisores que têm 3 O e os que têm 3 1 17 A késima parcela da soma é 1 10 102 10k1 18 O número é 98108102 8101t1410n 4102 t1 19 Cada operação dobra o número de folhas Use 210 1024 r 103 1 20 Em cada operação a quantidade de vinho diminui de 23b São duas progressões geométricas 5 23c Sendo S a soma pedida calcule 2 e subtraia 23d Sendo S a soma pedida calcule xS e subtraia 23e São três progressões geométricas 24b O tempo que uma bola gasta partindo do repouso para cair de uma altura 11 é V211g e quando uma bola é lançada do chão verticalmente para cima o tempo gasto na subida é igual ao tempo da descida 25 Os triângulos são semelhantes e a razão de semelhança de cada um para o anterior é sempre a mesma 1 1 26 A abcissa do ponto assintótico é 2 1 2 4 28 lim a n 300 O 3 200 0 32 300 O 33 200 30 Inspirese no problema 23c 1 1 1 31a A expressão é igual a x2 X4 xj 1 1 1 32c O que acontece com os pontos de abcissas p etc 35 Tomando 1600 anos como unidade de tempo a massa existente no ins tante t é Mt M00 5t 36 a11010 2 10nl eb 5 40 Progressões 37 A2 5A 4 n 38 Pn i e Ani 3 A 4 9 12 I k 41a Somação por partes com aki k2 e Abk 2 41b Somação por partes com ak i k e abk 2k 13 Sobre o Ensino de Progressões 1 Não encha a cabeça de seus alunos com casos particulares des necessários Isso só serve para obscurecer as idéias gerais e acaba dificultando as coisas Saber que numa progressão aritmética cada termo é a média aritmética entre seu antecedente e seu con seqüente não só não substitui ou pelo menos não substitui de modo eficiente o conhecimento de que uma progressão aritmética é uma seqüência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante como é uma conseqüência imediata disso Realmente se x y z estão em progressão aritmética y x z y Daí quem x z se interessar em calcular y obterá y 2 Do mesmo modo são conhecimentos desnecessários Em uma progressão aritmética com um número ímpar de ter mos o termo central é a média aritmética dos extremos Em uma progressão aritmética a soma de dois termos equi distantes dos extremos é igual à soma dos extremos Em uma progressão geométrica cada termo é a média geomé trica entre seu antecedente e seu conseqüente Seria isso verda deiro para a progressão 1 24 Em uma progressão geométrica com um número ímpar de ter mos o termo central é a média geométrica dos extremos Seria isso verdadeiro para a progressão 1 24 Em uma progressão geométrica o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos 2 Na maioria dos livros se encontram as fórmulas an al n A Matemática do Ensino Médio Volume 2 41 1i para progressões aritméticas e an a1 q para progressões geométricas Nada contra essas fórmulas já que usualmente o que se conhece de uma progressão são o primeiro termo e a razão Entretanto é bom lembrar que o conhecimento apenas des sas fórmulas costuma atrapalhar muitos alunos quando a pro gressão começa em a0 É certamente mais eficiente saber que para avançar um termo basta somar r ou multiplicar por q para avançar dois termos basta somar 2r ou multiplicar por q2 etc Assim facilmente se conclui que an ao nr e a ai n 1 r nas progressões aritméticas e que an ao qn e ar ai qn1 nas progressões geométricas 3 Em alguns livros se encontram além da fórmula an ai n 1r fórmulas como ai n 1 r r 1 11 1 Cla ai supostamente para facilitar o cálculo Depois nos r queixamos que os alunos não sabem resolver equações do primeiro grau Mais cedo ou mais tarde aparecerá um livro com uma fórmula para o cálculo do 1 1 ii 4 Alguns livros chegam ao cúmulo de trazerem duas versões ar ai da desnecessária fórmula para o cálculo de r r n 1 e r a2 ai a segunda para ser usada quando a progressão tiver n n 2 termos isto é dois termos extremos e mais n termos entre eles como no exemplo 4 5 Alguns livros trazem uma fórmula para o cálculo do pro duto dos n primeiros termos de uma progressão geométrica Pa Vai atin Em primeiro lugar essa fórmula está errada Por ela o pro duto dos três primeiros termos da progressão 1 24 seria N1 43 23 8 Em segundo lugar se corrigirmos essa fórmula obteremos 42 Progressões 132 ai ar n e nas progressões cujos termos não são todos po Sitivos teremos algum trabalho em descobrir se 13 ai ann ou se 131 ai arin Em terceiro lugar não há o menor interesse prático ou teórico em determinar o produto dos termos de uma progressão geomé trica Em quarto lugar é muito simples determinar o produto dos termos de uma progressão geométrica Com efeito isso já foi feito no exercício 7 da parte de progressões aritméticas 6 Moderação nos problemas Problemas em que são dados a soma do 249 termo com o 479 e é pedida a diferença entre o 369 e o 119 não aparecem na vida real não são interessantes e não desenvolvem o raciocínio Uma pergunta que devemos sempre nos fazer é a seguinte Se meu professor de Matemática tivesse feito estes problemas eu teria gostado de Matemática 7 Tenha sempre em mente que uma progressão geométrica é uma seqüência na qual a taxa de crescimento de cada termo para o seguinte é sempre a mesma e esse instrumento matemático foi criado para descrever grandezas que variam com taxa de cresci mento constante É absurdo mas infelizmente é comum ensinar progressões geométricas e não relacionálas à idéia de taxa de cres cimento 8 A melhor maneira de resolver problemas com progressões com um número pequeno de termos é escrevêlas e esquecer com pletamente as fórmulas para calcular termos e somas de termos conforme fizemos nos exemplos 7 e 8 de progressões aritméticas Entretanto ao contrário do que ocorria com as progressões aritméticas não há nenhuma vantagem ao escrever progressões aritméticas em começar pelo termo central Chamar três números em progressão geométrica de x x xq em vez de chamalos de x xq xq2 só serve para criar desnecessariamente denominadores e complicar as contas A Matemática do Ensino Médio Volume 2 43 9 Calculadoras são indispensáveis para a resolução de quase todos os problemas de progressões geométrica da vida real 10 Se você ensina exponenciais e logaritmos antes de pro gressões não há grandes dificuldades em falar intuitivamente de limite da soma dos termos de uma progressão geométrica pois ao fazer os gráficos das funções exponenciais e logarítmicas você já deve ter comentado quais os limites de a quando x tende para oo ou para oo Se a primeira noção de limite aparece no li mite da soma da progressão geométrica os exemplos 14 e 15 de progressões geométricas são muito bons Capítulo 2 Matemática Financeira Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemática Financeira A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo Alguém que dispõe de um capital C chamado de principal emprestao a outrem por um certo período de tempo e após esse período recebe o seu capital C de volta acrescido de uma remu neração J pelo empréstimo Essa remuneração é chamada de juro A soma C J é chamada de montante e será representada por M A razão i que é a taxa de crescimento do capital será C sempre referida ao período da operação e chamada de taxa de juros E Exemplo 1 Lúcia tomou um empréstimo de R 10000 Dois meses após pagou R 14000 Os juros pagos por Lúcia são de R 4000 e a taxa de juros é de 40 040 40 ao bimestre O 100 principal que é a dívida inicial de Lúcia é igual a R 10000 o montante que é a divida na época do pagamento é de R 14000 E Exemplo 2 Manuel tomou um empréstimo de 100 reais a ju ros de taxa 10 ao mês Após um mês a dívida de Manuel será acrescida de 010 x 100 reais 10 reais de juros pois J iC pas sando a 110 reais Se Manuel e seu credor concordarem em adiar a liqüidação da dívida por mais um mês mantida a mesma taxa de juros o empréstimo será quitado dois meses depois de con A Matemática do Ensino Médio Volume 2 45 traído por 121 reais pois os juros relativos ao segundo mês serão de O 10 x 110 reais 11 reais Esses juros assim calculados são chamados de juros compostos Mais precisamente no regime de juros compostos os juros em cada período são calculados conforme é natural sobre a dívida do início desse período As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a achar que juros de 10 ao mês dão em dois meses juros de 20 Note que juros de 10 ao mês dão em dois meses de juros de 21 Li Teorema 1 No regime de juros compostos de taxa i um principal Co transformase depois de n períodos de tempo em um montante C C1 in Prova Basta observar que os valores do capital crescem a uma taxa constante i e portanto formam uma progressão geométrica derazãoli El Exemplo 3 Pedro investe 150 reais a juros de 12 ao mês Qual será o montante de Pedro três meses depois Solução C3 Co1 i3 1501 O 123 210 74 reais E É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida Se eu consigo fazer com que meu dinheiro renda 10 ao mês ou seja se o dinheiro vale para mim 10 ao mês éme indiferente pagar agora R 10000 ou pagar R 11000 daqui a um mês É mais vantajoso pagar R 10500 daqui a um mês do que pagar R 10000 agora É mais vantajoso pagar R 10000 agora do que pagar R 12000 daqui a um mês No fundo só há um único problema de Matemática Finan ceira deslocar quantias no tempo Outro modo de ler o Teorema 1 C C01 in é que uma quantia hoje igual a Co transformarseá depois de n períodos de tempo em uma quantia igual a C01 i Isto é uma quantia cujo valor atual é A equivalerá no futuro depois de n períodos de tempo a F A1 in 46 Matemática Financeira Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais Para obter o valor futuro basta multiplicar o atual por 1 in Para obter o valor atual basta dividir o futuro por 1 ifl LII O exemplo a seguir é podese dizer um resumo de todos os problemas de Matemática Financeira Exemplo 4 Pedro tomou um empréstimo de 300 reais a juros de 15 ao mês Dois meses após Pedro pagou 150 reais e um mês após esse pagamento Pedro liqüidou seu débito Qual o valor desse último pagamento Solução Os esquemas de pagamento abaixo são equivalentes Logo 300 reais na data 0 têm o mesmo valor de 150 reais dois meses após mais um pagamento igual a P na data 3 300 150 P t t 1 2 3 Figura 21 Igualando os valores na mesma época 0 por exemplo dos paga mentos nos dois esquemas obtemos 150 300 1 0152 1 0153 Daí P 28376 O último pagamento foi de R 28376 El Exemplo 5 Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor i três prestações mensais de R 16006 cada ii sete prestações mensais de R 7000 cada Em ambos os casos a primeira prestação é paga na ato da compra Se o dinheiro vale 2 ao mês para Pedro qual a melhor opção que Pedro possui A Matemática do Ensino Médio Volume 2 47 Solução Para comparar determinaremos o valor dos dois con juntos de pagamentos na mesma época por exemplo na época 2 Os esquemas de pagamentos são 160 t 160 t 160 t 0 1 2 70 70 70 70 70 70 70 t t t t t t t 0 1 2 3 4 5 6 Figura 22 Para comparar determinaremos o valor dos dois conjuntos de pa gamentos na mesma época por exemplo na época 2 Temos a 1601 0022 1601 002 160 48966 b 701 O 022 701 002 70 70 70 70 1 O 02 1 O 022 1 O 023 70 1 002 480 77 4 Pedro deve preferir o pagamento em seis prestações É absurdo que muitas pessoas razoavelmente instruídas achem que o primeiro esquema é melhor pois o total pago é de R 48000 ao passo que no segundo esquema o total pago é de R 49000 Exemplo 6 Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário i à vista com 30 de desconto ii em duas prestações mensais iguais sem desconto vencendo a primeira um mês após a compra iii em três prestações mensais iguais sem desconto vencendo a primeira no ato da compra 48 Matemática Financeira Qual a melhor opção para Pedro se o dinheiro vale para ele 25 ao mês Solução Fixando o preço do bem em 30 temos os três esquemas abaixo 21 0 15 15 t t 1 2 10 10 10 t t t O 1 2 Figura 23 Comparando os valores por exemplo na época 0 obtemos a 21 15 15 b 1025 10252 216 10 10 c10 1025 0252 244 A melhor alternativa é a primeira e a pior é a em três prestações Exemplo 7 Uma loja oferece duas opções de pagamento i à vista com 30 de desconto ii em duas prestações mensais iguais sem desconto a primeira prestação sendo paga no ato da compra Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo Solução Fixando o valor do bem em 100 temos os esquemas de pagamento abaixo UNIVERSIDADE DE FORTALUA BIBLIOTECA CENTRAL A Matemática do Ensino Médio Volume 2 49 70 O 50 50 t t O l Figura 24 Igualando os valores por exemplo na época 0 a data usada nessas 50 comparações é chamada de data focal obtemos 70 50 1 Daí i 15 150 A loja cobra 150 ao mês nas vendas a prazo Exemplo 8 Investindo seu capital a juros mensais de 8 em quanto tempo você dobrará o seu capital inicial Solução Temos C01 O 08 2C0 Daí 1 08 2 e n log2 log 1 08 Em aproximadamente nove meses você dobrará o seu capital ini cial Um importante resultado que já foi obtido na seção 12 e será repetido é a Fórmula das taxas equivalentes Se a taxa de juros relativa mente a um determinado período de tempo é igual a i a taxa de juros relativamente a n períodos de tempo é I tal que 1 I 1ir Exemplo 9 A taxa anual de juros equivalente a 12 ao mês é I tal que 1 I 1 O 1212 Daí I 2 90 290 ao ano LI Um erro muito comum é achar que juros de 12 ao mês equi valem a juros anuais de 12 x 12 144 ao ano Taxas como 12 ao mês e 144 ao ano são chamadas de taxas proporcionais pois a razão entre elas é igual à razão dos períodos aos quais elas se referem 50 Matemática Financeira Taxas proporcionais não são equivalentes Um péssimo hábito em Matemática Financeira é o de anunciar taxas proporcio nais como se fossem equivalentes Uma frase como 244 ao ano com capitalização mensal significa que a taxa usada na operação não é a taxa de 144 anunciada e sim a taxa mensal que lhe é proporcional Portanto a tradução da expressão 144 ao ano com capi talização mensal é 12 ao mês As pessoas menos educadas matematicamente podem pensar que os juros sejam realmente de 144 ao ano mas isso não é verdade Como vimos no exemplo 9 os juros são de 290 ao ano A taxa de 144 ao ano é chamada de taxa nominal e a taxa de 290 ao ano é chamada de taxa efetiva Exemplo 11 24 ao ano com capitalização semestral signi fica 12 ao semestre 1 ao mês com capitalização trimestral significa 3 ao trimestre e 6 ao ano com capitalização mensal significa 05 ao mês Exemplo 12 Verônica investe seu dinheiro a juros de 6 ao ano com capitalização mensal Qual a taxa anual de juros à qual está investido o capital de Verônica Solução O dinheiro de Verônica está investido a juros de taxa 1 05 ao mês A taxa anual equivalente é I tal que 1 1 1 012 Daí I O 0617 617 ao ano A taxa de 6 ao ano é nominal e a taxa de 617 ao ano é efetiva E Exemplo 13 A taxa efetiva semestral correspondente a 24 ao semestre com capitalização mensal é I tal que 1 I 1 0046 Daí I 2653 ao semestre Um conjunto de quantias chamadas usualmente de paga mentos ou termos referidas a épocas diversas é chamada de série ou de anuidade apesar do nome nada a ver com ano ou ainda renda Se esses pagamentos forem iguais e igualmente espaçados no tempo a série é dita uniforme A Matemática do Ensino Médio Volume 2 51 Teorema 2 O valor de uma série uniforme de n pagamentos iguais a P um tempo antes do primeiro pagamento é sendo 1 a taxa de juros igual a A P 1 1 Prova P P P t t t 0 1 2 3 II Figura 25 t O valor da série na época O é p p p p A 1 1 1 12 1 13 1 irl que é a soma de n termos de uma progressão geométrica Temos n P 1 H l 1 1 ir A P 1 1 1 1 1 LI O corolário seguinte trata do valor de uma renda perpétua Rendas perpétuas aparecem em locações Com efeito quando se aluga um bem cedese a posse do mesmo em troca de um aluguel digamos mensal Então o conjunto dos aluguéis constitui uma renda perpétua ou perpetuidade Corolário O valor de uma perpetuidade de termos iguais a P um tempo antes do primeiro pagamento é sendoi a taxa de juros igual a Prova Basta fazer n tender para infinito no teorema Exemplo 14 Um bem cujo preço à vista é R 12000 é vendido em 8 prestações mensais iguais a primeira sendo paga um mês após a compra Se os juros são de 8 ao mês determine o valor das prestações 52 Matemática Financeira Solução Um pequeno comentário essas prestações são ditas postecipadas pois a primeira prestação só é paga um tempo depois da compra 120 o P P P t t 0 1 2 3 II Figura 26 8 Igualando os valores na época O essa é a escolha natural da data de comparação um tempo antes do primeiro termo da série obte mos 120 131 1 0088 008 P1201 008 2088 As prestações são de R 2088 E Exemplo 15 Um bem cujo preço à vista é R 12000 é vendido em 6 prestações mensais iguais antecipadas isto é a primeira é paga no ato da compra Se os juros são de 10 ao mês determine o valor das prestações 120 o P P P P P P t i t t t t 0 1 2 3 4 5 Figura 27 Igualando os valores na época 1 essa escolha que pode parecer exótica é muito conveniente pois dispomos de uma fórmula que A Matemática do Ensino Médio Volume 2 53 calcula diretamente o valor da série nessa época obtemos 120 1 O 1 P 01 P 25 05 E Exemplo 16 Se o dinheiro vale 1 ao mês por quanto deve ser alugado um imóvel que vale 40 mil reais Solução Quando você aluga um imóvel você cede a posse do imóvel em troca de uma renda perpétua cujos termos são iguais ao valor do aluguel Então o valor do imóvel deve ser igual ao valor do conjunto de aluguéis Temos de acordo com o corolário 40 P 40 x 001 O 4mil reais i 001 Exemplo 17 Helena tem duas alternativas para obter uma co piadora a Alugála por 35 ao ano Nesse caso o locador se responsabiliza pelas despesas de manutenção b Comprála por 150 Nesse caso já que a vida econômica da copiadora é de 5 anos Helena venderá a copiadora após 5 anos O valor residual da copiadora após 5 anos é de 20 As despesas de manutenção são de responsabilidade de Helena e são de 5 por ano nos dois primeiros anos e de 8 por ano nos anos seguintes Se o dinheiro vale 7 ao ano qual a melhor opção Solução Vamos tomar receitas como positivas e despesas como negativas Na segunda alternativa o fluxo de caixa de Helena será 150 5 5 8 8 82012 t t t t t t 0 1 2 3 4 5 Figura 28 11 54 Matemática Financeira Vamos determinar o fluxo uniforme equivalente P P P P P t t t t t O 1 2 3 4 5 Figura 29 Igualando os valores na época O obtemos 5 5 8 8 12 p 1 1 075 150 1 07 1072 1 073 1 074 1 075 007 Daí P 39 78 Comprar a copiadora é equivalente a ter um custo anual de 3978 Como o aluguel corresponde a um custo anual de 3500 a melhor alternativa para Helena é alugar E Quando um banco empresta dinheiro crédito pessoal ou des conto de duplicatas o tomador do einpréstimo emite uma nota promissória que é um papel no qual o tomador se compromete a pagar ao banco em uma data fixada uma certa quantia que é chamada de valor de face da promissória O banco então desconta a promissória para o cliente isto é recebe a promissória de valor de face F e entrega ao cliente uma quantia A menor que F naturalmente A diferença F A é cha mada de desconto Os bancos efetuam o desconto de acordo com a fórmula A F1 d t onde d é uma taxa fixada pelo banco e chamada de taxa de desconto bancário ou taxa de desconto simples por fora et éo prazo da operação medido na unidade de tempo a que se refere a taxa Exemplo 18 Pedro desconta uma promissória de valor 100 com vencimento em 60 dias em um banco cuja taxa de desconto é de 12 ao mês a Quanto Pedro receberá b Qual a taxa mensal de juros que Pedro está pagando Solução Ora A F1 dt 1001 012 2 76 Logo Pedro receberá agora 76 para pagar 100 em 60 dias A Matemática do Ensino Médio Volume 2 55 Se i é a taxa mensal de juros à qual cresce a dívida de Pedro temos 100 761 1j2 Daí I 01471 1471 Observe que anunciar a taxa de desconto e não a taxa de juros é um modo sutil de fazer crer aos mais ingênuos estarem eles pagando juros menores que os que realmente lhes estão sendo cobrados E Quando se paga parceladamente um débito cada pagamento efetuado tem dupla finalidade Uma parte do pagamento quita os juros e outra parte amortiza abate a dívida Exemplo 19 Pedro tomou um empréstimo de 100 a juros men sais de taxa 10 Quitouo em três meses pagando a cada mês os juros devidos e amortizando 30 da dívida no primeiro mês e 30 e 40 nos dois meses seguintes Na planilha aba Ak Pk e Dk são respectivamente a parcela de amortização a parcela de juros a prestação e o estado da dívida isto é o valor da dívida após o pagamento da prestação na época k k Pk Ak h Dk o 100 1 40 30 10 70 2 37 30 7 40 3 44 40 4 Para facilitar a compreensão olhe cada linha na ordem Ak Dk Ik e Pk E Os sistemas usuais de amortização são o sistema de amortiza ção constante SAC e o sistema francês de amortização também chamado de Tabela Price Richard Price foi um economista inglês O sistema francês é caracterizado por prestações constantes Exemplo 20 Uma dívida de 100 é paga com juros de 15 ao mês em 5 meses pelo SAC Faça a planilha de amortização Solução Como as amortizações são iguais cada amortização 1 será de 5 da dívida inicial 56 Matemática Financeira A planilha é portanto k Pk Ak 11c 13k 100 1 35 20 15 80 2 32 20 12 60 3 29 20 9 40 4 26 20 6 20 5 23 20 3 Para facilitar a compreensão olhe cada linha na ordem Jk e Pk Ak Dk Teorema 3 No SAG sendo n o número de pagamentos e i a taxa de juros temos Ak Do Dk n k Uo 113k1 Pk Ak Jk Prova Se a dívida Do é amortizada em n quotas iguais cada quota é igual a O estado da dívida após k amortizações é Dk Do k Do n n k Do As duas últimas fórmulas são óbvias El Exemplo 21 Uma dívida de 150 é paga em 4 meses pelo sistema francês com juros de 8 ao mês Faça a planilha de amortização No sistema francês as prestações são constantes Pelo teo rema 2 cada prestação vale P Do 1 1 i in 150i 0084 10 45 29 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 57 k Pk Ak Jk Dk O 15000 1 4529 3329 1200 11671 2 4529 3595 934 8076 3 4529 3883 646 4193 4 4529 4193 335 Para mais fácil compreensão olhe cada linha na ordem Pk Jk Ak e Dk E Teorema 4 No sistema francês de amortização sendo no número de pagamentos e i a taxa de juros temos Pk DO 1 1 Dk DO 1 1 T11 1 1 i ink1 Ak Pk Jk Prova A primeira fórmula é simplesmente o teorema 2 e as duas últimas fórmulas são óbvias Quanto à segunda fórmula observe que Dk é a dívida que será liqüidada postecipadamente por nk pagamentos sucessivos iguais a Pk Portanto novamente pelo teorema 2 temos Dk Pk Substituindo o valor de Pk obteremos a segunda fórmula 1 1 i nk o Exemplo 22 Em um mês cuja inflação foi de 25 Paulo Jorge investiu seu capital a juros de 30 ao mês Evidentemente isso não significa que Paulo Jorge tenha aumentado o seu poder de compra em 30 pois embora a quantidade de reais de Paulo Jorge tenha crescido 30 o valor do real sofreu uma redução Dizemos nesse caso que 30 ao mês é a taxa nominal de juros mensais de Paulo Jorge 58 Matemática Financeira Suponhamos que no início do referido mês o capital C de Paulo Jorge pudesse comprar x artigos de preço unitário igual a p No fim do mês o capital passou a ser 13C e o preço unitário passou a ser 125p Logo Paulo Jorge poderá agora comprar 13C 104x artigos 125p O poder de compra de Paulo Jorge aumentou de 4 nesse mês Essa taxa de 4 ao mês à qual cresceu o poder de compra de Paulo Jorge é chamada de taxa real de juros O Exemplo 23 Em algumas situações prazos pequenos juros de mora são usados juros simples e não juros compostos No regime de juros simples os juros em cada época são calculados sobre o principal e não sobre o montante da época anterior Por exemplo um principal iguala 100 a juros simples de 10 ao mês evolui de acordo com a tabela abaixo rt O 1 2 3 4 C 100 110 120 130 140 Não há dificuldade em calcular juros simples pois a taxa incide sempre sobre o capital inicial No nosso exemplo os juros são sempre de 10 de 100 ou seja de 10 É claro então que C ConiCo o que faz com que os valores de C formem uma progressão aritmética Olhando para os gráficos da evolução de um mesmo principal Co a juros de taxa i a juros simples e a juros compostos obser vamos que o montante a juros compostos é superior ao montante a juros simples exceto se o prazo for menor que 1 É porisso que juros simples só são utilizados em cobranças de juros em prazos inferiores ao prazo ao qual se refere a taxa de juros combinada O A Matemática do Ensino Médio Volume 2 59 montante juros compostos juros simples tempo Figura 210 Exercícios 1 Investindo R 45000 você retira após 3 meses R 60000 A que taxa mensal de juros rendeu seu investimento 2 Determine as taxas mensais equivalentes a 100 ao ano e a 39 ao trimestre 3 Determine as taxas anuais equivalentes a 6 ao mês e a 12 ao trimestre 4 Determine as taxas efetivas anuais equivalentes a a 30 ao ano com capitalização mensal b 30 ao ano com capitalização trimestral c 1 ao ano capitalizados k vezes ao ano 5 Qual o limite quando k tende para infinito da resposta ao item c do problema anterior Neste caso dizse que os juros estão sendo capitalizados continuamente e i é chamado de taxa instantânea de juros 6 Use a resposta do problema anterior para dar uma definição financeira do número e 7 Determine 60 Matemática Financeira a a taxa efetiva trimestral equivalente a 12 ao trimestre com capitalização contínua b a taxa instantânea anual equivalente à taxa efetiva anual de 60 c a taxa instantânea semestral equivalente à taxa efetiva anual de 60 8 A Mesbla em vários natais ofereceu a seus clientes duas alternativas de pagamento a pagamento de uma só vez um mês após a compra b pagamento em três prestações mensais iguais vencendo a pri meira no ato da compra Se você fosse cliente da Mesbla qual seria a sua opção 9 O Foto Studio Sonora convidou em dezembro de 1992 os seus clientes a liqüidarem suas prestações mensais vincendas oferecendolhes em troca um desconto O desconto seria dado aos que pagassem de uma só vez todas as prestações a vencer em mais de 30 dias e seria de 30 40 ou 50 conforme fossem pagas uma duas ou três prestações Supondo que o dinheiro valia 27 ao mês a oferta era vantajosa 10 Lúcia comprou um exaustor pagando R 18000 um mês após a compra e R 20000 dois meses após a compra Se os juros são de 25 sobre o saldo devedor qual é o preço à vista 11 Uma geladeira custa R 100000 à vista e pode ser paga em três prestações mensais iguais Se são cobrados juros de 6 ao mês sobre o saldo devedor determine o valor da prestação supondo que a primeira prestação é paga a no ato da compra b um mês após a compra c dois meses após a compra 12 Angela tomou um empréstimo de R 40000 por dez meses Os juros foram de 3 ao mês durante os quatro primeiros meses de 5 ao mês durante os cinco meses seguintes e de 9 ao mês no A Matemática do Ensino Médio Volume 2 61 último mês Calcule a a taxa média de juros b o montante pago 13 Leigh investiu 30 do seu capital a juros de 10 ao mês e os 70 restantes a 18 ao mês Qual a taxa média de juros obtida 14 Laura quer comprar um violão em uma loja que oferece um desconto de 30 nas compras à vista ou pagamento em três prestações mensais sem juros e sem desconto Determine a taxa mensal de juros embutida nas vendas a prazo supondo o primeiro pagamento a no ato da compra b um mês após a compra c dois meses após a compra 15 Regina tem duas opções de pagamento a à vista com x de desconto b em duas prestações mensais iguais sem juros vencendo a primeira um mês após a compra Se o dinheiro vale 5 ao mês para que valores de x ela preferirá a segunda alternativa 16 Um banco efetua descontos à taxa de 6 ao mês Qual a taxa mensal de juros cobrada pelo banco nas operações a de um mês b de dois meses c de três meses 17 Um banco efetua descontos à taxa de 6 ao mês mas exige que 20 do valor efetivamente liberado sejam aplicados no próprio banco a juros de 2 ao mês Essa é a chamada reciprocidade Qual a taxa mensal de juros paga pelos tomadores de empréstimos por dois meses 18 No cálculo de juros considerase sempre o ano comercial de 360 dias ou seja com 12 meses de 30 dias Essa é a chamada regra dos banqueiros Os juros assim calculados são chamados 62 Matemática Financeira de ordinários ao passo que os juros calculados com a ano de 365 ou 366 dias são chamados de exatos e não são usados em lugar nenhum a Mostre que dados o principal e a taxa anual os juros or dinários produzidos em t dias são maiores que os exatos b Para um principal de R 100000 e juros de 12 ao ano de termine os juros simples ordinários e exatos produzidos em 16 dias c Refaça o item b para juros compostos 19 Uma conta de R 70000 vencia no dia 25 de outubro de 1996 e foi paga em 5 de novembro de 1996 Quais os juros pagos se os juros de mora são de 12 ao mês 20 Determine a melhor e a pior alternativa para tomar um empréstimo por três meses a juros simples de 16 ao mês b juros compostos de 15 ao mês c desconto bancário com taxa de desconto de 12 ao mês 21 Henrique vai emprestar dinheiro a Mário por quatro meses e pretende receber juros compostos de 12 ao mês Como Mário só pretende pagar juros simples qual a taxa mensal de juros simples que Henrique deve cobrar 22 Quando uma operação é pactuada por um número inteiro de períodos de tempo há três modos de calcular os juros relativos a frações de períodos a Só são pagos juros nos períodos inteiros de tempo b São pagos juros compostos durante todo o período Essa é a chamada convenção exponencial c São pagos juros compostos nos períodos inteiros e juros sim ples nas frações de períodos de tempo Essa é a chamada convenção linear Evidentemente o processo a se aplica quando os bancos pagam e o processo c quando recebem A Matemática do Ensino Médio Volume 2 63 Em 5 de janeiro de 1996 foi feito um investimento de 300 reais a juros de 15 ao mês Determine pelos três processos o montante em 12 de abril de 1996 23 Um televisor cujo preço à vista é R 40000 é vendido em dez prestações mensais iguais Se são pagos juros de 6 ao mês sobre o saldo devedor determine o valor das prestações supondo a primeira prestação paga a no ato da compra b um mês após a compra c dois meses após a compra 24 Se a taxa corrente de juros é de 06 ao mês por quanto se aluga um imóvel cujo preço à vista é R 5000000 supondo a o aluguel mensal pago vencido b o aluguel mensal pago adiantadamente 25 Supondo juros de 05 ao mês quanto você deve investir mensalmente durante 30 anos para obter ao fim desse prazo por 30 anos uma renda mensal de R 10000 26 Supondo juros de 05 ao mês quanto você deve investir mensalmente durante 35 anos para obter ao fim desse prazo uma renda perpétua de R 10000 27 Faça as planilhas de amortização de uma dívida de R 300000 em 8 pagamentos mensais com juros de 10 ao mês a pela tabela Price b pelo SAC 28 Considere a amortização de uma dívida de R 3500000 em 180 meses com juros de 1 ao mês pelo sistema francês Deter mine a o valor da centésima prestação b o estado da dívida nessa época 29 Refaça o problema anterior pelo SAC 64 Matemática Financeira 30 Considere a amortização de uma dívida em 150 meses com juros de 1 ao mês pelo sistema francês a De quanto se reduzirá a prestação dobrandose o prazo b Que fração da dívida já terá sido amortizada na época do 759 pagamento 31 Considere a amortização de uma dívida em 150 meses com juros de 1 ao mês pelo SAC a De quanto se reduzirá a prestação inicial dobrandose o prazo b Que fração da dívida já terá sido amortizada na época do 759 pagamento 32 Uma lanterna de Gol original custa R 28000 e tem vida útil de 5 anos Uma lanterna alternativa custa R 7000 e tem vida útil de 1 ano Gilmar precisa trocar a lanterna de seu Gol Considerando que o dinheiro vale 12 ao ano que lanterna ele deve preferir 33 Um equipamento pode ser alugado por R 7500 mensais ou comprado por R 200000 A vida útil do equipamento é de 30 meses e o valor residual ao fim desse período é de R 30000 Se o equipamento for comprado há um custo mensal de R 500 de manutenção Considerando o valor do dinheiro de 1 ao mês qual deve ser a decisão comprar ou alugar 34 As cadernetas de poupança renderam 1416 em um ano cuja inflação foi de 1 109 Qual a rentabilidade real Capítulo 3 Recorrência 31 Seqüências Definidas Recursivamente Muitas seqüências são definidas recursivamente isto é por re corrência ou seja por intermédio de uma regra que permite cal cular qualquer termo em função dos antecessores imediatos Exemplo 1 A seqüência xT dos números naturais ímpares 1357 pode ser definida por xni xn I 2 n1 com xi 1 o Exemplo 2 Qualquer progressão aritmética xa de razão r e primeiro termo a pode ser definida por xni xii r n1 com E Exemplo 3 Qualquer progressão geométrica xn de razão q e primeiro termo a pode ser definida por xni q xr n1 com xi CL O Exemplo 4 A seqüência FR dita de Fibonacci cujos termos são 1 1 2 3 5 e na qual cada termo é a soma dos dois ime diatamente anteriores é definida por Fn2 En1 F 110 com Fo Fi 1 O É fácil ver que uma recorrência por si só não define a se qüência Por exemplo a recorrência do exemplo 1 xni x 2 é satisfeita não apenas pela seqüência dos números ímpares mas por todas as progressões aritméticas de razão 2 Para que a seqüência fique perfeitamente determinada é necessário também o conhecimento dos primeiros termos 66 Recorrência Observe que nos exemplos 1 2 e 3 temos recorrências de pri meira ordem isto é nas quais cada termo é expresso em função do antecessor imediato e que no exemplo 4 temos uma recorrência de segunda ordem ou seja na qual cada termo é expresso em função dos dois antecessores imediatos Exemplo 5 Quantas são as seqüências de 10 termos pertencen tes a O 1 2L que não possuem dois termos consecutivos iguais a O Solução Chamando de x o número de seqüências com n termos o valor de xn2 será a soma de i o número de seqüências de n 2 termos que começam por 1 e não possuem dois zeros consecutivos Mas isso é precisa mente igual a xni pois se o primeiro termo é 1 para formar a sequüência basta determinar os termos a partir do primeiro o que pode ser feito de x1 modos ii o número de seqüências de n 2 termos que começam por 2 e não possuem dois zeros consecutivos Analogamente isso é igual a xni iii o número de seqüências de n 2 termos que começam por O e não possuem dois zeros consecutivos Se o primeiro termo é zero temos 2 modos de escolher o segundo termo 1 ou 2 e escolhido o segundo termo temos x modos de escolher os demais Há pois 2x seqüências começadas em O Logo x2 2x1 2x É fácil ver que xi 3 e que x2 8 Daí obtemos x3 2x 2xi 22 x4 60 xi o 24960 E Exemplo 6 Seja D o número de permutações caóticas de 1 2 n isto é o número de permutações simples de 12 n nas quais nenhum elemento ocupa o seu lugar primitivo Mostre que se n1 D 2 u 1 D1 D Solução Calculemos Dn2 número de permutações simples de 1 2 n 2 nas quais nenhum elemento ocupa o seu lugar primitivo A Matemática do Ensino Médio Volume 2 67 As permutações podem ser divididas em dois grupos aquelas nas quais o 1 ocupa o lugar do número que ocupa o primeiro lugar e aquelas nas quais isso não ocorre Para formar uma permutação do primeiro grupo devemos es colher o número que trocará de lugar com o 1 o que pode ser feito de n 1 modos e em seguida devemos arrumar os demais n elementos nos restantes n lugares sem que nenhum desses ele mentos ocupe o seu lugar primitivo o que pode ser feito de Da modos Há n 1 13 permutações no primeiro grupo Para formar uma permutação do segundo grupo temos de escolher o lugar que será ocupado pelo número 1 chamemos esse lugar de k o que pode ser feito de ri 1 modos e em seguida devemos arrumar os restantes ri 1 elementos nos demais n 1 lugares sem que o elemento k ocupe o primeiro lugar e sem que nenhum dos demais elementos ocupe o seu lugar primitivo o que pode ser feito de 1311 modos Há n 1 Da1 permutações no segundo grupo Portanto D n 2 n 1 131 Da como queríamos de monstrar Exercícios 1 Para a seqüência definida por xa2 2xai x X0 X1 1 determine x5 2 Seja xn o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano Caracterize xn recursivamente 3 Prove que uma recorrência de primeira ordem xni com uma condição inicial x1 a tem sempre uma e uma só solução 4 Prove que uma recorrência de segunda ordem Xn 2 com condições iniciais xi a e x2 b tem sempre solução única 5 Se xni 2x e xi 3 determine xn 68 Recorrência 6 Se xni x 3 e xi 2 determine 7 Seja xn o número máximo de regiões em que n círculos podem dividir o plano Caracterize xit recursivamente 8 Determine o número de permutações caóticas de 5 elementos 9 Prove que o número de permutações caóticas de n elementos n 1 k é D n k0 k Sugestões aos Exercícios 2 Seja xn o número de regiões para n retas Quando se acrescenta mais uma reta ela começa criando uma região a mais e o mesmo acontece após cada interseção dela com cada uma das n retas já existentes ou seja se há TI retas a colocação de mais uma reta acrescenta Ti 1 regiões às regiões já existentes 3 Indução 4 Indução 5 Observe que xl é uma progressão geométrica 6 Observe que xl é uma progressão aritmética 7 Seja xn o número de regiões para Ti círculos Quando se acrescenta mais um círculo ele cria uma região a mais após cada interseção dele com cada um dos TI círculos que já existiam ou seja se há n círculos a colocação de mais um círculo acrescenta 2n regiões às regiões já existentes 8 Dn2 n 1D41 D com Dl 0eD21 9 Basta provar que D2 u 1 D41 Da D1 O e D2 1 32 Recorrências Lineares de Primeira Ordem Uma recorrência de primeira ordem expressa xni em função de Ela é dita linear se e somente se essa função for do primeiro grau Exemplo 1 As recorrências xafri 2x n n 2 e xni nxn são lineares e a recorrência xni xt não é linear A Matemática do Ensino Médio Volume 2 69 As duas últimas são ditas homogêneas por não possuirem termo independente de xit o Não há grandes dificuldades na resolução de uma recorrência linear homogênea de primeira ordem conforme mostram os exem plos a seguir Exemplo 2 Resolva x1 nx x1 1 Solução Temos X2 1 XI X3 2X2 X4 3x3 n Daí multiplicando obtemos x n 1 xl Como x1 1 temos x n 1 O Exemplo 3 Resolva xi 2x Solução Temos X2 2X1 X3 2X2 X4 2X3 x Daí multiplicando obtemos xit 2n1 x1 É claro que como não foi prescrito o valor de xi há uma infinidade de soluções para a recorrência xn C 2n1 onde C é uma constante arbitrária O As recorrências lineares nãohomogêneas de primeira ordem que mais facilmente se resolvem são as da forma x1 f n Com efeito temos x2 xi f1 x3 x2 f 2 X4 x3 f3 xn fn 1 70 Recorrência n1 Somando obtemos xn x1 L f k k1 Exemplo 4 Resolva x 1 x 2 X 1 Solução Temos X2 X 4 2 x3 x2 22 x4 x3 23 Xn Xn 1 2 11 1 Somando resulta 2 22 23 2111 1 222 23 2n1 2 1 2 11 1 O Exemplo 5 Resolva xni x n xi O Solução Temos X2 X1 4 1 X3 X2 2 x4 X3 3 xn x1 n 1 Somando resulta xxi123 n1 123 n1 nn 1 O 2 O teorema a seguir mostra que qualquer recorrência linear nãohomogênea de primeira ordem pode ser transformada em uma da forma RIA fn A Matemática do Ensino Médio Volume 2 71 Teorema 1 Se an é uma solução nãonula de x1 g 11xn então a substituição xn anyn transforma a recorrência xn g nx hn em Uri hn g n an 1 Prova A substituição xit any transforma g nx hn em an iy1 g n any hn Mas ani gna pois a é solução de xni gnxn Portanto a equação se transforma em g n anyn ou seja Uni Un hn g n aij 1 EI Exemplo 6 Resolva xni 2x 1 xi 2 Solução Uma solução nãonula de xni 2x é por exemplo xn 2111 conforme vimos no exemplo 3 Façamos a substituição xn 2111 yn Obtemos 2nyri1 211y 1 ou seja Daí se tem 1i2 Ui 2 1 Y3 Y2 2 2 Y4 P3 2 3 ltln Yn1 21 Somando resulta 11 Yi21 22 23 21111 212 1n 1 1 21 1 i2 1 Como c 2n1y e xi 2 temos yi 2 e yn 3 21n Daí 3 2n1 1 Ei Exemplo 7 Resolva xni 3xn 3 xi 2 72 Recorrência Solução Uma solução nãonula de xni 3x é por exemplo xn 3n1 ou qualquer outra progressão geométrica de razão 3 Façamos a substituição xn 3n1yn Obtemos 3nyn1 3n ou seja 1 n1 yn 1 Daí yn é uma progressão aritmética de razão 1 Logo linU1Tt ll COMO Xn 3111yn e xi 2 temos y 2 e y n 1 Daí n 1 3111 Exercícios 1 Determine o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano Veja o exemplo 2 da seção de recorrência 2 Quantas são as seqüências de n termos todos pertencentes a O 1 que possuem um número ímpar de termos iguais a O 3 Quantas são as seqüências de n termos todos pertencentes a O 1 2 que possuem um número ímpar de termos iguais a O 4 A Torre de Hanói Diz a lenda que havia em um tempo 3 es tacas e n discos de ouro de diâmetros diferentes Inicialmente os discos estavam enfiados na primeira estaca em ordem crescente de diâmetros de cima para baixo Ocupavamse os sacerdotes em transferílos para a terceira estaca usando a segunda como es taca auxiliar No processo de transferência de cada vez se movia apenas um disco de uma estaca para outra e jamais um disco poderia ser colocado sobre um disco menor Quando todos esti vessem enfiados na terceira estaca o mundo acabaria Quantas transferências de discos de uma estaca para outra devem ser fei tas para colocálos na terceira estaca 5 Sheila e Helena disputam uma série de partidas Cada par tida é iniciada por quem venceu a partida anterior Em cada par tida quem a iniciou tem probabilidade 06 de ganhála e probabi lidade 04 de perdêla Se Helena iniciou a primeira partida qual é a probabilidade de Sheila ganhar a nésima partida A Matemática do Ensino Médio Volume 2 73 6 Determine o número máximo de regiões em que n círculos podem dividir o plano Veja o exemplo 7 da seção 31 7 Resolva a equação xni n 1x n xi 1 8 Resolva a equação n 1x1 nx 2n 3 x1 1 9 Resolva a equação x nxit n 1 x1 1 10 Um círculo foi dividido em n n2 setores De quantos modos podemos colorilos cada setor com uma só cor se dispomos de k k 2 cores diferentes e setores adjacentes não devem ter a mesma cor 11 A torcida do Fluminense tem hoje Po membros A taxa anual de natalidade é i a de mortalidade é j e além disso todo ano um número fixo de R torcedores desiste de vez Se i j determine o número de torcedores daqui a n anos A torcida está condenada à extinção Sugestões aos Exercícios 1 x1 x n 1 xo 1 2 O número de seqüências é a soma do número de seqüências começadas por 1 com o número de seqüêncis começadas por O isto é x 1 x E 2n X nj 3 xni 2xn 3 xn X1 1 4 xni 2x 1 x1 1 5 Para Sheila ganhar a nésima partida ou ela ganha a nésima partida e ganha a anterior ou ganha a nésima partida e perde a anterior Obtémse xni 6x 041 x xi 04 6 xr1 xi 2n xi 2 n n 1 1 1 1 7 n 1 n 1 n n 1 10 Seja x o número de colorações para n 1 setores Há k modos de colorir o primeiro setor e k 1 modos de colorir cada um dos demais setores já que setor não pode receber a mesma cor que o setor anterior o que daria 74 Recorrência k k 1n modos de colorir os setores Esse resultado inclui colorações nas quais o primeiro e o último setores recebem a mesma cor Descontando o que se contou indevidamente obtemos xni kk 1 x com x2 kk 1 11 pni 1 i jp R 33 Recorrências Lineares de Segunda Ordem Inicialmente trataremos das recorrências lineares de segunda or dem homogêneas com coeficientes constantes que são recorrên cias da forma xn2 qx O Suporemos sempre q O pois se q O a recorrência é na realidade uma recorrência de primeira ordem A cada recorrência linear de segunda ordem homogfiea com coeficientes constantes da forma xn2 Pxn qxi O associa remos uma equação do segundo grau r2 pr q O chamada de equação característica A nossa suposição preliminar de ser q O implica O não ser raiz da equação característica Exemplo 1 A recorrência é xn2 xni xr tem equação carac terística r2 r 1 As raízes da equação característica são E 2 O teorema a seguir mostra que se as raízes da equação ca racterística são ri e r2 então qualquer seqüência da forma cur Cirrit c2ry é solução da recorrência quaisquer que sejam os va lores das constantes Ci e C2 Teorema 1 Se as raízes de r2 pr q O são ri e T2 então an Cirrit C2rT21 é solução da recorrência xn2 pxni qx O quaisquer que sejam os valores das constantes Ci e C2 Prova Substituindo a Ci TV C2r121 na recorrência XT12 px1 qx O obtemos grupando convenientemente os termos C rlitrf pri q C2T121ii Pr2 q Ci II O C2r121 O O A Matemática do Ensino Médio Volume 2 75 Exemplo 2 A equação xn2 3x1 4x O tem r2 3r 4 O como equação característica As raízes da equação característica são 1 e 4 De acordo com o teorema 1 todas as seqüências da forma Ci 1 n C2 471 são soluções da recorrência E O teorema a seguir mostra que se Ti 2 r todas as soluções da recorrência têm a forma apontada no teorema 1 Teorema 2 Se as raízes de r2 pr q O são ri e r2 com ri r2 então todas as soluções de recorrência xn2 pxi qx O são da forma ai Ciry C2r12t Ci e C2 constantes Prova Seja un uma solução qualquer de x2 px1 qx O Determine constantes Ci e C2 que sejam soluções do sistema de equações Ciri C2r2 ui 1 Cirf c2T U2 isto é C1 ItY 1 T2U2 1112r2 rl T1U2 I lUi e C2 r1r2r2 11 Isso é possivel pois ri r2 e ri O e r2 O Afirmamos que p Ciry C2r21 para todo a natural o que provará o teorema Com efeito seja zr un CITY C2rT21 Mostraremos que z O para todo n Temos ziL2 qzm Un2 PUTL1 Ci pri q C2 rT2ij pr2 q O primeiro parênteses é igual a zero porque un é solução de xn2 px qx O os dois últimos parênteses são iguais a zero porque ri e T2 são raízes de T2 pr q O Então zil2Pirti qz O Além disso como Ciri C2T2 1 e Cir C2T2 uz temos zi Z2 0 Mas se zn2Pzm1 qz O e z1 z2 O então zr O para todo n cqd 76 Recorrência Exemplo 3 Quais as soluções da recorrência Xn2 3Xrt 4Xn O Solução A equação característica é r2 3r 4 O cujas raízes são 1 e 4 De acordo com os teoremas 1 e 2 as soluções da re corrência são as seqüências da forma an Cl 1 C24n isto é Cl C24n onde C1 e C2 são constantes arbitrárias Exemplo 4 Determine o número de Fibonacci F A seqüência de Fibonacci é definida por Fn 2 1 F com Fo Fi 1 Solução A equação característica é T2 r 1 As raízes da equação característica são 2 Então 1 24 C2 215 Para determinar C1 e C2 basta usar Fo Fi 1 Obtemos o sistema f Cl C2 C 1 C 2 1 1 Resolvendoo Logo obtemos C1 VN1 1 1 C2 n e 21i5 1 Vg 71 2g Vg 1 1 l5 24 2 25 2 isto é 1 1 V n1 1 1 15 n1 O N5 2 V45 2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 77 Se as raízes da equação característica forem complexas a solução a Ci rrit C2rT21 C1 e C2 constantes arbitrárias pode ser escrita de modo a evitar cálculos com complexos Pondo as raízes na forma trigonométrica teremos ri P cos O sen O r2 pcos sen 0 rTit pncos nO sen n0 r12 pncos n0 sen nO Cl C2r11 pnCi C2 cos TIO i Cl C2 sen nO C1 C2 e iCi C2 são novas constantes arbitrárias e a solução pode ser escrita pnCÇ cos u8 sen n0 E Exemplo 5 A recorrência xn2 xni x O tem equação característica r2 r 1 O As raízes da equação característica são 1 2 que são complexos de módulo p 1 e argumento principal e n 3 A solução é p Cl cos nO C2 sen nO Ci cos Tin C2 sen 3 TLIT 3 E Que aconteceria se as raízes da equação característica fossem iguais Os teoremas a seguir respondem essa pergunta Teorema 3 Se as raízes de T2 pr q O são iguais ri então an Cir t C2nrn é solução da recorrência Xn2 PXn1 CiXn O quaisquer que sejam os valores das constantes Cl e C2 Prova Se as raízes são iguais então r 2 T2 T 78 Recorrência Substituindo an C1 r Czrurn na recorrência xn2 pxni qx O obtemos grupando convenientemente os termos Cl rnr2 pr q C2nrnr2 pr q C2rnr2r P C rn O Cznrn O Czrnr O O E Teorema 4 Se as raízes de r2 pr q O são iguais r1 r2 r então todas as soluções da recorrência xn2 px1 qx O são da forma an C1r Cznrn Cl e C2 constantes Prova Seja yn uma solução qualquer de xn2Pxn1 qxn O Determine constantes Cl e C2 que sejam soluções do sistema de equações f Cir Czr Yi Sj Cir2 2C2r2 Y2 isto é Cl 291 T 112 Isso é possível pois r O Afirmamos que yn Cirlt Czar para todo n natural o que provará o teorema Com efeito seja zn yn Cl rn Cznrn Mostraremos que zr O para todo n Temos zil2nn1 CIZn Yr12PYn1 Crijn Cl rnr2 pr q C2nrnr2 pr q C2ynr2r 13 O primeiro parênteses é igual a zero porque yn é solução de xfl2 px1 qx O o segundo e o terceiro parênteses são iguais a zero porque r é raiz de r2 pr q O o quarto é igual a zero porque 2r p O já que quando r1 rz r r 2 Então Y2 ri e C2 y2 Zn2PZ n1 CiZn O Além disso como Cir C2T y e Cila 2C2r2 yz temos zi O Mas se zn2 Pzra1 qz O e zi zz O então zn O para todo n cqd A Matemática do Ensino Médio Volume 2 79 Exemplo 6 A recorrência xn2 4x1 4x n O tem equação característica r2 4r 4 O As raízes são ri r2 2 e a solução da recorrência é xn C1211 C2n2n LI O teorema a seguir mostra um processo para resolver algumas recorrências nãohomogêneas Teorema 5 Se an é uma solução da equação Xn 2 PXn1 CIXIL fn então a substituição xn ci yn transforma a equação em 9114211Ygn1 eiun O Prova Substituindo xn por a yn na equação obtemos an2 Pani gani Yn2 PWL1 qun fn Mas an2 P ani qcL fu pois a é solução da equação ori ginal Logo a equação se transformou em E De acordo com o teorema 5 a solução de uma recorrência não homogênea é constituída de duas parcelas uma solução qualquer da nãohomogênea e a solução da homogênea A solução da ho mogênea sabemos achar Uma solução da nãohomogênea procu raremos por tentativas Exemplo 7 A recorrência xn26x 8x n3 tem equação característica T2 6r 8 O cujas raízes são ri 2 e r2 4 Portanto a solução da homogênea isto é de x2 6x1 8x O é 11 Can C241 Tentaremos agora descobrir uma solução particular tn da recorrência xn2 1 8x n 3 Ora se substituirmos ta em x2 8x devemos en contrar n 3 Que tipo de função deve ser tn É bastante razoável imaginar que ti seja a soma de um polinômio do primeiro grau com uma exponencial de base 3 80 Recorrência Tentaremos tn An B C3 Substituindo em xi 2 6xn 8x n obtemos 3An 3B 4A C3n n 3 ti será solução se 3A 1 3B 4A O e C 1 Logo 4 A 1 B 9 e C 1 3 Daí 4 3 A solução da recorrência é a soma de h com ti Portanto 1 4 C12 C24 3n 9 3 E Exemplo 8 A recorrência x 2 6xri 1 8x 1 2n tem equação característica T2 6r 8 O cujas raízes são r1 2 e T2 4 Portanto a solução da homogênea isto é de 2 6xn 1 8x O é1t Can C24n Tentaremos agora descobrir uma solução particular ti da recorrência x2 6x1 8x 1 2 Ora se substituirmos ti em x2 8x devemos en contrar 1 2 Que tipo de função deve ser tn É bastante razoável imaginar que tr seja a soma de um polinômio constante com uma exponen cial de base 2 Tentaremos ti A B2 Substituindo em xr2 6xi 8x 1 2 obtemos 3A 1 2 1 Essa igualdade é impossível A recorrência não admite solução da forma ti A B2 Parando para pensar no que aconteceu verificamos que era óbvio que a nossa tentativa não podia dar certo O espírito da nossa tentativa era tentar uma constante A para que obtivéssemos uma constante que igualaríamos a 1 e tentar B2 para gerar uma A Matemática do Ensino Médio Volume 2 81 exponencial que pudéssemos igualar a 2 É claro que o termo B2 não poderia cumprir o seu papel B2n é solução da homogênea é a solução da homogênea que é obtida pondo C1 B e C2 O e substituído na equação daria zero e não uma exponencial que pudéssemos igualar a 2 Vamos corrigir a nossa tentativa para tit A Bar Sem pre que na nossa tentativa algum bloco não cumprir o seu papel fazemos a correção aumentando o grau isto é multiplicando o bloco por rt Agora substituindo obtemos 3A 4B2 1 211 Se 3A 1 e 4B 1 isto é e B 41 temos a solução t 3 4 A solução da recorrência é a soma de h com t Portanto 1 n211 1 n2 3 4 Exercícios 1 Resolva as equações a seguir a xn2 5x1 6x O b x2 9x 0 Xn2 2Xn 2Xi O d xn2 5x1 6x n e Xn2 5Xn 6x 1 3 4 f x2 5xn 6x 2 xn2 5x1 6x n 311 h xn2 6Xn 9x n 3n XT1A2 XTI j xn2 6xn 9x 1 n3n 2 Resolva as equações a seguir 82 Recorrência a b c X112 5 X111 6XTL O X0 3 xi 6 Xn2 Xn 6x 6 8n X0 1 x14 x112 4x11 4x11 2113 xo 3 x1 6 3 Quantas são as seqüências de n termos todos pertencentes a O 1 2 que não possuem dois termos consecutivos iguais a O 4 Determine o número de modos de cobrir um tabuleiro 2 x n com dominós 2 x 1 iguais 5 Um casal de coelhos adultos gera mensalmente um casal de coelhos que se tornam adultos dois meses após o nascimento Suponha os coelhos imortais Começando no mês O com um ca sal adulto que terá prole apenas no mês 1 quantos casais serão gerados no mês n 6 Uma planta é tal que cada uma de suas sementes produz um ano após ter sido plantada 21 novas sementes e a partir daí 44 novas sementes a cada ano Se plantarmos hoje uma semente e se toda vez que uma semente for produzida ela for imediatamente plantada quantas sementes serão produzidas daqui a it anos 7 O salário de Carmelino no mês n é S a bn Sua renda mensal é formada pelo salário e pelos juros de suas aplicações financeiras Ele poupa anualmente 1 p de sua renda e investe sua poupança a juros mensais de taxa i Determine a renda de Carmelino no mês n 8 Cinco times de igual força disputarão todo ano um torneio Uma taça será ganha pelo primeiro time que vencer três vezes consecutivas Qual é a probabilidade da taça não ser ganha nos n primeiros torneios 9 Em um jogo em cada etapa Olavo pode fazer 1 ou 2 pontos De quantos modos ele pode totalizar n pontos 10 Mostre que i 2r 1 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 83 é para todo n natural um número inteiro 11 Mostre que a parte inteira de 1 4 2n1 é sempre par Sugestões aos Exercícios id A solução particular é da forma An B ie A solução particular é da forma An B C4n ft A solução particular é da forma An2n lg A solução particular é da forma An B C n3u lh A solução particular é da forma An B Cn2311 li A solução particular é da forma A ij A solução particular é da forma A Bn3 Cn23n 3 Se o número de seqüências de n2 termos é Xn 2 o número de seqüências começadas por 1 é igual a xn 1 o número de seqüências começadas por 2 é igual a xT 1 e o número de seqüências começadas por O é igual a 2x Obtémse a recorrência x 2 2X xi 3 x2 8 4 Xn2 Xn 1 Xn X1 1 X2 2 5 Xn2 Xn1 Xn X1 1 X2 1 6 xn2 21xn1 44x 1 1 xi xo xi 21 x2 485 Para resolver determine xn1 e subtraia 1 7 xr yr onde yn é o montante da poupança no fim do mês n Tire o valor de y na primeira equação e substitua na segunda 8 Qualquer time pode ganhar o primeiro torneio Se o segundo torneio for ganho por um time diferente do que ganhou o primeiro basta que a partir daí nenhum time ganhe três vezes consecutivas Se o segundo torneio for ganho pelo mesmo time que ganhou o primeiro o terceiro torneio terá que ser ganho por um time diferente e a partir daí nenhum time poderá ganhar três vezes consecutivas 4 1 4 Xn2 5Xn1 5 5xn xi X2 1 84 Recorrência 9 Olavo em sua primeira jogada ou faz 1 ponto ou faz 2 pontos xn2 xn1 xn xi 1 x2 2 10 Mostre que satisfaz a recorrência x n2 4x O xo 2 x1 1 4 2n1 fs 2111 o v s 2n1 11 x Mostre que xn satisfaz a recorrência x2 8xni 4x O xo 2 xi 20 Capítulo 4 Combinatória 41 Princípios Básicos O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de to mar uma decisão D1 e tomada a decisão D há y modos de tomar a decisão D2 entãoo número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é xy Exemplo 1 Com 5 homens e 5 mulheres de quantos modos se pode formar um casal Solução Formar um casal equivale a tomar as decisões D1 Escolha do homem 5 modos D2 Escolha da mulher 5 modos Há 5 x 5 25 modos de formar um casal Exemplo 2 Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde azul e cinza Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes de quantos modos se pode colorir a bandeira Solução Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e a partir daí 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras A resposta é 3 x26 192 O Exemplo 3 Quantos são os números de três dígitos distintos Solução O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos pois ele não pode ser igual a O O segundo dígito pode ser escolhido 86 Combinatório de 9 modos pois não pode ser igual ao primeiro dígito O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dígitos A resposta é 9 x 9 x 8 648 LII Você já deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de Combinatória 1 Postura Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões deve mos tomar No exemplo 3 nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos no exemplo 2 nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira no exemplo 1 nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal 2 Divisão Devemos sempre que possível dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher colorir a ban deira foi dividido em colorir cada listra formar um número de três dígitos foi dividido em escolher cada um dos três dígitos Vamos voltar ao exemplo anterior Quantos são os números de três dígitos distintos para ver como algumas pessoas conse guem por erros de estratégia tornar complicadas as coisas mais simples Começando a escolha dos dígitos pelo último dígito há 10 mo dos de escolher o último dígito Em seguida há 9 modos de esco lher o dígito central pois não podemos repetir o dígito já usado Agora temos um impasse de quantos modos podemos escolher o primeiro dígito A resposta é depende Se não tivermos usado o 0 haverá 7 modos de escolher o primeiro dígito pois não podere mos usar nem o O nem os dois dígitos já usados nas demais casas se já tivermos usado o 0 haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito Um passo importante na estratégia para resolver problemas de Combinatória é A Matemática do Ensino Médio Volume 2 87 3 Não adiar dificuldades Pequenas dificuldades adiadas costu mam se transformar em imensas dificuldades Se uma das de cisões a serem tomadas for mais restrita que as demais essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar No exemplo 3 a escolha do primeiro dígito era uma decisão mais restrita do que as outras pois o primeiro dígito não pode ser igual a O Essa é por tanto a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar e conforme acabamos de ver postergála só serve para causar problemas El Exemplo 4 O código Morse usa duas letras ponto e traço e as palavras têm de 1 a 4 letras Quantas são as palavras do código Morse Solução Há 2 palavras de uma letra Há 2 x 2 4 palavras de duas letras pois há dois modos de escolher a primeira letra e dois modos de escolher a segunda letra analogamente há 2 x 2 x 2 8 palavras de tês letras e2x2x2x2x2 16 palavras de 4 letras O número total de palavras é 2 4 8 16 30 Exemplo 5 Quantos divisores inteiros e positivos possui o nú mero 360 Quantos desses divisores são pares Quantos são ímpares Quantos são quadrados perfeitos Solução a 360 x 32 x 5 Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2 x 3í3 x 511 com a E O 1 23 E O 1 2 e y E O 1 Há 4 x 3 x 2 24 maneiras de escolher os expoentes a 3 e it Há 24 divisores b Para o divisor ser par anão pode ser O Há 3 x3 x2 18 divisores pares c Para o divisor ser ímpar a deve ser O Há 1 x 3 x 2 6 diviso res ímpares Claro que poderíamos ter achado essa resposta subtraindo ab d Para o divisor ser quadrado perfeito os expoentes a p e y devem ser pares Há 2 x 2 x 1 4 divisores que são quadrados perfeitos 88 Combinatório Exemplo 6 Quantos são os números pares de três dígitos distin tos Solução Há 5 modos de escolher o último dígito Note que co meçamos pelo último dígito que é o mais restrito o último dígito só pode ser O 2 4 6 ou 8 Em seguida vamos ao primeiro dígito De quantos modos se pode escolher o primeiro dígito A resposta é depende se não tivermos usado o O haverá 8 modos de escolher o primeiro dígito pois não poderemos usar nem o O nem o dígito já usado na última casa se já tivermos usado o O havereá 9 modos de escolher o primeiro dígito pois apenas o O não poderá ser usado na primeira casa Esse tipo de impasse é comum na resolução de problemas e há dois métodos para vencêlo O primeiro método consiste em voltar atrás e contar separa damente Contaremos separadamente os números que terminam em O e os que não terminam em O Comecemos pelos que terminam em O Há 1 modo de escolher o último dígito 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de esco lher o dígito central Há 1 x 9 x 8 72 números terminados em O Para os que não terminam em O há 4 modos de escolher o último dígito 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito central Há 4 x 8 x 8 256 números que não terminam em O A resposta é 72 256 328 O segundo método consiste em ignorar uma das restrições do problema o que nos fará contar em demasia Depois descontare mos o que houver sido contado indevidamente Primeiramente fazemos de conta que o O pode ser usado na primeira casa do número Procedendo assim há 5 modos de es colher o último dígito só pode ser O 2 4 6 ou 8 9 modos de escolher o primeiro dígito não podemos repetir o dígito usado na última casa note que estamos permitindo o uso do O na primeira Ø UNNERSIDADE DE FORTALEZA EVELLOTECA CENTRAL i A Matemática do Ensino Médio Volume 2 89 casa e 8 modos de escolher o dígito central Há 5 x 9 x 8 360 números aí inclusos os que começam por 0 Agora vamos determinar quantos desses números começam por zero são esses os números que foram contados indevidamente Há 1 modo de escolher o primeiro dígito tem que ser 0 4 modos de escolher o último só pode ser 2 4 6 ou 8 lembrese que os dígitos são distintos e 8 modos de escolher o dígito central não podemos repetir os dígitos já usados Há 1 x 4 x 8 32 números começados por O A resposta é 360 32 328 É claro que este problema poderia ter sido resolvido com um truque Para determinar quantos são os números pares de três dígitos distintos poderíamos fazer os números de três dígitos dis tintos menos os números ímpares de três dígitos distintos Para os números de três dígitos distintos há 9 modos de es colher o primeiro dígito 9 modos de escolher o segundo e 8 modos de escolher o último Há 9 x 9 x 8 648 números de três dígitos distintos Para os números ímpares de três dígitos distintos há 5 modos de escolher o último dígito 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o dígito central Há 5 x 8 x 8 320 números ímpares de três dígitos distintos A resposta é 648 320 328 Exercícios 1 Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltiplaescolha com 5 alternativas por questão 2 Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n ele mentos 3 De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila 4 De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar 90 Combinatório em 5 bancos de 2 lugares se em cada banco deve haver um homem e uma mulher 5 De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas nãoadjacentes de um tabuleiro 8 x 8 E se os reis fossem iguais 6 De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 8 de modo que não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna E se as torres fossem diferentes 7 De um baralho comum de 52 cartas sacamse sucessivamente e sem reposição duas cartas De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser de copas e a segunda não deve ser um rei 8 O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B 7 elementos Quantas funções f A B existem Quantas delas são injetoras 9 a De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos Aqui consideramos naturalmente 8 x 90 como sendo o mesmo que 90 x 8 b E o número 144 10 Em um corredor há 900 armários numerados de 1 a 900 inicialmente todos fechados 900 pessoas numeradas de 1 a 900 atravessam o corredor A pessoa de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de k Por exemplo a pessoa de número 4 mexe nos armários de números 48 12 abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra aber tos Ao final quais armários ficarão abertos 11 Dispomos de 5 cores distintas De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo cada quadrante com uma só cor se quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem receber a mesma cor 12 De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26 letras se a letra A deve figurar na palavra A Matemática do Ensino Médio Volume 2 91 mas não pode ser a primeira letra da palavra E se a palavra devesse ter letras distintas 13 As placas dos veículos são formadas por três letras de um alfabeto de 26 seguidas por 4 algarismos Quantas placas poderão ser formadas 14 Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais sendo 5 de frente e 5 de costas De 10 passageiros 4 preferem sentar de frente 3 preferem sentar de costas e os demais não têm pre ferência De quantos modos eles podem se sentar respeitadas as preferências 15 Escrevemse os inteiros de 1 até 2222 Quantas vezes o algarismo O é escrito 16 Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o algarismo 5 figura 17 Em uma banca há 5 exemplares iguais da Veja 6 exem plares iguais da Manchete e 4 exemplares iguais da Isto é Quantas coleções nãovazias de revistas dessa banca podem ser formadas 18 Uma turma tem aulas as segundas quartas e sextas de 13h às 14h e de 14h às 15h As matérias são Matemática Física e Química cada uma com duas aulas semanais em dias diferentes De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma 19 O problema do exemplo 1 Com 5 homens e 5 mulheres de quantos modos se pode formar um casal foi resolvido por um aluno do modo a seguir A primeira pessoa do casal pode ser esco lhida de 10 modos pois ela pode ser homem ou mulher Escolhida a primeira pessoa a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos pois deve ser de sexo diferente da primeira pessoa Há portanto 10 x 5 50 modos de formar um casal Onde está o erro 20 Escrevemse números de 5 dígitos inclusive os começados em O em cartões Como O 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo 92 Combinatória e como 6 de cabeça para baixo se transforma em 9 e viceversa um mesmo cartão pode representar dois números por exemplo 06198 e 86190 Qual é o número mínimo de cartões para representar todos os números de 5 dígitos 21 Qual é a soma dos divisores positivos de 360 Sugestões aos Exercícios 2 Para formar um subconjunto você deve perguntar a cada elemento do conjunto se ele deseja participar do subconjunto 3 A primeira pessoa pode escolher sua cadeira de 5 modos a segunda de 4 a terceira de 3 4 A primeira mulher pode escolher sua posição de 10 modos A segunda de 8 modos As outras de 6 de 4 e de 2 modos O primeiro homem de 5 modos Os demais de 4 de 3 de 2 de 1 5 O tabuleiro de 64 casas possui 4 casas de canto vértices 24 casas laterais que não são vértices e 36 casas centrais Cada casa de canto possui 3 casas adjacentes cada lateral possui 5 casas adjacentes e cada central possui 8 casas adjacentes Conte separadamente conforme o rei negro ocupe uma casa de canto lateral ou central Se os reis fossem iguais a resposta seria a metade da resposta anterior 6 Haverá uma torre em cada linha A torre da primeira linha pode ser colocada de 8 modos A da segunda linha de 7 modos pois não pode ficar na mesma coluna da anterior etc Se as torres são diferentes devemos primeiramente escolher qual a torre que ficará na primeira linha 8 modos e depois escolher onde colocála na primeira linha 8 modos Há 8 x 8 modos de colocar a torre da primeira linha analo gamente há 7 x 7 modos de colocar a torre da segunda linha etc 7 Conte separadamente os casos em que a carta de copas é um rei e em que a carta de copas não é um rei 8 Para construir uma função você deve perguntar a cada elemento de A quem ele deseja fiechar em B 9a 72 24 x 32 x 5 tem 30 divisores positivos A Matemática do Ensino Médio Volume 2 93 9b Note que 144 12 x 12 10 O armário de número k é mexido pelas pessoas cujos números são di visores de k Um armário ficará aberto se for mexido um número ímpar de vezes Lembrese que o número de divisores positivos de 2x x 33 x 5Y x é igual a x 1P 1Y 1 11 Conte separadamente os casos em que os quadrantes 1 e 3 têm cores iguais e cores diferentes 12 Note que no caso em que são permitidas repetições a condição da letra A figurar na palavra é terrível pios ela pode figurar uma só vez ou duas etc Por isso é melhor contar todas as palavras do alfabeto e diminuir as que não têm A e as que começam por A No caso sem repetição você poderia também contar diretamente há 4 modos de escolher a posição do A 25 modos de escolher a letra da primeira casa restante 24 para a segunda casa restante etc 15 Conte quantas vezes o O aparece nas unidades some com o número de vezes que ele aparece nas dezenas etc 16 Note que como são permitidas repetições a condição do 5 figurar no número é terrível pois ele pode figurar uma só vez ou duas etc É melhor fazer todos os números menos aqueles em que o 5 não figura 17 Para formar uma coleção você deve decidir quantas Veja farão parte da coleção etc Não se esqueça de retirar da sua contagem a coleção vazia 18 Há 3 modos de escolher os dias de Matemática escolhidos os dias digamos segundas e quartas há 2 modos de escolher o horário da aula de Matemática da segunda e 2 modos de escolher o horário da aula de Matemática da quarta Há 2 modos de escolher os dias da Física não podem ser os mesmos da Matemática senão a Química ficaria com as aulas no mesmo dia etc 20 Há três tipos de cartões os que não podem ser virados de cabeça para baixo os que virados de cabeça para baixo continuam representando o mesmo número e os que virados de cabeça para baixo passam a representar números diferentes Se há x y e z cartões de cada um desses tipos respectivamente a z resposta é x y 2 E fácil calcular y z y e x z 94 Combinatório 42 Permutações e Combinações Há alguns poucos problemas de Combinatória que embora sejam aplicações do princípio básico aparecem com muita freqüência Para esses problemas vale a pena saber de cor as suas respostas O primeiro desses problemas é o Problema das permutações simples De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distin tos A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita de n modos a escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser feita de n 1 modos a escolha do objeto que ocupará o terceiro lugar pode ser feita de n 2 modos etc a escolha do objeto que ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo A resposta é nn 1 n 2 1 n Cada ordem que se dá aos objetos é chamada de uma permu tação simples dos objetos Assim por exemplo as permutações simples das letras a b e c são abc acb bac bca cab e cba Portanto o número de permutações simples de n objetos dis tintos ou seja o número de ordens em que podemos colocar n objetos distintos é P n Exemplo 1 Quantos são os anagramas da palavra calor Quantos começam por consoante Solução Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocação dessas 5 letras O número de anagramas é P5 5 120 Para formar um anagrama começado por consoante devemos primeiramente escolher a consoante 3 modos e depois arrumar as quatro letras restantes em seguida à consoante 4 24 modos Há 3 x 24 72 anagramas começados por consoante Exemplo 2 De quantos modos podemos arrumar em fila 5 li vros diferentes de Matemática 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física de modo que livros de uma mesma A Matemática do Ensino Médio Volume 2 95 matéria permaneçam juntos Solução Podemos escolher a ordem das matérias de 3 modos Feito isso há 5 modos de colocar os livros de Matemática nos lugares que lhe foram destinados 3 modos para os de Estatística e 2 modos para os de Física A resposta é 3532 6 x 120 x 6 x 2 8640 Exemplo 3 Quantos são os anagramas da palavra BOTA FOGO Solução Se as letras fossem diferentes a resposta seria 8 Como as três letras O são iguais quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto o que acontece ria se fossem diferentes Isso faz com que na nossa contagem de 8 tenhamos contado o mesmo anagrama várias vezes 3 vezes precisamente pois há 3 modos de trocar as letras O entre si A resposta é 8 6 720 3 De modo geral o número de permutações de rt objetos dos quais a são iguais a A 3 são iguais a B y são iguais a C etc é n Y ocf3y Exemplo 4 De quantos modos podemos dividir 8 objetos em um grupo de 5 objetos e um de 3 objetos Solução Um processo de fazer a divisão é colocar os objetos em fila os 5 primeiros formam o grupo de 5 e os 3 últimos formam o grupo de 3 Há 8 modos de colocar os objetos em fila Entretanto note que filas como abcde 1 fgh e b adce 1 ghf são filas diferentes e geram a mesma divisão em grupos Cada divisão em grupos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro de cada grupo Há 53 modos de arrumar os objetos em cada grupo Cada divisão em grupos foi contada 53 vezes A resposta é 8 56 53 96 Combinatório O segundo problema importante é o Problema das combinações simples De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos en tre n objetos distintos dados Cada seleção de p objetos é chamada de uma combinação sim ples de classe p dos n objetos Assim por exemplo as combinações simples de classe 3 dos objetos a b c d e são a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c c b d e e c d e Representamos o número de combinações simples de classe p de n elementos por Cli ou Assim q 10 Para resolver o problema das combinações simples basta notar que selecionar p entre os n objetos equivale a dividir os n objetos em um grupo de p objetos que são os selecionados e um grupo de n p objetos que são os nãoselecionados Esse é o problema do exemplo 4 e a resposta é II C1131 Exemplo 5 Com 5 homens e 4 mulheres quantas comissões de 5 pessoas com exatamente 3 homens podem ser formadas Solução Para formar a comissão devemos escolher 3 dos homens e 2 das mulheres Há g 10 x 6 60 comissões Exemplo 6 Com 5 homens e 4 mulheres quantas comissões de 5 pessoas com pelo menos 3 homens podem ser formadas Solução Há comissões com 3 homens e 2 mulheres 4 homens e 1 mulher 5 homens A resposta é CI C51 C14 10 x 6 5 x 4 1 81 Exemplo 7 Temse 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R paralela a R Quantos triângulos e quantos quadrilá teros convexos com vértices nesses pontos existem A Matemática do Ensino Médio Volume 2 97 Solução Para formar um triângulo ou você toma um ponto em R e dois pontos em R ou toma um ponto em R e dois pontos em R O número de triâgulos é 5 Ci 8 g 140 80 220 Também se poderia pensar em tomar 3 dos 13 pontos e excluir dessa contagem as escolhas de pontos colineares o que daria C 3 C 286 56 10 220 Para formar um quadrilátero convexo devemos tomar dois pontos em R e dois pontos em R o que pode ser feito de 1028 280 modos Exemplo 8 De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda A Figura 41 Solução À primeira vista parece que para formar uma roda com as cinco crianças basta escolher uma ordem para elas o que poderia ser feito de 5 120 modos Entretanto as rodas ABCDE e EABCD são iguais pois na roda o que importa é a posição relativa das crianças entre si e a roda ABCDE pode ser virada na roda EABCD Como cada roda pode ser virada de cinco modos a nossa contagem de 120 rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta é 1205 24 De modo geral o número de modos de colocar n objetos em círculo de modo que disposições que possam coincidir por rotação sejam consideradas iguais isto é o número de permutações circu lares de n objetos é PC n n 1 98 Combinatória O exemplo a seguir mostra um tipo de raciocínio que apesar de inesperado pode ser muito eficiente Exemplo 9 Quantos são os anagramas da palavra BÚLGARO que não possuem duas vogais adjacentes Solução Vamos primeiramente arrumar as consoantes e depois vamos entremear as vogais O número de modos de arrumar em fila as consoantes B L G R é P4 4 24 Arrumadas as con soantes por exemplo na ordem BLGR devemos colocar as vogais U A O nos 5 espaços da figura Como não podemos colocar duas vogais no mesmo espaço três dos espaços serão ocupados cada um com uma vogal e dois dos espaços ficarão vazios Temos g 10 modos de escolher os três espaços que serão ocupados e P3 3 6 modos de colocar as vogais nos espaços escolhidos B L G R A resposta é 24 x 10 x 6 1 440 Exemplo 10 Quantas são as soluções inteiras e nãonegativas da equação x1 x2 xn P Solução A resposta deste problema é representada por CR Para determinar o valor de CRIL vamos representar cada solução da equação por uma fila de sinais e 11 Por exemplo para a equação x y z 5 as soluções 221 e 500 seriam re presentadas por 1 1 e 1 1 respectivamente Nossa representação as barras são usadas para separar as incógnitas e a quantidade de sinais indica o valor de cada incógnita Para a equação x1 x2 xr p cada solução seria representada por uma fila com n 1 barras as barras são para separar as incógnitas para separar ii incógnitas usamos n 1 barras e p sinais Ora para formar uma fila com n 1 barras e p sinais basta escolher dos np 1 lugares da fila os p lugares onde serão colocados os sinais o que pode ser feito de modos Portanto CRI 111 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 99 Exemplo 11 De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em um bar que os oferece em 6 sabores distintos Solução A resposta não é C 20 C seria o número de modos de comprar 3 sorvetes diferentes Chamando de xk o número de sorvetes do késimo sabor que vamos comprar devemos determinar valores inteiros e nãonega tivos para xk k 1 2 3 4 5 6 tais que x1 x2 x6 3 Isso pode ser feito de CR 56 modos E Exercícios 1 Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO a possíveis b que começam e terminam por vogal c que têm as vogais e as consoantes intercaladas d que têm as letras c a p juntas nessa ordem e que têm as letras c a p juntas em qualquer ordem O que têm a letra p em primeiro lugar e a letra a em segundo g que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo h que têm p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro i nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p 2 Se A é um conjunto de n elementos quantas são as funções f A A bijetoras 3 De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas Vera e Paulo não fiquem juntas 4 De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas Vera e Paulo não fiquem juntas e duas outras Helena e Pedro permaneçam juntas 5 Quantas são as permutações simples dos números 1 2 3 10 100 Combinatória nas quais o elemento que ocupa o lugar de ordem k da esquerda para a direita é sempre maior que k 3 6 De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas denominados Esporte Tupi e Minas 7 De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas 8 De quantos modos é possível dividir 20 objetos em 4 grupos de 3 e 2 grupos de 4 9 Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira rodada 10 Permutamse de todas as formas possíveis os algarismos 1 2 4 6 7 e escrevemse os números assim formados em ordem crescente Determine a que lugar ocupa o número 62417 b que número que ocupa o 669 lugar c qual o 1662 algarismo escrito d a soma dos números assim formados 11 De quantos modos é possível colocar T rapazes e m moças em fila de modo que as moças permaneçam juntas 12 Quantos dados diferentes é possível formar gravando nú meros de 1 a 6 sobre as faces de um cubo a Suponha uma face de cada cor b Suponha as faces iguais c Suponha que as faces são iguais e que a soma dos pontos de faces opostas deva ser igual a 7 13 Resolva o problema anterior no caso b para os outros 4 poliedros regulares 14 Determine ri para que E k seja um quadrado perfeito k1 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 101 15 Quantos são os anagramas da palavra ESTRELADA 16 O conjunto A possui n elementos Quantos são os seus subconjuntos com p elementos 17 Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de provas com 4 matérias em cada dia Este ano a divisão foi Matemática Português Biologia e Inglês no primeiro dia e Geografia História Física e Química no segundo dia De quantos modos pode ser feito o calendário de provas 18 Qual é o erro da solução abaixo Com 5 homens e 4 mulheres quantas comissões de 5 pessoas com pelo menos 3 homens podem ser formadas Solução Primeiramente vamos escolher 3 homens paa a comissão o que pode ser feito de C 10 modos Agora devemos escolher mais duas pessoas para a comissão homens ou mulheres entre as 6 pessoas restantes o que pode ser feito de C 15 A resposta é 10 x 15 150 19 Quantas diagonais possui a um octaedro regular b um icosaedro regular c um dodecaedro regular d um cubo e um prisma hexagonal regular 20 Sejam I 1 2 ra e In 1 2 n com Tnrcn Quan tas são as funções f estritamente crescentes 21 Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes e o dígito 8 exatamente 2 vezes 22 Quantos são os subconjuntos de ai a2 am com p ele mentos nos quais a ai figura b ai não figura c ai e a2 figuram 102 Combinatório d pelo menos um dos elementos ai a2 figura e exatamente um dos elementos ai e a2 figura 23 De um baralho de pôquer 7 8 9 10 valete dama rei e ás cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes copas ouros paus espadas sacamse simultaneamente 5 cartas a Quantas são as extrações possíveis Quantas são as extrações nas quais se forma b um par duas cartas em um mesmo grupo e as outras três em três outros grupos diferentes c dois pares duas cartas em um grupo duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo d uma trinca três cartas em um grupo e as outras duas em dois outros grupos diferentes e um four quatro cartas em um grupo e uma em outro grupo O um full hand três cartas em um grupo e duas em outro grupo g uma seqüência 5 cartas de grupos consecutivos não sendo todas do mesmo naipe h um flush 5 cartas do mesmo naipe não sendo elas de 5 grupos consecutivos i um straight flush 5 cartas de grupos consecutivos todas do mesmo naipe j um royal straight flush 10 valete dama rei e ás de um mesmo naipe 24 O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos Determine o número de funções f A B sobrejetoras para a p n b p n 1 c p 2 25 Considere um conjunto C de 20 pontos do espaço que tem um subconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares Sabese que toda vez que 4 pontos de C são coplanares então eles são pontos de C1 Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de C 26 Uma fila de cadeiras no cinema tem 10 poltronas De quan A Matemática do Ensino Médio Volume 2 103 tos modos 3 casais podem se sentar nessas poltronas de modo que nenhum marido se sente separado de sua mulher 27 Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO que não possuem consoantes adjacentes 28 De quantos modos podemos selecionar p elementos do con junto 1 2 n sem selecionar dois números consecutivos 29 Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso Por ques tões de segurança os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abrilos todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes a Qual é o número mínimo possível de cadeados b Na situação do item a quantas chaves cada cientista deve ter 30 Depois de ter dado um curso um professor resolve se des pedir de seus 7 alunos oferencendo durante 7 dias consecutivos 7 jantares para 3 alunos cada De quantos modos ele pode fazer os convites se ele não deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de um jantar 31 Formamse as combinações simples de classe 5 dos elemen tos ai az a12 as quais são escritas com os elementos em or dem crescente de índices Quantas são as combinações nas quais o elemento a8 ocupa o 32 lugar 32 De quantos modos é possível colocar em fila h homens e Tu mulheres todos de alturas diferentes de modo que os homens entre si e as mulheres entre si fiquem em ordem crescente de al turas 33 Em uma escola x professores se distribuem em 8 bancas exa minadoras de modo que cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum a Calcule x 104 Combinatória b Determine quantos professores há em cada banca 34 A partir de um conjunto de a atletas formamse t times de k atletas cada Todos os atletas participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes Determine a de quantos times cada atleta participa b em quantos times cada par de atletas fica junto 35 De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco com 4 jogadores 36 De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 5 meninos e 5 meninas de modo que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas 37 De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças de modo que duas delas Vera e Isadora não fiquem juntas 38 Quantas são as soluções inteiras e positivas de x y z 7 39 Quantas são as soluções inteiras e nãonegativas de x y z6 40 Uma indústria fabrica 5 tipos de balas que são vendidas em caixas de 20 balas de um só tipo ou sortidas Quantos tipos de caixas podem ser montados Sugestões aos Exercícios ie Os anagramas podem começar por vogal ou por consoante ld Tudo se passa como se cap fosse uma letra só ie Escolha inicialmente a ordem das letras cap Recaise no item anterior lg Ao somar os que têm p em primeiro com os que têm a em segundo os que têm p em primeiro e a em segundo são contados duas vezes Um diagrama de conjuntos ajuda lh Um diagrama de conjuntos ajuda A Matemática do Ensino Médio Volume 2 105 1 li Há 3 6 ordens possíveis para essas letras A resposta é do total de 6 anagramas 3 Faça o total menos aquelas nas quais elas ficam juntas Não se esqueça que elas podem ficar juntas em 2 ordens possíveis 4 Faça todas com Helena e Pedro juntos menos aquelas nas Helena e Pedro estão juntos e Vera e Paulo também estão juntos 5 As posições mais restritas são as últimas 6 Você deve escolher 5 jogadores para o Esporte depois escolher 5 dos que sobraram para o Tupi e formar o Minas com os restantes Ou então ponha os 15 jogadores em fila os 5 primeiros formam o Esporte os 5 seguintes o Tupi os 5 últimos o Minas Note que trocando a ordem dentro de cada bloco você muda a fila mas não muda a divisão em times 7 A resposta é a anterior dividida por 3 pois agora trocando os times entre si a divisão é a mesma 9 Você pode colocar os 12 times em uma matriz 6 x 2 Note que trocar as linhas entre si ou trocar em uma linha a ordem dos elementos não altera a seleção dos jogos Você também poderia pensar assim Tenho 11 modos de escolher o adversário do Botafogo depois tenho 9 modos de escolher o adversário do primeiro em ordem alfabética time que sobrou depois tenho 7 10a Para descobrir o lugar do 62 417 você tem que contar quantos números o antecedem Antecedemno todos os números começados em 1 em 2 em 4 em 61 etc 10c O 1669 algarismo escrito é o 1 algarismo do 34º número 10d A soma das unidades dos números é 1 2 4 6 7 4 pois cada um dos algarismos 12467 aparece como algarismo das unidades em 4 números Determine analogamente a soma das dezenas etc Um truque bonito mas truque é grupar os 5 120 números em 60 casais do seguinte modo o cônjuge de cada número é o número que dele se obtém trocando a posição do 1 com o 7 e a posição do 2 com o 6 Teremos 60 casais e a soma em cada casal é 88888 A resposta é 88 888 X 60 12a Devemos colocar 6 números em 6 lugares A resposta é 6 106 Combinatória 12b Agora quando mudamos o cubo de posição obtemos o mesmo dado Por exemplo um dado que tem o 1 e o 6 em faces opostas Antes colocar o 1 em cima na face preta e o 6 em baixo na face branca era difernte de colocar o 6 em cima e o 1 embaixo Agora não é o mesmo dado de cabeça para baixo A resposta é a anterior dividida pelo número de posições de colocar um cubo Há 6 modos de escolher a face que fica em baixo e 4 modos de escolher nessa face a aresta que fica de frente 14 Se k 4 k termina em O 19 Os segmentos que ligam dois vértices são diagonais arestas ou diagonais de faces 20 A função fica determinada quando se escolhem os m elementos de I que formarão a imagem 21 Ignore o problema do O na primeira casa Escolha os lugares dos 4 dos 8 preencha as casas restantes Desconte os números começados em O 23b Há 8 modos de escolher o grupo das suas cartas que formarão o par propriamente dito há C modos de escolher os naipes dessas cartas há C modos de escolher os grupos das outras três cartas e 43 modos de escolher seus naipes 24a Essas funções são bijetoras 24b Um elemento de B tem sua imagem inversa formada por dois elementos e os demais têm imagens inversas unitárias 24c Há duas possibilidades um elemento de B tem sua imagem inversa formada por três elementos e os demais têm imagens inversas unitárias ou dois elementos de B têm imagens inversas formadas por dois elementos e os demais têm imagens inversas unitárias 26 Escolhida a ordem em que cada casal vai se sentar marido à direita mulher à esquerda ou viceversa você tem que formar uma fila com 3 casais e 4 lugares vazios 27 Arrume primeiramente apenas as vogais e depois entremeie as con soantes 28 Marque no conjunto 1 2 n com o sinal 4 os elementos selecio nados para o subconjunto e com o sinal os elementos não selecionados Você A Matemática do Ensino Médio Volume 2 107 tem que formar uma fila com p sinais e Ti p sinais sem que haja dois sinais adjacentes 29 Um grupo de 4 cientistas ABCD é barrado por pelo menos um cadeado Na situação do número mínimo de cadeados por exatamente um cadeado Ba tizemos esse cadeado de ABCD A B C D não têm a chave desse cadeado e todos os outros cientistas a têm Não pense mais nos cadeados e sim nos seus nomes 30 Prove inicialmente que cada aluno comparece a exatamente 3 jantares 33 Um bom nome para o professor que pertence às bancas 1 e 2 é professor 1 2 38 Chamando x de 1 a y 1 bez de 1 c você tem de determinar soluções inteiras e nãonegativas para a b c 4 39 Defina para cada solução a folga que é a diferença entre o valor máximo que x y z poderia atingir e o valor que x y z realmente atinge Por exemplo a solução x 1 y 2 z 1 tem folga 2 Cada solução da inequação x y z6 corresponde a uma solução da equação xy zf 6e vice versa 43 O Triângulo Aritmético Chamamos de triângulo aritmético de TartaglialPascal2 ao qua dro abaixo formado com os diversos valores de C c o c c cO ri c2 g c g g c c4 c4 cf4 c5 c cg 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1Tartag1ia Nicolo Fontana 15001557 matemático italiano 2Pascal Blaise 16231662 matemático filósofo e físico francês 108 Combinatório Observe que numerando as linhas e colunas a partir de zero C aparece na linha ii e coluna p A propriedade que permite construir rapidamente o triângulo é a relação de Stife13 que diz que somando dois elementos lado a lado no triângulo obtémse o elemento situado embaixo do da direita Assim a próxima linha do triângulo seria 1 15 6 510 15 1010 20 105 15 51 6 1 Relação de Stifel C C1 Cint Prova Considere um conjunto A de n 1 elementos um dos quais é x O número de subconjuntos de A com p 1 elementos é Cvn11 Esse número é igual à soma do número de subconjuntos nos quais x não figura C11 com o número de subconjuntos nos quais x figura Clt cqd Outra relação importante é o Teorema das Linhas C C C Cin Prova Basta observar que os dois membros são iguais ao número de subconjuntos de um conjunto com n elementos Exemplo 1 Um palácio tem 7 portas De quantos modos pode ser aberto o palácio Solução Há Cj modos de abrir o palácio abrindo uma só porta modos de abrir o palácio abrindo duas portas etc A resposta é Cl 27 128 1 127 Finalmente a relação que declara que em cada linha ele mentos equidistantes dos extremos são iguais Relação das Combinações Complementares Cft Crv 3Stife1 Michael 14871567 algebrista alemão A Matemática do Ensino Médio Volume 2 109 Prova Basta observar que o número de modos de escolher entre ii objetos p objetos para usar é igual ao de escolher n p objetos para não usar LI 44 O Binômio de Newton4 A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o de senvolvimento de x a Para obtêla basta multiplicar x a x a x a O termo genérico do produto é obtido tomando em p dos fatores p O 12 n a segunda parcela e tomando nos restantes n p fatores a primeira parcela Como isso pode ser feito de Cr modos o termo genérico do produto é Clti aP XnP TL p O c rI O 10 x n G ni x n1 c n2 02 x n2 c nn ct2 x 0 Exemplo 1 Determine o coeficiente de x3 no desenvolvimento de 7 X4 1 Solução O termo genérico do desenvolvimento é CP 1 P 7 x r A P p x 285p 7 X O termo em x3 é obtido se 28 5p 3 ou seja se p 5 O termo procurado é C15 x3 21x3 O coeficiente é 21 O Exemplo 2 Determine o termo máximo do desenvolvimento de 3 4Newton Isaac 16421727 matemático e fisico inglês 110 Combinatório Solução O termo genérico do desenvolvimento é CPnP I P CP 1 P 3 Vamos descobrir para que valores de p os termos crescem Para isso calculamos P p1 tpi C530G C 53 1G 50 50 p50 p3P p 151 p3P1 50 1 p 150 p3P1 3p 51 1 p 50 51 4p p 1150 p3P1 3p51 p Temos t p tpi positivo isto é tp tvi quando 51 4p O e temos tp tpi quando 51 4p 0 Portanto til t i quando 12 e tp tpi quando 11 13 Logo to ti t11 t12 t13 t14 t5o O termo máximo é c12 t12 5 312 Exercícios 1 Com 7 vitaminas diferentes quantos coquetéis de duas ou mais vitaminas podemos formar 2 Determine p para que seja máximo a CP o b 3 Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 3 10 X x 2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 111 4 Determine o coeficiente de xn no desenvolvimento de 1 x2 X 2n 5 Determine o valor da soma C 3C 32C 6 Se 1 x x 271 A o A i x A2x2 A2nX 2n determine o valor de a Ao Ai A 1 2 A2n b Ao A2 A4 Azn 7 Determine o termo máximo do desenvolvimento de 100 1 2 8 Prove que 1015 99 1005 Sugestões aos Exercícios 3 O termo independente de x é o termo em x0 5 A soma pedida é o desenvolvimento de um binômio de Newton 6a Faça x 1 6b Faça x 1 8 101 100 1 e99 100 1 O melhor modo de mostrar que a b é mostrar que a b é positivo 45 Sobre o Ensino de Combinatória 1 Não faça fórmulas demais ou casos particulares demais Isso obscurece as idéias gerais e torna as coisas mais complicadas Quem troca o princípio básico da contagem por fórmulas de ar ranjos permutações e combinações tem dificuldade de resolver até mesmo o nosso segundo exemplo o das bandeiras 2 Aprenda e faça com que os alunos aprendam com os erros É importante diante de uma solução errada analisar porque ela está errada 112 Combinatório 3 Você quer mostrar que é o bom ou quer que seus alunos apren dam Se você prefere a segunda alternativa resista à tentação de em cada problema buscar solução mais elegante O que deve ser procurado é um método que permita resolver muitos problemas e não um truque que resolva maravilhosamente um problema Sendo mais específico no exemplo 6 da seção de princípios bá sicos foram apresentados dois métodos e um truque Não se deve mostrar o truque antes de mostrar os métodos A beleza de alguns truques só pode ser apreciada por quem tem domínio dos métodos Combinatória não é difícil impossível é aprender alguma coi sa apenas com truques em vez de métodos 4 Não dê preferência a raciocínios destrutivos raciocínios do tipo contar a mais e depois descontar o que não servia e foi con tudo indevidamente Os raciocínios que resolvem a maior parte dos problemas de Combinatória são essencialmente construtivos Embora em certos casos seja melhor usar um raciocínio destru tivo seus alunos só se sentirão seguros quando dominarem os ra ciocínios construtivos Por exemplo no exemplo 7 da parte de combinações a pri meira solução apresentada é melhor do que a segunda para educar o raciocínio do aluno 5 Um processo seguro de tornar as coisas complicadas é come çar assim esse é um problema de arranjos ou de combinações Como se resolveriam por exemplo os problemas dos exemplos 2 3 e 5 da seção 21 e os problemas propostos números 10 14 17 e 19 da mesma seção Aliás para que servem arranjos Capítulo 5 Probabilidade 51 Conceitos Básicos Experiências que repetidas sob as mesmas condições produzem geralmente resultados diferentes são chamadas de aleatórias Por exemplo retirase uma carta de um baralho e verificase se ela é ou não um curinga comprase uma lâmpada e verificase se ela queima ou não antes de 100h de uso jogase um dado até se obter um seis e contase o número de lançamentos Chamaremos de espaço amostral o conjunto de todos os resul tados possíveis de uma experiência aleatória Representaremos o espaço amostral por S e só vamos considerar aqui o caso de S ser finito ou infinito enumerável Os subconjuntos de S serão chama dos de eventos Diremos que um evento ocorre quando o resultado da experiência pertence ao evento Exemplo 1 Lançase uma moeda e observase a face que cai voltada para cima O espaço amostral é S cara coroa e há 4 eventos 0 A cara B coroa e S 0 é um evento que não ocorre nunca e é chamado de evento impossível O evento A ocorre se e somente se o lançamento resulta em cara S ocorre sempre e é chamado de evento certo E Exemplo 2 Lançase um dado e observase a face que cai voltada para cima O espaço amostral é S 1 2 3 4 5 6 e há 64 eventos Alguns desses eventos são 0 que não ocorre nunca S que ocorre sempre A 2 4 6 que ocorre se e somente se o resultado do lançamento for par etc 114 Probabilidade Se o resultado do lançamento for seis ocorrem os eventos 6 5 6 2 4 6 etc Exemplo 3 Se A e B são eventos em um mesmo espaço amostral 5 AUB é o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento A ou ocorre o evento B isto é ocorre pelo menos um dos eventos A e B AnB é o evento que ocorre se e somente se ocorrem ambos os eventos A e B A B é o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento A mas não ocorre o evento B A chamado de evento oposto a A é o evento que ocorre se e somente se o evento A não ocorre E Associaremos a cada evento um número que chamaremos de probabilidade do evento e que traduzirá nossa confiança na capa cidade do evento ocorrer Definição Uma probabilidade é uma função que associa a cada evento A um número P A de forma que i Para todo evento A 0cPA 1 ii PS 1 iii Se A e B são eventos mutuamente excludentes isto é eventos que não podem ocorrer simultaneamente A n B 0 então PA U B PA PB E Exemplo 4 Lançase uma moeda e observase a face que cai voltada para cima O espaço amostral é S cara coroa e há 4 eventos 0 A cara B coroa S Uma probabilidade que pode ser definida é Pi o O Pi A Picara 05 PI B Picoroa 05 e Pi S 1 Verifique que as três condições da definição de proba bilidade são satisfeitas Outra probabilidade que pode ser definida é P20 0 P2 A P2cara 03 P2B P2coroa 07 e P2S 1 Verifique que as três condições da definição de proba bilidade são satisfeitas A Matemática do Ensino Médio Volume 2 115 É claro que se desejamos que a probabilidade traduza nossa confiança na capacidade do evento ocorrer Pi constitui um modelo adequado quando acreditamos ser o resultado cara tão provável quanto o resultado coroa P2 por sua vez seria mais adequado se tivéssemos lançado a moeda um número grande de vezes e obtido o resultado cara em 30 dos lançamentos Encerrando o exemplo um breve comentário a respeito de notação Deveríamos ter escrito P cara e não Pcara Entre tanto quando não houver risco de confusão daremos preferência à notação mais simples LI Os modelos probabilísticos que usamos mais freqüentemente são exatamente os apresentados no exemplo anterior Um é o modelo equiprobabilístico Se temos n elementos no espaço amostral e queremos que todos os eventos unitários te nham a mesma probabilidade devemos atribuir a cada evento 1 unitário a probabilidade n Não poderia ser de outra forma pois se S xi x2 xyd e P xi P x2 P k temos por iii 1 PS Pxi x2 Ti Pxi U x2 u x Px1 Px2 Px kk knk e k 1 Analogamente é fácil ver que nesse modelo se um evento X formado por j elementos então P X n Ou seja a probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis Foi esse o modelo adotado por vários matemáticos como Cardanol Pascal e Laplace2 entre outros no estudo dos jogos de azar 1 Cardano Jerônimo 15011576 matemático italiano 2Lap1ace Pierre Simon 17491827 matemátrico francês 116 Probabilidade Outro é o modelo freqüencial Se repetimos a experiência n vezes e o evento A ocorreu em j dessas experiências adotamos para PA a freqüência relativa do evento A isto é o número de vezes que o evento A ocorreu dividido pelo número total de repetições da experiência ou seja PA n LI O teorema a seguir contém as propriedades das probabili dades Teorema 1 Se A e B são eventos então i PA 1 PA ii P0 O iii PA B PA PA n B iv PA U B PA PB PA n B v Se A D B então PA PB Prova i 1 PS PA U A PA PA Daí PA 1 PA ii PS PS U O PS P0 pois S e ø são mutuamente excludentes Daí P0 O iii PA PAB U A n B PA B PA n B pois A B e AnB são mutuamente excludentes Daí PAB PAPAnB iv PA U B PA B U 13 PA B PB pois A B e B são mutuamente excludentes Como PA B PA PA n B resulta PA U B PA PB PA n B v Como PA B PA PA n B se A 3 B resulta PA B PA PB Como PA BO temos PAPB Li Exemplo 5 Em um grupo de r pessoas qual é a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia Solução Vamos determinar a probabilidade disso não acontecer O número de casos possíveis para os aniversários das r pessoas é 365 O número de casos favoráveis a que todas aniversariem em dias diferentes é 365 x 364 x x 366r havendo r fatores nesse produto Portanto a probabilidade de não haver pelo menos duas A Matemática do Ensino Médio Volume 2 117 pessoas que façam aniversário no mesmo dia é de 365 x 364 x x 366 r 365r e a de haver pelo menos duas pessoas que tenham o mesmo dia de aniversário é de 1 365 x 364 x x 366 r 365r A tabela abaixo dá para alguns valores de r a probabilidade de haver coincidência de aniversários r Probabilidade 5 003 10 012 15 025 20 041 23 051 25 057 30 071 40 089 45 094 50 097 O resultado é surpreendente Em um grupo de 23 pessoas é mais provável haver duas pessoas com o mesmo aniversário do que todas aniversariarem em dias diferentes Exemplo 6 Em uma loteria de N números há um só prêmio Salvador compra n 1 n N bilhetes para uma só extração e 118 Probabilidade Sílvio compra n bilhetes um para cada uma de n extrações Qual dos dois jogadores tem mais chance de ganhar algum prêmio Solução A probabilidade de Salvador ganhar algum prêmio é li A probabilidade de Sílvio não ganhar nenhum prêmio é N 1n N11 Logo a probabilidade de Sílvio ganhar algum prêmio é N 1 1 1 N n Afirmamos que Salvador tem mais chance de ser premiado isto é afirmamos que N 1 Ti N Nn ou equivalentemente afirmamos que N 1 VI n Nn 1N A prova dessa afirmação fazse por indução Para ri 2 temos N 1n N 12 2 1 Se multiplicando por N 111 1 N n N 1 obtemos N 1 711 n 1 N N N2 1 N eqd O N111 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 119 Exercícios 1 Lançamse dois dados nãotendenciosos Qual a probabili dade da soma dos pontos ser igual a 7 2 24 times são divididos em dois grupos de 12 times cada Qual é a probabilidade de dois desses times ficarem no mesmo grupo 3 Mostre que PA u B u C PA PB PC PA n B PA n c PB n C PA n B n C 2 4 4 Se PA e PB mostre que a PA u 2 3 b PAn B5 9 9 c 1 n B9 9 4 5 Cinco dados são jogados simultaneamente Determine a pro babilidade de se obter a um par b dois pares c uma trinca d uma quadra e uma quina O uma seqüência g um ful hand isto é uma trinca e um par 6 Um polígono regular de 2n 1 lados está inscrito em um círculo Escolhemse três dos seus vértices formando um triângu lo Determine a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo 7 Doze pessoas são divididas em três grupos de 4 Qual é a probabilidade de duas determinadas dessas pessoas ficarem no mesmo grupo 120 Probabilidade 8 Em um grupo de 4 pessoas qual é a probabilidade de haver alguma coincidência de signos zodiacais 9 Em um armário há 5 pares de sapatos Escolhemse 4 pés de sapatos Qual é a probabilidade de se formar exatamente um par de sapatos 10 Distribuindo ao acaso 5 sorvetes de creme e 5 de chocolate a 10 pessoas das quais 3 preferem creme 2 preferem chocolate e as demais não têm preferência qual é a probabilidade de todas saírem satisfeitas 11 Escolhemse ao acaso duas peças de um dominó comum Qual é a probabilidade delas possuírem um número comum 12 No jogo da quina concorrem 80 dezénas e são sorteadas 5 dezenas Clara apostou em 8 dezenas Qual a probabilidade de Clara acertar a 3 dezenas b 4 dezenas c 5 dezenas 13 Em uma roda são colocadas n pessoas Qual é a probabili dade de duas dessas pessoas ficarem juntas 14 Uma pessoa tem um molho de n chaves das quais apenas uma abre a porta Se ela vai experimentando as chaves até acertar determine a probabilidade dela só acertar na tentativa de ordem k supondo a que a cada tentativa frustrada ela toma a sábia providência de descartar a chave que não serviu b supondo que ela não age como no item a 15 Há 8 carros estacionados em 12 vagas em fila Determine a probabilidade a das vagas vazias serem consecutivas b de não haver duas vagas vazias adjacentes A Matemática do Ensino Médio Volume 2 121 16 Se PA 04 PB 05 PC PAnB 03 PAnC O e PB n c 01 determine a PA U B U C b PA B U C1 c PA n 8 u c d PA n B u 17 Em certa escola a probabilidade de um aluno ser torcedor do Flamento é 060 de assistir novela é 070 e de gostar de praia é 080 Entre que valores está compreendida a probabilidade de um aluno dessa escola simultaneamente a assistir novela e gostar de praia b torcer pelo Flamengo 18 Laura e Telma retiram cada uma um bilhete numerado de uma urna que contém bilhetes numerados de 1 a 100 Determine a probabilidade do número de Laura ser maior que o de Telma supondo a extração a sem reposição b com reposição 19 Em uma gaveta há 10 pilhas das quais duas estão descarre gadas Testandose as pilhas uma a uma até serem identificadas as duas descarregadas determine a probabilidade de serem feitos a cinco testes b mais de cinco testes c menos de 5 testes Sugestões aos Exercícios 2 Para dividílos basta escolher os times do primeiro grupo Há C1Á modos de formar o primeiro grupo Eles podem ficar juntos no primeiro grupo de C15 modos e outro tanto no segundo grupo Uma solução mais simples é obtida começando o raciocínio depois do pri meiro time ter sido colocado Há 23 posições possíveis para o segundo time das quais 11 são favoráveis 3 Use A n B U C A n B U A n C 4 Faça um diagrama de conjuntos 122 Probabilidade 5a O número de resultados possíveis é 65 Para formar um par primeiro se deve escolher que par será 6 modos depois quais dados formarão o par modos e finalmente os números que aparecerão nos outros dados 5 x 4 x 3 modos 5b Para formar dois pares primeiro se deve escolher de que serão os pares modos depois quais dados formarão o par maior C modos quais dados formarão o par menor Ci modos e finalmente o número que aparecerá no dado restante 4 modos 6 Os casos favoráveis nos quais o vértice 1 é escolhido são aqueles nos quais um dos vértices é j 1 j Cn 1 e o outro tem número compreendido entre n 2 e n j inclusive 7 Inspirese no problema 2 8 Calcule a probabilidade dos signos serem todos diferentes 9 Há C iro casos possíveis Para formar um caso favorável devemos escolher um par depois escolher dois outros pares e dentro de cada um desses dois pares escolher o pé direito ou o esquerdo 10 Para distribuir os sorvetes basta escolher quem recebe os de creme A C2Ç resposta é cio 11 São 28 peças Há q modos de tomar duas peças que tenham ambas o número seis 12a Devem ser sorteadas três entre as 8 dezenas jogadas e duas entre as 72 dezenas nãojogadas 15a Há Cl2 modos de escolher as vagas vazias Em 9 desses modos elas são consecutivas 15b Para formar uma fila com 8 carros e 4 espaços vazios primeiro arrume os carros e depois entremeie os espaços vazios Há 8 modos de arrumar os carros Devemos em seguida escolher 4 dos 9 espaços entre os carros para botar as vagas vazias 16 Faça um diagrama de conjuntos 17a Faça um diagrama de conjuntos A Matemática do Ensino Médio Volume 2 123 17b Faça um diagrama de conjuntos para dois conjuntos o primeiro for mado pelos que assistem novela e gostam de praia o segundo pelos que torcem pelo Flamengo 18b Conte os casos em que elas empatam Dos restantes em uma metade Laura ganha e na outra metade Telma ganha 19a Nos quatro primeiros testes deve aparecer uma das pilhas descarrega das e a outra deve aparecer no quinto teste 19b O número de pilhas descarregadas nos cinco primeiros testes deve ser no máximo igual a 1 19c Nos quatro primeiros testes devem aparecer as duas pilhas descarrega das 52 Probabilidade Condicional Exemplo 1 Consideremos a experiência que consiste em jogar um dado nãoviciado e observar a face de cima Consideremos 3 o evento B o resultado é par Temos P B 6 05 Essa é a probabilidade de B a priori isto é antes que a experiência se realize Suponhamos que realizada a experiência alguém nos informe que o resultado não foi o número 1 isto é que A n o resultado é diferente de 1 ocorreu Nossa opinião sobre a ocorrência de B se modifica com essa informação pois passamos a ter apenas 5 casos possíveis dos quais 3 são favoráveis à ocorrência de B Essa opinião é quantificada com a introdução de uma probabilidade a posteriori ou probabilidade de B na certeza de A 3 PB A 06 5 Note que os casos possíveis não são mais todos os elementos do espaço amostral S e sim os elementos de A e que os casos favoráveis à ocorrência de B não são mais todos os elementos de B e sim os elementos de A n B pois só os elementos que pertencem a A podem ocorrer 124 Probabilidade Exemplo 2 A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de uma turma por sexo e por carreira pretendida masculino feminino total científica 15 5 20 humanística 3 7 10 total 18 12 30 Escolhese ao acaso um aluno Sejam M F C e H os even tos o aluno selecionado é do sexo masculino é do sexo feminino pretende uma carreira científica e pretende uma carreira huma nística respectivamente Temos 10 1 3 1 8 6 PH I 1 7 12 PF H 7 10 Definição Dados dois eventos A e B com PA O a probabili dade condicional de B na certeza de A é o número PB PA n B PA Na realidade poucas vezes usaremos a fórmula acima para calcular uma probabilidade condicional Usálaemos isto sim para o cálculo de PA n B PA n B PA PB A O Exemplo 3 Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas Sacamse sucessivamente e sem reposição duas bolas dessa urna Determine a probabilidade de ambas serem brancas A Matemática do Ensino Médio Volume 2 125 Solução Sejam Bi a primeira bola é branca e B2 a segunda bola é branca Temos 4 3 2 P131 n B2 PBi 13132 1 B1 Note que foi bastante simples o cálculo de PB2 1 Bi Realmente na certeza de que a primeira bola foi branca é fácil calcular a probabilidade da segunda bola ser branca pois para a segunda extração a urna está com 3 bolas brancas e 6 pretas De modo mais geral é fácil calcular probabilidades condicionais quando as coisas estão na ordem certa isto é é fácil calcular probabilidades de coisas futuras na certeza de coisas passadas Exemplo 4 Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas Sacamse sucessivamente e sem reposição duas bolas dessa urna Determine a probabilidade da primeira bola ser branca sabendo que a segunda bola é branca Solução Sejam Bi a primeira bola é branca e B2 a se gunda bola é branca Queremos PBi 1 B2 Note que essa é uma probabilidade do passado na certeza do futuro Aqui usamos a fórmula da definição de probabilidade condicional P131 B2 pB n B2 PB2 2 PB1 n B2 foi calculada no exemplo anterior e vale 15 O cálculo de PB2 não é imediato pois não sabemos como está a urna no momento da segunda extração Para calcular PB2 consideramos todas as possibilidades quanto à primeira bola Para a segunda bola ser branca ou a segunda é branca e a primeira foi 126 Probabilidade branca ou a segunda é branca e a primeira foi preta Isto é PB2 PBi n B2 u 131 n B21 PB n B2 P131 n B2 2 15 PP1 PB2 Pi 2 6 4 IÓ 2 5 Logo PB n B2 2 2 1 5 3 pB2 15 Uma maneira eficiente de lidar com experiências que possuem vários estágios é o uso das árvores de probabilidade 39 B2 p2 410 610 B2 P1 p 2 Figura 51 Nesses diagramas colocamos as probabilidades condicionais da extremidade de cada galho na certeza da origem do galho Para determinar uma probabilidade usando esse diagrama basta per correr todos os caminhos que levam ao evento cuja probabilidade é procurada multiplicando as prOabilidades em cada caminho e somando os produtos ao longo dos vários caminhos Assim por A Matemática do Ensino Médio Volume 2 127 exemplo 4 3 2 P131 n B2 9 15 4 3 6 4 2 2 10 9 i0 9 5 Exemplo 5 Escolhese uma entre três moedas Duas dessas moedas são nãoviciadas e a outra tem duas caras A moeda sele cionada é lançada e é obtida uma cara Qual é a probabilidade de ter sido selecionada a moeda de duas caras viciada V 1 12 não viciada V 12 Figura 52 PV I C Pv n c PC cara c cara c coroa Z PV n c 1 3 1 3 PC 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 1 PV C 2 O exemplo a seguir mostra um dos mais poderosos métodos de estimação em Estatística o método da máxima verossimilhança Exemplo 6 Em certa cidade os táxis são numerados de 1 a N Para estimar o número N de táxis da cidade um turista anotou 128 Probabilidade os números de todos os táxis que pegou 47 12 33 e 25 Deter mine a probabilidade do turista ter tomado os táxis que têm esses números e determine o valor de N para o qual essa probabilidade é máxima Solução Sejam A o primeiro táxi tem número 47 B o segundo táxi tem número 12 etc A probabilidade pedida é AnBnCnD PwP131 mNcHAnBwPDI AnBnc1 1 1 1 1 1 N N N N N 4 Essa probabilidade de ocorrer o que efetivamente ocorreu é cha mada de verossimilhança No caso ela é máxima quando N é mínimo Ora como N47 o valor de N que torna máxima a verossimilhança é 47 A estimativa de máxima verossimilhança de N é 47 LII Exemplo 7 Algumas pesquisas estatísticas podem causar cons trangimentos aos entrevistados com perguntas do tipo você usa drogas e correm o risco de não obter respostas sinceras ou não obter respostas de espécie alguma Para estimar a proporção p de usuários de drogas em certa comunidade pedese ao entrevistado que longe das vistas do entrevistador jogue uma moeda se o re sultado for cara responda a você usa drogas e se o resultado for coroa responda a sua idade é um número par Assim caso o entrevistado diga sim o entrevistador não saberá se ele é um usuário de drogas ou se apenas tem idade par Se s é a probabilidade de um entrevistado responder sim s é facilmente estimado pela proporção de respostas sim obtidas nas entrevistas A relação entre s e p pode ser determinada pela árvore abaixo A Matemática do Ensino Médio Volume 2 129 Cara coroa sim 11 3 não sim 05 não Figura 53 s Psim 05p 05 05 Daí p 2s 05 Por exemplo se 30 dos entrevistados respondem sim você pode estimar em 10 a proporção de usuários de drogas E O exemplo a seguir é um interessante exemplo de probabi lidade geométrica Quando selecionamos um ponto ao acaso em uma parte do plano é extremamente razoável supor que a proba bilidade do ponto selecionado pertencer a uma certa região seja proporcional à área dessa região Exemplo 8 Selecionamse ao acaso dois pontos em um segmento de tamanho 1 dividindoo em três partes Determine a probabili dade de que se possa formar um triângulo com essas três partes Solução Sejam X E 01 e y E O 11 os pontos escolhidos cp o Figura 54 li Escolher x e y pertencentes a O 1 com xy equivale a escolher um ponto x y no triângulo T da figura abaixo 130 Probabilidade Figura 55 Para que exista um triângulo de lados x yxely devemos ter xyx1yeyxx1ye1yxyxoquedá x O 5 eu x O 5 eu O 5 Em suma o triângulo existirá se e somente se o ponto x y for selecionado na parte sombreada do triângulo T Sendo A o evento as três partes formam um triângulo e sendo S o evento certo temos que PA é proporcional à área da parte sombreada e PS 1 é proporcional à área de T Logo P A área sombreada 1 PA PS área de T 4 Exemplo 9 A e B lançam sucessivamente um par de dados até que um deles obtenha soma de pontos 7 caso em que a disputa termina e o vencedor é o jogador que obteve soma 7 Se A é o primeiro a jogar qual é a probabilidade de A ser o vencedor Solução A probabilidade de obter soma 7 é 6 1 36 6 e a de não obter soma 7 é 1 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 131 Para A ganhar ou A ganha na primeira mão ou na segunda ou na terceira etc A probabilidade de A ganhar na primeira mão é 1 6 Para A ganhar na segunda mão A não pode obter soma 7 na primeira mão e B não pode obter soma 7 na primeira mão e A deve obtere soma 7 na segunda mão o que ocorre com probabilidade 5 2 1 6 6 Para A ganhar na terceira mão A não pode obter soma 7 nas duas primeiras mãos e B não pode obter soma 7 nas duas primeiras mãos e A deve obter soma 7 na terceira mão o que ocorre com probabilidade 5 2 1 6 6 etc A probabilidade de A ganhar é 1 5 2 1 5 4 1 56 2 1 6 6 6 6 6 Uma solução mais elegante pode ser obtida ignorando as mãos sem vencedores A probabilidade de A ganhar uma mão é de 1 a de B ganhar uma mão é de 5 1 5 6 6 36 pois para B ganhar A não pode obter soma 7 e B deve obter soma 7 a de ninguém ganhar é de 5 5 25 6 6 36 pois para que ninguém ganhe Anão pode obter soma 7 e B não pode obter soma 7 132 Probabilidade A probabilidade A ganhar é a probabilidade A ganhar em uma mão em que houve vencedor isto é 1 PA n A U B PA 6 PA A U B 25 PA U B PA U B 1 Como analogamente 6 11 PB PA A u B PA U B observe que a razão entre PA A U B e PB A u B é igual à razão entre PA e PB pois PA U B é simplificado Esse é o princípio de preservação das chances relativas Em um jogo em que pode haver empates e é repetido até que alguém vença a razão entre as probabilidades de vitória dos dois jogadores é igual à razão de suas probabilidades de vitória em uma única partida Conhecendo o princípio poderíamos ter resolvido o problema do modo seguinte Em uma mão as probabilidades de vitória de A e de B são respectivamente de 1 e de 6 36 A razão dessas probabilidades é de 6 5 A razão das probabilidades 6 de vitória de A e de B no jogo é também de 5 e como um dos dois ganha o jogo a soma dessas probabilidades é 1 Então essas 6 5 probabilidades são iguais a e Ti respectivamente Exercícios 1 Jogase um dado nãoviciado duas vezes Determine a pro babilidade condicional de obter 3 na primeira jogada sabendo que a soma dos resultados foi 7 2 Um estudante resolve um teste de múltipla escolha de 10 questões com 5 alternativas por questão Ele sabe 60 da matéria ie UNIVERSIDADE DE FORTALEZA elIBLIOTECA CENTRAL A Matemática do Ensino Médio Volume 2 133 do teste Quando ele sabe uma questão ele acerta e quando não sabe escolhe a resposta ao acaso Se ele acerta uma questão qual é a probabilidade de que tenha sido por acaso 3 Dois eventos A e B são independentes por definição quando P A n B P A PB Três eventos A B e C são independentes por definição quando PAnB PA PB PB n C PBPC PAn C PA PC e PAnBnc PA PB PC Jogue um dado duas vezes Considere os eventos A o resultado do pri meiro lançamento é par B o resultado do segundo lançamento é par e C a soma dos resultados é par a A e B são independentes b A e C são independentes c B e C são independentes d A B e C são independentes 4 Determine a probabilidade de obter ao menos a um seis em 4 lançamentos de um dado b um duplo seis em 24 lançamentos de um par de dados 5 Um exame de laboratório tem eficiência de 95 para detectar uma doença quando ela de fato existe Entretanto o teste aponta um resultado falsopositivo para 1 das pessoas sadias testadas Se 05 da população tem a doença qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o seu exame foi positivo 6 Quantas vezes no mínimo se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum seis seja superior a 09 7 Em uma cidade com n 1 habitantes uma pessoa conta um boato para outra pessoa a qual por sua vez conta o boato para uma terceira pessoa e assim por diante Evidentemente ninguém é distraído a ponto de contar o boato para quem lhe havia contado o boato Determine a probabilidade do boato ser contado k vezes a sem retornar ao inventor do boato b sem repetir nenhuma pessoa 134 Probabilidade 8 Em uma cidade as pessoas falam a verdade com probabili dade 1 3 Suponha que A faz uma afirmação e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade Qual a probabilidade de A ter falado a verdade 9 Um prisioneiro possui 50 bolas brancas 50 bolas pretas e duas urnas iguais O prisioneiro deve colocar do modo que prefe rir as bolas nas urnas desde que nenhuma urna fique vazia As urnas serão embaralhadas e o prisioneiro deverá de olhos fecha dos escolher uma urna e nesta urna escolher uma bola Se a bola for branca ele será libertado e se for preta será condenado Como deve agir o prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado 10 2n jogadores de igual habilidade disputam um torneio Eles são divididos em grupos de 2 ao acaso e jogadores de um mesmo grupo jogam entre si Os perdedores são eliminados e os vence dores são divididos novamente em grupos de 2 e assim por diante até restar apenas um jogador que é proclamado campeão Qual é a probabilidade dois jogadores A e B se enfrentarem durante o torneio Qual é a probabilidade do jogador A jogar exatamente k partidas 11 Em um torneio como o descrito no exercício anterior os 16 jogadores têm habilidades diferentes e não há surpresas nos resultados se A é melhor que B A vence B a Qual é a probabilidade do segundo melhor jogador ser vice campeão do torneio b Qual é a probabilidade do quarto melhor jogador ser vice campeão do torneio c Qual é o número máximo de partidas que o décimo melhor jo gador consegue disputar Qual é a probabilidae dele disputar esse número máximo de partidas 12 Em um programa da televisão italiana os candidatos devem escolher uma entre três portas Atrás de uma dessas portas há A Matemática do Ensino Médio Volume 2 135 um prêmio e atrás de cada uma das outras duas portas há um bode Escolhida uma porta pelo candidato o apresentador que sabe onde estão os bodes abre uma das outras portas atrás da qual se encontra um bode e pergunta ao candidato se ele quer ficar com a porta que escolheu ou se prefere trocála pela outra porta que ainda está fechada Admitindo que quando o candidato escolhe a porta em que está o prêmio o apresentador escolha ao acaso uma porta para abrir você acha que o candidato deve trocar não deve trocar ou que tanto faz 13 Qual é a probabilidade de serem obtidas exatamente 5 caras em 10 lançamentos de uma moeda nãotendenciosa 14 Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas Sacam se sucessivamente bolas dessa urna de acordo com o seguinte pro cesso cada vez que uma bola é sacada ela é devolvida à urna e são acrescentadas mais duas bolas da mesma cor que ela Determine a probabilidade de a a segunda bola sacada ser branca b a primeira bola sacada ter sido branca na certeza de que a segunda bola sacada foi preta 15 Um juiz de futebol meio trapalhão tem no bolso um cartão amarelo um cartão vermelho e um cartão com uma face amarela e uma face vermelha Depois de uma jogada violenta o juiz mostra um cartão retirado do bolso ao acaso para um atleta Se a face que o jogador vê é amarela qual é a probabilidade da face voltada para o juiz ser vermelha 16 A e B disputam uma série de partidas Ganha um prêmio quem primeiro completar 10 vitórias A é mais habilidoso do que B sendo de 06 a probabilidade de A ganhar uma partida e de 04 a probabilidade de B ganhar uma partida No momento o placar está 7 x 4 a favor de B Qual é a probabilidade de A ganhar o prêmio 17 Três jogadores A B e C disputam um torneio Os três têm I J 136 Probabilidade probabilidades iguais de ganhar o torneio têm também probabi lidades iguais de tirarem o segundo lugar e têm probabilidades iguais de tirarem o último lugar É necessariamente verdadeiro que cada uma das seis ordens possíveis de classificação dos três 1 jogadores tem probabilidade 6 de ocorrer Justifique 18 Selecionamse ao acaso dois pontos em uma circunferência Qual a probabilidade da corda determinada por esses pontos ter comprimento maior do que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência 19 Selecionase ao acaso um ponto X em um diâmetro AB de uma circunferência Qual a probabilidade da corda que contém X e é perpendicular a AB ter comprimento maior do que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência 20 Cristina e Maria que não são pessoas muito pontuais mar caram um encontro às 16 horas Se cada uma delas chegará ao encontro em um instante qualquer entre 16 e 17 horas e se dispõe a esperar no máximo 10 minutos pela outra qual é a probabilidade delas se encontrarem Sugestões aos Exercícios PX 3 X Y 7 PX3eXY7 PX3eY4 1 PX Y 7 PX Y 7 2 Árvore 4a Determine a probabilidade de não obter nenhum seis 5 Árvore 6 Determine a probabilidade de não obter nenhum seis 8 Árvore 12 Uma solução elegante é obtida observando que na realidade quem troca está trocando uma porta por duas Uma solução normal é obtida construindo uma árvore 14 Árvore A Matemática do Ensino Médio Volume 2 137 16 A ganha o prêmio se e somente se nas próximas 8 partidas B ganhar no máximo duas 18 Suponha que a probabilidade de um ponto selecionado ao acaso perten cer a um arco é proporcional ao comprimento do arco 19 Suponha que a probabilidade de um ponto selecionado ao acaso em uma reta pertencer a um segmento é proporcional ao comprimento do segmento 20 Contando o tempo em minutos a partir das 16 horas e sendo x e y os instantes de chegada de Cristina e de Maria a região possível é fixy Ox6O 0y60 e a região favorável é x y 0x60 Otj6O x y 10 Capítulo 6 Médias e o Princípio das Gavetas 61 Médias Uma idéia bastante importante é a idéia de média Uma média de uma lista de números é um valor que pode substituir todos os elementos da lista sem alterar uma certa característica da lista Se essa característica é a soma dos elementos da lista obtemos a mais simples de todas as médias a média aritmética A média aritmética simples da lista de n números xl x2 x é um valor 5c tal que xi x2 xl xX X n5c Portanto a média aritmética simples da lista de n números xl x2 x é definida por xi x2 It Por exemplo a média aritmética dos números 3 36 e 54 é 3 36 54 31 3 Se a característica a ser considerada for o produto dos elemen tos da lista obteremos a média geométrica A média geométrica simples dos n números positivos xi x2 xa é um valor positivo g tal que xi x2 g g g g Portanto a média geométrica simples dos n números positivos xi x2 x é definida por g G xi x2 rd QIX1 X2 Xn Observe que só definimos a média geométrica para números positivos Assim evitamos a possibilidade da média não existir por exemplo qual seria a média geométrica entre 2 e 2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 139 Por exemplo a média geométrica dos números 3 36 e 54 é Y3 36 54 18 Se a característica for a soma dos inversos dos elementos da lista obteremos a média harmônica A média harmônica simples dos n números positivos xl x2 xr é um valor h tal que 1 1 1 1 1 1 n xi x2 x h h h h Portanto a média harmônica simples dos n números positi vos xl x2 xn é definida por h cl X2 Xn A média harmônica é pois o inverso da média aritmética dos inversos dos números Por exemplo a média harmônica dos números 3 36 e 54 é 3 3 3 x 108 324 7 9 1 1 1 3632 41 41 3 36 108 Observe que só definimos a média harmônica para números positivos Assim evitamos a possibilidade da média não existir por exemplo qual seria a média harmônica entre 2 e 2 E Exemplo 1 Uma empresa produziu durante o primeiro trimes tre do ano passado 500 200 e 200 unidades em janeiro fevereiro e março respectivamente Qual foi a produção média mensal nesse trimestre Comentário Resista à tentação de tirar rapidamente a média aritmética e ponto final Você sempre corre o risco de um aluno perguntar porque não podia ter tirado a média geométrica Solução Que média é essa que queremos Queremos uma média M tal que se a produção mensal fosse sem pre igual a M a produção trimestral seria a mesma A produção trimestral foi de 500 200 200 Se em todos os meses a produção 140 Médias e o Princípio das Gavetas fosse igual a M a produção trimestral seria igual a 3M Logo 3M 500 200 200 é M 500 200 200 300 3 A média desejada era a média aritmética Resposta 300 Exemplo 2 Uma empresa aumentou sua produção durante o primeiro bimestre do ano passado Em janeiro e em fevereiro as taxas de aumento foram de 21 e 8 respectivamente Qual foi a taxa média de aumento mensal nesse bimestre Comentário A resposta não é 21 8 2 145 Solução Que média queremos Queremos uma taxa média i tal que se em todos os meses a taxa de aumento fosse igual a i o aumento bimestral seria o mesmo O aumento bimestral foi de 3068 conforme mostra o esquema 1001 100 121 1 100 121 108 130 68 Se em todos os meses tivéssemos um aumento de taxa i teríamos 1001 1001 i f 1001 n2 Então 1001 i2 100 121 108 1 i2 121 108 1 i V121 108 21 1 1432 i O 1432 1432 A média procurada era uma média geométrica Mais preci samente a taxa média aumentada de uma unidade é a média geométrica das taxas mensais aumentadas de uma unidade E Exemplo 3 Um concurso anual distribui igualmente entre os vencedores um prêmio total de R 180000 Nos últimos três anos A Matemática do Ensino Médio Volume 2 141 houve 2 1 e 3 premiados respectivamente Qual foi o prêmio médio desses ganhadores Comentário Embora o número médio de ganhadores tenha sido igual a 2 o prêmio médio não foi de R 180000 2 R 90000 Solução Queremos uma média tal que se todos os prêmios fossem iguais a essa média o total distribuído seria o mesmo Essa é precisamente a média aritmética Os prêmios foram de 1800 2 900 1800 1 1800 e 1800 3 600 O prêmio médio foi de 900 1800 600 3 1100 reais Observe que a média aritmética dos rateios é igual a 1800 x 1 1800 x 1800 x 1 3 4 1800 X 2 1 3 3 3 1800 li k 2 1 3 e que 3 T 3 é a média harmônica dos números de ganhadores O rateio médio é o rateio que corresponderia a urna quan tidade de ganhadores igual à média harmônica dos números de ganhadores O Outra média importante é a média quadrática A média qua drática dos números xi x2 xn é definida por 2 2 X X2 Xn2 isto é a média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos números Por exemplo a média quadrática dos números 1 e 7 é V12 5 O 2 142 Médias e o Princípio das Gavetas Exemplo 4 A qualidade de uma aproximação é medida pelo seu erro que é a diferença entre o valor da aproximação e o valor real da grandeza Por exemplo 4 é uma aproximação de 38 com erro de 02 também se diz uma aproximação de 38 por excesso com erro de 02 e 55 é uma aproximação de 57 com erro de 02 ou uma aproximação de 57 por falta com erro de 02 Evidentemente quanto mais próximo de zero estiver o erro tanto melhor será a aproximação Assim por exemplo 39 é uma aproximação de 40 erro igual a 1 que é melhor do que a aproximação 42 erro igual a2 Medese a qualidade de uma lista de aproximações pela média quadrática dos seus erros Também se usa o erro médio quadrá tico que é o quadrado dessa média quadrática ou seja é a média aritmética dos quadrados dos erros Abaixo temos duas listas de aproximações do número 4 51 3 45 36 S2 32 48 Os erros médios quadráticos são respectivamente iguais a 12 052 0 42 047 e 0 82 0 82 064 3 2 si é uma lista de aproximações de 4 que é melhor do que S2 Uma importante propriedade da média aritmética é Se a média aritmética dos números xi x2 x é igual a 5c pelo menos um dos números xi x2 xr é maior que ou igual a R Com efeito se fosse x1 x2 x teríamos xi x2 xn xi X2 Xn iC YG it o que é absurdo O Exemplo 5 Mostre que em um grupo de 50 pessoas há sempre pelo menos 5 que nasceram no mesmo mês Solução O número médio de pessoás por mês é 50 4 12 4 1 Logo em algum mês o número de nascidos nesse mês que é um A Matemática do Ensino Médio Volume 2 143 inteiro é maior que ou igual a 41 ou seja é maior que ou igual a5 O Uma conseqüência imediata do exemplo 5 é o Princípio das Gavetas de Dirichlet Exemplo 6 Princípio das Gavetas Se n 1 ou mais objetos são colocados em n ou menos gavetas então pelo menos uma gaveta recebe mais de um objeto Prova O número médio de objetos por gaveta é maior que ou igual a n 1 que é maior que 1 Logo em alguma gaveta haverá um número de objetos maior que 1 O Exemplo 7 Mostre que todo inteiro positivo n tem um múltiplo que se escreve apenas com os algarismos O e 1 Solução Considere os n 1 primeiros números da seqüência 1 11 111 Dividaos por n e considere os restos dessas divisões Esses restos só podem ser iguais a 0 1 2 n 1 Pensando nos números como objetos e nos restos como gave tas temos mais objetos do que gavetas O Princípio das Gavetas assegura que alguma gaveta receberá mais de um objeto isto é há dois números na seqüência que dão o mesmo resto quando dividi dos por n digamos 11 1 p algarismos e 11 1 q algarismos p q A diferença desses números é um múltiplo de n e se escreve 11 10 O com p algarismos O e q p algarismos 1 O Exemplo 8 Cinco pontos são tomados sobre a superficie de um quadrado de lado 2 Mostre que há dois desses pontos tais que a distância entre eles é menor que ou igual a 27 Solução Divida o quadrado de lado 2 em quatro quadrados de lado 1 ligando os pontos médios dos lados postos Pensando nos pontos como objetos e nos quadrados como gavetas temos mais objetos do que gavetas O Princípio das Gavetas assegura que ah guma gaveta receberá mais de um objeto isto é haverá dois pontos 1 Peter Gustav Lejeune Dirichlet 18051859 matemático alemão 144 Médias e o Princípio das Gavetas no mesmo quadrado de lado 1 A distância entre esses pontos é no máximo igual ao comprimento da diagonal do quadrado que é Exemplo 9 Um enxadrista durante 11 semanas joga pelos me nos uma partida por dia mas não joga mais de 12 partidas por semana Mostre que é possível achar um conjunto de dias conse cutivos durante os quais ele jogou exatamente 20 partidas Solução Em 11 semanas temos 77 dias Chamemos de 5k 3 k 12 77 o número de partidas jogadas desde o primeiro até o késimo dia inclusive Como ele joga pelo menos uma partida por dia temos 1Si 52 577 Além disso S77 132 pois ele não joga mais de 12 partidas por semana Definindo So 0 a quantidade de partidas jogadas do dia p ao dia q inclusive é igual a S q Sp Queremos mostrar que é possível determinar p e q de modo que 5q Spi 20 Considere os 154 números Eles pertencem a 1 2 152 O Princípio das Gavetas assegura que dois desses números são iguais Como Si Sz 577 os números iguais devem estar em metades diferentes dessa lista de 154 números Então existem m e n tais que Sm Sn 20 O enxadrista joga 20 partidas entre os dias n 1 e m inclusive O Finalmente definimos médias ponderadas A média aritméti ca ponderada dos números xi X2 xn com pesos respectivamene iguais a P Pz p11 é definida por p xi p2x2 piLxn P Pz pri Embora a idéia primitiva seja que a média aritmética ponderada é uma média aritmética simples de uma lista de números dos quais P1 são iguais a xi P2 são iguais a x2 pn são iguais a xn não há problema em considerar pesos não inteiros A Matemática do Ensino Médio Volume 2 145 Aliás é bastante útil trabalhar com pesos relativos e considerar a média aritmética ponderada dos números xi x2 xn com pesos iguais arol P2 13n3 respectivamente como sendo P1 xi P1 P2 Pn P2 P1 P2 Prt X2 Pn P1 P2 Pn Assimuma média aritmética ponderada dos números xi x2 é uma expressão da forma À1 x1 2142x2 Aux onde À À2 À n 1 O Exemplo 10 Em um grupo de pessoas 70 das pessoas são adultos e 30 são crianças O peso médio dos adultos é 70kg e o peso médio das crianças é de 40kg Qual o peso médio do grupo Solução É a média aritmética ponderada dos dois subgrupos com pesos relativos de 07 e 03 A resposta é O 7 x 70 O 3 x 40 61kg O Exercícios 1 Um carro percorre metade de certa distância d com veloci dade v1 e percorre a outra metade com velocidade v2 Qual a sua velocidade média 2 Um carro tem velocidade v1 durante metade do tempo t de percurso e tem velocidade v2 durante a outra metade do tempo Qual a sua velocidade média 3 A população de um país cresceu 44 em uma década e cresceu 21 na década seguinte Qual é aproximadamente a taxa média decenal de crescimento nesses 20 anos 4 No problema anterior qual a taxa média anual de cresci mento nesses 20 anos 146 Médias e o Princípio das Gavetas 5 A valorização mensal das ações de certa empresa nos quatro primeiros meses do ano foi de 25 25 25 e 25 Qual a valorização total e qual a valorização média mensal nesse quadri mestre 6 Em uma cela há três túneis Um conduz à liberdade em 3 horas outro em 5 horas e o último conduz ao ponto de partida depois de 9 horas Qual o tempo médio que os prisioneiros que descobrem os túneis gastam para escapar 7 Suponha que no problema anterior os prisioneiros que en tram pelo terceiro túnel quando voltam ao ponto de partida não se lembram de qual foi o túnel em que entraram e portanto esco lhem para a próxima tentativa um entre os três túneis 8 Prove que a média aritmética de uma lista de números satisfaz m onde m e M são respectivamente o menor e o maior dos números 9 Prove que a média geométrica g de uma lista de n números positivos satisfaz rn KM onde m e M são respectivamente o menor e o maior dos números 10 Prove que a média harmônica h de uma lista de n números positivos satisfaz m1IM onde m e M são respectivamente o menor e o maior dos números 11 Em um concurso havia apenas provas de Português e Ma temática O resultado do concurso está no quadro abaixo Candidato Port Mat Classificação João 5 7 22 Pedro 6 4 12 José 2 5 42 Paulo 4 1 39 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 147 João achou que havia erro na classificação porque fizera mais pontos que Pedro e classificarase atrás dele Houve necessaria mente erro na classificação 12 Pneus novos duram 40 000 km quando usados nas rodas dianteiras e duram 60 000 km quando usados nas rodas traseiras a Com 4 pneus novos e fazendo um rodízio adequado entre eles quantos quilômetros um carro pode rodar Como b E com 5 pneus novos Como c A resposta do item a é uma média entre 40 000 km e 60 000 km Qual 13 A média aritmética de 50 números é 40 Se dois desses números 125 e 75 forem suprimidos qual será a média aritmética dos números restantes 14 Qual a característica conservada pela média quadrática 15 Prove que a média quadrática q de uma lista de n números positivos satisfaz mcK M onde m e M são respectivamente o menor e o maior dos números 16 Prove que para dois números positivos xi e x2 suas médias aritmética A geométrica G harmônica H e quadrática Q satis fazem HGAQ Prove também que duas quaisquer dessas médias são iguais se e somente se xi x2 17 Qual seria o problema de se medir a qualidade de uma lista de aproximações pela média aritmética dos erros 18 Para determinar uma grandeza desconhecida x foram fei tas várias medições Os resultados obtidos foram xl x2 x Determine a estimativa de x para a qual o erro médio quadrático é mínimo 19 Para determinar uma grandeza desconhecida x foram feitas várias medições Os resultados obtidos foram xl xi xn tais que xi a n Determine a estimativa de x para a qual a média dos valores absolutos dos erros é mínima 148 Médias e o Princípio das Gavetas 20 Eduardo observou que o consumo de energia elétrica em sua casa estava aumentando muito Fez então um gráfico do consumo anual em kWh nos últimos 5 anos tomando 1991 como ano O Os valores obtidos encontramse no quadro abaixo e Eduardo achou que o gráfico pareciase com uma reta ANO x 0 1 2 3 4 CONSUMO y 820 1000 1200 1350 1550 É fácil ver que os pontos encontrados não são colineares mas pode se notar no gráfico que é possível traçar retas que passem bem perto dos cinco pontos Mostrando o gráfico a seus amigos Augusto e Sérgio eles sugeriram as retas y 170x 850 e y 180x 800 respectivamente como as retas que mais se aproximariam dos pontos a Mostre que os pontos realmente não são colineares b Calcule os erros médios quadráticos e determine qual das duas retas mais se aproxima dos pontos c Entre todas as retas do plano qual é a que mais se aproxima dos pontos 21 Mostre que em qualquer conjunto de 8 inteiros há sempre dois deles cuja diferença é um múltiplo de 7 22 Em uma festa há 20 crianças sentadas em torno de uma mesa circular Um garçom coloca diante de cada criança sem per guntar qual a sua preferência uma taça de sorvete Alguns desses sorvetes são de creme e os outros são de flocos 10 das crianças preferem creme e 10 preferem flocos Mostre que sem mexer nas crianças e fazendo apenas uma rotação da mesa é possível fazer com que pelo menos 10 crianças tenham suas preferências respei tadas 23 Mostre que em toda reunião de n pessoas há sempre duas pessoas com o mesmo número de conhecidos 24 Mostre que existe um múltiplo de 1997 que tem todos os dígitos iguais a 1 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 149 25 Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele há pelo menos 7 pessoas nascidas no mesmo mês 26 São dados no plano cinco pontos de coordenadas inteiras Mostre que entre os dez segmentos determinados por esses pon tos pelo menos um tem como ponto médio um ponto de coordena das inteiras 27 Prove que se Nk 1 objetos são colocados em N gavetas pelo menos uma gaveta recebe mais de k objetos 28 40 100 candidatos estão fazendo uma prova de 20 questões de múltipla escolha com 5 alternativas por questão Suponha que nenhum candidato deixe de responder a nenhuma questão Considere a afirmação Pelo menos k candidatos responderão de modo idêntico às 4 primeiras questões da prova Determine o maior valor de k para o qual a afirmação é certamente verdadeira 29 40 100 candidatos estão fazendo uma prova de 20 questões de múltipla escolha com 5 alternativas por questão Suponha que nenhum candidato deixe de responder a nenhuma questão Considere a afirmação Pelo menos 4 candidatos responderão de modo idêntico às k primeiras questões da prova Determine o maior valor de k para o qual a afirmação é certamente verdadeira 30 Os pontos de uma reta são coloridos com 11 cores Mos tre que é possível achar dois pontos com a mesma cor tal que a distância entre eles é um número inteiro 31 Em um campeonato cada dois times jogam entre si uma única vez Mostre que em qualquer momento há sempre dois times que disputaram o mesmo número de partidas 32 Sete pontos são selecionados dentro de um retângulo 3 x 4 Prove que há dois desses pontos tais que a distância entre eles é no máximo igual a 1v5 150 Médias e o Princípio das Gavetas 33 Selecionamse oito números distintos no conjunto1 2 15 Mostre que há pelo menos três pares de números selecionados com a mesma diferença entre o maior e o menor número do par 34 Sejam xi e x2 números reais x1 X2 a Mostre que os números reais x tais que xi x x2 podem ser escritos na forma x Àixi À2x2 com A1 2142 1 À e À2 positivos isto é são médias aritméticas ponderadas com pesos positivos de xi e x2 Essa representação é única b Mostre que os números reais x da forma x Xixi À2x2 com À1 À2 1 À1 e À2 positivos pertencem a xi X2 C Onde estão os pontos x Àixi À2x2 com À1 À2 1 e À 1 d E com Ai À2 1 e2141 O 35 Sejam xi x2 x números reais xi x2 x n 2 a Mostre que os números reais x tais que xi x x podem ser escritos na forma x 2141xi À2x2 Anx com À2 Art À1 X2 Xrt positivos Essa representação é única b Mostre que os números reais x da forma Ài xi A2x2 n 2 com À1 A2 21411 1 A1 2142 2141L positivo pertencem a x1 X2 36 Em um grupo de pessoas há 30 homens e 10 mulheres Os homens têm altura média de 175m e as mulheres de 167m Qual a altura média do grupo Sugestões aos Exercícios 1 Os tempos gastos são ti 2 v1 e t2 zv2 t 2 As distâncias percorridas são di v1 2 e a2 v4 tr A Matemática do Ensino Médio Volume 2 151 1 1 3 dos prisioneiros escapa em 3 horas escapa em 5 horas escapa em 3 3 6 1 9 3 horas e escapa em 9 5 horas 6 7 Se x é o tempo médio procurado os prisioneiros que escolhem o terceiro túnel gastam em média x 9 horas para escapar 11 Considere a possibilidade das notas de Português e de Matemática terem pesos diferentes 12 Se um pneu roda x mil quilômetros em uma roda dianteira e y mil x y quilômetros em uma roda traseira a fração do pneu que é gasta vale 40 60 Para conseguir a rodagem máxima devese gastar inteiramente todos os pneus 13 A soma de todos os números é 50 x 40 2000 16 Calcule A G e mostra que A G0 e que A G é igual a zero se e somente se xi x2 Aplique esse resultado aos inversos de xi e x2 Finalmente calcule Q2 A2 e mostre que Q2 A20 e que Q2 A2 se e somente se xi x2 Lembrese que Q O e A0 19 Faça o gráfico de fx lx xi I ix x21 E I ix xal Separe os casos n par e Tiímpar 20a Mostre que embora os aumentos de x sejam iguais os aumentos de y não são iguais 20b Para cada x considere o y da reta como unia aproximação do y obser vado 20c Sendo xicUk k O 1 2 3 4 os pontos observados determine a e 4 b para que S L axk b y1j 2 seja mínimo Obtémse k O 1 S 30a2 20ab 5b2 27300a 11 840b 7337400 2 5 S 30 a 455 b 8222 510 3 3 S é minimo quando a 455 O e b 822 0 3 21 Use o Princípio das Gavetas considerando os números como objetos e os restos de suas divisões por 7 como gavetas 152 Médias e o Princípio das Gavetas 22 Há 20 posições para a mesa Sejam x1 o número de crianças satisfeitas na primeira posição da mesa etc O número total de satisfações nas 20 posições da mesa é xi x2 x20 Esse valor 200 pode ser calculado observando que cada uma das 20 taças seja de creme ou de flocos satisfaz a criança à sua frente em exatamente 10 posições da mesa Calcule a média de xi x2 x20 e use o fato de que pelo menos um dos números deve ser maior que ou igual a essa média 23 Use o Princípio das Gavetas considerando as n pessoas como os objetos e considerando o número de conhecidos como as gavetas Embora haja n gavetas pois o número de conhecidos pode variar de O a n 1 no máximo n 1 gavetas são usadas porque é impossível haver ao mesmo tempo pessoas com O conhecido e com n 1 conhecidos 24 Use o exemplo 7 25 O maior grupo em que isso não acontece é um grupo onde haja 6 pessoas em cada mês 26 Considere 4 gavetas P P P I 1 P e I I conforme as coordena das sejam pares ou ímpares 27 Determine o número médio de objetos por gaveta 28 Há 625 modos de responder às 4 primeiras questões Calcule o número médio de candidatos por modo de responder às 4 primeiras questões 29 Por exemplo a afirmação é verdadeira para k 2 Há 25 modos de responder às duas primeiras questões da prova O maior grupo de candidatos para o qual não se poderia garantir a existência de pelo menos 4 candidatos com respostas idênticas seria um grupo onde houvesse 3 candidatos em cada uma das 25 alternativas ou seja seria um grupo de 75 candidatos 30 Tome um ponto x qualquer e considere os pontos x x 1 x 2 x 11 Esses 12 pontos estarão coloridos com apenas 11 cores 31 Este exercício é igual ao exercício 23 32 Divida em seis retângulos 1 x 2 33 As diferenças podem ter apenas 14 valores 1 2 14 Há Ci 28 diferenças das quais no máximo uma pode ter valor 14 Há pelo menos 27 diferenças que podem ter apenas 13 valores 1 2 13 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 153 X X1 34a Se xi x x2 À pertence a 01 x2 Xl 35a Pense apenas em xi e X2 62 A Desigualdade das Médias A desigualdade das médias afirma que a média aritmética de n números positivos é maior que ou igual à sua média geométrica e só é igual se os números forem todos iguais Isto é se xi são números positivos xi x2 Além disso xi x2 It se e somente se xi x2 Xn Várias e interessantes demonstrações dessa desigualdade são encontradas em Meu Professor de Matemática de Elon Lages Lima Aqui faremos apenas um esboço da demonstração que foi feita por Cauchy2 Provaremos primeiramente a desigualdade no caso n 2 Sendo Axi x2 a média aritmética dos números positivos xi e x2 e sendo G xi x2 sua média geométrica temos xi Axi x2 G xi x2 yx x2 2 x1 x2 21x1 x2 2 2 e Axi x2 G xi x2 só é igual a O quando xi x2 o que prova a desigualdade no caso n 2 Para provála no caso n 4 aplicamos o resultado anterior V X1X2 Xn r TNYX1 X2 2Cauchy Louis 17891857 matemático francês 154 Médias e o Princípio das Gavetas aos números obtendo ou seja X2 X3 X4 2 e 2 x x2 x3x4 2 2 2 X1 X2 X3 74 4 X X2 2 X3 X4 2 Xi X2 X3 X4 a igualdade só sendo obtida quando x1 x2 e 2 X3 X4 2 forem iguais Aplicando agora duas vezes a desigualdade no caso n 2 primeiramente para xi e x2 e posteriormente para x3 e 74 obtemos X1 X2 73 74 2 2 VV7172V7374 Yxix2x3x4 a igualdade sendo obtida apenas quando xi x2 e 73 x4 Portanto X1 X2 X3 X4 X2X3X4 4 a igualdade só sendo obtida quando xi x2 e x3 74 e 71 X2 X3 X4 2 2 isto é quando xi x2 X3 X4 É claro que repetindo esse argumento provaríamos a desi gualdade das médias para 8 16 32 números positivos Esse argumento permite provar por indução a desigualdade para n 2k números positivos Provaremos agora a desigualdade para três números posi tivos 2 2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 155 Sejam x1 x2 e x3 números positivos e sejam A sua média aritmética e G sua média geométrica É claro que xi x2 x3 A 3A A A 4 4 Aplicando a desigualdade das médias no caso n 4 aos números xi x2 x3 e A obtemos xi x2 x3 A 4 4 A xi x2x3A Atxi x2x3A A3x1x2x3 3x1 x2x3 G a igualdade só se ve rificando quando xi x2 x3 A isto é quando xi x2 x3 Se desejássemos provar a desigualdade para cinco números positivos xi x2 X3 X4 e X5 aplicaríamos a desigualdade aos 8 números x1 x2 X3 X4 e x5 A A e A onde A é a média aritmética dos números x1 x2 X3 x4 e x5 O mesmo raciocínio pode mostrar que se a desigualdade é verdadeira para n k então ela é também verdadeira para todo n k E Exemplo 1 Mostre que entre todos os retângulos de perímetro 2p o quadrado é o de maior área Solução Se os lados do retângulo são x e y temos x j p isto é a média aritmética de xey é igual a 2 A área do retângulo é A xy Temos xy x 2 2 Portanto P 2 A 4 e a igualdade só é obtida quando x y Portanto o retângulo de maior área é o quadrado de área P2 4 156 Médias e o Princípio das Gavetas Exemplo 2 Mostre que entre todos os retângulos de área A o quadrado é o de menor perímetro Solução Se os lados do retângulo são x e y temos xy A isto é a média geométrica de xey é igual a VA O perímetro do retângulo é 2x y Temos 2x y 4x 2 4yxy 4 iÃ1 Portanto 2x y4VÃ e a igualdade só é obtida quando x y Portanto o retângulo de menor perímetro é o quadrado de perímetro 4Vik A desigualdade das médias pode ser generalizada 63 Desigualdade das Médias Generalizada Se xi x2 x são números positivos e Q A G e H são suas médias quadrática aritmética geométrica e harmônica respecti vamente então 2AGH Além disso duas quaisquer dessas médias são iguais se e somente se xi x2 X Exercícios 1 Prove que o produto de dois números de soma constante é máximo quando esses números são iguais 2 Prove que a soma de dois números positivos de produto con stante é mínima quando esses números são iguais 3 Prove que a média harmônica de n números positivos xi x2 Xn é sempre menor que ou igual a sua média geométrica e só é igual quando todos os números são iguais 4 Prove que a média quadrática de n números positivos xi x2 xn A Matemática do Ensino Médio Volume 2 157 é sempre maior que ou igual a sua média aritmética e só é igual quando todos os números são iguais 5 Prove que se a1 a2 ai são números positivos e b1b2 b1 b2 bit é uma reordenação de a1 a2 ai então al az 6 Prove que x2 U2 z2xy yz zx para quaisquer x y e z reais ai az a3 ai az ai a3 aza3 7 Prove que 3 3 yai aza3 se ai a2 13 positivos 8 Mostre que se a equação x3 ax2 bx c O na qual a b e c são números positivos possuir três raízes reais então a627b3729c2 9 Um mágico se apresenta usando um paletó cintilante e uma calça colorida e não repete em suas apresentações o mesmo conjun to de calça e paletó Para poder se apresentar em 500 espetáculos qual o menor número de peças de roupa que pode ter seu guarda roupa 10 Prove que entre todos os triângulos de perímetro constante o equilátero é o de maior área 11 a Prove que se x é positivo então x 1 2 4 b Qual o valor mínimo de x x x positivo 1 n 12 Prove que a seqüência de termo geral a n i é n estritamente crescente isto é prove que para todo n inteiro e 1 n 1 n1 positivo 1 1 n n 1 158 Médias e o Princípio das Gavetas 13 Prove que se x y e z são positivos então 1 1 1 9 x y z xyz 14 Prove que se x y e z são positivos então rx xyz 15 Se x y e z são números positivos tais que 1xy yz tx3 qual é o conjunto de valores de xyz E de x ij z 16 Se x y e z são números positivos tais que xy yz qual é o conjunto de valores de xyz E de x y z 17 Se x y e z são números positivos tais que xy yz zx1 qual é o conjunto de valores de xyz E de x y z 18 Se x y e z são números positivos tais que 1x y z3 qual é o conjunto de valores de xyz E de xy yz zx 19 Se x y e z são números positivos tais que 1cxyz3 qual é o conjunto de valores de xy yz zx E de x y z 20 Se x y e z são números positivos tais que xyz 8 qual é o conjunto de valores de xy yz zx E de x tj z 21 Prove que se a desigualdade das médias é válida para m números positivos m 2 então ela é válida também param 1 números positivos Sugestões aos Exercícios 1 Se x a xy x a x é um polinômio do segundo grau em x 2 Veja o exemplo 2 3 Aplique a desigualdade das médias aos inversos dos números dados 4 Sejam Q e A as médias quadrática e aritmética de xi x2 X res pectivamente Use E xk A 2 O Lembrese de que E xk TIA e que k1 k1 uma soma de quadrados é igual a O se e somente se todas as parcelas são nulas A Matemática do Ensino Médio Volume 2 159 b1 b2 5 Aplique a desigualdade das médias aos números ai a2 an 6 Aplique a desigualdade das médias aos pares x2 u2 z2 e z2 x2 7 Aplique a desigualdade das médias aos números ai a2 ai a3 e a2a3 Use também o problema 6 8 Mostre que a equação não pode ter raízes nulas ou negativas Use o problema anterior 9 Com X paletós e y calças o mágico consegue formar xy conjunto diferentes Com 44 peças o mágico formaria o número máximo de conjuntos diferentes se fossem 22 paletós e 22 calças porque o produto de dois números de soma constante é máximo quando esses números são iguais Como 22 x 22 484 44 peças não bastam 10 Use a fórmula de Heron3 S Vp p a p 19p c Para S ser máxima p a p b p c deve ser máximo 1 lia Aplique a desigualdade das médias aos números x e 12 Aplique a desigualdade das médias aos números x1 1 e 1 X2 X3 Xn n 13 Aplique a desigualdade entre as médias aritmética e harmônica aos números x y e Z 14 Aplique a desigualdade das médias aos números X e 15a A desigualdade das médias aplicada aos números xy yz e zx mostra que xyz l Além disso é claro que xyz alcança o valor 1 quando x y z 1 Por outro lado como x y e z são positivos xyz O Para mostrar que xyz consegue ficar arbitrariamente próximo de O basta tomar 1 x y e Z11 com n natural arbitrariamente grande 3Heron matemático de Alexandria do segundo século antes de Cristo 160 Médias e o Princípio das Gavetas 15b O problema 7 mostra que x y z Além disso x 4 y z alcança o valor lã quando x z 3 Por outro lado x y z pode se tornar arbitrariamente grande tomando x y e T1 com n natural arbitrariamente grande Capítulo 7 Pontos Retas e Planos 71 Do Plano para o Espaço O grande desafio em ensinar Geometria a alunos do 22 grau é fazer a transição do plano para o espaço Embora estejamos ha bituados a figuras geométricas tridimensionais convivemos todo o tempo com planos cubos esferas cones cilindros etc é no 29 grau que tais figuras são estudadas pela primeira vez de forma sistemática Esta ampliação de horizontes nem sempre é fácil para o aluno O início do estudo sistemático de Geometria Plana em ge ral na 62 ou 72 série do 12 grau vem depois de longos anos nos quais o aluno se prepara de certo modo para estudar figuras planas Ele não as observa simplesmente no mundo real ele está constante mente desenhando tais figuras o que contribui para a criação de modelos mentais para elas Embora o aluno possa ter dificuldades no aprendizado de Geometria em geral ele não tem dificuldade de entender as propriedades essenciais das figuras geométricas sim ples Conceitos básicos como paralelismo perpendicularismo e congruência são bem entendidos pelo aluno Além disso em caso de dificuldades é sempre possível experimentar através de dese nhos ou de modelos das figuras Tais facilidades não qcorrem quando se começa a estudar Geo metria Espacial As relações entre as figuras geométricas funda mentais são bem mais complexas do que na Geometria Plana O estudo de paralelismo por exemplo que na Geometria Plana se reduz a paralelismo entre retas agora é complicado pelo fato de 162 Pontos Retas e Pianos existirem no espaço retas que não são nem paralelas nem con correntes e pelas relações de paralelismo envolvendo planos Há também uma dificuldade muito maior de se fazer este estudo com apoio em modelos concretos Além de os alunos do 22 grau já não estarem mais de modo geral propensos ao uso de tais modelos é muito mais difícil construílos de modo a serem úteis Por exem plo o uso de folhas de cartolina para representar dois planos pode levar um aluno à conclusão de que a interseção de dois planos pode ser um ponto figura 71 Fig 71 Interseção de planos pode resultar em um único ponto O exemplo acima não deve ser entendido como uma reco mendação para que não sejam usados modelos do mundo real como exemplos de figuras espaciais com o intuito de exemplifi car relações entre elas Mas a limitação de tais modelos faz com que eles não bastem É preciso algo mais ter alguma imaginação desenvolver alguma habilidade de fazer representações de tais fi guras em papel e principalmente adquirir um bom conhecimento das propriedades fundamentais entre as figuras geométricas es paciais de modo que relações entre elas possam ser deduzidas através de uma argumentação geométrica já que raramente tais relações podem ser observadas diretamente em uma figura ou um modelo É muito importante também desenvolver no aluno a ha bilidade de fazer bom proveito de seus conhecimentos de Geome A Matemática do Ensino Médio Volume 2 163 tria Plana Em muitos problemas a técnica de resolução consiste em identificar um ou mais planos onde a ação ocorre isto é que contêm os elementos relevantes ao problema e aplicar Geometria Plana para obter relações entre esses elementos Para que tudo isso seja possível é importante que os concei tos fundamentais da Geometria Espacial sejam apresentados com cuidado Uma alternativa é aproveitar a ocasião para apresentar uma formulação axiomática para a Geometria Uma formulação axiomática consiste na identificação de um certo conjunto de no ções primitivas não definidas e de um conjunto de axiomas ou pos tulados que são propriedades aceitas como verdadeiras As de mais propriedades os teoremas são demonstrados a partir destes postulados O conjunto de postulados escolhidos para uma teoria mate mática deve satisfazer a dois requisitos ele deve ser consistente isto é não deve ser possível chegar a contradições a partir dos postulados e suficiente isto é deve ser possível determinar a ve racidade de uma afirmativa a partir dos postulados Além disso é desejável que os postulados reflitam fatos que indiscutivelmente correspondam à nossa intuição a respeito dos objetos fundamen tais da teoria A primeira iniciativa no sentido de criar uma teoria axiomática para a Geometria é de Euclides mas Hilbert no início deste século foi o primeiro a propor um conjunto de axiomas para a Geometria ao mesmo tempo consistente e suficiente O fato de que foram necessários mais de 2000 anos para se chegar a uma formulação axiomática correta para a Geometria mostra que tal tarefa é mais delicada do que pode parecer à pri meira vista O sistema de axiomas não deve apenas formular pro priedades relativas a determinação e incidência de pontos retas e planos mas também dar validade a noções intuitivas como or dem separação e medida de ângulos e segmentos Uma discussão mais completa do que a apresentada aqui sobre os fundamentos da Geometria Espacial pode ser encontrada no livro Introdução à Geometria Espacial de Paulo CP Carvalho da Coleção do Pro 164 Pontos Retas e Planos fessor de Matemática da SBM Para os fundamentos da Geometria Plana recomendamos Geometria Euclidiana Plana de João Lu cas Marques Barbosa da mesma coleção 72 Noções Primitivas e Axiomas Na nossa opinião não é apropriado apresentar no 22 grau uma teoria axiomática formal para a Geometria Espacial Mas é im portante estabelecer as regras básicas do jogo introduzindo as entidades fundamentais ponto reta plano espaço como noções primitivas e apresentando alguns dos axiomas como propriedades a serem aceitas sem demonstração Muitas vezes o aluno recebe com certa surpresa o fato de que a Geometria se baseia em algumas noções para as quais não é apre sentada definição e em algumas propriedades para as quais não é apresentada uma demonstração É importante que o professor esclareça que isto ocorre com qualquer teoria matemática veja a discussão no capítulo 2 do primeiro volume desta série O fato de ponto reta plano e espaço serem noções primitivas da Geometria não significa que não se possa reforçar a intuição do aluno a respeito dessas noções De uma certa forma isto ocorria já nos Elementos de Euclides em que por exemplo ponto é definido como aquilo que não possui partes ou seja é indivisível linha é o que possui comprimento mas não largura e reta é uma linha que jaz igualmente com respeito a todos os seus pontos isto é uma linha onde não existem pontos especiais Embora tais descrições não possam ser utilizadas como de finições por utilizarem outros termos não definidos como com primento largura etc ajudam a correlacionar entidades ma temáticas com imagens intuitivas Devese porém esclarecer para o aluno que do ponto de vista matemático o que importa é estabelecer uma quantidade mínima de propriedades postula dos que sejam capazes de caracterizar o comportamento destas entidades Abaixo são dadas algumas das propriedades essenciais rela A Matemática do Ensino Médio Volume 2 165 cionando as noções de ponto reta plano e espaço e que podem ser utilizadas como postulados da Geometria Espacial Postulado 1 Dados dois pontos distintos do espaço existe uma e somente uma reta que os contém Postulado 2 Dados três pontos não colineares do espaço existe um e somente um plano que os contém Postulado 3 Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano ela está contida no plano Uma vez tendo estabelecido estas propriedades como axio mas podemos utilizálas na demonstração de outras propriedades como ilustrado abaixo Teorema Existe um único plano que coritém uma reta e um ponto não pertencente a ela Prova Seja P um ponto não pertencente à reta r Tomemos sobre r dois pontos distintos Q e R figura 72 Os pontos P Q e R não são colineares de fato pelo Postulado 1 r é a única reta que passa por Q e R e por hipótese P não pertence a r Pelo Postulado 2 sabemos que existe um único plano a contendo P Q e R Como a reta r tem de dois de seus pontos Q e R em a o Postulado 3 estabelece que r está contida em a Logo de fato existe um plano contendo r e P Como este é o único plano que contém P Q e R ele é o único que contém P e r Fig 72 Uma reta e um ponto exterior determinam um plano Embora o leitor possivelmente não tenha percebido na de monstração do teorema acima fizemos uso de uma construção que 166 Pontos Retas e Planos a rigor deveria ser justificada A reta r e o ponto P são forneci dos pelo enunciado do teorema No entanto os pontos Q e R foram construídos na demonstração Nossa experiência nos diz que dada uma reta existem uma infinidade de pontos que pertencem a ela portanto estamos livres para escolher dois pontos arbitrários so bre ela e uma infinidade de pontos que não pertencem a ela O mesmo vale para um plano Se quiséssemos fazer uma construção axiomática rigorosa seria necessário introduzir axiomas referen tes a tais propriedades Nas seções a seguir procuraremos desenvolver a partir dos postulados outras propriedades relativas a pontos retas e planos respondendo a questões fundamentais como as abaixo Que combinações de pontos e retas determinam um plano Como pode ser a interseção de duas retas no espaço E de dois planos E de uma reta e um plano Como veremos nem todas estas perguntas podem ser respon didas usando os postulados acima Utilizaremos nossa procura de respostas a estas perguntas justamente para motivar a introdução de outros postulados A mesma estratégia pode e deve ser usada com alunos do 29 grau ao invés de apresentar propriedades já prontas é melhor descobrílas juntamente com os alunos 73 Posição de Retas A partir das respostas às perguntas como pode ser a interseção de duas retas e quando duas retas determinam um plano obte mos uma importante classificação para um par de retas distintas do espaço Comecemos pela interseção Pelo Postulado 1 duas retas dis tintas podem ter no máximo um ponto comum De fato como existe uma única reta que passa por dois pontos distintos duas retas que tenham mais de um ponto comum são obrigatoriamente coinciden tes isto é são a mesma reta Quando duas retas têm exatamente um ponto comum elas são chamadas de concorrentes e sempre determinam um plano A Matemática do Ensino Médio Volume 2 167 De fato seja P o ponto de interseção das retas r e s figura 73 Sejam R e S pontos de r e s respectivamente distintos de P Os pontos P R e S são não colineares portanto determinam um único plano a que certamente contém r e s já que essas retas têm dois de seus pontos em a Fig 73 Duas retas concorrentes determinam um plano Já quando duas retas não possuem ponto em comum elas podem ou não determinar um plano Consideremos a situação da figura 74 que mostra três pontos não colineares A B e C que determinam um plano a um ponto D exterior a a e as retas r e s definidas por AeB e por C e D respectivamente É claro que não existe nenhum ponto comum ar e s Fig 74 Retas reversos Note que s só tem o ponto C em comum com a se tivesse um outro ponto comum s teria que estar contida em a o que é impossível já que D é exterior a a Por outro lado não existe nenhum plano que contenha simultaneamente r e s Basta observar que a é o único plano que passa por A BeCe que D não pertence a este plano Retas como r e s são chamadas de retas nãocoplanares ou reversas 168 Pontos Retas e Planos Retas reversas sempre possuem interseção vazia Mas duas retas do espaço podem não ter pontos de interseção e serem copla nares Neste caso dizemos que as retas são paralelas Sabemos da Geometria Plana que por um ponto do plano exterior a uma reta passa uma única reta paralela a ela O mesmo ocorre no espaço Isto é por um ponto P exterior a uma reta r do espaço passa uma única reta s paralela a ela De fato seja r uma reta do espaço e seja P um ponto não pertencente a r figura 75 Como vi mos acima existe um único plano a que contém P e r nesse plano existe uma e somente uma reta s paralela a r passando por P Por outro lado não existem retas paralelas a r passando por P que não estão contidas em a já que todas as retas coplanares com r passando por P estão contidas em a Assim a reta s é a única reta do espaço que contém P e é paralela a r Fig 75 Retas paralelas Em resumo duas retas distintas do espaço estão em um dos casos dados no quadro abaixo Posição relativa de r e s Interseção de r e s T e s são coplanares Concorrentes exatamente um ponto Sim Paralelas vazia Sim Reversas vazia Não A Matemática do Ensino Médio Volume 2 169 74 Posição Relativa de Reta e Plano A pergunta relevante agora é como pode ser a interseção de uma reta e um plano Pelo Postulado 3 se uma reta r possui dois ou mais pontos pertencentes a um plano a todos os seus pontos estarão em a isto é r estará contida em a figura 76 r i Fig 76 Uma reta contida em um plano Um outro caso possível é aquele em que r tem apenas um ponto em comum com a dizemos nesse caso que r é secante a a A figura 77 mostra um ponto P pertencente a um plano a e um ponto exterior Q A reta r definida por PeQ é secante a a Fig 77 Uma reta secante a um plano Finalmente uma reta pode não ter pontos em comum com um plano dizemos que a reta e o plano são paralelos Seja a um plano r uma reta contida em a e P um ponto exterior a a figura 78 A reta s paralela a r passando por P é paralela a a De fato seja p o plano definido por r e s Se s não fosse paralela a a a interseção de r e a seria um ponto Q não pertencente a r já que r e s são paralelas Mas isto faria com que os planos distintos 170 Pontos Retas e Planos a e 13 tivessem em comum a reta r e o ponto exterior Q o que é impossível P Fig 78 Uma reta paralela a um plano Em resumo uma reta r e um plano a podem estar em um dos casos a seguir Posição relativa de T e a Interseção de T e a r contida em cc a própria reta r r secante a oc um único ponto r paralela a a vazia 75 Posição Relativa de Dois Planos Obtemos uma classificação para a posição relativa de dois planos procurando responder à pergunta como pode ser a interseção de dois planos distintos A primeira observação é a seguinte Se dois planos distintos possuem mais de um ponto em comum sua interseção é uma reta neste caso dizemos que os planos são secantes De fato se os pontos P e Q são comuns a a e 3 então pelo Postulado 3 a reta r definida por P e Q está contida simultanea mente em a e 3 e portanto em sua interseção Por outro lado se houvesse um ponto R comum a a e 3 que não pertencesse a r A Matemática do Ensino Médio Volume 2 171 os planos a e 3 seriam coincidentes já que r e R determinam um único plano Logo r é a interseção de a e 3 A figura 79 mostra uma situação em que temos dois planos secantes O plano a é definido pela reta r e pelo ponto exterior A O ponto B é exterior a a e define com r um outro plano 3 Os planos a e 3 têm por interseção a reta r são portanto secantes Fig 79 Planos secantes A próxima possibilidade a ser considerada é a de dois planos terem exatamente um ponto em comum Uma consulta a nosso modelo mental para planos no espaço tridimensional nos conven cerá de que essa possibilidade não existe Tal impossibilidade no entanto não decorre dos postulados anteriores na verdade na Geometria Euclidiana do espaço de dimensão superior a 3 é per feitamente possível dois planos terem exatamente um ponto em comum e deve ser estabelecida através de mais um postulado Postulado 4 Se dois planos possuem um ponto em comum então eles possuem pelo menos uma reta em comum Restanos apenas mais uma possibilidade a de que os planos sejam paralelos isto é não possuam pontos comuns Mas exis tem realmente planos que não tenham ponto em comum Nossa intuição diz que sim e o argumento a seguir fornece uma confir mação mostrando como construir um plano paralelo a um outro Construção de um plano paralelo a um plano dado Seja P um ponto exterior ao plano a figura 710 Tomemos duas retas 172 Pontos Retas e Planos concorrentes r e s em a Sejam r e s as paralelas ares conduzidas por P Estas retas determinam um plano 3 que é como vamos provar paralelo a a Fig 710 Planos paralelos Suponhamos que 3 não seja paralelo a a Então a e 3 possuem uma reta de interseção t As retas r s e t são coplanares Por outro lado as retas r e s não podem ser ambas paralelas a t Logo pelo menos uma delas digamos r é concorrente com t e portanto secante a a Mas como r é paralela a uma reta de a resulta que r é paralela a a Temos portanto uma contradição o que demonstra que a e 3 são paralelos A construção acima mostra como construir um plano paralelo a a passando pelo ponto exterior P Na verdade este plano é único veja o exercício 19 O quadro abaixo resume as situações possíveis para a posição relativa de dois planos distintos a e 3 Posição relativa de a e 3 Interseção de a e 3 secantes uma reta r paralelos vazia 76 Construindo Sólidos Com as propriedades já estabelecidas podemos já nesse ponto A Matemática do Ensino Médio Volume 2 173 construir nossos primeiros sólidos A maior parte dos livros di dáticos para o 29 grau adia a apresentação dos sólidos clássicos prismas pirâmides esfera etc para mais tarde quando se en sina a calcular áreas e volumes desses sólidos Nada impede no entanto que eles sejam apresentados mais cedo de modo a colabo rar na fixação dos conceitos fundamentais já que exemplos muito mais ricos de situações envolvendo pontos retas e planos podem ser elaborados com seu auxilio Construção de Pirâmides e Cones Considere um polígono plano Ai A2 An e um ponto V exterior ao plano do polígono figura 711 Traçamos os segmentos VA VA2 VAU Cada dois vértices consecutivos de Ai A2 An determinam com V um triângulo Estes triângulos juntamente com o polígono Ai A2 An delimitam uma região do espaço que é a pirâmide de base Ai A2 An e vértice V A região do espaço limitada pela pirâmide é formada pelos pontos dos segmentos de reta que ligam o vértice V aos pontos do polígonobase Os segmentos VAi VA2 VA são chamados arestas laterais e os triângulos VAi A2 VA2A3 VAnAi de faces laterais da pirâmide Pirâmides triangulares ou tetráedros apresentam a particularidade de que qualquer de suas faces pode ser considerada a base da pirâmide Fig 711 Uma pirâmide pentagonal um tetraedro e um cone 174 Pontos Retas e Planos Pirâmides são casos particulares de cones Em um cone a base não precisa ser um polígono mas qualquer região plana deli mitada por uma curva fechada e simples isto é que não corta a si própria Os cones mais importantes são os cones circulares em que a base é um círculo Em um cone cada um dos segmentos que ligam o vértice aos pontos situados sobre a curva que delimita a base de geratriz do cone A união de todos esses segmentos é uma superfície chamada de superfície lateral do cone Construção de Prismas e Cilindros Seja A1 A2 A1 um polígono contido em um plano a figura 712 Escolhemos um ponto B1 qualquer não pertencente a a Por Bi traçamos o plano 3 paralelo a a Pelos demais vértices A2 A traçamos retas paralelas a Ai Bi que cortam 3 nos pontos B2 B isto implica em que todas estas retas Sejam paralelas entre si veja o exercício 18 Tomemos dois segmentos consecutivos assim determinados Ai Bi e A2B2 por exemplo O quadrilátero Ai B B2A2 é plano já que os lados A1B e A2B2 são paralelos Mas isto implica em que os outros dois lados também sejam paralelos pois estão contidos em retas coplanares que não se intersectam por estarem contidas em planos paralelos Portanto o quadrilátero é um paralelogramo Os paralelogramos assim determinados juntamente com os polí gonos A1A2 AT e B1 B2 B determinam um poliedro chamado de prisma de bases Ai A2 Ar e B B2 B A região do espaço delimitada por um prisma é formada pelos pontos dos segmentos nos quais cada extremo está em um dos polígonosbase As arestas Ai Bi A2B2 AnB são chamadas de arestas laterais Todas as arestas laterais são paralelas e de mesmo comprimento arestas laterais consecutivas formam paralelogramos que são chamados de faces laterais do prisma As bases A1A2 Ai e B1 B2 B são congruentes De fato estes polígonos possuem lados respec tivamente iguais e paralelos já que as faces laterais são parale logramos e em conseqüência possuem ângulos respectivamente iguais como na Geometria Plana ângulos determinados por retas paralelas do espaço são iguais veja o exercício 20 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 175 Um caso particular ocorre quando a base é um paralelogramo Neste caso o prisma é chamado de paralelepípedo Paralelepípe dos são prismas que têm a particularidade de que qualquer de suas faces pode ser tomada como base duas faces opostas quais quer estão situadas em planos paralelos e são ligadas por arestas paralelas entre si A generalização natural de prisma é a noção de cilindro em que a base pode ser qualquer região plana delimitada por uma curva simples e fechada Cada um dos segmentos paralelos que passam pelos pontos da curva e são delimitados pelos planos pa ralelos é uma geratriz do cilindro Fig 712 Um prisma pentagonal um paralelepípedo e um cilindro Aplicações Vejamos alguns exemplos em que usamos os sólidos definidos acima para ilustrar situações envolvendo interseções de retas e planos Exemplo Consideremos uma pirâmide quadrangular de base ABCD e vértice V figura 713 As arestas laterais opostas VA e VC determinam um plano a enquanto VB e VD determinam um plano B Qual é a interseção de a e 3 Os planos a e 3 são distintos A por exemplo está em a mas não em 3 e têm um ponto comum V Logo sua interseção é uma reta r que passa por V Para localizarmos um segundo ponto de r considermos as interseções de a e 3 com o plano da base que são as diagonais AC e BD respectivamente do quadrilátero ABCD Logo o ponto de interseção de AC e BD é comum aos três planos 176 Pontos Retas e Planos oc Í3 e AB CD portanto está na reta de interseção de cc e 3 Assim a e 3 se cortam segundo a reta que passa por V e pelo ponto de interseção de AC e BD Figura 713 Exemplo Consideremos um prisma triangular ABCDEF fi gura 714 Quantos planos distintos são determinados por um subconjunto dos 6 vértices do paralelepípedo Fig 714 Planos determinados pelos vértices de um prisma triangular Se os 6 vértices do prisma estivessem em posição geral ou seja dispostos de forma tal que quatro quaisquer deles não fos sem coplanares cada subconjunto de 3 pontos determinaria um plano Teríamos assim um total de C 20 planos No caso do A Matemática do Ensino Médio Volume 2 177 prisma triangular no entanto a situação não é esta Podemos começar a listar os planos definidos pelos vértices a partir das fa ces temos 3 faces laterais e 2 bases Outros planos formados a partir dos vértices terão necessariamente que ser determinados por 2 vértices de uma base e pelo vértice da outra base que seja extremo da aresta lateral que não passa por nenhum dos dois pri meiros Há 6 planos nestas condições já que este último vértice pode ser qualquer um dos vértices do prisma Temos então um total de 11 planos 77 Descobrindo Relações de Paralelismo Apresentamos abaixo uma lista de situações nas quais o parale lismo de certas entidades planos ou retas pode ser deduzida a partir do paralelismo de outras retas e planos 1 Uma reta é paralela a um plano se e somente se ela é paralela a uma reta do plano 2 Dados dois planos secantes uma reta de um deles é paralela ao outro se e somente se ela é paralela à reta de interseção dos dois planos 3 Se um plano a corta o plano 3 segundo a reta r então ele corta qualquer plano paralelo a 3 segundo uma reta paralela a r 4 Dois planos são paralelos se e somente se um deles é paralelo a duas retas concorrentes do outro alternativamente dois pla nos distintos são paralelos se e somente se um deles contém duas retas concorrentes respectivamente paralelas a duas re tas do outro Algumas dessas propriedades já foram apresentadas ou apli cadas anteriormente e sua demonstração fica por conta do leitor A seguir mostramos situações em que podemos utilizar as proprie dades acima para identificar relações de paralelismo em um sólido simples Exemplo Vamos tomar um paralelepípedo AB CD EFGH e obser var algumas relações de paralelismo entre as retas e planos lá presentes figura 715 178 Pontos Retas e Planos Figura 715 a A aresta AE é paralela à face BCGF Justificativa Basta notar que AE é paralela à reta BF de BCGF b A diagonal AH da face AD HE também é paralela à face B CGF Justificativa Os planos das faces opostas de um paralelepípedo são paralelos note que as retas AD e AE de ADHE são respectiva mente paralelas às retas BC e BF de BCGF Como AH está contida em um plano paralelo à face BCGF AH é necessariamente para lela a BCGF cA interseção dos planos a e 3 determinados pelos pares de arestas laterais opostas AE CG e BFDH é uma reta que passa pelos pontos Q e R de interseção das diagonais das bases e que é paralela a aquelas arestas figura 716 H Figura 716 Justificativa Primeiro observamos que as diagonais AC e BD da base inferior estão contidas respectivamente em a e 3 Logo A Matemática do Ensino Médio Volume 2 179 seu ponto Q de interseção está na reta de interseção O mesmo argumento se aplica a R Por outro lado AE é paralela a 3 já que é paralela à reta BF de 3 Portanto AE é necessariamente paralela à reta r de interseção de a e 3 d O plano a determinado pelos pontos A Ce H é paralelo ao plano 3 determinado pelos pontos B E e G figura 717 H Figura 717 Justificativa Tomemos as diagonais faciais AC e EG As re tas AC e EG são as interseções do plano definido pelas arestas laterais AE e CG com os planos paralelos das bases do parale lepípedo Logo AC e EG são paralelas O mesmo argurnento se aplica por exemplo a BC e AH Logo a possui um par de retas concorrentes que são paralelas a retas de 3 e em conseqüência a e 3 são paralelos 78 Planos Paralelos e Proporcionalidade Da Geometria Plana trazemos o bom hábito de associar retas pa ralelas com proporcionalidade através do Teorema de Tales que estabelece a proporcionalidade dos segmentos determinados em duas secantes por um feixe de retas paralelas e de semelhança de triângulos ao se cortar um triângulo por uma reta paralela a 180 Pontos Retas e Planos uma dos lados se obtém um triângulo semelhante a ele Existem propriedades perfeitamente análogas para planos paralelos Teorema de Tales para Planos Paralelos Um feixe de pla nos paralelos determina segmentos proporcionais sobre duas retas secantes quaisquer Demonstração A demonstração consiste em reduzir o teorema ao seu correspondente no plano que é o teorema de Tales sobre feixe de retas paralelas Sejam a 3 e y três planos paralelos e sejam ri e T2 duas retas secantes quaisquer figura 718 Fig 718 Teorema de Tales para planos paralelos A reta ri corta os planos nos pontos Ai Bi e Ci e r2 corta os mes mos planos nos pontos A2 B2 e C2 Pelo ponto Ai de ri traçamos uma reta r paralela a r2 que corta os três planos nos pontos A1 13 e C As retas ri e r determinam um plano que corta 3 e y segundo as retas paralelas B1B e Ci C Logo pelo Teorema de AiBi B1 C1 A1 C1 Tales para retas paralelas temos Mas A113 13g Ai A1B A2132 BC B2C2 e A1C A2C2 por serem segmen A Matemática do Ensino Médio Volume 2 181 tos de retas paralelas compreendidos entre retas paralelas Logo Ai Bi BiCi AiCi temos A2B2 B2C2 A2C2 Construção de Pirâmides Semelhantes Consideremos agora uma pirâmide de base Ai A2 A e vértice V figura 719 Tra cemos um plano paralelo à base que corta as arestas laterais se gundo o polígono Bi B2 B e que divide a pirâmide em dois po liedros um deles é a pirâmide de base B1 B2 B e o outro é cha mado de tronco de pirâmide de bases Ai A2 A1 e 131132 B Consideremos as duas pirâmides e examinemos suas faces late rais Na face lateral VA A2 por exemplo o segmento B1 B2 é pa ralelo à base Em conseqüência o triângulo VB1 B2 é semelhante VB VB2 B1B2 ao triângulo VA I A2 Logo temos A k VA Vit2 A1A2 Aplicando o mesmo raciocínio para as demais faces laterais con cluímos que a razão entre duas arestas correspondentes das duas pirâmides é sempre igual a k V Fig 719 Seccionando uma pirâmide por um plano paralelo à base Na verdade as duas pirâmides do exemplo são semelhantes na razão k ou seja é possível estabelecer uma correspondência entre seus pontos de modo que a razão entre os comprimentos de segmentos correspondentes nas duas figuras seja constante Esta correspondência é estabelecida da seguinte forma dado um ponto P da pirâmide VAi A2 ATI seu correspondente na pi 182 Pontos Retas e Planos VP râmide VB1B2 13 é o ponto P sobre VP tal que VP k O ponto P certamente pertence à segunda pirâmide Além disso tomando um segundo par de pontos correspondentes Q e Q os triângulos VPQ e VPQ são semelhantes na razão k o que implica pQ em PQ k Logo a razão entre segmentos correspondentes nas duas pirâmides é sempre igual a k o que demonstra a sua semelhança O que fizemos acima pode ser visto de maneira mais geral e transformado em um método para obter uma figura espacial semelhante a uma figura dada Dado um ponto V do espaço e um número real k a homotetia de centro V e razão k é a função a que associa a cada ponto P do espaço o ponto P sobre VP tal que VP kVP figura 720 Fig 720 Figuras homotéticas Duas figuras F e F são homotéticas quando existe uma homote tia a tal que aF E Assim as duas pirâmides do exemplo anterior são homotéticas Duas figuras homotéticas são sempre semelhantes pelo mesmo argumento utilizado acima dados dois pontos P e Q em F seus correspondentes P e Q em F são tais que os triângulos VPQ e VPQ são semelhantes na razão k 79 Atividades em Sala de Aula Muitas vezes o professor tem dificuldades em motivar o aluno para os conceitos iniciais de Geometria no Espaço Sugerimos a seguir algumas estratégias para despertar um maior interesse por parte dos alunos A Matemática do Ensino Médio Volume 2 183 Uma primeira recomendação é evitar apresentar o assunto já de forma completamente arrumada para o aluno É importante construir a classificação da posição relativa de retas e planos com a participação dos alunos apresentando exemplos provocativos como o da figura 71 Devese procurar também buscar exemplos de planos e retas em diversas posições no espaço que cerca o aluno Podese por exemplo convidar os alunos a obter exemplos de retas reversas dentro da sala de aula A apresentação precoce de figuras de interesse é uma outra forma de motivar o aluno e demonstrar a relevância dos conceitos O aluno deve ser convidado a explorar as figuras identificando retas e planos e determinando sua posição relativa É importante ilustrar casos de paralelismo em figuras bem conhecidas como prismas e pirâmides Devese explorar bastante o conceito de semelhança aprovei tando para fazer uma revisão de semelhança de figuras planas Atividades usando homotetia para reduzir ou ampliar figuras são também recomendadas Exercícios 1 A figura 721 abaixo representa uma ponte sobre uma estrada de ferro Sejam a e 3 respectivamente os planos da pista da ponte e o do leito da estrada de ferro e sejam r e s as retas que representam o eixo da pista e um dos trilhos Quais são as posições relativas de a pr e s Figura 721 184 Pontos Retas e Planos 2 Quantos são os planos determinados por 4 pontos não copla nares 3 Quantos planos distintos são determinados por um subcon junto dos vértices do paralelepípedo ABCDEFGH 4 Qual a seção determinada em um paralelepípedo ABCDEFGH pelo plano AB G 5 Duas retas r e s são concorrentes em um ponto O Fora do plano determinado por r e s tomamos um ponto P qualquer Qual é a interseção do plano definido por r e P com o plano definido por se P 6 Sejam r e s duas retas reversas A um ponto em r e B um ponto em s Qual é a interseção do plano a definido por r e B com o plano 3 definido por s e A 7 Sejam r e s duas retas reversas Sejam A e B pontos distintos de r e CeD pontos distintos de s Qual é a posição relativa das retas AC e BD 8 Sejam r e s duas retas reversas e P um ponto qualquer do espaço Diga como obter a um plano contendo r e paralelo a s b um par de planos paralelos contendo r e s respectivamente c uma reta passando por P e se apoiando em r e s 9 Seja r uma reta secante a um plano a e P um ponto exterior a a É sempre possível traçar uma reta que passa por P encontra r e é paralela a cx 10 Se dois planos são paralelos a uma reta então eles são pa ralelos entre si Certo ou errado 11 Sejam A B C e D pontos quaisquer do espaço não necessa riamente coplanares Sejam M N P e Q os pontos médios de AB BC CD e DA respectivamente Mostre que MNPQ é um para lelogramo Use este fato para demonstrar que os três segmentos A Matemática do Ensino Médio Volume 2 185 que unem os pontos médios das arestas opostas de um tetraedro qualquer AB CD se encontram em um mesmo ponto 12 Suponha que os planos a 3 e y têm exatamente um ponto em comum Existe uma reta que seja simultaneamente paralela a a 3 e y 13 Sejam a 3 e y três planos distintos Mostre que as posições relativas possíveis dos planos são a Os três planos são paralelos b Dois deles são paralelos e o terceiro é secante a ambos cor tandoos segundo retas paralelas c Os três planos se cortam segundo uma reta d Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas para lelas e Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas con correntes o ponto comum às três retas é o único ponto comum aos três planos 14 Seja ABCD um paralelogramo Pelos vértices A B C e D são traçadas retas não contidas no plano AB CD e paralelas entre si Um plano a corta estas retas em pontos A B C e D situados no mesmo semiespaço relativo ao plano de AB CD de modo que AA a BB b CC c e DD d Mostre que a c b d 15 Por um ponto qualquer da aresta AB de um tetraedro qual quer AB CD é traçado um planpo paralelo às arestas AC e BD Mos tre que a seção determinada por este plano no tetraedro é um pa ralelogramo 16 Considere um paralelepípedo ABCDEFGH Quais são as diversas formas possíveis para uma seção determinada no sólido por um plano contendo a aresta AB 17 Seja ABCDEFGH um paralelepípedo tal que AB AD AE 6 Estude as seções determinadas neste paralelepípedo pelos planos definidos pelos ternos de pontos M N P abaixo a M A N ponto médio de CG e P ponto médio de DH 186 Pontos Retas e Planos b M A N C P ponto médio de FG c M A N ponto médio de CG e P ponto médio de F G d M ponto médio de AE N ponto médio de BC P ponto médio de GH 18 Mostre que duas retas distintas paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si 19 Mostre que por um ponto dado passa um único plano pa ralelo a um plano dado 20 Sejam r e s do espaço concorrentes em P Sejam r e s pa ralelas a r e s respectivamente traçadas por um ponto Q Mostre que os ângulos formados por r e s são iguais aos ângulos formados por r e s 21 Considere dois planos a e 6 Qual é o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos cujos extremos estão em a e 6 respectivamente Examine todas as possíveis posições relativas de a e 6 22 Dada uma reta r secante ao plano a e um ponto P exterior ar e a a diga como construir um segmento cujos extremos estão em r e a cujo ponto médio seja P 23 Dadas as retas reversas duas a duas r s e t encontrar uma reta que as encontre nos pontos R S e T respectivamente de modo que S seja ponto médio de RT 24 Uma câmera fotográfica rudimentar pode ser construída fazendo um pequeno furo em uma caixa de modo que imagens de objetos sejam formadas na parede oposta e registradas em um filme como ilustrado na figura 722 Suponha que a câmara da figura tenha 10 cm de profundidade a Que dimensões terá a fotografia de uma janela de 3 m de com primento e 15 m de largura paralela ao plano do filme e si tuada a 6 m da câmera A Matemática do Ensino Médio Volume 2 187 b Se uma pessoa tem 175 m de altura e o filme usado é de 35 mm x 25 mm a que distância mínima da câmera a pessoa deverá ficar para que possa ser fotografada de corpo inteiro Figura 722 25 Verifique através de um exemplo que dois poliedros com arestas respectivamente proporcionais não são necessariamente semelhantes Mbstre porém que dois tetraedros de arestas res pectivamente proporcionais são semelhantes 26 A que distância da base de uma pirâmide de altura h deve ser conduzido um plano paralelo de modo que a área da seção determinada seja metade da área da base Capítulo 8 Perpendicularismo Neste capítulo lidamos com outra noção fundamental a de per pendicularismo envolvendo retas e planos A idéia de perpendicu larismo está presente na forma talvez mais intuitiva de passar do plano para o espaço conduzindo uma reta perpendicular ao plano da Geometria Plana e introduzindo uma dimensão a mais 81 Retas Perpendiculares O conceito de perpendicularismo entre retas vem da Geometria Plana Duas retas concorrentes são perpendiculares quando se encontram formando quatro ângulos iguais cada um deles é cha mado de ângulo reto Naturalmente esta definição continua va lendo para retas concorrentes do espaço Para estender o conceito para um par de retas quaisquer con sideramos duas retas paralelas a elas conduzidas por um ponto arbitrário figura 81 Fig 81 Retas ortogonais A Matemática do Ensino Médio Volume 2 189 Quando essas retas são perpendiculares dizemos que as retas da das inicialmente são ortogonais Note que de acordo com esta definição retas perpendiculares são um caso particular de retas ortogonais 82 Retas e Planos Perpendiculares A figura 82 ilustra o conceito de perpendicularismo entre reta e plano Dizemos que uma reta é perpendicular a um plano quando ela é ortogonal a todas as retas desse plano Isto equivale a dizer que ela é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo seu ponto de interseção com ele Fig 82 Reta perpendicular a plano Baseados em nossa experiência sabemos que por qualquer ponto de um plano podese traçar uma única reta perpendicular a esse plano Mas será que é possível mostrar tal fato a partir das propriedades básicas desenvolvidas nos capítulos anteriores A resposta é afirmativa O ponto crucial é estabelecer as condições mínimas a serem obedecidas para que uma reta seja perpendicular a um plano É interessante deixar que os alunos as descubram por si próprios através da seguinte situação Como conduzir uma reta perpendicular ao plano de uma mesa utilizando um pedaço de papel que tem pelo menos um bordo reto conforme ilustrado na figura 83a 190 Perpenclicularismo A solução consiste em dobrar o papel ao longo deste bordo reto desdobrálo parcialmente e repousar os lados do ângulo formado pelo bordo sobre a mesa conforme mostra a figura 83b A reta que contém o vinco do papel é perpendicular ao plano da mesa Vejamos como interpretar esta construção Quando dobramos o papel ao longo do bordo fazemos com que os ângulos formados pelo vinco e por cada semireta determinada no bordo sejam con gruentes Como os dois ângulos somam 180 cada um deles é reto Logo a reta que contém o vinco é perpendicular ao bordo do papel Quando repousamos o papel sobre a mesa a reta do vinco tornase então perpendicular a duas retas concorrentes do plano da mesa a b Fig 83 Como achar uma reta perpendicular a um plano O que a construção acima sugere é o seguinte teorema Teorema Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano ela é perpendicular ao plano ou seja ela forma ângulo reto com cada reta do plano Demonstração Sejam s e t duas retas de a que se encontram em A ambas ortogonais a r Sem perda de generalidade podemos supor quer passa por A senão tomamos uma paralela ar passando por A figura 84 Vamos mostrar que toda reta u de a passando por A é perpendicular a r Se u coincide com s ou t então u é certamente perpendicular a r Senão tomemos uma reta v de a tal que seu ponto de interseção U com u esteja entre os pontos de interseção S e T com s e t Em cada semiplano determinado por a tomemos pontos A1 e A2 tais que AA AA2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 191 Os triângulos retângulos A I AS e A2AS são certamente iguais já que Ai A A2A e o cateto AS é comum Logo Ai S A2S Analogamente os triângulos Ai AT e A2AT são iguais daí resul tando A1 T A2T Examinando então os triângulos Ai ST e A2ST observamos que o lado ST é comum e os demais lados são respec tivamente iguais Portanto estes triângulos são iguais Mas da igualdade de Ai ST e A2ST resulta também a igualdade de A1SU e A2SU SU é comum A15 A2S e os ângulos Ai SU e A2SU são iguais Logo Ai 11 A2U e daí os triângulos Ai AU e A2AU são iguais por possuírem lados respectivamente iguais Mas isto acarreta a igualdade dos ângulos Ai AU e A2AU Como Ai A e A2 são colineares cada um daqueles ângulos é necessariamente reto Ou seja u é perpendicular a r Fig 84 Condição para perpendieularismo de reta e plano Assim provamos que toda reta de a passando por A é perpen dicular a r e portanto que r e a são perpendiculares À primeira vista a estratégia usada na demonstração do teorema acima pode parecer artificial como saber que deveríamos começar tomando pontos sobre r simétricos com relação a A Ela reflete no en tanto a íntima relação entre perpendicularismo congruência e si metria O uso de pontos simétricos em relação a A permitiu o uso de congruência de triângulos para mostrar que r forma ângulos 192 Perpendicularismo iguais com uma reta arbitrária do plano ou seja que r é perpen dicular a essa reta Com o auxílio do teorema acima podemos então fazer duas construções fundamentais Construção do plano perpendicular a uma reta por um de seus pontos Seja r uma reta e A um de seus pontos figura 85 Tomemos dois planos distintos contendo r e em cada um tracemos a perpendicular a r passando por A Estas duas retas determinam um plano que certamente é perpendicular a r já que r é perpendicular a duas retas concorrentes deste plano Fig 85 Construção de plano perpendicular a uma reta Construção da reta perpendicular a um plano por um de seus pontos Consideremos um plano a e um ponto A em a Tomemos duas retas concorrentes s e t ambas passando por A e contidas em a Utilizando a construção anterior existem planos e y contendo A e respectivamente perpendiculares a s e t A reta r de interseção de 3 e y é perpendicular as e a t por estar contida em planos respectivamente perpendiculares a cada uma delas Logo r é perpendicular a a A Matemática do Ensino Médio Volume 2 193 Fig 86 Construção de reta perpendicular a um plano Acima mostramos como construir a um plano perpendicular a uma reta passando por um de seus pontos Na verdade aquele é o único plano perpendicular à reta passando pelo ponto dado Da mesma forma a reta perpendicular a um plano dado passando por um de seus pontos também é única Outra observação é que não é preciso nos teoremas acima exigir que o ponto dado pertença à reta dada ou ao plano dado Ou seja por qualquer ponto do espaço passa um único plano perpendicular a uma reta dada e uma única reta perpendicular a um plano dado Tudo isso é conseqüência dos seguintes fatos a respeito de retas e planos perpendiculares veja o exercício 2 Se uma reta é perpendicular a um plano toda reta paralela a ela é também perpendicular ao mesmo plano Se um plano é perpendicular a uma reta todo plano paralelo a ele é também perpendicular à mesma reta Se duas retas distintas são perpendiculares ao mesmo plano elas são paralelas entre si Se dois planos distintos são perpendiculares à mesma reta eles são paralelos entre si 83 Construções Baseadas em Perpendicularismo de Reta e Plano A noção de reta perpendicular a plano permitenos acrescentar diversas figuras importantes à nossa coleção de figuras espaciais 194 Perpendicularismo Como Vimos na demonstração do teorema a respeito das condíções suficientes para perpendícularismo de reta e plano a idéia de per pendícularísmo está estreítamente relacionada às idéias de sime tria e congruência Por essa razão figuras construídas com auxílio de retas e planos perpendiculares são ricas em propriedades a se rem exploradas Construção de prísmas retos Prismas retos são prismas obti dos tomando para as arestas lateraís retas perpendiculares ao plano da base ñgura 87 Em conseqüência as faces lateraís são retângulos Há diversos casos particulares 1mportantes Quando a base é um polígono regular obtemos um prisma regular Quando a base é um retângulo obtemos um paralelepípedo retângulo ou bloco retangular no qual cada face é um retângulo assim um paralelepípedo retângulo é um prísma reto onde qualquer face serve como base Ainda mais especial é 0 caso do cubo ou he xaedro regular paralelepípedo retângulo no qual cada face é um quadrado Fig 87 Um prisma hexagonal ret0 um paralelepípedo retângulo um cubo e um cílíndro de revolução De modo aná10g0 deñnimos cilindro reto como um cilindro no qual as geratrizes são perpendiculares ao plano da base Um caso particular importante é o cilindro circular ret0 no qual a base é um círculo A reta perpendicular aos planos das bases passando pelo centro do círculo é chamada de eixo do cilindr0 Um cilindro circular reto também é chamado de cilindro de revoluçã0 pois é o A Matemática do Ensino Médio Volume 2 195 sólido gerado quando um retângulo faz um giro completo em torno do eixo dado por um de seus lados Construção de pirâmides regulares São construídas toman do um polígono regular A A2 An como base e escolhendo como vértice um ponto V situado sobre a perpendicular ao plano do polígono conduzida pelo seu centro O figura 88 Os triângulos retângulos VOA VOA2 VOA são triângulos retângulos iguais por possuírem catetos respectivamente iguais VO é co mum a todos e 0A1 0A2 0A já que O é o centro do polígono Em conseqüência VAI VA2 VA o que faz com que as faces laterais sejam triângulos isósceles iguais Podemos fazer uma construção análoga tomando como base um círculo e como vértice um ponto situado sobre a perpendicular ao plano da base A figura assim obtida é chamada de èone circular reto A reta que contém o vértice e o centro da base é chamada de eixo do cilindro Um cone circular reto também é chamado de cone de revolução por ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do eixo dado por um dos catetos Fig 88 Uma pirâmide quadrangular regular e uni cone de revolução Construção de um tetraedro regular Considermos uma pi râmide triangular regular de base ABC e vértice V Um tetraedro regular é obtido escolhendo o vértice V sobre a perpendicular ao plano da base traçada por seu centro O de modo que as arestas laterais VA VB e VC sejam iguais às arestas AB AC e BC da base 196 Perpendicularismo figura 89 As faces da pirâmide assim obtida são triângulos equiláteros iguais Além disso se por A tomamos a perpendi cular ao plano de VBC que corta este plano em P os triângulos retângulos APB APV e APC são iguais já que suas hipotenusas são iguais e o cateto AP é comum a todos os três Assim temos PB PC PV Logo P é o centro do triângulo equilátero VBC o que faz com que a pirâmide seja regular qualquer que seja a face tomada como base Fig 89 Um tetraedro regular A figura sugere que as retas VO e AP isto é as retas perpendicula res a duas faces do tetraedro regular traçadas pelo vértice oposto a cada uma destas faces sejam coplanares De fato isto ocorre Consideremos o plano a determinado pela reta VO e pelo vértice A Este plano corta o plano da base ABC segundo a reta AO Mas como ABC é um triângulo equilátero de centro O AO corta o lado BC em seu ponto médio M Logo a altura VM da face VB C está contida no plano a em particular o ponto P que é o centro de VBC está neste plano Logo a reta VP está contida em a o que mostra que VP e AO são concorrentes Como os pontos de VO são equidistantes de A B eC e os pontos de AP são equidistantes de V B e C o ponto de interseção de VO e AP é um ponto equidistante dos quatro vértices do tetraedro chamado de centro do tetraedro A Matemática do Ensino Médio Volume 2 197 O argumento acima mostra na realidade que as quatro perpen diculares traçadas de cada vértice à face oposta passam todas pelo ponto O Construção de um octaedro regulai Um octaedro regular pode ser construído a partir de três segmentos iguais e mutua mente perpendiculares AB CD e EF que se cortam no ponto médio O de cada um deles figura 810 Os segmentos definidos por es tes pares de pontos exceto os que definem os segmentos originais são todos iguais Traçando todos estes segmentos obtemos um po liedro com oito faces triangulares regulares chamado de octaedro regular Um octaedro regular pode ser também obtido tomando duas pirâmides quadrangulares regulares iguais em que as faces laterais são triângulos equiláteros e justapondo estas pirâmides através de suas bases Fig 810 Um octaedro regular O tetraedro regular o hexaedro regular e o octaedro regular são exemplos de poliedros regulares Um poliedro regular é um poliedro em que todas as faces são polígonos regulares iguais e to dos os vértices são incidentes ao mesmo número de arestas Como veremos posteriormente é possível demonstrar que além dos três poliedros regulares apresentados acima existem apenas dois ou 198 Perpendicularismo tros o dodecaedro regular com 12 faces pentagonais e o icosaedro regular com 20 faces triangulares Projeções ortogonais A projeção ortogonal de um ponto P do espaço sobre um plano a é o ponto P em que a perpendicular a a traçada por P corta a A projeção ortogonal de uma figura qualquer F é obtida projetandose cada um de seus pontos Fig 811 Projeção ortogonal Uma ou mais projeções ortogonais são freqüentemente utilizadas como forma de representar figuras espaciais no plano Em Dese nho Técnico por exemplo é comum representar sólidos que po dem ser por exemplo peças mecânicas através de três vistas or tográficas frontal topo e perfil que são o resultado de projetar as figuras em três planos definidos dois a dois por três eixos mutua mente perpendiculares A vista frontal por exemplo mostra como um observador situado à frente do objeto e infinitamente distante do objeto o veria As demais vistas têm interpretações análogas A figura 812 mostra um sólido e suas vistas Nestas vistas são desenhadas as projeções ortogonais das arestas do sólido Observe que alguns segmentos são representados em tracejado Isto signi fica que eles são obscurecidos por alguma face do sólido isto é existe algum ponto do objeto situado mais próximo do observador cuja projeção está sobre o segmento A Matemática do Ensino Médio Volume 2 199 Frontal Perfil Topo Fig 812 Um sólido e suas vistas Pedir que o aluno desenhe vistas de sólidos é uma excelente forma de desenvolver sua visão especial Um exercício ainda mais interessante é o de resgatar um sólido a partir de suas vistas Simetria e reflexão O simétrico de um ponto P em relação a um plano a é o ponto P obtido através da seguinte construção figura 813 Conduzimos por P a reta perpendicular a a que corta a em Q O ponto P é o ponto sobre o prolongamento de PQ tal que QP PQ isto é P é o simétrico de P em relação a Q O ponto resultante P pode ser interpretado como sendo a imagem do ponto P refletida em um espelho plano coincidente com a Este é um bom momento para observar que também na Geo metria como em toda a Matemática podemos fazer bom uso do conceito de função Se designamos por E o conjunto dos pontos do espaço a função R E E que associa a cada ponto P do espaço o seu simétrico P em relação a a é chamada de simetria ou reflexão em torno de a Funções que associam pontos do espaço a pontos do espaço são muitas vezes chamadas de transformações do espaço Reflexões são exemplos de isometrias isto é de transformações do espaço que têm a propriedade de que a distância entre as imagens de dois pontos quaisquer é igual à distância entre os dois pontos dizemos por esse motivo que isometrias preservam distâncias O livro Isometrias de Elon Lages Lima da Coleção do Professor de Matemática da SBM é uma ótima referência para um estudo 200 Perpendicularismo da Geometria sob o ponto de vista das transformações do espaço Fig 813 Simetria em relação a um plano Sistema de coordenadas tridimensionais Um sistema de coordenadas para o espaço é construído a partir de três eixos mu tuamente perpendiculares e com uma origem comum Para cons truir um tal sistema basta tomar duas retas perpendiculares con tidas em um certo plano e conduzir a reta perpendicular a este plano passando pelo ponto de interseção das retas As coorde nadas de um ponto P qualquer do espaço são obtidas através da interseção com cada eixo do plano que passa por P e é perpendi cular ao eixo Isto também equivale a obter a projeção ortogonal de P sobre os planos definidos por cada par de eixos e a seguir projetar os pontos obtidos sobre cada eixo X Fig 814 Sistema de coordenadas tridimensionais A Matemática do Ensino Médio Volume 2 201 84 Planos Perpendiculares Tomemos dois planos secantes a e 6 e tracemos um plano y per pendicular à sua reta r de interseção que corta a e 6 segundo as retas s e t O ângulo entre s e t não depende da posição escolhida para y todos os planos perpendiculares a r são paralelos entre si e portanto cortam a e 3 segundo retas respectivamente paralelas Quando s e t formam um ângulo reto dizemos que os planos a e 3 são perpendiculares figura 815 Fig 815 Planos perpendiculares Note que se a e 6 são perpendiculares então a reta r de a é perpendicular às retas s e t de 6 Logo r é uma reta de a que é perpendicular a 6 Na verdade a existência em um plano de uma reta perpendicular a um outro é condição necessária e suficiente para que os planos sejam perpendiculares Teorema Dois planos a e 6 são perpendiculares se e somente se um deles contém uma reta perpendicular ao outro Demonstração Se a e 6 são perpendiculares então certamente existe uma reta de a perpendicular a 3 conforme explicamos no parágrafo anterior Por outro lado suponhamos que uma reta r de a seja perpendicular a 6 figura 816 O plano a corta 6 segundo uma reta t que é perpendicular a r Pelo ponto de interseção de r e t traçamos a reta s contida em 3 e perpendicular a t O plano definido por r es é perpendicular a t já que contém duas 202 Perpenciicularismo retas que lhe são perpendiculares Logo o ângulo formado por a e 3 é por definição o ângulo formado por r e s Mas r e s são perpendiculares já que r é perpendicular a 3 Portanto a e 13 são de fato perpendiculares Nos exemplos vistos no final da seção anterior aparecem vá rios pares de planos perpendiculares Em cada caso o argumento para justificar o perpendicularismo entre os planos consiste em identificar uma reta em um dos planos que seja perpendicular ao outro e aplicar o teorema anterior Assim as faces laterais de um prisma reto são perpendicula res ao plano da base já que cada face lateral contém uma aresta lateral perpendicular à base O plano contendo as alturas VO e AP do tetraedro regular VAB C é perpendicular às faces ABC e VB C já que as alturas são perpendiculares às respectivas bases Os planos definidos por cada par de eixos em um sistema de eixos or togonais tridimensional são mutuamente perpendiculares já que cada um desses planos contém um eixo que é perpendicular a cada um dos outros dois e em conseqüência ao plano formado por eles Fig 816 Critério de perpendicularismo de planos 85 Atividades em Sala de Aula O professor pode explorar o perpendicularismo de retas e planos no mundo que cerca o aluno paredes encontro de paredes etc A Matemática do Ensino Médio Volume 2 203 Devem ser feitos exercícios com vistas de objetos tridimen sionais quer pedindo aos alunos que desenhem as vistas de um objeto quer pedindo que eles reconheçam objetos a partir de suas vistas Exercícios 1 É verdade que duas retas distintas ortogonais a uma terceira são sempre paralelas entre si 2 Demonstre as seguintes propriedades a Seja r uma reta perpendicular ao plano a Toda reta paralela a r é perpendicular a a todo plano paralelo a a é perpendicular ar b Duas retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são pa ralelas entre si Dois planos distintos perpendiculares à mes ma reta são paralelos entre si 3 O triângulo ABC retângulo em A está contido em um plano a Sobre a perpendicular a a traçada por C tomamos um ponto D Por C traçamos por sua vez as perpendiculares CE e CF a AD e BD respectivamente Mostre que a AB é perpendicular a AD b CE é perpendicular a EF c DF é perpendicular a EF 4 Seja r uma reta do espaço e P um ponto exterior a r Qual é o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P aos planos que contém r 5 Que poliedro tem por vértices os centros das faces de um tetraedro regular de um cubo de um octaedro regular 6 Sejam VA YB e VC três segmentos mutuamente perpendicu lares Mostre que a projeção de V sobre o plano ABC é o ortocentro do triângulo ABC 7 Mostre que dois planos são perpendiculares se e só se duas 204 Perpendicularismo retas respectivamente perpendiculares a cada um deles são orto gonais 8 Se um plano a contém uma reta perpendicular a um plano p então o plano 3 contém uma reta perpendicular ao plano cx Certo ou errado 9 Dada uma reta r e um plano cx diga se é sempre possivel construir um plano perpendicular a a contendo r 10 Mostre que um plano é perpendicular a dois planos secantes se e somente se ele é perpendicular à reta de interseção dos dois planos L 11 Em um cubo ABCDEFGH mostre que os planos diagonais ABHG e EFD C são perpendiculares 12 Desenhe as vistas frontal superior e de perfil dos sólidos abaixo Figura 817 13 Desenhe um sólido cujas vistas frontal superior e de perfil sejam as dadas a seguir A Matemática do Ensino Médio Volume 2 205 Figura 818 14 A figura 819 abaixo representa as vistas frontal e superior de um sólido Que sólidos você consegue imaginar que tenham essas vistas Para cada caso forneça a vista de perfil Figura 819 15 Dizemos que um plano a é um plano de simetria de uma figura F quando a imagem de F pela reflexão em torno de oc é igual a F Encontre os planos de simetria se existirem das seguintes figuras 206 Perpendicularismo a cubo b tetraedro regular c pirâmide quadrangular regular d cilindro de revolução e cone de revolução 16 Dado um ponto P xyz em um sistema de coordenadas ortogonais encontre as coordenadas a da projeção de P no plano xy b da projeção de P no eixo Oz c do simétrico de P em relação ao plano xz 17 A figura 820 abaixo mostra a planta de um quarto com pé direito igual a 3 m Desejase instalar um fio conectando uma lâmpada localizada no centro do teto ao interruptor situado a 80 cm de altura junto à porta indicada na planta cuja altura é 195 m 270m interruptor 350m 080m 070m Figura 820 Determine o comprimento de fio necessário nos seguintes casos a O fio deve se manter tanto no teto como na parede paralelo a uma das três direções principais b O fio na parede deve ficar colocado segundo a vertical c O fio pode ficar em qualquer posição na parede e no teto Capítulo 9 Medindo Distâncias e Ângulos O objetivo deste capítulo é colocar em prática os conceitos desen volvidos nas seções anteriores para estudar problemas métricos no espaço envolvendo cálculo de ângulos e distâncias É importante destacar que praticamente todas as ferramentas que utilizaremos vêm da Geometria Plana O segredo na maior parte dos casos está em identificar um ou mais planos contendo elementos rele vantes dos problemas 91 Distância Entre Dois Pontos A distância entre dois pontos AeB é simplesmente a medida do segmento AB No plano a distância entre dois pontos é freqüen temente obtida utilizando o Teorema de Pitágoras Isto ocorre porque muitas vezes dispomos das medidas das projeções de um segmento segundo duas direções perpendiculares Esta situação freqüentemente ocorre também no espaço Novamente a ferra menta a utilizar é o Teorema de Pitágoras Diagonal de um paralelepípedo Consideremos o problema de calcular a diagonal BH d de um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH de arestas AB a AD b e AL c figura 91 Resolvemos o problema utilizando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos ABD e BDH este segundo triângulo é re tângulo porque BH é perpendicular ao plano da base e assim perpendicular à reta BD que está contida nesta base Temos BD2 a2 b2 no triângulo ABD e d2 BD2 c2 no triângulo BD H Logo d2 a 2 b2 c2 208 Medindo Distâncias e Ângulos Em particular a diagonal de um cubo de aresta a mede d a4 Fig 91 Diagonal de um paralelepípedo Plano mediador Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de dois pontos dados A e B A Fig 92 0 plano mediador Sabemos que no plano o conjunto dos pontos equidistantes de AeBéa reta mediatriz de AB isto é a perpendicular a AB pas sando pelo seu ponto médio M A situação é análoga no espaço A Matemática do Ensino Médio Volume 2 209 Um ponto P do espaço é equidistante de A e B se e somente se PM é perpendicular a AB figura 92 De fato se PM é perpendi cular a AB os triângulos retângulos PMA e PMB são iguais por possuírem um cateto comum PM e catetos iguais MA e MB assim PA PB Por outro lado se PA PB então os triângulos PAM e PBM são iguais por possuírem lados respectivamente iguais logo os ângulos PMA e PMB são iguais e portanto retos Pro vamos então que os pontos do espaço equidistantes de A e B são todos aqueles pontos P tais que a reta PM é perpendicular a AB Mas estes são exatamente os pontos do plano que passa por M e é perpendicular a AB este é o chamado plano mediador de AB 92 Distância de Ponto a Plano A distância de um ponto P a um plano cxé definida como o com primento do segmento de perpendicular traçada de P a a Note que se R é um outro ponto qualquer do plano o triângulo PQR é retângulo e tem PQ como cateto e PR como hipotenusa Assim o comprimento da perpendicular PQ é menor que o comprimento de qualquer oblíqua PR Fig 93 Distância de ponto a plano Se uma reta r é paralela a um plano figura 94a todos os seus pontos estão a igual distância do plano De fato se de dois pontos Pi e P2 da reta r paralela a a traçamos as perpendiculares Pi Qi e P2Q2 a a obtemos um retângulo Pi P2Q2Q1 Logo P1 Q j P2Q2 210 Medindo Distâncias e Ângulos Analogamente se 3 é um plano paralelo a a todos os seus pontos estão à mesma distância d de a figura 94b O número d é a distância entre os planos a e 3 Note que d é igual ao compri mento do segmento determinado pelos planos em qualquer reta perpendicular a ambos Note também que qualquer segmento de extremos em a e 3 tem comprimento maior do que ou igual a d Fig 94 Paralelismo e distância Exemplo Em um tetraedro regular ABCD de aresta a qual é a distância do vértice A ao plano BCD Isto é qual é altura do tetraedro Empregamos mais uma vez o teorema de Pitágoras Seja H a projeção de A sobre o plano BCD figura 95 Já vimos antes que o ponto H é o centro do triângulo equilátero B CD Examinemos o triângulo retângulo AHB O lado AB é a aresta do tetraedro logo AB a O lado HB é o raio do círculo circunscrito no triângulo equilátero de lado a logo ait3 HB 3 Temos então 04 2 AH2 a2 e daí AH c 4 3 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 211 C Fig 95 Altura do tetraedro regular Na figura representamos não somente o triângulo AHB mas a seção completa o triângulo ABM determinada no tetraedro re gular pelo plano que o contém O ponto M é o ponto médio da aresta CD No triângulo ABM aparecem quase todos os elemen tos métricos importantes do tetraedro regular Além da altura do tetraedro que é a altura relativa a A do triângulo ABM nele aparecem o ângulo entre duas faces o ângulo entre uma aresta e uma face a distância entre arestas opostas e os raios das esferas inscrita circunscrita e tangente às arestas do tetraedro 93 Distância de Ponto a Reta Dado um ponto P e uma reta r do espaço o ponto Q em que a reta r corta o plano perpendicular a r passando por P é chamado de projeção ortogonal de P sobre r figura 96 O comprimento do segmento PQ é a distância de P a r Quando P não pertence à reta r os pontos P e Q são distintos e PQ é a única reta perpendicular a r traçada por P P e r definem um único plano e neste plano PQ é a única perpendicular a r passando por P Se R é um outro ponto qualquer de r o triângulo PQR tem hipotenusa PR e cateto PQ logo PQ PR isto é o comprimento da perpendicular é menor que o comprimento de qualquer oblíqua 212 Medindo Distâncias e Ângulos Assim o cálculo da distância de um ponto a uma reta en volve o traçado da perpendicular à reta passando pelo ponto Uma situação muito comum é aquela onde a reta r esteja situada sobre um plano de referência por exemplo o plano do chão Nes tas situações é muitas vezes desejável que a construção da reta perpendicular se apoie em elementos deste plano de referência Isto se torna simples com o auxílio do chamado Teorema das Três Perpendiculares Fig 96 Distância de ponto a reta Teorema Se por um ponto P traçamos a perpendicular PP ao plano a e por um ponto qualquer Q de a traçamos a reta r perpen dicular a P Q então a reta PQ é perpendicular a r Demonstração Basta observar que as retas PP e P Q são am bas ortogonais a r já que PP é perpendicular a um plano contendo r e PQ é perpendicular ar Logo o plano definido por essas retas é perpendicular a r e portanto a reta PQ desse plano é perpendi cular a r Observe que a distância de P a r isto é o comprimento do segmento PQ pode ser calculada com o auxílio do Teorema de Pitágoras uma vez conhecidos os comprimentos dos segmentos A Matemática do Ensino Médio Volume 2 213 PP distância de P a a e PQ distância de P à reta r Em mui tos problemas práticos estas duas últimas distâncias são fáceis de calcular bastando escolher sabiamente o plano de referência contendo r Fig 97 Teorema das Três Perpendiculares Exemplo Considere um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH em que AB 15 AD 20 e AE 16 figura 98 Qual a medida do menor segmento que liga o vértice E a um ponto da reta BD A perpendicular baixada de E ao plano AB CD corta esse plano em A daí traçamos a perpendicular AM a BD Pelo teorema das três perpendiculares EM é perpendicular a BD e é portanto o menor segmento que liga E a BD Para calcular seu comprimento trabalhamos em dois triângulos retângulos No triângulo ABD conhecemos os catetos AB 15 e AD 20 daí obtemos a hipote nusa BD 25 e a altura AM 15 x 20 12 25 No triângulo EAM são conhecidos os catetos EA 16 e AM 12 Daí obtemos a hipotenusa EM 20 214 Medindo Distâncias e Ângulos Figura 98 94 Distância Entre Retas Reversas Vimos acima diversos casos em que definimos a distância entre duas figuras isto é dois conjuntos de pontos do espaço Todos estes casos são situações particulares abrangidas pela seguinte definição dadas duas figuras F1 e F2 definimos a distância entre F e F2 COMO o comprimento do menor segmento que tem extremos em Vi e F2 Por exemplo a distância de um ponto a um plano foi definida de modo a ser de fato o comprimento do menor segmento com um extremo no ponto dado e outro no plano Vamos empregar esta definição para um par de retas do es paço Segundo esta definição a distância entre duas retas concor rentes ou coincidentes é igual a zero Se as retas são paralelas logo coplanares ocorre uma situação já estudada na Geometria Plana cada ponto da primeira reta está a uma distância cons tante da segunda Esta distância constante que é o comprimento do segmento determinado por qualquer perpendicular a ambas é a distância entre as retas O caso mais interessante ocorre quando as duas retas são re versas Também neste caso o segmento de comprimento mínimo é dado por uma reta perpendicular a ambas mas agora existe uma só perpendicular comum às duas retas Veremos a seguir como construir esta perpendicular comum A AilaternáticEl do Ensino Médio Volurné 2 215 Construção da perpendicular comi a duas retas rever sias Começamos por traçar o par cie planos paralelos a e 3 figura 99 contendo cada uma das retas para obter tais planos basta con duzir por um ponto de cada uma das retas uma paralela à outra A seguir por um ponto Ai qualquer de r traçamos uma reta t perpendicular ao plano 3 que o corta em Bi Por B1 traçamos a paralela r a r A reta r está contida em 3 e corta s no ponto 82 Finalmente por B2 traçamos a reta t paralela a A1 B1 Note que as retas t t r e r estão todas em um mesmo plano Logo t corta T em um ponto A2 A reta t forma ângulo reto com r e s por ser perpendicular aos planos a e 3 e é concorrente com ambas É portanto uma perpendicular comum a r e s Fig 99 Perpendicular comum a duas retas reversas A perpendicular comum A2B2 entre as reversas r e s cons truída acima é única basta observar que se existisse outra per pendicular comum CD ela seria necessariamente paralela a A2B2 por serem ambas perpendiculares aos planos a e 3 Mas assim os pontos C D A2 e B2 estariam todos no mesmo plano Desta forma as retas r e s seriam coplanares o que é uma contradição Como a perpendicular comum ar esé também a perpendicu lar comum aos planos a e 3 o comprimento do segmento por ela determinado é o menor comprimento possível de um segmento cu jos extremos sejam quaisquer pontos de a e 3 Em particular como 216 Medindo Distâncias e Ângulos r e s estão respectivamente contidas em a e 3 qualquer segmento com extremos nesta reta terá comprimento maior que o segmento da perpendicular comum Logo o comprimento do segmento da perpendicular comum exprime a distância entre as duas retas Exemplo A figura 910 mostra uma ilustração de uma sala A reta AB determinada pelo encontro de duas paredes é a perpen dicular comum às retas reversas AC e BD C Figura 910 A 95 Ângulo Entre Retas Já vimos como podemos medir ângulo entre retas quaisquer no espaço basta tomar duas retas paralelas a elas passando por um ponto arbitrário O ângulo formado por essas retas concorrentes é o ângulo formado pelas retas dadas inicialmente Convém lem brar da Geometria Plana que o ângulo formado por duas retas concorrentes é definido como o menor dos quatro ângulos que elas formam está portanto compreendido entre 00 quando as retas são paralelas ou coincidentes e 90 quando as retas são ortogo nais 96 Ângulo Entre Planos Ao definir planos perpendiculares já introduzimos a forma pela qual o ângulo entre dois planos a e 3 é medido Quando a e 3 são A Matemática do Ensino Médio Volume 2 217 secantes traçamos um plano y perpendicular à reta de interseção de a e 3 que corta a e 3 segundo as retas r e s respectivamente figura 911 A medida do ângulo entre os planos é por definição igual à medida do ângulo entre as retas r e s é assim um valor entre 0 e 90 Note que este ângulo é o mesmo qualquer que seja o plano y todos os planos perpendiculares à reta de interseção de a e 3 são paralelos entre si determinando com a e 3 retas de interseção respectivamente paralelas Fig 911 Ângulo entre planos Tomemos agora um ponto A qualquer sobre o plano y e dele traçamos as retas r e s perpendiculares a a e 3 Estas retas estão contidas em y e são perpendiculares ar e s respectivamente Portanto o ângulo formado por r es é igual ao ângulo formado por r e s que por sua vez é igual ao ângulo formado pelos planos Ou seja demonstramos que o ângulo formado por dois planos é igual ao ângulo formado por duas retas respectivamente perpendiculares a estes planos Convém aproveitar a ocasião para falar em medida de um diedro Um diedro ou ângulo diedro é a figura formada por dois semiplanos chamados de faces do diedro limitados pela mesma reta chamada de aresta do diedro figura 912 Para medir um diedro conduzimos um plano perpendicular à aresta e medimos 218 Medindo Distâncias e Ângulos o ângulo entre as semiretas determinadas em cada face Observe que a medida de um ângulo diedro pode variar entre 00 e 1800 Note também que o ângulo entre dois planos secantes é igual à medida do menor diedro formado por eles Fig 912 Medida de um diedro 97 Ângulo Entre Reta e Plano Vejamos agora como definir o ângulo entre uma reta e um plano Naturalmente este ângulo deverá ser igual a 900 quando a reta é perpendicular ao plano e deverá ser igual a zero quando a reta está contida no plano ou é paralela a ele Se uma reta r é oblíqua a um plano a definimos o ângulo entre r e a como o ângulo que r forma com sua projeção ortogonal sobre a figura 913 Fig 913 Ângulo entre reta e plano A Matemática do Ensino Médio Volume 2 219 Consideremos agora uma reta qualquer s contida no plano a e vamos comparar o ângulo formado por r e s com o ângulo e formado por r e a Podemos supor que s passa pelo ponto O em que r corta a Por um ponto P de s exterior a a tracemos a perpendicular PQ ao plano a e a perpendicular PR à reta s Os triângulos retângulos OQP e ORP têm a hipotenusa comum OP enquanto os catetos opostos aos ângulos 0 e 0 são tais que PRPQ Em conseqüência sen sen O e assim 050 Além disso a igual dade só ocorre quando a reta s é a projeção ortogonal de r sobre a Portanto o ângulo entre uma reta T e um plano é igual ao menor ângulo formado por r e uma reta qualquer do plano Exemplo A figura 914 abaixo mostra a planta do telhado de uma casa Cada plano contendo uma porção do telhado é chamado de água o telhado da figura portanto posãui 4 águas Ao longo da reta de interseção de duas águas corre uma calha Sabendo que cada água é inclinada de 30 em relação à horizontal qual é a inclinação em relação à horizontal da calha AM assinalada na figura Figura 914 A figura 915 mostra uma vista em perspectiva do telhado no qual estão representados os pontos P Q e R obtidos respectivamente projetando o ponto M sobre as beiradas AB e AD do telhado e sobre o plano ABCD Os ângulos que as águas ABM e ADMN formam 220 Medindo Distâncias e Ângulos com a horizontal são iguais respectivamente aos ângulos MPR e MQR Como estes ângulos são ambos iguais a 30 os triângulos retângulos MQR e MPR são iguais já que possuem um cateto co mum MR Assim designando a menor dimensão do retângulo ABCD por 2a temos RP RQ a e MR RQ tg 30 a 3 O ângulo a que a reta AM forma com o plano horizontal é igual ao ângulo RAM do triângulo retângulo MAR do qual conhecemos os catetos MR calculado acima e AR diagonal do quadrado APRQ Assim tg MR a r3 3 AR a4 6 e Figura 915 a 22 98 A Esfera A superficie esférica ou simplesmente esfera de centro O e raio R é o conjunto dos pontos do espaço cuja distância a O é igual a R A esfera é o análogo tridimensional do círculo inclusive na am biguidade de terminologia a palavra esfera tanto pode ser usada para se referir à superfície esférica quanto ao sólido por ela deter minado lel UWw ERSeiDADEcAD EFORTALLEZA A Matemática do Ensino Médio Volume 2 221 A posição de um ponto em relação a uma esfera é determi nada pela sua distância ao centro da esfera Assim pontos cuja distância ao centro seja menor que maior que ou igual ao raio são respectivamente interiores exteriores ou estão sobre a superfície da esfera Da mesma forma a posição de uma reta ou plano em relação a uma esfera é determinada pela distância do centro a esta reta ou plano Quando a distância é maior que o raio temos uma reta ou plano exterior à esfera ou seja sem pontos de interseção com a es fera Uma reta ou plano cuja distância ao centro seja exatamente igual ao raio é tangente à esfera isto é tem apenas um ponto em comum com a esfera figura 916 Este ponto é justamente o pé da perpendicular conduzida do centro da esfera a esta reta ou plano Finalmente se a distância ao centro é menor que o raio a reta ou plano é secante à esfera Fig 916 Uma esfera um plano tangente e duas retas tangentes A interseção de uma reta secante com a esfera é um par de pon tos enquanto um plano secante corta a esfera segundo um círculo De fato os pontos de interseção de um plano com uma esfera são os pontos P do plano cuja distância PO ao centro O da esfera é igual a seu raio R Seja Q o pé da perpendicular baixada de O ao plano oc figura 917 Qualquer que seja o ponto P em a o triângulo POQ 222 Medindo Distâncias e Ângulos é retângulo em Q Logo P02 PQ2 0Q2 e assim PO R se e somente se PQ2 R2 d2 onde d OQ éa distância de O a a Portanto quando d R os pontos de a que estão na esfera se encontram em um círculo de centro Q e raio VR2 a2 Observe que esse raio é máximo quando d O isto é quando o plano contém o centro da esfera Círculos assim obtidos são chamados de círculos máximos da esfera e têm o mesmo centro e o mesmo raio que a esfera Fig 917 Plano secante a uma esfera Exemplo Calcule o raio das esferas circunscrita inscrita e tan gente às arestas a um cubo de aresta a Em qualquer paralelepípedo todas as diagonais isto é os segmentos que ligam vértices opostos têm um ponto comum que é o ponto médio de cada uma delas basta observar que as diagonais de um paralelepípedo são duas a duas diagonais de paralelogra mos O ponto de interseção das diagonais é na verdade o centro de simetria do paralelepípedo Se o paralelepípedo é retângulo todas as diagonais têm o mesmo comprimento logo existe uma esfera centrada nesse ponto e que passa por todos os vértices Essa es fera é chamada de esfera circunscrita ao paralelepípedo No caso do cubo o centro é também equidistante das 6 faces e equidis tante das 12 arestas Logo com o mesmo centro existe também A Matemática do Ensino Médio Volume 2 223 uma esfera tangente às faces que é a esfera inscrita no cubo e uma esfera tangente às arestas É fácil ver que os raios das esfe ras circunscrita inscrita e tangente às arestas do cubo têm raios respectivamente iguais à metade de uma diagonal à metade da aresta e à metade da diagonal de ama face figura 918 Logo esses raios são respectivamente 1 a4 R r e r 2 2 Fig 918 As esferas associadas a um cubo 99 Atividades em Sala de Aula Problemas envolvendo cálculo de ângulos e distâncias são uma ótima forma de fixar as noções fundamentais de Geometria no Espaço É especialmente interessante formular problemas em que as figuras representem objetos do mundo real ou modelos que os alunos possam construir veja os exercícios 5 e 6 Assim como na Geometria Plana o aluno toma contato com as circunferências inscrita e circunscrita a certos polígonos é na tural estender esse conceito para buscar esferas inscrita eou cir cunscrita aos poliedros estudados A definição de esfera pode ser introduzida a qualquer momento Ela é a mesma definição de cir cunferência no plano Relacionar esferas com os sólidos em estudo é uma excelente forma de desenvolver o raciocínio e a visão espa cial dos alunos porque não podendo representála de forma con 224 Medindo Distâncias e Ângulos veniente et um desenho serão forçados a utilizar sua definição em situações que não poderão desenhar Vejamos as principais situações 1 No cubo os alunos devem identificar as 4 diagonais calcular o comprimento e concluir que elas se córtam no centro do cubo como fizemos no exemplo acima Esta é uma primeira e natural situação para introduzir a esfera circunscrita porque fica claro que esse ponto equidista de todos os vértices É também fácil concluir que o centro do cubo equidista de todas as faces introduzindo aí a esfera inscrita 2 No paralelepípedo retângulo os alunos devem calcular o com primento de uma diagonal concluir que as 4 diagonais têm um ponto comum o centro do paralelepípedo e que esse ponto é médio de cada uma delas Ficará então claro que o paralelepípedo retân gulo possui uma esfera circunscrita cujo raio é a metade de uma diagonal A existência de uma esfera inscrita deve ser questionada e os alunos deverão concluir que essa esfera existe se e somente se o paralelepípedo retângulo for um cubo 3 Ainda falando sobre o paralelepípedo retângulo o professor deve explorar ângulos o ângulo de uma diagonal com uma aresta o ângulo de uma diagonal com uma face e o ângulo entre duas dia gonais São exercícios interessantes e que vão requerer uma re visão dos conceitos anteriores Os cosenos desses ângulos podem ser facilmente calculados em triângulos retângulos convenientes e no caso do ângulo entre duas diagonais temse uma aplicação da lei dos cosenos 4 Nos prismas regulares o professor poderá investigar com seus alunos os mesmos temas diagonais ângulos e existência das es feras inscrita e circunscrita 5 As pirâmides regulares em particular as de bases triangu lar quadrangular e hexagonal possuem relações métricas inte ressantes e o professor poderá mostrar que todas possuem sempre A Matemática do Ensino Médio Volume 2 225 as esferas inscrita e circunscrita 6 As áreas também devem ser exploradas Definindo a área de um poliedro como a soma das áreas de todas as suas faces os alunos poderão calcular também as áreas dos poliedros estudados 7 Todo cilindro reto de base circular possui uma esfera circuns crita Dado o cilindro não é difícil calcular o raio dessa esfera Para isso recomendamos que o aluno imagine o cilindro e a esfera e desenhe uma seção meridiana ou seja uma seção que contém o eixo do cone Com isso ele vai perceber que calcular o raio de uma esfera circunscrita a um cilindro é o mesmo que calcular o raio de uma circunferência circunscrita a um retângulo 8 O cilindro reto de base circular só possui uma esfera inscrita se sua altura for igual ao diâmetro da bãse O cilindro que possui uma esfera inscrita é chamado de cilindro equilátero 9 O cone reto da base circular sempre possui esferas inscritas e circunscritas Fazendo uma seção meridiana o problema de cal cular os raios dessas esferas se reduz ao problema de calcular os raios das circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo isósceles É um bom momento para recordar elementos de geome tria plana 10 Existem partes da superfície da esfera que os alunos devem conhecer e associar aos termos usados na Geografia Um plano que corta a esfera divide sua superfície em duas regiões Cada uma delas se chama uma calota Se dois planos paralelos cor tam a esfera a parte da superfície da esfera compreendida entre eles é uma zona esférica A geografia usa esses termos quando se refere às calotas polares zona equatorial e zona temperada Es sas regiões são limitadas por circunferências contidas em planos paralelos ao plano do equador da Terra chamadas de Trópico de Câncer Trópico de Capricórnio e Círculos polares e o professor poderá buscar nos livros de Geografia a localização dessas circun ferências 226 Medindo Distâncias e Ângulos Em um outro capítulo quando estivermos estudando as su perfícies de revolução calcularemos as áreas da zona e das calotas esféricas As fórmulas são simples e mesmo que não puderem ser demonstradas fornecerão elementos para interessantes proble mas 11 Termos como equador meridiano pólo norte e 1cc devem ser utilizados nos problemas porque são conhecidos e sobretudo úteis para a localização de pontos sobre a esfera O professor po derá explicar que fixando um equador e um meridiano qualquer ponto da superfície da esfera fica determinado por duas coordena das a latitude e a longitude 12 Dois meridianos delimitam uma região da superfície esférica chamada fuso esférico Esses meridianos estão contidos em dois semiplanos cuja interseção contém um diâmetro da esfera e o ângulo entre eles é o ângulo do fuso Todos conhecem a expressão fuso horário Teoricamente a superfície da Terra está dividida em 24 fusos correspondendo a cada um uma hora do dia Essa situação sugere o interessante problema de determinar que horas são em determinada cidade do nosso planeta no momento que essa pergunta estiver sendo feita no Rio de Janeiro Para responder basta saber as longitudes das duas cidades e conhecer como os fusos horários foram construídos Essa construção se encontra no exercício 22 desse capítulo Imaginamos que essas atividades sejam feitas na forma de exercícios para não tornar a teoria ainda mais extensa Isso se justifica porque na verdade não há nenhum teorema novo en volvido Tudo o que se precisa utilizar são os teoremas iniciais da Geometria Espacial e as propriedades e relações métricas da geometria plana Exercícios 1 Mostre que as arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais A Matemática do Ensino Médio Volume 2 227 2 Considere os pontos médios das arestas BC CD BF DH EF e EH de um cubo Mostre que esses seis pontos estão no mesmo plano 3 Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três pontos não colineares 4 Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois planos secantes dados E se os planos forem paralelos 5 Um pedaço de papel em forma de um quadrado AB CD é do brado ao longo da diagonal AC de modo que os lados AB e AD passem a formar um ângulo de 60 A seguir ele é colocado sobre uma mesa apoiado sobre esses lados Nessas condições calcule o ângulo que a reta AC e o plano ABC formam com o plano horizon tal Figura 919 6 Um tetraedro pode ser construído a partir de um envelope da forma descrita abaixo a Tome um envelope comum fecheo e trace as diagonais do retângulo por ele determinado b A seguir corte o envelope como indicado removendo seu quar to superior b c Agora dobre o envelope encaixando uma borda na outra Pronto Temos um tetraedro 228 Medindo Distâncias e An9u1oz Figura 920 Que propriedades interessantes possui o tetraedro formado Sob que condições ele é um tetraedro regular 7 Considere três retas mutuamente perpendiculares x y e z concorrentes em O Uma reta r passa por O e forma ângulos iguais a a 3 e y com x y e z Mostre que cos2 a cos2 3 cos2 y 1 8 Sejam a e 3 dois planos secantes Considere uma reta r qualquer contida em a Mostre que o ângulo entre r e 3 é máximo quando r é perpendicular à interseção de a e 3 retas de um plano a que são perpendiculares à sua interseção com o plano 3 são por esta razão chamadas de retas de máximo declive de a em relação a3 9 Considere um octaedro regular de aresta a Determine a A distância entre duas faces opostas b O ângulo diedro formado por duas faces adjacentes 10 As moléculas de metano CH4 têm o formato de um tetrae dro regular com um átomo de hidrogênio em cada vértice cada um deles ligado ao átomo de carbono no centro do tetraedro Calcule o ângulo formado por duas dessas ligações 12 Sejam r e s duas retas reversas ortogonais e MN o segmento da perpendicular comum Tomamse um ponto A sobre r e um ponto B sobre s Calcular o comprimento do segmento AB em função de MA a NB b e MN c 13 Mostre que a reta que une os pontos médios de duas arestas opostas de um tetraedro regular é a perpendicular comum a elas À Matemática do Ensino Médio Volume 2 229 14 Qual é a seção determinada em um tetraedro regular AB CD por um plano paralelo às arestas AB e CD e passando pelo ponto médio da aresta AC 15 Sejam dois pontos A e B não diametralmente opostos de uma esfera Mostre que existe urn somente um círculo máximo da esfera passando por A e B 16 Sejam A e B pontos cio espaço Qual é o lugar geométrico dos pontos P do espaço tais que o ângulo APB seja reto 17 Seja P um ponto exterior a um plano a e Q um ponto de a Qual é o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P às retas de a que passam por Q 18 Em um tetraedro regular de aresta a calcule os raios das esferas circunscrita inscrita e tangente às arestas 19 Em um octaedro regular de aresta a calcule os raios das esferas circunscrita inscrita e tangente às arestas 20 Quatro esferas de raio 1 são tangentes entre si exterior mente três a três e tangenciam internamente uma esfera de raio R Determine R 21 Considere nove esferas de raio R interiores a um cubo de aresta a sendo uma com centro no centro do cubo e cada uma das demais tangentes a três faces e à esfera central Calcule R em função de a 22 O nosso planeta é dividido em regiões chamadas fusos horários de modo que em cada uma delas teoricamente todos os relógios devem marcar a mesma hora no mesmo instante Qual é o ângulo central correspondente a um fuso horário 23 O fuso horário de referência chamado GMT0 é a região compreendida entre as longitudes 75 e 75 Abaixo estão as 230 Medindo Distâncias e Ângulos longitudes de seis cidadesz Nova York Rio de Janeiro 74o 43 20 24 Paris Atenas Bagdá 45 Calcultá 88 Se são 12 horas no R1o que horas serão nas outras cinco cidades MJÃM A Ifíuíu Lu x IIII l Capítulo 10 lie 101 Introdução No programa de Geometria Espacial este capítulo é quase inde pendente dos demais Vamos aqui estudar de uma forma geral os sólidos formados por faces os chamados poliedros Antes de mais nada é preciso estabelecer uma definição adequada para o nível de estudo que se pretende Dizer apenas que poliedros são sólidos formados por faces partes limitadas de um plano pode dar uma idéia do que eles sejam mas não serve absolutamente como definição Aliás uma das causas da dificuldade que os ma temáticos do passado tiveram para demonstrar teoremas sobre poliedros estava justamente na falta de uma definição precisa do significado dessa palavra Por isso vamos recomendar para o estudante do 212 grau uma definição que não permita grandes generalidades mas seja suficiente para demonstrar os teoremas e propriedades importantes Uma primeira idéia para definir os poliedros é a seguinte Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um e apenas um outro polígono Cada um desses polígonos chamase uma face do poliedro cada lado comum a duas faces chamase uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é também chamado vértice do poliedro 232 Poliedros Fig 101 Um poliedro A proposta de definição que demos é simples e bastante com preensível mas permite liberdades que a nosso ver não deveriam ser objeto de discussão em um primeiro estudo dos poliedros Por exemplo a figura abaixo mostra um sólido que de acordo com essa definição é um poliedro Fig 102 Um poliedro estranho É nossa opinião que no segundo grau não devemos ainda tratar de tais objetos Em um primeiro estudo acreditamos que devemos dirigir nossa atenção aos poliedros convexos e é o que faremos aqui Mesmo assim por motivos que o leitor perceberá adiante será necessário acrescentar na proposta de definição que demos uma restrição Adotaremos então a seguinte definição Definição Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos chamados faces onde a Cada lado de um desses polígonos é também lado de um e apenas um outro polígono A Matemática do Ensino Médio Volume 2 233 h A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum ou é um vértice ou é vazia Cada lado de um polígono comum a exatamente duas faces é chamado uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é um vértice do poliedro c É sempre possível ir de um ponto de uma face a um ponto de qualquer outra sem passar por nenhum vértice ou seja cruzando apenas arestas Todo poliedro no sentido da definição acima limita uma região do espaço chamada de interior desse poliedro Dizemos que um poliedro é convexo se o seu interior é convexo Vamos recordar o que isto significa Um conjunto C do plano ou do espaço dizse convexo quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C está inteiramente contido em C No caso dos poliedros podemos substituir essa definição por outra equivalente que nos será mais útil Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em no máximo dois pontos Fig 103 Um poliedro convexo e um não convexo 102 As Primeira Relações Dado um poliedro vamos agora tratar do problema de contar as suas faces os seus vértices e as suas arestas Representaremos então por A o número de arestas por F o número de faces e por V o seu número de vértices Ainda como as faces podem ser de gêneros diferentes representaremos por En n3 o número de faces que possuem n lados Da mesma forma como os vértices também podem ser de gêneros diferentes representaremos por 234 Poliedros V o número de vértices nos quais concorrem n arestas e observe que pelo item b da definição do poliedro cada vértice é um ponto comum a três ou mais arestas São então evidentes as relações F F3 F4 H V V3 V4 Imagine agora que o poliedro foi desmontado e que todas as faces estão em cima de sua mesa Quantos lados todos esses polígonos possuem Fácil Basta multiplicar o número de triângu los por 3 o número de quadriláteros por 4 o número de pentágonos por 5 e assim por diante e depois somar os resultados Mas como cada aresta do poliedro é lado de exatamente duas faces a soma anterior é igual ao dobro do número de arestas ou seja 2A 3F3 4F4 5F5 Podemos também contar as arestas observando os vértices do poliedro Se em cada vértice contarmos quantas arestas nele concorrem somando os resultados obteremos também o dobro do número de arestas porque cada aresta terá sido contada duas vezes em um extremo e no outro Logo 2A 3V3 4V4 5V5 103 Duas Desigualdades Dessas primeiras relações entre os elementos de um poliedro po demos deduzir duas desigualdades a 2A3F e b 2A3V Observe a justificativa da primeira 2A 3F3 4F4 5F5 2A 3F3 E4 E5 E4 2F5 2A 3F F4 2F5 2A3F Repare que a igualdade só vale se E4 E5 O ou seja A Matemática do Ensino Médio Volume 2 235 se o poliedro tiver apenas faces triangulares A segunda desigual dade se justifica de forma análoga e neste caso a igualdade ocor rerá apenas quando em todos os vértices concorrerem 3 arestas O resultado central deste capítulo é o Teorema de Euler Seu enunciado por sua beleza e simplicidade costuma fascinar os alu nos da escola secundária quando tomam contato com ele pela pri meira vez V A F 2 A observação do resultado em desenhos de poliedros ou em objetos do cotidiano é estimulante e sobretudo intrigante Porque sempre ocorre isso Na verdade a relação de Euler não é verdadeira para todos os poliedros de acordo com nossa definição Mas para os poliedros convexos ela é verdadeira Em contextos mais gerais onde in clusive se adota uma definição de poliedro menos restritiva que a nossa o valor de VAF é chamado de característica do poliedro Não vamos aqui tratar dessas coisas mas o leitor curioso poderá encontrar farto material para leitura no livro Meu Professor de Matemática do professor Elon Lages Lima editado pela SBM O Teorema de Euler foi descoberto em 1758 Desde então diversas demonstrações apareceram na literatura e algumas con tinham falhas como a de Cauchy que foram descobertas muitos anos mais tarde Essas falhas eram devidas à falta de precisão na definição de poliedro Mesmo Euler nunca se preocupou em definir precisamente essa palavra A demonstração que mostraremos aqui para poliedros conve xos segue quase integralmente a que foi publicada na RPM ng 3 1983 pelo professor Zoroastro Azambuja Filho Pela elegência e precisão dos argumentos essa demonstração merece ser publicada mais uma vez Teorema Euler Em todo poliedro com A arestas V vértices e F faces vale a relação V A F 2 Iniciamos a demonstração calculando a soma dos ângulos in ternos de todas as faces de um poliedro convexo P As faces são numeradas de 1 até F e seja nk o gênero da césima face 1 cicF Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono con 236 Poliedros vexo de gênero n é igual a nn2 e observando que se um poliedro é convexo então todas as suas faces são polígonos convexos tere mos para a soma dos ângulos internos de todas as faces de P a expressão S nni 2 nn2 2 nnF 2 ou ainda S nni n2 nF 2 2 2i Ora no primeiro parêntese a soma dos números de lados de to das as faces é igual ao dobro do número de arestas e no segundo parêntese a soma das F parcelas é igual a 2F Assim S n2A 2F 2nA F 1 Vamos agora escolher uma reta r que não seja paralela a ne nhuma das faces de P Tomamos também um plano H que não intersecta P e que seja perpendicular a r O plano H será chamado plano horizontal e as retas paralelas a r logo perpendiculares a H serão chamadas retas verticais H divide o espaço em dois semi espaços um dos quais contém o poliedro P Este será chamado o semiespaço superior e diremos que seus pontos estão acima de H Para melhor ilustrar o nosso raciocínio imaginaremos o sol brilhando a pino sobre o semiespaço superior de modo que seus raios sejam retas verticais A cada ponto X do semiespaço su perior corresponde um ponto X em H chamado sombra de X A sombra de qualquer conjunto C contido no semiespaço superior é por definição o conjunto C contido em H formado pelas sombras dos pontos de C A Matemática do Ensino Médio Volume 2 2 3 7 Fig 104 A região iluminada e a região sombria Consideremos então a sombra P do poliedro P Como P é convexo cada ponto de P é sombra de um ou dois pontos de P veja a nossa definição alternativa de poliedro convexo Ora a sombra P do poliedro P tem como contorno um polígono convexo K sombra de uma poligonal fechada l formada por arestas de P Cada ponto de K é sombra de um único ponto de P A poligonal K é chamada de contorno aparente do poliedro P Cada ponto interior de P portanto não pertencente a 1 é sombra de exatamente dois pontos de P Dados dois pontos de P que têm mesma sombra ao mais alto mais distante de H chamaremos ponto iluminado e o mais baixo será chamado sombrio Depois dessas considerações vamos calcular novamente a so ma de todos os ângulos das faces de P observando que a soma dos ângulos internos de uma face é a mesma soma dos ângulos internos de sua sombra ambos são polígonos de mesmo gênero Sejam Vi o número de vértices iluminados V2 o número de vértices sombrios e Vo o número de vértices do contorno aparente K Então V Vo Vi V2 Notemos ainda que Vo é o número de vértices e de lados da poligonal 1C contorno de P Consideremos então a sombra das faces iluminadas 238 diedros Fig 105 A sombra das faces iluminadas A sombra das faces iluminadas é um polígono convexo com Vo vértices em seu contorno e V1 pontos interiores sombra dos vértices iluminados de P A soma de todos os ângulos da figura anterior é S1 2nVi nVo 2 Por raciocínio inteiramente análogo obteríamos para a soma de todos os ângulos da sombra das faces sombrias S2 2nV2 nVo 2 Somando as duas obtemos S 2nVi 2nV2 2nVo 2 S 2nVi V2 Vo 2 2 S 2nV 2 Comparando 1 e 2 e dividindo por 2n resulta que A F V 2 ou seja VAF2 como queríamos demonstrar Comentários 1 É fácil encontrar exemplos de poliedros não convexos que sa tisfazem a relação de Euler Por exemplo se um poliedro P não A Matemática do Ensino Médio Volume 2 239 convexo puder ser colocado em uma posição de modo que sua som bra seja um polígono onde cada um de seus pontos seja sombra de no máximo dois pontos de P a demonstração que demos continua válida e a relação de Euler se verifica 2 Todas as relações que encontramos são apenas condições ne cessárias Isto quer dizer que não basta que três números A V e F satisfaçam a elas para que se tenha certeza da existência de um poliedro com essas características Exemplos 1 A bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa de 70 foi inspirada em um conhecido poliedro convexo descoberto por Arquimedes formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexa gonais todas regulares Perguntase quantos vértices possui tal poliedro Solução De acordo com nossa notação temos F5 12 F6 20 e portanto F 32 Determinamos em seguida o número de arestas desse poliedro 2A 5F5 6F6 5 12 6 20 180 A 90 Como o poliedro é convexo vale a relação de Euler V A F 2 de onde concluímos que V 60 Fig 106 A bola de futebol 2 Descreva e mostre uma possibilidade para o desenho de um poliedro convexo que possui 13 faces e 20 arestas 240 Poliedros Solução Imediatamente antes de concluir a desigualdade 2A3F volte atrás no texto tínhamos encontrado a relação 2A 3F F4 2F5 ou seja 2A 3F F4 2F5 Como A 20 e F 13 temos 1 F4 2F5 o que só é posível se F4 1 e F5 F6 O Isto quer dizer que este poliedro deve possuir uma única face quadrangular e todas as outras 12 faces triangulares Como pela relação de Euler ele deve possuir 9 vértices um desenho possível é o que está abaixo Fig 107 Uma solução do exemplo 2 104 Poliedros Regulares Desde a antiguidade são conhecidos os poliedros regulares ou seja poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares iguais e que em todos os vértices concorrem o mesmo número de ares tas O livro XIII dos Elementos de Euclides cerca de 300 aC é dedicado inteiramente aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam para cada um a razão entre o com primento da aresta e o raio da esfera circunscrita Na última proposição daquele livro provase que os poliedros regulares são apenas 5 o tetraedro o cubo o octaedro o dodecaedro e o ico saedro A importância desse fato fica evidente quando se percebe A Matemática do Ensino Médio Volume 2 241 que a história dos séculos seguintes é farta em exemplos de ma temáticos filósofos e astrônomos que tentaram elaborar teorias de explicação do universo com base na existência desses 5 sólidos regulares Mesmo Kepler 19 séculos depois dos Elementos de Euclides tentou elaborar uma cosmologia com base nos 5 polie dros regulares É natural interesse do professor secundário conhecer não só os poliedros regulares como também saber porque existem apenas cinco Definição Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares iguais e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas Teorema Existem apenas cinco poliedros regulares convexos Para demonstrar seja n o número de lados de cada face e seja p o número de arestas que concorrem em cada vértice Temos então 2A rtF pV ou nF TiF A e V Substituindo na relação de Euler obtemos nF nF p 2 4p F 2p 2n pn Devemos ter 2p 2n pn O ou seja 2n p n 2 Como p3 chegamos a n 6 As possibilidades são então as 242 Poliedros seguintes n3 n 4 n 5 4p F 6 p p 3 F 4 tetraedro p 4 F 8 octaedro p 5 F 20 icosaedro p 3 F 6 cubo p 3 F 2 dodecaedro Fig 108 Os poliedros regulares 105 O Caso Plano do Teorema de Euler O Teorema de Euler foi demonstrado aqui para poliedros conve xos Mas não é difícil observar que ele vale também em outras situações Vamos descrever uma situação em que o Teorema de Euler se aplica em regiões de um plano Tomemos um poliedro convexo P e uma esfera S que o conte nha A partir de um ponto interior ao poliedro projetamos P sobre S como mostra a figura a seguir A Matemática do Ensino Médio Volume 2 243 f X Fig 109 A projeção de P sobre S A função f P S é definida da seguinte forma Sendo O um ponto interior a P para cada ponto X E P definimos fX como o ponto de interseção da semireta OX com S A função f é contínua o que significa que pontos próximos de P são levados em pontos próximosde S e sua inversa f 1 S P é também contínua Vemos agora a esfera dividida em regiões limitadas por arcos de circun ferência ou simplesmente linhas Chamando de nó a projeção de cada vértice temos cada região limitada por pelo menos 3 linhas e também cada nó como extremidade de pelo menos 3 linhas Fig 1010 A esfera dividida em regiões É claro que para as linhas regiões e nós da esfera S vale a relação de Euler porque ela já era válida em P Tomemos agora um ponto N interior a uma região de S um plano II perpendicular ao diâmetro de S que contém N e uma função pS N TI tal que para cada ponto Y E S N p Y é a interseção da semireta NY com ff 244 Poliedros Fig 1011 A projeção das regiões da esfera no plano Se o poliedro original P tinha F faces V vértices e A ares tas vemos agora o plano Ff dividido em F regiões por meio de A linhas que se encontram em V nós Por comodidade as linhas po dem ser chamadas de arestas os nós de vértices e as regiões de faces É claro que das F regiões uma é ilimitada chamada oceano porque é projeção da região de S que contém o ponto N mas relação de Euler continua válida A figura obtida em II pode ser agora continuamente deformada mas a relação de Euler se mantém inalterável Observe no desenho a seguir um exemplo onde o plano está dividido em 10 regiões faces através de 18 linhas arestas que concorrem em 10 nós vértices VAF1018102 Fig 1012 Observando queVAF1018102 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 245 As transformações que fizemos são equivalentes a imaginar um poliedro de borracha e inflálo injetando ar até que se trans forme em uma esfera Em seguida a partir de um furo feito em uma das regiões esticálo até que se transforme em um plano Isto significa que o Teorema de Euler não é um teorema de Geo metria mas sim de Topologia Não importa se as faces são planas ou não ou se as arestas são retas ou não Tudo pode ser defor mado à vontade desde que essas transformações sejam funções contínuas cujas inversas sejam também contínuas chamadas ho meomorfismos ou seja para cada transformação que fizermos por uma função contínua deveremos poder voltar à situação original por meio de uma outra função também contínua 106 UmaOutra Demonstração do Teorema de Euler no Plano A demonstração do caso plano do Teorema de Euler pode ser feita diretamente ou seja sem recorrer ao resultado obtido no espaço Ainda o leitor poderá perceber que a relação de Euler para o plano vale em situações mais gerais do que as que mostramos antes Consideremos então uma região R do plano dividida em outras regiões justapostas como mostra a figura a seguir R 2 VIII Fig 1013 A divisão de uma região em outras justapostas Cada região seja R ou uma da decomposição é limitada por pelo menos duas arestas e um vértice é um ponto comum a pelo me 246 Poliedros nos duas arestas Devemos enfatizar que aqui o termo aresta não significa um segmento de reta mas sim qualquer curva contínua sem autointerseções que liga um vértice a outro vértice Uma boa ilustração do que estamos dizendo consiste em observar o mapa do Brasil dividido nos seus estados Cada estado é uma face e cada linha de fronteira é uma aresta Devemos ainda exigir e isso é muito importante que nenhuma região fique completamente den tro de outra Assim decomposições como as que mostramos abaixo estão proibidas Fig 1014 Decomposições proibidas É também conveniente considerar o exterior de R como uma região Observando novamente a figura 1013 temos então o plano dividido em 8 regiões As regiões numeradas de I a VII são limi tadas e a região VIII é ilimitada tendo o contorno de R como sua fronteira A região ilimitada é comumente chamada de oceano Para ilustrar o que estamos dizendo e ainda observando a figura 1013 o contorno da região R é formado pelas arestas que ligam consecutivamente os vértices consecutivos de 1 a 8 e depois voltando a 1 sem passar por 9 A região VIII o oceano é formado pelos pelos pontos exteriores ao contorno de R A região I é formada pelas arestas que ligam consecutivamente os vértices 121091 e a região V é limitada apenas pelas duas arestas que ligam os vértices 9 e 10 Nas condições que descrevemos consideremos agora o plano dividido em F regiões sendo uma ilimitada através de A arestas que concorrem em V vértices Afirmamos que V A FF 2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 247 Demonstração A fórmula V A F 2 vale no caso simples em que apenas um polígono de rt lados está desenhado no plano Neste caso A V n F 2 Vamos usar indução para o caso geral ou seja vamos mostrar que se a relação de Euler vale para uma decomposição do plano em F regiões então ela ainda vale para uma decomposição em F 1 regiões Uma determinada decomposição pode ser construída por etapas onde em cada uma delas uma nova região é acrescentada no oceano das anteriores Consideremos então uma decomposição do plano em F regiões através de A arestas que concorrem em V vértices como mostra a parte em linhas cheias da figura 1015 satisfazendo a relação de Euler Acrescentamos agora uma nova região contida no oceano das regiões anteriores como mostra a parte em linhas tracejadas da figura desenhando uma seqüência de arestas ligando dois vértices do contorno da divisão anterior Se acrescentamos r arestas então acrescentamos r 1 vértices e uma nova região R VIII Fig 1015 Acrescentando uma nova região Mas fica claro que a relação de Euler permanece válida porque V A F V r 1 A r F 1 o que conclui a demonstração 248 Poliedros O caso plano do Teorema de Euler é um resultado importante na teoria dos grafos Um grafo é apenas um conjunto de pontos com linhas que unem alguns pares de pontos desse conjunto É uma coisa simples mas propicia uma imagem geométrica de uma relação entre elementos de um conjunta Para dar um exemplo elementar suponha que em uma reunião entre pessoas alguns cumprimentos foram feitos Podemos visualizar graficamente essa situação representando as pessoas por pontos no plano onde se a pessoa A cumprimentou a pessoa B desenhamos uma linha li gando o ponto A ao ponto B Pode ser que uma certa pessoa te nha cumprimentado muitas outras ou mesmo todas as outras e pode ter ocorrido que algumas pessoas não tenham cumprimen tado ninguém A figura que mostra essa relação é um grafo Grafos são utilizados em inúmeras áreas do conhecimento hu mano com o objetivo de visualizar relações ou conexões entre ele mentos de um conjunto Se por exemplo você vê em um mapa cidades ligadas por estradas esse desenho é um grafo circuitos elétricos são grafos desenhos de moléculas mostrando ligação en tre átomos são grafos etc Mas isto é outra história O leitor que tiver interesse nesse assunto poderá encontrar diversos livros de dicados à teoria dos grafos Para citar apenas um o livro Graphs and their uses de Oystein Ore publicado pela MAA Mathemati cal Association of America é uma excelente referência para uma primeira leitura Exercícios 1 Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares Determine os números de faces de cada gênero 2 Diagonal de um poliedro é qualquer segmento que une dois vértices que não estão na mesma face Quantas diagonais possui o icosaedro regular 3 Mostre que para todo poliedro convexo valem as desigual A Matemática do Ensino Médio Volume 2 249 dades a A 63F b A 63V 4 Mostre que se um poliedro convexo tem 10 arestas então ele tem 6 faces 5 Descreva todos os poliedros que possuem 10 arestas 6 Um poliedro convexo P possui A arestas V vértices e F faces Com bases em cada uma das faces constroemse pirâmides com vértices exteriores a P Fica formado então um poliedro P que só possui faces triangulares Determine os números de arestas faces e vértices de P 7 Um cubo de aresta a é seccionado por planos que cortam cada um todas as arestas concorrentes num vértice em pontos que distam x x a2 deste vértice Retirandose as pirâmides formadas obtémse um poliedro P Descreva esse poliedro e cal cule seu número de diagonais 8 Considerando o poliedro P do exercício anterior suponha agora que P tem todas as arestas iguais Calcule em função de a o comprimento de sua aresta Os exercícios a seguir tratam de grafos Nos dois primeiros podese utilizar o caso plano da relação de Euler Os três últimos dependem apenas do seu raciocínio 9 Veja mapa da América do Sul Existem 13 países mais o oceano que também consideramos um país Observase que não existe nenhum ponto que pertença a mais de 3 países Quantas linhas de fronteira existem na América do Sul 10 Na figura abaixo as casas 1 2 e 3 devem ser conectadas aos terminais de água A luz L e telefone T É possível fazer essas ligações sem que duas conexões se cruzem 1 2 3 250 Poliedros 11 A cidade de Ktinigsberg está situada nas margens do Mar Báltico na foz do rio Pregel No rio existem duas ilhas ligadas às margens e uma à outra por sete pontes como se vê na figura abaixo Fig 1016 Kfinigsberg O povo que passeava dando voltas por estas ilhas descobriu que partindo da margem sul do rio não conseguia planejar um trajeto de modo a cruzar cada uma das pontes uma única vez Explique porque isto não é possível 12 Verifique se o desenho abaixo pode ser feito sem tirar o lápis do papel e sem passar por cima de uma linha já traçada Fig 1017 Um desafio 13 Entre pessoas suponha que a relação conhecer seja simé trica ou seja se A conhece B então B conhece A Prove que se 6 pessoas são escolhidas ao acaso ou existem 3 que se conhecem ou existem 3 que se desconhecem Capítulo 11 Volumes e Áreas 111 Introdução Vamos tratar agora dos volumes dos sólidos simples prismas pirâmides cilindros cones e a esfera Intuitivamente o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado Para expri mir essa quantidade de espaço através de um número devemos comparála com uma unidade e o resultado dessa comparação será chamado de volume Por exemplo podemos medir o volume de uma panela to mando como unidade uma xícara Enchendo a xícara de água e vertendo na panela sucessivas vezes até que esta fique comple tamente cheia estamos realizando uma medida de volume É possível que o resultado dessa comparação seja um número in teiro digamos 1 panela 24 xícaras mas é muito provável que na última operação sobre ainda um pouco de água na xícara E como determinaremos essa fração O exemplo mostra que esse processo pode ter alguma uti lidade em casos simples onde se necessita apenas de um valor aproximado para o volume mas não funciona mesmo na prática para inúmeros objetos Ou porque são muito pequenos ou porque são grandes demais ou simplesmente porque são completamente sólidos Ainda a unidade xícara que é inclusive muito utilizada nas receitas da boa cozinha não é naturalmente adequada a um estudo mais geral Vamos então combinar que a unidade de volume é o cubo de aresta 1 252 Volumes e Áreas Para cada unidade de comprimento temos uma unidade cor respondente de volume Se por exemplo a unidade de compri mento for o centímetro cm então a unidade correspondente de volume será chamada de centímetro cúbico cm3 Assim o vo lume de um sólido S deve ser o número que exprima quantas ve zes o sólido S contém o cubo unitário Mas como esse sólido pode ter uma forma bastante irregular não fica claro o que significa o número de vezes que um sólido contém esse cubo Vamos então tratar de obter métodos que nos permitam obter fórmulas para o cálculo de volumes dos sólidos simples 112 O Paralelepípedo Retângulo O paralelepípedo retângulo ou simplesmente um bloco retangu lar é um poliedro formado por 6 retângulos Ele fica perfeitamente determinado por três medidas o seu comprimento a a sua lar gura b e a sua altura c Fig 111 Paralelepípedo retângulo O volume desse paralelepípedo retângulo será representado por V a b c e como o cubo unitário é um paralelepípedo retângulo cujos comprimento largura e altura medem 1 então V1 1 1 1 Para obter o volume do paralelepípedo retângulo devemos observar que ele é proporcional a cada uma de suas dimensões Isto quer dizer que se mantivermos por exemplo constantes a lar gura e a altura e se multiplicarmos o comprimento por um número A Matemática do Ensino Médio Volume 2 253 natural n o volume ficará também multiplicado por n ou seja Vna b c nVab c Figura 112 A figura 112 mostra 4 paralelepípedos retângulos iguais e justapostos colados em faces iguais Naturalmente o volume total é 4 vezes maior que o volume de um deles Este fato constatado para números naturais também vale para qualquer número real positivo veja Notas 1 e 2 no fim desta seção e isto quer dizer que mantidas constantes duas dimensões de um paralelepípedo retângulo seu volume é proporcional à ter ceira dimensão Logo sendo a b e c as dimensões de um parale lepípedo retângulo temos Vab c Va 1b c aV1b c aV1b 1c abV11 c abV1 1 c 1 abcV11 1 abc 1 abc Portanto o volume de um paralelepípedo retângulo é o pro duto de suas dimensões Em particular se a face de dimensões a e b está contida em um plano horizontal chamaremos essa face de base e a dimensão c de altura Como o produto ab é área da base é costume dizer que o volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área da base pela altura Volume do paralelepípedo área da base x altura Nota 1 Utilizamos aqui um fato completamente intuitivo mas que na verdade é um axioma que é o seguinte Se dois sólidos são 254 Volumes e Áreas tais que possuem em comum no máximo pontos de suas cascas então o volume da união de dois é a soma dos volumes de cada um Para explicar melhor dizemos que um ponto P é interior a um sólido S quando existe uma esfera de centro P inteiramente contida em S Quando P pertence a S mas não existe tal esfera dizemos que P está na casca de S ou na superfície de S Isto é o que nos permite usar termos como justapor ou colar dois sólidos Ainda permite dizer que se um sólido está dividido em vários outros então seu volume é a soma dos volumes de suas partes Nota 2 O conceito de proporcionalidade é extremamente im portante na Matemática elementar Em particular na geometria existem ocasiões em que certos resultados são facilmente verifi cados quando as medidas são números naturais ou mesmo racio nais mas o que se torna um problema é estender esses mesmos resultados para números reais O que resolve essa constrangedora situação é o teorema fimdamental da proporcionalidade que diz o seguinte Teorema Sejam x e y grandezas positivas Se x e y estão re lacionadas por uma função crescente f tal que para todo natural n fnx nf x então para todo real r temse que f rx rfx Em palavras mais simples dizemos que duas grandezas po sitivas x e y são proporcionais quando se a primeira for multi plicada por um número natural n então a segunda fica também multiplicada por n Esse teorema nos garante que neste caso se a primeira grandeza for multiplicada por um número real r a se gunda grandeza também fica multiplicada por r A demonstração deste belo teorema pode ser encontrada no livro Meu Professor de Matemática de Elon Lages Lima na página 127 Não estamos aqui estimulando o professor do segundo grau que faça essa demonstração em sala de aula Muito pelo contrário Estamos dizendo que se o professor der para os estudantes do segundo grau alguma justificativa de um importante resultado A Matemática do Ensino Médio Volume 2 255 utilizando números naturais ou mesmo racionais esse procedi mento não é um erro deve ser feito dessa forma e estará sendo adequado ao nível de desenvolvimento dos seus alunos Por outro lado o professor ficará consciente que mesmo não podendo fazer a demonstração completa estará fornecendo argumentos corretos e deixando a generalização para um estágio posterior 113 O Princípio de Cavalieri Conseguimos estabelecer a fórmula do volume de um paralelepí pedo retângulo mas não é fácil ir adiante sem ferramentas adicio nais Uma forma confortável de prosseguir é adotar como axioma um resultado conhecido como o Princípio de Cavalieri Antes de enunciálo observe uma experiência que se pode fa zer para os alunos Ponha em cima da mesa uma resma de pa pel Estando ainda perfeitamente bem arrumada ela é um para lelepípedo retângulo fig 113a e portanto tem um volume que podemos calcular Encostando uma régua nas faces laterais pode mos transformar o paralelepípedo retângulo em um outro oblíquo fig 113b ou usando as mãos poderemos moldar um sólido bem diferente fig 113c a C Fig 113 Pilhas de papel Sabemos que esses três sólidos têm volumes iguais mas ainda nos faltam argumentos para explicar esse fato que intuitivamente percebemos De uma forma mais geral suponha que dois sólidos A e B estão apoiados em um plano horizontal e que qualquer outro plano também horizontal corte ambos segundo seções de mesma 256 Volumes e Áreas área O Princípio de Cavalieri afirma que o volume de A é igual ao volume de B Figura 114 Se imaginarmos os dois sólidos fatiados no mesmo número de fatias muito finas todas com mesma altura duas fatias correspon dentes com mesma área terão aproximadamente mesmo volume Tanto mais aproximadamente quanto mais finas forem Sendo o volume de cada sólido a soma dos volumes de suas fatias con cluímos que os dois sólidos têm volumes iguais Repare ainda que o exemplo da resma de papel mostra um caso particular desse ar gumento onde os três sólidos possuem cada um 500 fatias todas iguais É claro que os exemplos acima não constituem uma demons tração do Princípio de Cavalieri mas dão uma forte indicação de que ele é verdadeiro Podemos então aceitar o axioma seguinte Axioma Princípio de Cavalieri São dados dois sólidos e um plano Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área então esses sólidos têm mesmo volume Esta é a ferramenta que vamos utilizar para encontrar os vo lumes dos demais sólidos simples Nota 3 No ensino da Geometria existem alguns resultados que não podemos demonstrar de forma satisfatória e que natural A Matemática do Ensino Médio Volume 2 257 mente causam incômodo ao professor Os principais são os seguin tes o Teorema de Tales das paralelas a área do quadrado o vo lume do paralelepípedo e o Princípio de Cavalieri Para os três pri meiros temas o professor poderá oferecer uma demonstração par cial utilizando números naturais ou mesmo racionais que deve satisfazer a maioria dos alunos Essa atitude não é condenável muito pelo contrário O professor estará justificando importan tes resultados de acordo com o nível de desenvolvimento dos seus alunos mas saberá que o resultado geral estará garantido pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade veja Nota 2 deste capítulo Existem outras opções e uma delas é adotar o Teo rema Fundamental da Proporcionalidade como fato que poderá ser demonstrado mais tarde e a partir dele demonstrar a área do retângulo dotriângulo e daí o Teorema de Tales Para esse cami nho o leitor poderá consultar o artigo Usando Áreas na RPM n2 21 pág 19 Foi esse o caminho que utilizamos aqui para obter o volume do paralelepípedo e não há dúvida que esse procedimento satisfaz a nossa necessidade imediata mas transfere a dificuldade para outro lugar Não tem jeito Existem obstáculos no percurso do ensino da Geometria e o professor consciente das dificuldades deverá optar pelo rumo a tomar No caso do Princípio de Cava lieri a situação é diferente A sua demonstração envolve conceitos avançados de Teoria da Medida e portanto só podemos oferecer aos alunos alguns exemplos Mas cremos que esses exemplos sejam suficientes para que possamos adotar sem traumas o Princípio de Cavalieri como axioma 114 O Prisma Com o Princípio de Cavalieri podemos obter sem dificuldade o volume de um prisma Imaginemos um prisma de altura II e cuja base seja um polígono de área A contido em um plano horizontal Construímos ao lado um paralelepípedo retângulo com altura li e de forma que sua base seja um retângulo de área A Suponha agora que os dois sólidos sejam cortados por um ou 258 Volumes e Áreas tro plano horizontal que produz seções de áreas A1 e A2 no prisma e no paralelepípedo respectivamente Ora o paralelepípedo é também um prisma e sabemos que em todo prisma uma seção paralela à base é congruente com essa base Logo como figuras congruentes têm mesma área temos que A1 A A2 e pelo Princípio de Cavalieri os dois sólidos têm mesmo voluirAP Como o volume do paralelepípedo é Ah o volume do prisma é também o produto da área de sua base por sua altura Volume do prisma área da base x altura Figura 115 115 A Pirâmide Para obter o volume da pirâmide precisamos de resultados adi cionais Em particular o que realmente importa é ter a certeza que se o vértice de uma pirâmide se move em um plano paralelo à base o volume dessa pirâmide não se altera Para isso vamos examinar o que ocorre quando uma pirâmide é seccionada por um plano paralelo à sua base A figura 56 a seguir mostra uma pirâmide de vértice V base ABC triangular apenas para simplificar o desenho e altura H Um plano paralelo a ABC distando h do vértice V produziu nessa pirâmide uma seção DEF A Matemática do Ensino Médio Volume 2 259 Figura 116 Vamos agora citar dois fatos importantes com respeito à si tuação acima 1 A seção e a base da pirâmide são figuras semelhantes e a razão de semelhança é H 2 A razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança O primeiro fato foi demonstrado no Capítulo 7 deste livro A demonstração do segundo pode ser encontrada em diversos liv ros de Matemática do segundo grau Para uma referência mais avançada recomendamos o livro Medida e Forma em Geometria do professor Elon Lages Lima editado pela SBM que trata também dos mesmos assuntos que estamos desenvolvendo aqui Passamos agora a um teorema preparatório para o que nos permitirá obter o volume da pirâmide Teorema Duas pirâmides de mesma base e mesma altura têm mesmo volume A figura a seguir mostra duas pirâmides de mesma base ABC novamente triangular apenas para simplificação do desenho vértices V e V2 e com mesma altura H Um plano paralelo ao 260 Volumes e Áreas plano ABC e distando h dos vértices das pirâmides produziu seções S1 e 52 nas duas pirâmides Figura 117 Seja A a área da base ABC e sejam A1 e A2 as áreas das seções S1 e S2 respectivamente Pelos argumentos que citamos temos que A1 h 2 A2 A H A de onde se conclui que A1 A2 Pelo Princípio de Cavalieri as duas pirâmides têm mesmo volume como queríamos demonstrar O fato que podemos mover o vértice de uma pirâmide em um plano paralelo à sua base sem alterar o seu volume é a chave para a demonstração do volume da pirâmide de base triangular Veremos isto no teorema seguinte Teorema O volume de uma pirâmide triangular é igual a um terço do produto da área da base pela altura A demonstração deste teorema é elementar mas requer aten ção Para facilitar o entendimento vamos convencionar uma no tação especial Trataremos de diversos tetraedros e como em um tetraedro qualquer face pode ser considerada uma base vamos convencionar o seguinte Se em um tetraedro de vértices A B C e D imaginamos a face ABC como base e o ponto D como vértice A Matemática do Ensino Médio Volume 2 261 dessa pirâmide vamos representálo por D ABC Ainda o vo lume desse tetraedro será representado por VD ABC VB ACD etc dependendo de qual face estamos considerando como base Consideremos então um prisma triangular cujas bases são os triângulos ABC e ABC como mostra a figura 118 c Figura 118 Seja A a área de ABC e seja h a altura do prisma Como sabemos seu volume é Ah Vamos agora dividir esse prisma em três tetraedros A ABC B ACC e B ABC como mostram as figuras a seguir Sejam 1 V2 e V3 os volumes respectivos dos três tetraedros citados e seja V o volume do prisma Pelo teorema anterior sa bemos que o volume de uma pirâmide não se modifica quando mantendo a base fixa movemos o vértice em um plano paralelo a essa base Tendo isto em mente podemos concluir VAABC VAABC VA ABC VA ABC V2 VB ACC VB ACC VC ABC V3 V 13 ABC 262 Volumes e Áreas C vi Fig 119 Decompondo o prisma em tetraedros de mesmo volume Concluímos então que o volume do prisma é igual à soma dos volumes de três tetraedros ABC B ABC e C ABC com a mesma base do prisma e com alturas iguais a do prisma Logo cada um deles tem volume igual a um terço do volume do prisma Demonstramos então que o volume de uma pirâmide de base triangular é igual a um terço do produto da área da base pela altura Estamos agora muito próximos do resultado geral O teorema a seguir estende o resultado obtido para qualquer pirâmide Teorema O volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura A Matemática do Ensino Médio Volume 2 263 Para justificar observe que qualquer pirâmide pode ser divi dida em pirâmides de base triangular Essa divisão é feita divi dindose a base em triângulos justapostos por meio de diagonais e definindo cada plano de divisão da pirâmide por uma dessas dia gonais da base e pelo vértice da pirâmide h Figura 1110 Suponha agora que a pirâmide tenha altura Ti e que sua base de área A tenha sido dividida em n triângulos de áreas Ai A2 An Como o volume da pirâmide é a soma dos volumes das pirâmides triangulares temos que seu volume é 1 1 V 3Ai h 1 A2h 3Anh 3 1 V 3 Ai A2 E Anjh 1 V 3Ah como queríamos demonstrar Fica então estabelecido que volume da pirâmide 1 área da base x altura 3 A obtenção dos volumes do prisma e da pirâmide demanda considerável esforço É conveniente que após esses resultados o 264 Volumes e Áreas professor os explore em diversos sólidos particulares em parti cular prismas e pirâmides regulares Para encontrar os elemen tos necessários para o cálculo do volume de um desses poliedros será freqüentemente necessário encontrar triângulos convenien tes aplicar relações métricas e calcular áreas propiciando uma revisão dos resultados importantes da geometria plana Quando prismas e pirâmides são apresentados ao aluno do segundo grau a motivação natural é o cálculo dos volumes En tretanto paralelamente a isso diversas outras relações métricas e propriedades desses poliedros devem ser estudadas como fizemos no Capítulo 9 116 Cilindros e Cones No cilindro toda seção paralela à base é congruente com essa base Esse fato permite concluir pelo Princípio de Cavalieri que o volume do cilindro é o produto da área de sua base pela sua altura Se o cilindro tem altura h e base de área A contida em um plano horizontal imaginamos um prisma qualquer ou em parti cular um paralelepípedo retângulo de altura h com base de área A contida no mesmo plano Se um outro plano horizontal secciona os dois sólidos segundo figuras de áreas A1 e A2 então A1 A A2 e por conseqüência os dois têm mesmo volume Logo o volume do cilindro é também o produto da área da base pela altura le LINIVFRSIDADE DE FORTALEZA EtiSki0TECA CENTRAL j Figura 1111 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 265 Volume do cilindro área da base x altura A relação entre o prisma e o cilindro é a mesma que entre a pirâmide e o cone ou seja o primeiro é caso particular do se gundo Optamos por demonstrar o volume do prisma e depois estender o resultado a um caso mais geral o cilindro porque esse é o caminho percorrido pela maioria dos professores da escola se cundária E concordamos com eles O aluno do segundo grau no seu primeiro contato com a geometria espacial se sente mais seguro quando compreende bem resultados obtidos em situações particulares para depois estendêlos em casos mais gerais O ma temático profissional gosta freqüentemente de fazer o inverso ou seja demonstrar um resultado geral e depois citar os casos parti culares em que o mesmo vale O volume do cone segue o mesmo caminho trilhado anterior mente Se um cone tem altura H e base de área A contida em um plano horizontal consideramos uma pirâmide de altura H e base de área A contida nesse mesmo plano 1 Figura 1112 Se um outro plano horizontal distando Tido vértice desses sólidos secciona ambos segundo figuras de áreas A1 e A2 então A 2 A2 A H JJ A ou seja A1 A2 O Princípio de Cavalieri nos garante que os dois sólidos têm mesmo volume e portanto concluímos que avolume do 266 Volumes e Áreas cone é igual a um terço do produto da área da base pela altura Volume do cone 1 área da base x altura 3 Os casos mais interessantes para os alunos são os cilindros e cones retos de base circular porque eles estão mais relacionados com os objetos do cotidiano Ainda nesses objetos a superfície lateral pode ser obtida de forma simples A superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura h pode ser desenrolada e transformada em um retângulo de base 2nR e altura h A área lateral do cilindro é igual à área desse retâgulo que vale 2nR1t 2TER Fig 1113 Área lateral do cilindro 27tRh A superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g pode ser desenrolada e transformada em um setor de raio g cujo arco tem comprimento 2nR A área A desse setor é igual à área lateral do cone e para calculála usaremos apenas uma elementar regra de três Diremos que a área A desse setor está para a área do círculo de raio g assim como o comprimento do arco 2nR está para o comprimento total da circunferência 2ng Com isso concluímos que a área lateral do cone reto vale nRg A Matemática do Ensino Médio Volume 2 267 Fig 1114 Área lateral do cone nR g O leitor deve reparar que ao utilizar a regra de três estamos usando o fato que a área de um setor circular é diretamente pro porcional ao comprimento do arco que ele subtende veja Nota 2 deste capítulo 117 Atividades para Sala de Aula Cilindros e cones retos de base circular devem ser associados às suas esferas inscrita e circunscrita Além disso inúmeras embala gens de produtos são cilíndricas o que fornece diversos problemas interessantes Vamos listar algumas atividades que podem ser desenvolvidas com os alunos 1 O cilindro equilátero isto é o cilindro circular reto em que a altura é igual ao diâmetro da base possui uma interessante propriedade De todos os cilindros de mesmo volume o cilindro equilátero é o que possui a menor área total Assim se o indus trial deseja comercializar seu produto em embalagens cilíndricas que gastem um mínimo de material em sua fabricação ele deve preferir o cilindro equilátero É o caso por exemplo das latas de leite condensado Elas são cilindros equiláteros A demonstração dessa propriedade requer o uso de cálculo e portanto não está ainda acessível aos alunos do segundo grau Entretanto o pro fessor poderá calcular a área de um cilindro equilátero e depois 268 Voiu mes e Áreas calcular a área de um outro cilindro com mesmo volume para que os alunos vejam que é maior 2 Quando se desenrola a superfície lateral de um cone obte mos um setor É interessante investigar o valor do ângulo central desse setor Esse ângulo define a forma do cone Se o cone ti ver um raio pequeno comparado com sua altura tipo chapéu de bruxa o ângulo do setor será pequeno Se por outro lado o raio do cone for grande quando comparado com sua altura tipo chapéu de chinês o ângulo do setor será também grande O professor poderá demonstrar utilizando também uma regra de três que o ângulo desse setor é em radianos igual a 2nRg e com isso mostrar que no cone equilátero cone que tem a geratriz igual ao diâmetro da base esse ângulo é de 180 118 A Esfera O volume da esfera será obtido também como aplicação do Prin cípio de Cavalieri Para isso devemos imaginar um certo sólido de volume conhecido e tal que seções produzidas por planos hori zontais na esfera e nesse sólido tenham áreas iguais Repare que em uma esfera de raio R uma seção que dista 1x do centro é um círculo de área 7tR21t2 Mas esta é também a área de uma coroa circular limitada por circunferências de raios R e h Figura 1115 Consideremos então uma esfera de raio R apoiada em um plano horizontal e ao lado um cilindro equilátero de raio R com A Matemática do Ensino Médio Volume 2 269 base também sobre esse plano Do cilindro vamos subtrair dois cones iguais cada um deles com base em uma base do cilindro e vértices coincidentes no centro do cilindro Este sólido C chamado clépsidra é tal que qualquer plano horizontal distando h do seu centro ou do centro da esfera o que é o mesmo produz uma seção que é uma coroa circular cujo raio externo é R e cujo raio interno é h Logo o volume da esfera é igual ao de C O volume de C é o volume do cilindro de raio R e altura 2R subtraido de dois cones de raio R e altura R Isso dá 1 4 nR2 2R 23Trlt R 3nt que é o volume da esfera 4 Volume da esfera 3 nR3 Adotando o Princípio de Cavalieri pudemos calcular o volume da esfera Entretanto a área da esfera não pode ser obtida pelo método sugerido para o cilindro e para o cone A superfície da esfera não é desenvolvível ou seja não é possível fazer cortes nela e depois aplicála sobre um plano sem dobrar nem esticar Qualquer que seja o método que imaginarmos para obter a área da esfera em algum momento precisaremos de uma passa gem ao limite Entretanto para justificar o valor 4nR2 para a área da esfera ao aluno do segundo grau existem processos que apesar de não constituírem uma demonstração tornam esse resul tado bastante aceitável Um deles está no livro Medida e Forma em Geometria pág 81 o outro pode ser o seguinte Suponha a es fera de raio R dividida em um número n muito grande de regiões todas com área e perímetro muito pequenos Como se a esfera esti vesse coberta por uma rede de malha muito fina Cada uma dessas regiões que é quase plana se n for muito grande será base de um cone com vértice no centro da esfera Assim a esfera ficará dividida em n cones todos com altura aproximadamente igual a R tanto mais aproximadamente quanto menor for a base do cone 270 Volumes e Áreas Se A é a área da esfera e Ai A2 A são as áreas das diversas regiões temos 4 1 1 3 TER3 3Ai R 3A2R 1 AR 3 4 1 3reR3 3Ai A2 AnR irtR AR A 49TR2 É preciso deixar claro que esses cálculos não demonstram nada Afinal usamos a palavra aproximadamente muitas ve zes e com significado pouco preciso No ensino do segundo grau atitudes desse tipo são corretas Se não podemos demonstrar certo resultado deveremos mostrar argumentos que pelo menos os façam plausíveis aceitáveis e dizer honestamente aos alunos que a demonstração requer o uso de Cálculo ou de outras ferra mentas que eles vão aprender depois Afinal de contas a forma de ensinar e os argumentos que podemos utilizar dependem do nível de desenvolvimento dos estudantes Como dizia o professor Zoroastro a verdade nem sempre pode ser dita de uma vez só 119 Atividades para Sala de Aula Utilizamos a palavra esfera com dois significados Ora ela repre senta a superfície a casca do sólido Ora ela representa o interior Não há problema nisso Repare que na geometria plana o mesmo já ocorria Por exemplo a palavra quadrado era utilizada tanto para representar a união dos quatro lados o bordo quanto para o interior Os estudantes deverão compreender o significado de acordo com a situação que está sendo estudada Sugerimos algumas atividades relacionadas com áreas e vo lumes na esfera 1 Para praticar as fórmulas de área e de volume é interessante demonstrar o seguinte fato descoberto por Arquimedes se uma A Matemática do Ensino Médio Volume 2 271 esfera está inscrita em um cilindro reto então a razão entre as áreas desses sólidos é igual à razão entre seus volumes 2 O professor pode também pedir aos alunos para calcular a área e o volume de um fuso esférico isto é a região delimitada por dois meridianos É simples convencêlos de que tanto a área como o volume de um fuso esférico é proporcional ao ângulo desse fuso Portanto se a é a medida em graus do ângulo de um fuso em uma esfera de raio R a área desse fuso será CX A prrip 2 360 11 e seu volume será 4nR2 360 3 3 E bom aproveitar as fórmulas da área e do volume da esfera em que aparecem respectivamente R2 e R3 para reforçar o fato de que as razões entre áreas e volumes de figuras semelhantes são iguais respectivamente ao quadrado e ao cubo da razão de semelhança O professor pode por exemplo perguntar aos alunos que relação existe entre as massas de duas bolas de gude uma com raio igual ao dobro do da outra Exercícios 1 Uma piscina tem 10m de comprimento 6m de largura e 16m de profundidade a Calcule seu volume em litros b Determine quantos ladrilhos quadrados com 20cm de lado são necessários para ladrilhar essa piscina 2 Um tablete de doce de leite medindo 12cm por 9cm por 6cm está inteiramente coberto com papel laminado Esse tablete é di vidido em cubos com lcm de aresta a Quantos desses cubos não possuem nenhuma face coberta com o papel laminado 272 Volumes e Áreas b Quantos desses cubos possuem apenas uma face coberta com papel c Quantos desses cubos possuem exatamente duas faces cober tas com papel ã Quantos desses cubos possuem três faces cobertas com papel 3 Determine o volume do maior tetraedro que pode ser guar dado dentro de um cubo de aresta a 4 Considere um triângulo equilátero ABC de lado a Pelo centro G do triângulo considere um segmento GD perpendicular ao plano do triângulo a Calcule o comprimento de GD para que os segmentos DA DB e D C tenham também comprimento a b Nas condições do item a o tetraedro AB CD é regular Cal cule então o volume de um tetraedro regular de aresta a 5 Um cubo de aresta a é seccionado por oito planos Cada plano contém os pontos médios das três arestas que concorrem em um vértice Retirandose os tetraedros formados obtemos um poliedro P a Descreva as faces de P b Calcule o volume de P c Calcule o raio da esfera circunscrita ao poliedro P 6 Calcule o volume de um octaedro regular de aresta a 7 Calcule o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces de um cubo de volume V 8 a Mostre que a soma das distâncias de um ponto interior a um tetraedro regular às suas faces é constante b A partir do item anterior calcule o raio da esfera inscrita a um tetraedro regular de aresta a 9 Uma pirâmide chamase regular quando a sua base é um polígono regular e a projeção do vértice sobre o plano da base é o seu centro A Matemática do Ensino Médio Volume 2 273 Uma pirâmide regular de altura 4cm tem por base um qua drado de lado 6cm Calcule seu volume sua área e os raios das esferas inscrita e circunscrita 10 Um cilindro reto possui uma esfera inscrita Mostre que a razão entre as áreas desses dois sólidos é igual à razão entre seus volumes Teorema de Arquimedes 11 Um copo cônico de papel foi feito a partir de um setor de 12cm de raio e ângulo central de 1200 Calcule o volume desse copo 12 Um cone reto tem 3cm de raio e 4cm de altura Calcule seu volume área e os raios das esferas inscrita e circunscrita 13 Um copo cilíndrico tem 3cm de raio e 12cm de altura Es tando inicialmente cheio dágua o copo é inclinado até que o plano de sua base faça 45 com o plano horizontal Calcule o volume de água que permaneceu no copo 14 Teorema Se dois sólidos são semelhantes com razão de semelhança k então a razão entre seus volumes é k3 Demonstre este teorema em casos particulares utilizando pa ralelepípedo retângulo prisma pirâmide cilindro cone e esfera 15 Uma garrafa de bebida com 30cm de altura tem uma minia tura perfeitamente semelhante com 10cm de altura Se a minia tura tem 50m1 de volume qual é o volume da garrafa original 16 Um cone tem altura Tie volume V Este cone é seccionado por um plano paralelo à sua base distando h3 dessa base Calcule os volumes das partes em que esse cone ficou dividido 17 Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido com 12m de profundidade Este tanque está completamente cheio com 27000 litros de água e 37000 litros de petróleo Calcule a altura da camada de petróleo 18 Utilizando um pouco de cálculo ou de imaginação 274 Volumes e Áreas Um fabricante de leite condensado deseja comercializar seu produto em embalagens cilíndricas de volume V Determine as dimensões dessa embalagem para que seja gasto um mínimo de material em sua fabricação ou seja a superfície da lata deve ser mínima 19 O professor perguntou ao aluno qual seria o volume gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados O aluno respondeu corretamente calculando o vo lume de um cilindro Em seguida o professor traçou a diagonal do retângulo e perguntou ao aluno quais seriam os volumes gerados pelos dois triângulos formados O aluno então dividiu a resposta anterior por dois Está certo isso Capítulo 12 Superfícies e Sólidos de Revolução 121 Introdução Consideremos em um plano uma reta E chamada eixo e uma li nha L simples que não corta esse eixo Imagine que essa linha gire em torno do eixo ou seja cada ponto L descreva uma cir cunferência em um plano perpendicular a E e com centro sobre E E k Figura 121 Cada ponto P E L percorre então uma circunferência cujo raio é a sua distância ao eixo e a reunião de todas essas circunferências é chamada uma superfície de revolução Se a linha L for fechada ou se seus dois extremos pertencerem ao eixo a superfície de revolução delimita um sólido chamado sólido de revolução Veja figura 122 276 Superfícies e Sólidos de Revolução Repare que a rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados produz um cilindro a rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos catetos produz um cone e a rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém o diâmetro produz uma esfera Veja figura 123 E Figura 122 Neste capítulo vamos estudar superfície e sólidos de revolu ção tendo como objetivo principal a demonstração do Teorema de Pappus que permite calcular as áreas das superfícies e os volumes dos sólidos de revolução Mas para isso precisaremos introduzir novos conceitos e demonstrar resultados preliminares E IE IE s Figura 123 A Matemática cio Ensino Médio Volume 2 277 122 Centros de Gravidade Todos nós temos uma noção intuitiva do que seja o centro de gravi dade ou baricentro de uma figura plana Esse ponto é tal que se fi xarmos nele um fio a figura pendurada por ele ficará em equilíbrio indiferente Em particular se a figura estiver em um plano hori zontal depois de pendurada permanecerá horizontal Figura 124 Podemos encontrar o baricentro de uma figura F por um pro cesso prático que é o seguinte Primeiro penduramos a figura por um ponto P1 de seu bordo e traçamos sobre F a reta vertical que contém esse ponto ou seja a reta que contém o fio Depois pen duramos a figura por um outro ponto P2 de seu bordo e traçamos também sobre F a reta vertical que contém P2 A interseção das duas retas é o baricentro de F Fig 125 G é o baricentro da figura F Vamos agora observar que quando desenhamos uma linha plana fechada simples ou seja sem autointerseções o termo fi 278 Superfícies e Sólidos de Revolução gura pode se referir em geral tanto ao conjunto de pontos dessa li nha quanto ao conjunto dos pontos interiores A palavra triângulo por exemplo tanto pode se referir à união dos três lados quanto à região interior Naturalmente que para a determinação do centro de gravidade é preciso saber que conjunto estamos considerando Abaixo mostramos dois desenhos aparentemente iguais fig 126 Entretanto no primeiro a figura consiste no conjunto dos pontos interiores à linha desenhada e no segundo a figura consiste apenas nos pontos da própria linha Para dar uma idéia mais concreta ao que dissemos imagine que no primeiro caso a figura foi recortada de uma chapa de madeira e no segundo caso a figura foi feita ape nas com arame Os centros de gravidade dessas figuras são Ci e G 2 Figura 126 Vamos tratar agora de mostrar como se determina o centro de gravidade de figuras simples Mas para isso devemos estabelecer como axiomas as proposições seguintes 1 O centro de gravidade de um segmento é o seu ponto média 2 Se uma figura possui um eixo de simetria então o seu centro de gravidade pertence a esse eixo Como conseqüência se uma figura possui um centro de sime tria interseção de dois eixos de simetria então esse ponto é o seu centro de gravidade A Matemática do Ensino Médio Volume 2 279 123 Um Exemplo da Física Consideremos uma barra reta sem massa tendo em suas extre midades massas m1 e m2 Essa barra pendurada por um fio preso em um certo ponto G ficou em equilíbrio indiferente fig 127 Em relação a um plano horizontal TI as duas massas possuem alturas P1 e P2 respectivamente Perguntase a que altura está o ponto G TE P 142 Figura 127 Para responder a essa pergunta devemos recordar um outro conceito da Física o de energia potencial Sabese que a energia potencial de uma massa pontual m que está em equilíbrio acima de um plano horizontal de referência e a uma distância h dele é dada pela expressão mgh onde g é a aceleração da gravidade Sabese ainda que a energia potencial de um sistema formado por várias partículas é a soma das energias de cada uma Assim tomandose o exemplo da barra com suas duas massas podemos escrever m1 razifY mi 9141 1Tt2 9142 ou seja 111W 1 Tn2U2 Observe que a altura do centro de gravidade do sistema for mado pelas duas massas é a média das alturas ponderada pe las massas Em um sistema formado por diversas massas pon 280 Superfícies e Sólidos de Revolução tuais podemos aplicar a mesma idéia desse exemplo para deter minar a posição do centro de gravidade calculando essa média ponderada em relação a duas retas não paralelas Em particu lar se considerarmos um sistema de coordenadas e um conjunto de partículas de massas m1 m2 mit localizadas nos pontos xi x2 ii2 X ri Y respectivamente o centro de gravi dade desse conjunto será o ponto x y onde mi x m2x2 MTLXT1 X e mi m2 Mn 1111g 1 In21J2 M1 TR2 124 Centro de Gravidade de uma Poligonal Consideremos uma linha poligonal formada por segmentos conse cutivos 2 de comprimentos a1 a2 am respectiva mente Para justificar a definição que daremos vamos imaginar que os lados dessa poligonal sejam varetas feitas do mesmo mate rial e com mesma seção reta seção perpendicular a cada vareta Desta forma a massa de cada vareta é proporcional ao seu com primento ou seja mk c ak para 1 kCn Como o centro de gravidade de cada vareta é o seu ponto médio as noções que mos tramos no exemplo anterior permitem aceitar a seguinte definição Definição Se uma poligonal P é formada por segmentos conse cutivos 1 en de comprimentos a1 a2 ar respectiva mente e sendo xk yk o ponto médio do segmento k o centro de gravidade de Pé o ponto G x y onde ai xi a2x2 anxi x e ai a2 a2W a nyn ai CL2 an Para fixar as idéias vamos mostrar um exemplo onde calcula remos a posição do centro de gravidade do bordo de um triângulo A Matemática do Ensino Médio Volume 2 281 Exemplo Determinar a posição do centro de gravidade do bordo de um triângulo cujos lados medem 30cm 30cm e 36cm Solução Seja ABC o triângulo em questão com AB AC 30 e BC 36 Vamos apoiálo em uma reta X que contém BC A Figura 128 Como o triângulo é isósceles então o centro de gravidade pro curado está em seu eixo de simetria ou seja ele pertence à altura relativa ao lado BC Logo para determinar sua posição basta determinar a que distância ele está da reta X A altura relativa a BC divide o triângulo dado em dois triângulos retângulos com hipotenusa igual a 30 e um cateto igual a 18 Pelo Teorema de Pitágoras concluímos que distância de A à reta X mede 24 e con seqüentemente as distâncias dos pontos médios de AB e AC à reta X valem 12 De acordo com nossa definição a distância do centro de gravidade desse triângulo ABC à reta X é 30 12 30 12 I 36 0 7 5 30 30 36 Todos sabemos que a distância do baricentro de um triângulo a um lado é igual a um terço da altura relativa a esse lado Logo a distância do baricentro de ABC à reta X é igual a 243 8 Entretanto nossos cálculos mostraram que essa distância é 75 Onde está o erro 282 Superfícies e Sólidos de Revolução Na realidade não há erro nenhum Neste exemplo o triân gulo é apenas a reunião dos três lados ou seja aqui a palavra triângulo referese a uma linha poligonal fechada formada por três segmentos e o centro de gravidade dessa figura está mesmo a 75 cm de distância do lado BC O que ocorre é que o baricentro do triângulo que conhecemos interseção de suas medianas é o centro de gravidade de sua superfície 125 Área Lateral de um Tronco de Cone Consideremos em um plano uma reta E e um segmento AB como mostra a figura abaixo Figura 129 O segmento AB quando gira em torno do eixo E forma a su perfície lateral de um tronco de cone Observando a figura 69 se C é o ponto de interseção da reta AB com E o tronco de cone é a diferença entre o cone de raio AA e altura CA e o cone de raio BB e altura CB Vamos então determinar a área lateral desse tronco de cone pela diferença das áreas laterais dos dois cones Sejam R e r as distâncias de A e B ao eixo E respectivamente Seja AB g a geratriz do tronco de cone e seja BC m a geratriz do cone menor Como os triângulos CBB e CAA são semelhantes A Matemática do Ensino Médio Volume 2 283 temos R r R r m g m g ou seja R rg Do capítulo anterior sabemos que a área lateral de um cone é igual a rcRg onde R é o raio de sua base e g é sua geratriz Logo a área lateral do tronco de cone é A nRm g TETTR TERm rRg 7CM1 nRg nR rm nRg nrg nR rg Figura 1210 Finalmente sendo x a distância do ponto médio de AB ao eixo E área lateral do tronco de cone toma então x a forma 2 e portanto a A 2n R 2 g ou seja A 2nxg 284 Superfícies e Sólidos de Revolução 12 Teorema de Pappus Se uma linha plana gira em torno de um eixo de seu plano a área da superfície gerada é igual ao com primento dessa linha multiplicado pelo comprimento da circun ferência descrita pelo seu baricentro Em outras palavras se uma linha plana tem comprimento L e se x é a distância do baricentro dessa linha a um eixo E o 19 Teorema de Pappus afirma que a área da superfície de revolução que gerada pela rotação da linha em torno de E vale 27c xL Ainda estamos usando aqui a palavra baricentro significando o centro de gravidade E Figura 1211 Vamos fazer a demonstração para uma linha poligonal Consideremos então como na figura a seguir uma poligonal plana cujos lados têm comprimentos ai a2 a e cujos pontos médios distam x1 x2 xde E respectivamente Seja ainda L ai a2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 285 E Figura 1212 A rotação de cada segmento em torno de E gera a superfície lateral de um tronco de cone e portanto a área da superfície de revolução gerada pela poligonal é a soma das áreas de todos os troncos Temos então para a área da superfície gerada pela poli gonal A 2n x1 al 271x2a2 H 2n xnan A 2nxi ai x2a2 xnan Entretanto se x é a distância do centro de gravidade da poli gonal ao eixo E então X ou seja xi ai x2a2 ai C12 an xL a1 x1 a2x2 Portanto a área da superfície de revolução gerada pela rota ção da poligonal em torno do eixo é A 2n xL Nota A demonstração do caso geral não será feita aqui pois en volve elementos de Cálculo Entretanto a maior parte do caminho foi mostrada O passo final consiste em definir o comprimento de 286 Superfícies e Sólidos de Revolução uma curva pelo limite do comprimento de poligonais cujos vértices estão sobre a curva e tais que a distância entre dois consecutivos se torna arbitrariamente pequena Mas cremos que os resulta dos alcançados nesse texto sejam suficientes para as aplicações na escola secundária e o leitor interessado poderá encontrar a demonstração completa nos livros de Cálculo 126 Centro de Gravidade de um Polígono Vamos agora considerar polígonos como a região do plano limi tada por uma linha poligonal fechada Estaremos a seguir nos preparando para determinar a posição do centro de gravidade da superficie das figuras planas Em primeiro lugar vamos entender porque o ponto de inter seção das medianas de um triângulo é o centro de gravidade de sua superfície Imagine um triângulo ABC recortado de uma chapa de ma deira e pendurado pelo vértice A Porque a reta vertical que passa por A passa também no ponto médio de BC Figura 1213 Para responde imagine o triângulo ABC cortado por retas paralelas a BC em fatias muito finas Cada fatia é quase um A Matemática do Ensino Médio Volume 2 287 segmento e portanto só fica equilibrada se pendurada pelo seu ponto médio Logo a reta vertical que contém A passa pelos pontos médios de todas as fatias e em particular pelo ponto médio de BC Ora se o centro de gravidade da superfície de um triângulo pertence a uma mediana então repetindose a experiência ele é o ponto de interseção das três medianas Concluímos então que o ponto de interseção das medianas de um triângulo é o centro de gravidade de sua superfície Para determinar a posição do centro de gravidade da super fície de um polígono vamos imaginálo por exemplo dividido em triângulos T1 T2 T com áreas A1 A2 A respecti vamente fig 1214 Consideremos um sistema de coordenadas no plano do polígono e seja xk yk o baricentro do triângulo Tk Apelando novamente para o raciocínio físico de considerar a figura recortada em uma chapa uniforme de espessura constante temos que a massa de cada triângulo é proporcional à sua área ou seja a massa mk do triângulo Tk é igual a c Ak para uma certa constante c que depende do material Podemos então imaginar o polígono transformado em um conjunto de partículas cada uma delas no baricentro de um triângulo e com massa proporcional à sua área Em outras palavras estamos imaginando que toda a massa de um triângulo esteja concentrada no seu baricentro Xk Figura 1214 X 288 Superfícies e Sólidos de Revolução Essas considerações permitem aceitar a definição seguinte Definição Se um polígono P está dividido em figuras T2 de áreas A1 A2 A respectivamente e sendo xk yk o bari centro da figura k o centro de gravidade da superfície de P é o ponto G x y tal que x Ai xi A2X2 Anx e Ai A2 A Afyi A2Y 2 ArWn A1 A2 Para fixar essa idéia vamos no exemplo a seguir determinar a posição do centro de gravidade da superfície de um trapézio Exemplo Determine a posição do centro de gravidade da su perfície do trapézio ABCD onde A D 90 AB 10 CD 4 e AD 6 Solução Consideremos em um sistema de coordenadas A 00 B 100 C 46 e D 06 como na figura a seguir A Figura 1215 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 289 Dividamos o trapézio em duas figuras um retângulo AD CE e um triângulo retângulo CEB As áreas dessas figuras são A1 24 e A2 18 respectivamente O baricentro do retângulo é o ponto 23 e o baricentro do triângulo é o ponto 62 Se G x é o centro de gravidade da superfície de ABCD temos 24 2 18 6 26 x 7 e 24 18 24 3 18 2 18 24 18 7 127 A Rotação de um Retângulo Observemos agora o que acontece quando giramos um retângulo em torno de um eixo de seu plano e paralelo a um dos lados A figura a seguir mostra um retângulo de base a e altura b e um eixo E paralelo a um lado do retângulo e distando d do lado mais próximo Seja ainda S ab a sua área E a Figura 1216 A rotação desse retângulo em torno de E produz um sólido de revolução que é a diferença entre dois cilindros o maior com raio a d e altura b e o menor com raio d e altura b O volume desse 290 Superfícies e Sólidos de Revolução sólido é portanto V n a d2 d nd2 b na2 b 27tadb naba 2d S 2 a Observe que x 2 d é a distância do centro desse retângulo ao eixo Concluímos então que se um retângulo de área S gira em torno de um eixo paralelo a um de seus lados e que não o atravessa o volume gerado é V 2n xS onde x é a distância do centro do retângulo ao eixo 29 Teorema de Pappus Se uma figura plana gira em torno de um eixo de seu plano o volume gerado é igual à área dessa figura multiplicado pelo comprimento da circunferência descrita pelo seu baricentro Em outras palavras se uma figura plana tem área S e se x é a distância do baricentro dessa figura a um eixo E o 29 Teorema de Pappus afirma que o volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa figura em torno de E vale 2n xS E Figura 1217 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 291 Vamos mostrar uma demonstração no caso em que a figura é um polígono retangular ou seja um polígono que é a reunião de vários retângulos justapostos e o eixo é paralelo a um lado desses retângulos Consideremos então o polígono retangular P dividido em re tângulos R1 R2 R de áreas Ai A2 A respectivamente Seja S Ai A2 A a área de P e seja xk a distância do centro do retângulo Rk ao eixo E que é paralelo a um lado desses retângulos e não atravessa nenhum deles E Xk Figura 1218 O volume do sólido gerado pela rotação de P em torno de E é a soma dos volumes gerados pela rotação de cada um dos retângulos A partir do que concluímos no item anterior teremos para esse volume a expressão V 2n xi Ai 2n x2A2 2n xnAn V 2nxi Ai x2A2 xnAn Entretanto se x é a distância do centro de gravidade da su perfície do polígono P ao eixo E então xi Ai x2A2 xA ou seja X Ai A2 4 A xS xi Ai x2A2 xnAn 292 Superfícies e Sólidos de Revolução Portanto o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do polígono retangular P em torno do eixo é V 2n xS Nota A demonstração se completa com um passo a mais De finimos a área de uma figura plana F como o número real cujas aproximações por falta são as áreas dos polígonos retangulares contidos em F Desta forma o volume do sólido gerado pela rotação de F em torno de um eixo é o número real cujas aproximações por falta são os volumes gerados pelos polígonos retangulares contidos em F Figura 1219 Exemplos 1 O volume do cone Podemos calcular facilmente o volume de um cone de revolu ção como aplicação do Teorema de Pappus Um cone de revolução é obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos catetos A figura abaixo mostra um triângulo retângulo ABC com catetos AB R e AC h e o eixo E que contém AC A Matemática do Ensino Médio Volume 2 293 Figura 1220 O baricentro de ABC é o ponto G situado sobre a mediana AM e tal que 2 CG 3CM Se x é a distância de G ao eixo então 1 R R Como a área de ABC é Rh o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de ABC em torno de E será igual a R Rh nr2h V 2n xS 2n 3 2 3 ou seja a terça parte do produto da área da base pela altura 2 A área e o volume do toro Um toro é o sólido gerado pela rotação de um círculo em torno de um eixo de seu plano 294 Superfícies e Sólidos de Revolução E Figura 1221 Uma câmara de ar de automóvel é um toro Com os teoremas de Pappus podemos calcular facilmente a área de borracha dessa câmara e o volume de ar que existe dentro dela veja exercício 4 deste capítulo 128 O Volume e a Área da Esfera Para calcular a área e o volume da esfera como aplicação dos Teo remas de Pappus precisamos de um resultado preliminar A figura abaixo mostra uma reta E e um segmento AB no mesmo plano Figura 1222 h A Matemática do Ensino Médio Volume 2 295 Seja AB a seja x a distância do ponto médio de AB à reta E seja li o comprimento da projeção de AB sobre E e finalmente seja z o comprimento do segmento da mediatriz de AB compreendido entre AB e E Esse segmento será chamado de apótema de AB Por uma elementar semelhança de triângulos temos h x a z ou seja ax zh Esta simples relação nos permitirá obter facilmente a área da esfera como aplicação do 19 Teorema de Pappus 129 A Área da Esfera A superfície da esfera pode ser obtida através da rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém seu diâmetro Consideremos então uma semicircunferência de raio R e um eixo E que contém seu diâmetro AB Dividimos a semicircunferência em n partes iguais para formar uma linha poligonal regular inscrita nela Figura 1223 Os lados i ez en dessa poligonal têm comprimento a e seja hk o comprimento da projeção do lado ek sobre E Como a poligonal é regular todos os lados têm mesmo apótema z Calculemos então a distância x do centro de gravidade dessa UNIVERSIDADE DE FORTALE7A I Ata to LCA CENTRAL j 296 Superfícies e Sólidos de Revolução poligonal ao eixo Sendo xk a distância do ponto médio de ek ao eixo e levando em conta a relação ax zh que demonstramos anteriormente temos x axi ax2 ax a a H a zhi zh2 na na Quando o número de lados da poligonal aumenta então na tende para o comprimento da semicircunferência nR e o apótema z tende para R Concluímos então que a distância do centro de gravidade de uma semicircunferência ao seu diâmetro é R 2R X n R LR lt Pelo P Teorema de Pappus quando a semicircunferência gira em torno de seu diâmetro a área da superficie gerada é A 2txL 2n2RnR 4n R2 1210 O Volume da Esfera Para encontrar o volume da esfera como aplicação de Teorema de Pappus consideremos como no caso anterior uma semicircun ferência de raio R e diâmetro AB e uma reta E que contém esse diâmetro Dividimos a semicircunferência em n partes iguais formando a poligonal regular inscrita e unimos todos os vértices ao centro O Temos então um polígono P inscrito no semicírculo e dividido em triângulos isósceles T1 T2 T todos iguais com base a e altura z Cada um desses triângulos têm área az A 2 A Matemática do Ensino Médio Volume 2 297 e a distância do baricentro do triângulo Tk ao eixo E é 2 3 Xk onde xk é como no item anterior a distância do ponto médio de sua base ao eixo Vamos então determinar a distância x do baricentro desse polígono ao eixo E Figura 1224 si x crgx A7xl AZx 3 2 1 2 n 3 3 T1 X A A A A 5ax ax zhi zhit nA nA hl z2 2R nA 3 nA Quando n cresce nA que é a área do polígono P tende para n R22 a área do semicírculo e o apótema z tende a R Temos então que a distância do centro de gravidade de um semicírculo ao eixo é R2 2R 4R 3 nR2 3 7 2 298 Superfícies e Sólidos de Revoluciío Pelo 29 Teorema de Papous o volume da esfera é 27ExS 27c 4R 7R2 471R3 37T 2 3 Nota A maior parte do material deste capítulo pode ser exces siva para a prática em sala de aula nas escolas ao segundo grau Entretanto as noções intuitivas de centro de gravidade de figuras planas são importantes e úteis e os teoremas de Pappus podem ser apresentados sem uma demonstração formal O professor pode por exemplo mostrar um pedaço de uma mangueira de borracha que estendida é um cilindro Nessa situação a área lateral e o volume dessa mangueira podem ser calculados facilmente Se em seguida as extremidades da mangueira são unidas para formar um toro os alunos podem compreender que agora a altura do ci lindro tomou a forma de uma circunferência É claro que nessa operação a parte interna do toro ficou um pouco comprimida e a parte externa um pouco dilatada mas é bastante razoável aceitar que a altura da mangueira tenha se transformado no comprimento da circunferência que contém os centros das bases Exercícios 1 Calcule a área e a superfície do sólido de revolução gerado pela rotação de um triângulo equilátero de lado 1 em torno de um eixo de seu plano que contém um vértice e é perpendicular a um lado 2 Calcule a área e o volume de um toro sabendo que as circun ferências interna e externa têm diâmetros 10cm e 16cm 3 Um triângulo retângulo de catetos b e c gira em torno de um eixo de seu plano que contém o vértice do ângulo reto Determine o maior volume que pode ser gerado 4 Considere em um sistema de coordenadas e o polígono con vexo P cujos vértices são 00 06 86 84 124 e 120 Determine as coordenadas do centro de gravidade A Matemática do Ensino Médio Volume 2 299 a do bordo de P b da superfície de P 5 Um plano secante a uma esfera divide sua superfície em duas regiões chamadas calotas Mostre que a área de uma calota esférica é dada por 2n Rh onde R é o raio da esfera ehéa altura da calota 6 Um astronauta em sua nave espacial consegue observar em certo momento exatamente 16 da superfície da Terra Determine a que distância ele está da superfície do nosso planeta Considere o raio da Terra igual a 6400km 7 Encontre uma construção com régua e compasso para o centro de gravidade da superfície de um trapézio Respostas dos Exercícios Respostas dos Exercícios do Capítulo 1 11 Progressões Aritméticas 1 2n 1 2 1082 3 x 7 a5 2 4 1666 5 5373 6a 108 5 2 nn221 11 800 12 Não 13 6b 32400 7 anq n7 1 8 65 9 10 31 o número suprimido é igual a 13 14 R3500 00 15 R3500 00 16 249 19a n2n412 19b n4722 425n1 20a nn1647111 396 17 7164 18 20b n2 n1237I1 20c 62 25 20d 21088 22a c1 3 r 4 22b Não existe tal progressão 23a 931 23b 29791 24 O primeiro jogador tem a es tratégia ganhadora começar dizendo 7 e a partir daí escolher sempre o com plemento para 8 do número escolhido pelo adversário 25 O segundo jogador ganha escolhendo sempre o complemento para 8 do número escolhido pelo ad versário 26 O segundo jogador ganha escolhendo sempre o complemento para 9 do número escolhido pelo adversário 27 Recebendo o jogo em 51 59 60 61 ou 62 jogue 3 Recebendo em 50 57 ou 58 jogue 5 Recebendo em 52 54 55 ou 56 jogue 7 Recebendo em 49 ou 53 jogue 6 Recebendo abaixo de 49 jogue de qualquer jeito 28 276 29 Aproximadamente 236m 30a 2k2 3k 2 30b 2k2 2k 1 30c 4k3 6k2 4k 1 30d k4 31 1222n2 34 10 35a 98 35h Sextafeira 35c 2003 35d O 2425 36a 2004 36h 14 37 81 15 38 n122n 141 40 aka 1 41 t ti C sendo uma constante arbitrária 41a 3213 41b n 1 1 41c nt i 12 Progressões Geométricas 1 32 2 28 3 12 4 375 5 Aproximadamente 46 6 44 7 25 8 1 9 18000 2 ou seja R 1626484 10 12Vg 11 1 1 q 1 1 12 1 13 469 ou 964 14 469 ou 964 15 8 2 4 8 17 18 2103n1 6667 n dígitos 19 D 20p 1 21a 48360 21b 3224 22a 4è 22b 22c 1 22d jlj 23a 3 23b Pg 23c 3 23d 1 x2 23e 24a 13m Respostas dos Exercícios 301 25a 25h ii n 1 26a 27r 26b 24h 5s aproximadamente a 2h 27 117 28 396 e 319 aproximadamente 29 1 e 5 30 3 31a x 31b Vx2y 32a D R 32h 0 32c Não o conjunto é infinito 35 936 25n11 36 17312 33334 dígitos 37 anos aproximadamente n 25111 45n1 38a 3 1 2 38b 20 2 t J t 38c oo ximadamente 39b 392 Hz aproximadamente 41b n 12 n1 2 38d y 39a 523 Hz apro 39c Fá 40b 3dB 41a 6 Respostas dos Exercícios do Capítulo 2 Matemática Financeira 1 1006 2 595 1160 3 10122 5735 4a 3449 4b 3355 4c 1 1 k 1 5 ei 1 6 O número e é o valor do montante gerado em um ano por um principal igual a 1 a juros de 100 ao ano capitalizados continua mente 7a 1275 7b 4700 7c 2350 8 a 9 Sim 10 R 27200 11a R 35293 11b R 37411 11c R 39656 12a 459 12b R 62630 13 031 V 071 18t 1 onde t é o número de meses do investimento Se t 1 a taxa é 1560 se t 2 é 1566 se t oo a taxa é 18 14a 5108 14b 2020 14c 1281 15 x 703 16a 638 16b 660 16c 684 17 772 18b R533 R526 18c R505 R498 19 R3080 20 melhor a pior c 21 1433 22a R45626 22b R47139 22c R47223 23a R5127 23b R5435 23c R5761 24a R30000 24b R28302 25 R1660 26 R 1404 27 TABELA PRICE Época Prestação Juros Amortização Estado da dívida 0 3 00000 1 56233 30000 26233 2 73767 2 56233 27377 28856 2 44911 3 56233 24491 31742 2 13169 4 56233 21317 34916 1 78253 5 56233 17825 38408 1 39845 6 56233 13984 42249 97596 7 56233 9760 46473 51123 8 56235 5112 51123 Respostas dos Exercícios 302 SAC Época Prestação Juros Amortização Estado da dívida 0 3 00000 1 67500 30000 37500 2 62500 2 63750 26250 37500 2 25000 3 60000 22500 37500 1 87500 4 56250 18750 37500 1 50000 5 52500 15000 37500 1 12500 6 48750 11250 37500 75000 7 45000 7500 37500 37500 8 41250 3750 37500 28a R 42006 28b R 2305628 29a R 35194 29b R 1555556 30a 18 30b 32 31a 20 31b 50 32 A original 33 Comprar 34 25 Respostas dos Exercícios do Capítulo 3 31 Seqüências Definidas Recursivamente 1 41 2 xni xn n 1 xo 1 5 x 321 6 xn 3n 1 7 xn1 xn 2n xi 2 8 D5 44 32 Recorrências Lineares de Primeira Ordem n 1 xn 7121n 1 2 x n 2n1 3 xn 321 4 xn 2 1 5 xn O 5 10 2 6 xn n2n2 7 x 2n1 8 xn n22 74 1 9 x 10 x it k 1n 1Ti k 1 11 p r R l iin 290 2 Ri 2 não se po II e sim caso contrário 23 33 Recorrências Lineares de Segunda Ordem la xn C12nC23r lb xn C13C2n3 1c xn V2n Cl cos C2 sen 37 2t 1d xn Ci2n C23 n2 le xn Ci2n C23n Ft xn C12n C23n n21 1g xn C12 C23n 11 li cos C2 sen 1j xn C13 C2n3n n3 12 3 71 2a xn 32 2 2b xn 2n 2n 2c xn n2 n 327 3 xn 34f 31 lar 31V 3i 4n 4 Fn 5 Fn1 6 xn 1 232 7 a pp 1 f 12 i 221y 52 N 2 2 1y 8 xn 9 Fn 16 5 16 5 Respostas dos Exercícios Respostas dos Exercícios do Capítulo 4 303 41 Princípios Básicos de Combinatória 1 510 2 2 3 60 4 460800 5 3612 e 1806 6 8 40320 e 403202 7 612 8 2401 e 840 9 15 e 8 10 Os de números 12 22 32 302 11 260 12 1658775 e 1214400 13 175760000 14 43200 15 642 16 3168 17 209 18 48 19 Não existe essa história de primeira pessoa do casal Se você cria uma distinção artificial entre as pessoas do casal a primeira pessoa e a segunda pessoa você vai contar cada casal mais de uma vez Por exem plo o casal João e Maria foi contado duas vezes uma quando João é a primeira pessoa e Maria é a segunda e foi contado novamente quando Maria é a primeira pessoa e João é a segunda Toda vez que se cria uma distinção artificial entre coisas iguais isso resulta em uma contagem múltipla Isso aliás não é ruim se percebe que foi feita uma contagem múltipla No caso cada casal foi contado duas vezes para corrigir a contagem errada de 50 basta dividir por 2 A resposta correta é 25 20 98475 21 1170 42 Permutações e Combinações la 8 40320 lb 4 x 3 x 6 8640 1c 2 x 412 1152 1d 6720 le 364320 lf 6720 1g 2 x 76 9360 1h 3 x 73x65 13080 li 6720 2 n 3 8 2 x 7 30240 4 2 x 7 2 x 2 x 6 7200 5 38 x 2 x 1 13122 6 51 L Cts Ci50 1 756756 7 126126 8 c c3cc3 34 24I2 67897830000 9 g 119 7 53 1 10395 10a 81Q 10b 46721 10c 2 10d 5333280 11 rrilr1 12a 720 12b 30 12c 2 13 Tetraedro 2 Octaedro 1680 Do decaedro 7983360 Icosaedro 14 ri 1 e n 3 15 4 90720 16 C7 18 Uma comissão com 4 homens ABCD foi contada várias vezes uma quando ABC foram escolhidos inicialmente e D posteriormente outra quando ABD foram escolhidos inicialmente e C posteriormente etc Já uma comissão com apenas três homens só foi contada uma vez 19a 3 19b 36 19c 100 19d 4 19e 18 20 CZt 21 C C21 82 CgC 8 12960 22a C177 1 22h Cc1 22c 2C22 22d 2Cf12 C 22 C7 C 171 2 22e 2Ci21 23a 201376 23b 8CW43 107520 23c C C ct 6 4 24192 23d 8C81C4 2 10752 23e 8 7 4 224 23f 8 C2 7 C121 1344 23g 445 4 4080 23h 4 ci 4 208 23i 16 23j 4 24a n 304 n21fri 240 n212p1 25 q0 C1 Ci32 8 24b 1085 26 23 C 3 1680 27 25200 28 Cft71 29b UI 210 30 30 x 7 151200 31 126 32 33b 7 34a 9 34h takak11 35 6 36 451 2880 39 84 40 10626 44 Binômio de Newton Respostas dos Exercícios C2 12 1 29a Ch 330 nra4hh1 33a 28 37 72 38 15 1 120 2a 5 2b 10 ou 11 3 210 4 2n2 6n 1 54 6a 3 6b 3 11 7 c213fif Respostas dos Exercícios do Capítulo 5 51 Conceitos Básicos de Probabilidade 1 é 2 M 5a 54 108 5b 5c 12ã 5d 1 6 25 Se 12196 5f 162 5g 6 27Z7L11 7 8 96 94 10 Th 11 18 12a c h rLJ 3168 12b 47170 12c CC5 4291286 13 721 1 14a 14b nn11k1 15a 15br élé 16a 08 1613 01 16c 03 16d 06 17a 05 e 07 17b 01 e 06 18a 05 18b 0495 19a 1913 4 19c 2 45 52 Probabilidade Condicional 1 é 2 3a Sim 3b Sim 3c Sim 3d Não 4a 1 4 ad 0518 nn12 k2 1 r 4b 24 ca 0491 5 Aproximadamente 008 6 13 7a 713 n471ni1k1 8 1J 9 Em uma urna ponha apenas uma bola branca e ponha as outras bolas na outra urna 10a 10b 3 se k n 211 se k n 11a rg 11b a 11c 3 454045 12 Deve trocar Trocando a probabilidade de ganhar o prêmio é de Não trocando é de apenas é 13 14a 14b 14b é 15 é 16 Aproximadamente 315 17 Não Se PABC PACB PBAC PBCA PCBA h e PCAB teríamos as hipóteses satisfeitas 18 4 19 é 20 Respostas dos Exercícios Respostas dos Exercícios do Capítulo 6 61 Médias 305 1 É a média harmônica de vi e v2 2 É a média aritmética de v1 e v2 3 C 4 28 aproximadamente 5 Aproximadamente 121 e 32 6 7 horas 7 8h30min 11 Não Para a classificação estar correta basta que o peso de Português seja maior do que o triplo do peso de Matemática 12a 48000 km Trocando os dianteiros com os traseiros aos 24000 km 12b 60000 km Permutando circularmente os 5 pneus a cada 12000 km por e xemplo ou por exemplo mantendo os pneus traseiros e rodando 20000 km com os pneus 1 e 2 na frente outros 20000 km com os pneus 1 e 3 na frente e 20000 km com os pneus 2 e 3 na frente 12c Harmônica 13 375 14 A soma dos quadrados 17 Grandes erros por excesso seriam compensados por grandes erros por falta e poderíamos ter aproximações ruins com média aritmética de erros próxima de zero 18 É a média aritmética ziz2 Xn 19 Se n é ímpar n 2k 1 a resposta é xk1 Se ri é par n 2k a resposta é qualquer valor compreendido entre 1k e xki inclusive 20b 380 e 680 a de Augusto 20c y 181x 822 25 73 28 65 29 5 34a Sim 34c Em oo xi 34d Em x2 co 35a Não 36 173m 63 Desigualdade das Médias Generalizada 9 45 sendo 23 paletós e 22 calças ou viceversa Ou 24 e 21 ou 25 e 20 11b 4 15 01 e v oo 16 01 e O oo 17 0 oo e 4 oo 18 01 e 03 19 3 oo e 3 co 20 12 co e 6 oo Respostas dos Exercícios do Capítulo 7 1 Supondo que neste trecho tanto a ponte quanto a via férrea estejam em planos horizontais sem rampa temos as seguintes relações a e são paralelos r está contida em a e é paralela a enquanto s está contida em l3 e é paralela a a r e s são reversas É possível também que os planos das duas estradas não sejam paralelos por exemplo se a estrada estiver no plano horizontal mas a ferrovia estiver em um trecho de rampa Neste caso temos as seguintes relações a e j3 são secantes 306 Respostas dos Exercícios r está contida em a e é secante a fi enquanto s está contida em 3 e é secante a a r e s são reversas 2 4 planos 3 20 planos 4 O retângulo ABGH 5 A reta determinada por O e P 6 A reta determinada por A e B 7 AC e BD são reversas 8 a basta tomar o plano definido por r e por urna paralela a s traçada por um ponto qualquer de r h repetir a construção para a reta s os dois planos assim determinados são paralelos e contém respectivamente r e s c P e r determinam um plano a tomase o ponto A de interseção de s e a e a seguir determinase o ponto B em que a reta AP intersecta r A reta AB é a reta pedida observação P não pode estar em nenhum dos dois planos obtidos em b 9 Sim O plano que passa por P e é paralelo a a corta r em um ponto A que determina com P a reta pedida 10 Errado Os planos também podem ser secantes ou mesmo coincidentes 12 Não 16 Pode ser um segmento de reta ou um paralelogramo 17 a um paralelogramo b uni trapézio c um pentágono d um hexágono 21 Se a e fi são paralelos o lugar geométrico pedido é o plano paralelo a ambos que Rca a igual distância deles se os planos são secantes todo ponto do espaço é ponto médio de algum segmento cujos extremos estejam em a e fi 24 a 5 cm por 166 cm b 5 m 26 hf i Respostas dos Exercícios do Capítulo 8 Perpendicularismo 1 Não 4 Um círculo contido em um plano perpendicular a r 5 Tetraedro regular octaedro regular e cubo respectivamente 8 Certo a e fi são perpen diculares 9 Sim 15 a 535 m b 445 m c 415 m Respostas dos Exercícios do Capítulo 9 Medindo Distâncias e Ângulos 3 A reta perpendicular ao plano ABC passando pelo circuncentro do triângulo ABC 4 a os planos bissetores dos dois planos dados b o plano paralelo e equidistante deles 5 a cos h cos3 xà5 9 a 9 h cos 10 cos 1 O 10928164 12 Na2 b2 c2 14 Um quadrado de Respostas dos Exercícios 307 lado a2 16 A esfera de diâmetro AB exceto os pontos A e B 17 Sendo A a projeção de P sobre a o LG é a circunferência de diâmetro AB Se A Q o LG é o ponto Q 18 a6 c4i ct f 19 at 20 1 1 21 a215 2 22 15 23 NY 10h Paris 15h Atenas 17h Bagdá 18h Calcutá 21h Respostas dos Exercícios do Capítulo 10 Poliedros 1 8 faces triangulares e 4 quadrangulares 2 36 5 São duas as famílias uma com F3 4 e F4 2 e outra com F5 e F3 5 6 V V F F 2A A 3A Vale a relação de Euler 8 a2 9 A 36 Observações a como o oceano é um país o litoral de cada país é neste problema uma linha de fronteira b Não se considerou a fronteira da Colômbia com o Panamá Tudo o que está fora da América do Sul se chamou oceano c Como o enunciado afirma que não existe ponto comum a mais de 3 países estabelecemos um vértice onde o rio Uruguai desemboca no rio da Prata já oceano d Ignoramos a Terra do Fogo pela complicada geografia 10 Não 11 Não Como as duas ilhas têm número ímpar de pontes o percurso deve terminar tanto em uma quanto na outra Contradição 12 Não Há 4 vértices de gênero ímpar Respostas dos Exercícios do Capítulo 11 Volumes e Áreas 1 a 96000 litros b 2780 2 a 280 b 276 c 84 d 8 3 24 4 a a35 13 4ti 5 8 triangulares equiláteros e 6 quadradas b k L3 c s ti 6 Ciat í 7 9 V 48cm3 S 96cm2 r 32 R izsrir 174 11 190cm2 12 V 12Rcm3 8 2472 r 32 R 258 13 81Rcm3 15 1350m1 16 W e I 17 3m 18 diâmetro altura Vf7 19 Não Os volumes gerados pelos dois triângulos não são iguais Na verdade um é o dobro do outro 308 Respostas dos Exercícios Respostas dos Exercícios do Capítulo 12 Superfícies e Sólidos de Revolução 1 S 2151 V frr 2 8 39712 ern2 17 t2 3 an3 r bcb2 c2 4 a 43 25 13 11 2 4 6 3200km 7 ABCD é um trapézio com base maior AB e base menor CD Sejam M e N os pontos médios das bases Prolongue AB de um comprimento BE igual a CD Prolongue CD de um comprimento DF igual a AB A interseção de MN com EF é o centro de gravidade da superfície do trapézio G 0 tiINE RStDA C E DE ORTALEZA MIL LOTECA CENTRAL SOCIEDADE BRASILEIRA y DE MATEMÁTICA COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA Logaritmos ELLima Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios ACMorgado JBPitombeira PCPCarvalho e PFernandez Medida e Forma em Geometria Comprimento Área Volume e Semelhança ELLima Meu Professor de Matemática e outras Histórias ELLima Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios ELLima com a colaboração de PCPCarvalho Trigonometria Números Complexos MPdo Carmo ACMorgado EWagner Notas Históricas de JBPitombeira Coordenadas no Espaço ELLima Progressões e Matemática Financeira ACMorgado EWagner e SCZani Construções Geométricas EWagner com a colaboração de JPQCarneiro Introdução à Geometria Espacial PCPCarvalho Geometria Euclidiana Plana JLMBarbosa Isometrias ELLima A Matemática cio Ensino Médio Vol 1 ELLima PCPCarvalho EWagner e ACMorgado A Matemática do Ensino Médio Vol 2 ELLima PCPCarvalho EWagner e ACMorgado A Matemática do Ensino Médio Vol 3 ELLima PCPCarvalho EWagner e ACMorgado Matemática e Ensino ELLima Temas e Problemas ELLima PCPCarvalho EWagner e ACMorgado Episódios da História Antiga da Matemática AAaboe Exame de Textos Análise de livros de Matemática ELLima COLEÇÃO INICIAÇÃO CIENTÍFICA Números Irracionais e Transcendentes DGde Figueiredo Primalidade em Tempo Polinomial Uma Introdução ao Algoritmo AKS SCCoutinho COLEÇÃO TEXTOS UNIVERSITÁRIOS Introdução à Computação Algébrica com o Maple LNde Andrade Elementos de Aritmética A Hefez COLEÇÃO MATEMÁTICA APLICADA Introdução à Inferência Estatística HBolfarine e MSandoval COLEÇÃO OLIMPÍADAS Olimpíadas Brasileiras de Matemática 9a a 16 CMoreira EMotta ETengan LAmâncio NSaldanha PRodrigues Este livro escrito para professores do Ensino Médio e estudantes de licenciatura em Matemática cobre os principais assuntos estudados na segunda série do Ensino Médio O livro tem duas partes bem distintas A primeira parte é dedicada à Matemática Discreta contendo o estudo de Progressões com aplicações à Matemática Financeira Análise Combinatória e Probabilidade Um cuidado sempre presente nessa parte é o de evitar o uso excessivo de fórmulas Na maioria dos casos elas são desnecessárias e substitas com vantagem pelo uso consciente das definições e dos princípios fundamentais Por exemplo os professores são aconselhados a ensinar os alunos a fazer uso inteligente princípio da multiplicação em Análise Combinatória ão de recorrer a uma profusão de fórmulas cujo uso é rattág vezes confuso para o aluno Professor aqui eu uso arranj ou combinações A segunda parte do livro é dedicada à Geometria Espáci duas preocupações principais A primeira é oferecer utaá fundamentação do assunto para o professor discutindo formas de levar esses fundamentos para os alunos As apresentar em cada tópico sugestões de atividades aula que visam tornar o assunto mais interessante para e facilitar o desenvolvimento de sua visão e intuição er Para tal sempre que possível são apresentados e objetos do mundo real que ilustrem conceitos ina 5ed20a A m