Integrais de Linha

Respostas sem justificativas ou que não incluam os cálculos necessários não serão consideradas No final deve ser entregue a prova junto com folha de respostas 1 2 pontos Calcular AB x22xydx 2xy y2dy onde AB é o arco de parábola y x2 que vai do ponto 1 1 até o ponto 2 6 2 2 pontos Calcular 0π210 xex cos y yex sin ydy xex sin y yex cos ydx 3 2 pontos Calcular AB yx ds onde AB é o arco de parábola semi cúbica y2 4x39 que vai do ponto 3 23 até o ponto 8 3233 4 2 pontos Usar o Teorema de Green para calcular λ y3 dx x3 3xy2 dy onde λ é o caminho que vai do ponto 0 0 até 1 1 ao longo do gráfico de y x3 e de 1 1 a 0 0 ao longo do gráfico de y x 5 2 pontos Seja R a região interior a x24 y24 1 e exterior a x2 y2 1 calcular λ 2xy dx x2 2x dy onde λ é a fronteira de R ⑨ LIXaxyldx laxytydy onde EB é o aco de prábola y e e 1 1 até 2 6 To Eme ponto não está na parábola tem Soluçai que un 2 4 pois y 22 4 Podemos parametriza a auva por Elt t 2 2 2t com te 2 O campo é dado por Fixyl X22xy axyty 2 logo FH 2 2t 2 t t t24 t 2t3 2t5 D Portanto 1 xexyldx laxy gudy f 1 2 at3 2 t5 D 1 2tdt E 2 3 1 2t 4 27dt j 2 24 n 2 2 3dt 2fic aind j 2f 2 4 1 25 22 2 252 6 12724 552 00 79423 ② g Rxexcosy yernyldy xe neny y excoydX 02 Px y Qx y T SoluçãAfirmamos que o campo Exyl xenly yecosy Necoyyenny é comavit ② ecoy yenny 2X xe cry yela excosy Xe coy yeYseny coscyle xeY ye rency C E Dxe seny yecol O xe uny yeoy by Xe coscyl e coscylye senil coscyl xe e yevencyl Donde EPE Vamos encontra a função potência Of loge E Px y D fx y f Px y0x Jxe reny ye coydx sencyl X e dx y conyl fexdx vencylxe dx ycoye Cy Tome U X du dx e do ex v ex por partes temos uny X ex Jetdx ycoye cy senly X ex ex ycoxy e cy Doude fixyl Mensyl e X1 ycossyle Cyl Por antro lado xexcony yenency Qxy E neusyl ex X 1 ycosyle y oy Carlys X 2 curylex ysencysex cy xexcocyl excosyl colyle y ency ciy Xe cossy y exency ciy D ciyi 0 y C contante qualquer tome c o logo fx y neusyl e X 1 ycossyle Portanto g 1 Rxexcosy yernyldy xe neny y e coydX f d fo i 02 0 0 unt e 10 1 0 ren ③ Calcula ds AB é o aco de pra remicubica yo vai do ponto 13 25 até 18 3 Soluç Note que y24x3 y yo Anim 5 rt t com 3 8 E o elemento de compimento de aco é d y dt at y z 22dt vendt E temos donde Che o Teo de Green par calcular S Yodx x sxydye ondea é o caminho que vai de 10 ol até 15 5 ao longo de yx3 e de 15 11 a 10 01 pelo gráfico de y X Solução Pelo Teo de Green temos ⑨ 1 1 Sydx x 2 3xyzdy fx 3xy zydA y 4 X D y X 7 3 3x by by a e ⑨ J XdA X IS 3xdyd e 23xx X 1dx j 3x 3x5dx 5 ⑤ Seja R a região inteir a 1 e exterior a cla Saxy dx 1x 2x d e onde X JR Solução SD Xy Pelo Teorema de Green 2x 2 2x d e J 2A 2 Área R Não precisamos calcula a integral é mais fácil calcular a área A i 24 lit 12 4π P 3 Portanto Jaxydx 1x 2xdy 2 A 2 6