Integral Calculo

Lista de Exercícios Integrais 01 Determine a primitiva para cada função Verifique suas respostas derivando a fx 6x b fx x4 2x 3 c fx 12x3 d fx x 1x e fx 13 x23 f fx πsenπx g fx 23 sec2 π3 h fx sec π2 tg π2 02 Calcule as integrais Verifique suas respostas diferenciando a x 1 dx b ex 4x dx c x ³x dx d 21y2 1y14 dy e tt tt2 dt f 7sen θ3 dθ g 1tg²θ dθ h cosθtgθ secθ dθ i cosecθcosecθ senθ dθ 03 Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique sua resposta a xsenx dx x²2 senx C b xsenx dx xcosx C c xsenx dx xcosx senx C 4 Calcule as integrais indefinidas a x 3 dx b 2x 3x² dx c x23 2x 1 dx d ³x² dx e 1x³ dx f x² x 1x dx g x 13x 2 dx h y² y dy i x²2 3ex dx j 1 2t³ t³ dt 5 Calcule as integrais indefinidas a 2senx 3 cos x dx b 1 cossect cotgt dt c sec²θ senθ dθ d tg²y 1 dy e sen x cos² x dx f dy cossecy 6 Suponha fx uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função Fx tal que y Fx satisfaça a equação dydxfx As soluções desta equação são as antiderivadas de fx A equação dydxfx é chamada de equação diferencial Resolva a equação diferencial abaixo a dydx x 1x y1 2 b dydt sec²t sent yπ4 1 7 Determine a curva y fx no plano xy que passa pelo ponto 9 4 e cujo coeficiente angular em cada ponto é 3x 8 Uma bola é jogada para cima com velocidade inicial a 64 metros por segundo de uma altura inicial de 80 metros a Encontre a função posição escrevendo a altura s em função do tempo t b Quando a bola atinge o chão 9 Na Lua a aceleração da gravidade é 16ms² Uma pedra é solta de um penhasco na Lua e atinge sua superfície 20 segundos depois Quão fundo ela caiu Qual era a velocidade no instante do impacto 10 A velocidade mínima necessária para que um objeto escape da força gravitacional da Terra é obtida da solução da equação v dv GM 1y² dy onde v é a velocidade do objeto lançado da Terra y é a distância ao centro da Terra G é a constante gravitacional e M é a massa da Terra Mostre que v e y estão relacionados pela equação v² v₀² 2GM 1y 1R onde v0 é a velocidade inicial do objeto e R é o raio da Terra Sugestão use o fato que se y R então v v0 11 O fabricante de um automóvel anuncia que ele leva 13 segundos para acelerar de 25 quilômetros por hora para 80 quilômetros por hora Supondo aceleração constante calcule a A aceleração em metros por segundo ao quadrado b A distância que o carro percorre durante 13 segundos 12 Calcule as integrais indefinidas usando as substituições dadas a x sen 2x² dx u 2x² b 28 7x 25 dx u 7x 2 c θ² r dx 1r³ u 1 r³ d x sen² x³2 1 dx u x³2 1 e cosec²2θ cotg2θ dθ i use u cotg2θ ii use u cosec2θ 13 Calcule as integrais fazendo a substituição adequada a e2x dx b x 2 x²³ dx c cos8x dx d x² e2x³ dx e x² sec²x³ dx f dx ex g ey y dy h sen² 3x cos 3x dx 14 Calcule as integrais a 3 2s ds b θ⁴ 1 θ² dθ c 1x1x² dx d r² r³18 15 dr e 4dt t1ln² t f sen2t1cos²2t1 dt 15 Se você não souber qual substituição deve fazer tente reduzir a integral passo a passo usando uma primeira substituição para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais Experimente fazer as substituições a seguir e depois tente sozinho a 18 tg²x sec²x 2 tg³x dx i u tgx seguida por v u³ e depois por w 2 v ii u tg³x seguida por v 2 u iii u 2 tg³x b 2r 1 cos32r 1² 6 32r 1² 6 dr c sen θ θ cos³ θ dθ 16 Que valores de a e b maximizam o valor de b a x x² dx 17 Calcule as integrais a ₀¹ x² x dx b π4 ₀ cosecθ cotgθ dθ c ₀¹ xe² dx 18 Determine as derivadas calculando a integral e diferenciando o resultado e depois diferenciando a integral diretamente a ddx ₀ˣ t cost dt b ddx ₁ˣ senx 3t² dt 19 Determine dydx a y ₀ˣ 1 t² dt b y ₀ˣ sent² dt c y ₁ˣ¹³ eᵗ³¹ dt 20 Use uma substituição para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral a ₀¹ 1 2x³ dx b ₀π sen² 1 θ2 dθ c ₀π sen² π4 cos π4 dx 21 Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário a ¹⁴ x dx b ₀² 1 x2 dx c ₀⁴ 2 dx d ₁² 2x 3 dx e ₀² 4 x² dx f ₀¹ x 2 1 x² dx 22 Ache a área sob a curva y fx no intervalo dado a fx x³ 23 b fx x 19 c fx eˣ 13 23 Determine a área das regiões sombreadas a imagem de gráficos com áreas sombreadas b imagem de gráficos com áreas sombreadas c imagem de gráficos com áreas sombreadas d imagem de gráfico com área sombreada 24 Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo a 3⁰ x² 4x 7 dx b 1³ 1x² dx c 4⁰ 2xx dx d π2 π2 senθ dθ e π4 7π4 cos x dx f ln2³ 5eˣ dx g 1⁴ 3t 5t t³² dt h π2ˣ x 2sen²x dx 25 Use a fórmula da substituição para calcular as integrais a Determine o valor de k se a parábola é tangente ao gráfico de y1 b Determine a área da superfície desta parte da máquina 34 Calcule a integral usando a integração por partes a x cos 5x dx b ln2x 1 dx c arctg 4t dt d sen¹x dx e e²ºsen3θ dθ f π⁰ t sent dt g 12⁰ cos¹ x dx 35 Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma função velocidade vt t² e¹ Até onde irá a partícula no tempo t 0 a t 5 36 O estudo das ondas de dentes de serra em engenharia leva a integrais da forma πω ω t senkωt dt onde k é um inteiro e w é uma constante não nula Calcule a integral 37 Calcule a integral a cos³ 2x dx b sen² 2t cos³ 2t dt c sen x cos 2x dx d π6⁰ sen 2x cos 4x dx e sec 2x dx f tg² x sec² x dx g 0π6 tg² 2x dx 38 A integral xx² 4 dx pode ser calculada ou por substituição trigonométrica ou pela substituição u x² 4 Calculea das duas maneiras e mostre que os resultados são equivalentes 39 Use frações parciais para achar a integral a 1x²1 dx b 3x² x 2 dx c 5x2x² x 1 dx d x² 12x 12x³ 4x dx e 2x³ 4x² 15x 5x² 2x 8 dx 40 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas Esboce a região a y 1x x 1 x 2 y 0 em torno do eixo x b x 2y x 0 y 9 em torno do eixo y c y x³ y x x 0 em torno do eixo x d y x y x em torno de y 1 e y x² x y² em torno de x 1 a 0π4tgx sec²xdx b 0π3cos²x senxdx c 07 tt²1¹³dt d 03 4xx²1 dx e 33 4xx²1 dx f ln π2 6 2eºcoseº dυ 26 Esboce o gráfico da função no intervalo dado Depois integre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o gráfico e o eixo x a y x² 6x 8 03 b y 2x x² 03 27 Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas a y x² 2 e y 2 b y x² e y x² 4x c y x⁴ 4x² 4 e y x² d y 2senx e y sen2x 0 x π 28 Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y x e x 2 a curva y 1x² e o eixo x 29 Determine a área da região entre a curva y 3 x² e a reta y 1 30 Ache a área total entre a curva y x² 3x 10 e o eixo x no intervalo 38 Faça um esboço da região 31 Calcule a integral definida a 10 2x1⁴ dx b 0⁸ x1x dx c 0π2 4senx2 dx d 3π4 1 senx cosx dx e 01 dx3x1 f 01 y²4 3y dy g 0e dxxe 32 Esboce a região entre as curvas no intervalo dado e calcule a sua área a y x² y x x 14 x 1 b y cos2x y 0 x π4 x π2 c x seny x 0 y π4 y 3π4 d y 2 x 1 y 15 x 7 e y x y 4x y x 2 f y senx y cos2x x π6 y π6 33 A superfície de uma parte de uma máquina é a região entre os gráficos das funções y₁ x e y₂ 0 08x² k conforme a figura abaixo 41 Cada integral representa o volume de um sólido Descreva o sólido a π ₀π2 cos²xdx b π ₀¹ y⁴ y⁸dy Q31 a ₀¹ 2x1⁴ dx 2x1y x0 y1 dydx2 x1 y213 ₁³ y⁴ dy2 12 ₁³ y⁴ dy 12 y⁵5₁³ 12 3⁵5 1⁵5 24310 243 b ₀⁸ x1x dx y1x dydx1 x0 y1 x8 y9 ₁⁹ y1 y¹² dy ₁⁹ y32 y12 dy 25 y52 23 y32 19 25 3²52 23 3²32 25 23 4865 543 25 23 119215 e ₀¹ dx3x1 y3x1 dydx3 x0 y1 x1 y4 13 ₁⁴ y12 dy 13 2 y1214 13 24 21 23 f ₀¹ y² 43y dy 43yx dydx 3 y0 x4 y1 x1 ₄¹ 4x3² x dx3 13 ₄¹ 16 8x x² 9x dx 127 ₄¹ 16x12 8x12 x32 dx 127 32x 163 x32 25 x5241 127 64 1283 645 32 163 25 127 32 1123 625 480 560 1862715 106405 g ₀e dx xe y xe dydx 1 x0 ye xe y2e ₀e dyy ln y e2e ln 2e ln e ln2ee ln 2 Q 32 a y x2 y sqrtx x 14 x 1 sqrt14 12 y14 12 y x2 y14 116 A integral from 14 to 1 of sqrtx x2 dx 23 x32 x33 from 14 to 1 13 2 1 2 1432 143 13 1 14 164 49192 b y cos2x x pi4 x pi2 y 0 cos2pi4 cospi2 0 cos2pi2 cospi 1 A integral from pi4 to pi2 of cos2x dx sin2x2 from pi4 to pi2 A 12 sin2pi2 sin2pi4 12 0 1 12 Em módulo A 12 c x sen y x 0 y pi4 y 3pi4 A integral from pi4 to 3pi4 of sen y dy cos y from pi4 to 3pi4 sqrt22 sqrt22 sqrt22 sqrt22 sqrt2 a y2 2 x 1 y1 x5 7 y10 7 y1 0 x5 7 x 35 y2 2 x 1 3 x y2 y1 Para x 1 y2 y1 Para x 1 x 1 x5 7 x x5 6 6x5 6 x 5 Para x 1 y2 y1 x5 7 3 x x x5 3 7 4x5 4 x 5 A1 integral from 5 to 1 of 7 x5 3 x dx integral from 5 to 1 of 4 4x5 dx 4x 2x25 from 5 to 1 4 25 20 505 4 25 10 14 25 725 A2 integral from 1 to 5 of 7 x5 x 1 dx integral from 1 to 5 of 6 6x5 dx 6x 3x25 from 1 to 5 30 3255 6 35 15 6 35 485 ATOTAL 725 485 1205 24 2 g x g 4x y x 2 y x x 2 x x 2 x 1 4x x 2 5x 2 x 25 A1 integral from 0 to 25 of 4x x dx integral from 0 to 25 of 3x dx 3x22 from 0 to 25 32 2252 625 A2 integral from 25 to 1 of 2 x x dx integral from 25 to 1 of 2 2x dx 2 integral from 25 to 1 of 1 x dx 2 x x22 from 25 to 1 2 1 12 25 12 2252 2 12 825 1 1625 25 1625 925 ATOTAL 6 925 1525 35 f y sen x y cos 2x x π2 x π6 sen x cos 2x senx 1 2 sen2 x 2 sen2 x senx 1 0 Δ 12 421 9 sen x 3 2x 1 9 4 1 3 4 12 3x 1 9 4 1 3 4 1 sen x 12 x π6 sen x 12 x π6 A1 cos2x senx dx π12π6 sen2x2 cos x π12π6 3 4 3 2 0 33 4 Q33 y1 x x 0 x x 0 y2 008x2 k a Dado a simetria do problema vamos resolver pl x 0 a parábola e a reta y x tem um único ponto de interseccção 008x2 k x 008x2 x k 0 como a reta é tangente Δ 0 12 4008k 0 032k 1 k 10032 K 258 b A1 y2 y1dx vamos calcular o ponto de interseccção x0 y2 y1 008x2 258 x 008x2 x 258 0 Δ 0 x0 12008 625 A1 008x2 258 xdx 008x33 25x8 x22 0625 00836253 256258 62522 651 Q34 Integraçāo por Partes u dv uv v du a x cos 5x dx u x dudx 1 dv cos 5x dx v cos 5x dx sen 5x 5 x cos 5x dx x sen 5x 5 sen 5x 5 dx x sen 5x 5 15cos5x5 c x sen 5x 5 cos5x 25 c b ln 2x 1 dx dx αv v x u ln 2x 1 dudx 2 2x 1 J ln 2x 1 dx x ln 2x 1 2x 2x 1 dx J2 2x 2x 1 dx y 2x 1 dydx 2 J2 y 1 y dy 2 J2 1 1y dy2 12y lny 122x 1 ln2x 1 x 12 12 ln 2x 1 x 12 ln2x 12 J x ln2x 1 x 12 ln2x 1 c x ln2x 1 ln2x 12 x 12 c c arctg 4t dt uarctg 4t dudt 416t² 1 dvdt vt arctg 4t dt t arctg 4t 4t16t² 1 dt I₂ 4t16t² 1 dt y4t² 1 dydt 24t 8t 4ty dt 4ty dy8t ½ 1y dy lny2 ln y ln 16t² 1 arctg 4t dt t arctg 4t ln 16t² 1 C d sin¹ x dx uarcsinx dudx 11x² dvdx xv J x arcsinx x1x² dx y1x² dydx 2x I₂ xydy2x ½ y12 dy y¹² sin¹ x dx x arcsinx y¹² C e ₀2θ eθ sin3θ dθ u sin3θ dudθ 3 cos3θ dv eθ dθ v eθ2 J eθ sin3θ2 eθ2 3 cos3θ dθ J₂ eθ cos3θ dθ u cos3θ dudθ 3 sin3θ dv eθ dθ v eθ2 J₂ eθ cos3θ2 eθ2 3 sin3θ dθ eθ cos3θ2 32 eθ sin3θ dθ I eθ sin3θ dθ eθ sin3θ2 3 eθ cos3θ4 94 eθ sin3θ dθ C eθ sin3θ dθ 94 eθ sin3θ dθ eθ2 sin3θ 32 cos3θ eθ sin3θ dθ 134 eθ4 2 sin3θ 3 cos3θ C ₀2θ sin3θ dθ eθ13 2 sin3θ 3 cos3θ C13 f ₀π t sin t dt ut dudt1 dvsin t dt vcos t ₀π t sin t dt t cos t π₀ ₀π cos t dt π ₀π cos t dt π sin t π₀ π g ₀½ arccos¹ x dx dvdx vx uarccosx dudx 11x² ₀½ arccos¹ x dx x arccosx ₀½ ₀½ x1x² dx I₂ ₀½ x1x² dx y1x² dydx2x I₂ xy dy2x dx I₂ ½ y12 dy y¹² C I₂ 1x²¹² ₀½ 1¼ 1 32 1 ₀½ arccos¹x dx ½ arccos½ 32 1 π6 1 32 Q35 vt t²eᵗ V dsdt ds from s₀ to sf v dt from 0 to 5 Δs ₀⁵ t² eᵗ dt J t² eᵗ dt μ t² dμdt 2t dv eᵗ dt v eᵗ J t² eᵗ 2 t eᵗ dt J₀ t eᵗ dt μ t dμdt 1 dv eᵗ dt v eᵗ J₂ t eᵗ eᵗ dt t eᵗ eᵗ J t² eᵗ 2 eᵗ t 1 C Δs t² eᵗ 2 eᵗ t 1 ₀⁵ 25e⁵ 2 e⁵ 6 2 2 12 e⁵ 25 e⁵ 2 e⁵ 37 Q36 from πω to πω t sinkωt dt u t dudt 1 dv sin kωt dt v coskωt kω J t coskωt kω 1kω coskωt dt C sin kωt kω from πω to πω t sinkωt dt t coskωt kω sinkωt kω2 from πω to πω coskω πω cos kπ cosk ω πω 1k sinkω πω sin kπ 0 sinkπ k ℤ from πω to πω t sinkωt dt πω 1k kω πω 1k kω 2 π 1k k ω2 Q37 a cos32x dx cos32x cos2x cos22x cos 2x 1 sin22x cos 2x cos 2xsin22x dx cos 2x cos 2x sin22x I₁ cos 2x dx sin 2x2 C₁ I₂ cos 2xsin22x dx y sin 2x dydx 2cos 2x y2 dy2 cos2x y2 dy y36 C₂ sin2x3 6 C₂ cos32x dx sin 2x 2 sin2x3 6 C b sen2 2t cos3 2t dt x sin 2t dxdt cos 2t2 cos2 2t 1 sin2 2t sen2 2t cos2 2t cos 2t dt x2 1 x2 2 dx cos 2t 2 x2 x4 dx 2 x33 x55 C sen2 2t cos3 2t dt 2 sin2t33 sin2t55 C c sin x cos 2x dx cos 2x 1 2 sin2 x sin x cos 2x sin x 2 sin3 x sin x cos 2x dx sin x dx 2 sin3 x dx I1 sin x dx cos x C1 I3 sin x sin2 x dx sin x 1 cos2 x dx u cos x dudx sin x sin x 1 u2 dusin x 1 u2 du u2 1 du u33 u C2 I2 cos36c3 cos x c2 sin x cos 2x dx cos x 2cosx 2 cos3 x3 C cosx 2 cos3 x3 C d 0π6 sin2xcos4x dx 2x y x0 y0 dydx 2 x π6 y π3 0π3 siny cos2y dy2 12 0π3 siny cos2y dy Do STEM ANTERIOR 12 cos y 2 cos3 y3 0π3 12 12 23 123 1 232 12 112 124 e sec x dx sec x sec x tgxsec x tgx dx sec2 x sec x tg x sec x tg x dx y sec x tg x dydx sec2 x sec x tg x sec2 x sec x tg x duu duu ln u C1 sec x dx ln sec x tg x C f tg x sec x2 dx y tg x dydx sec2 x y2 sec2 x dydx y2 dy y33 C tg2 x sec2 x dx tg3 x3 C g 0π6 tg22x dx sen2 x cos2 x 1 cos2 x tg2 x 1 sec2 x tg2 x sec2 x 1 J tg2 2x dx sec22x dx dx I0 sec2 2x dx y2x dydx2 I2 sec2 y dy2 12 sec2 y dy tgy2 tg 2x2 J tg2x2 x C 0π6 tg2 2x dx tg2x2 x 0π6 tg π32 π6 32 π6 Q38 xx²4 dx Case 1 x4x2² 1 dx tg²a1sec²x x2tgy dxdy2sec²y x2 tgy4tg²y1 2sec²ydy 4tgy4sec²ysec²ydy tgydy sengcosgdy cosgyt dtdysen t sengcosg dy sengt dℓsent dℓt lnt lncosg¹ C lnsecg C xx²4 dx ln 4x²2 C sec y 1tg² y 1x²4 Case 2 xx²4 dx ux²4 dudx2x xu d u2x 12 duu lnu2 C lnx²42 C Do case 1 ln 4x²2 C ln4x²2 ln 2 C 12 ln4x² ln 2 C 12 ln4x² A A Cln 2 Q39 a 1x²1 dx x² 1 x²1² x1x1 1x²1 Ax1 Bx1 Ax1 Bx1 1 x1 A21 A12 x1 2B1 B12 1x²1 dx 12x1 dx 12x1 dx 12 lnx1 lnx1 C 12 ln x1x1 C b 3x² x 2 dx I x² x 2 x2x1 3x2x1 Ax2 Bx1 x1 3B3 B1 x2 3A3 A1 Ax1 Bx2 3 J 1x2 dx 1x1 dx lnx2 lnx1 C ln x1x2 C b J 5x2x²x1 5x2x1x1 A2x1 Bx1 Ax1 B2x1 5x x1 B36 B2 x12 A3292 A3 J 32x1 dx 2x1 dx 3 ln2x1 2 lnx1 C d I x²12x12 x³4x dx x²12x12 xx²4 x²12x12xx2x2 Ax Bx2 Cx2 Ax2x2 Bxx2 Cxx2 x² 12x 12 x2 8B4241240 B5 x0 4A12 A3 x2 8C424128 C1 J 3 1x dx 5 1x2 dx 1x2 dx 3 lnx 5 lnx2 lnx2 C 2 J 2x³ 4x² 15x 5 x² 2x 8 dx x² 2x 8 x4x2 numerator division 2x³ 4x² 15x 5 by x² 2x 8 gives quotient 2x remainder x 5 J 2x x5x4x2 dx J1 x5x4x2 dx x5x4x2 Ax4 Bx2 Ax2 Bx4 x5 x2 6B3 B12 x4 6A9 A32 J1 32 1x4 dx 12 1x2 dx 32 lnx4 12 lnx2 C J x² 32 ln2x1 12 lnx2 C 40 a y 1x x1 x2 y0 V π₁² 1x² dx π₁² 1x² dx π1x₁² π12 V π4 b x 2y y9 x0 V π₀⁹ 2y² dy 4π ₀⁹ y dy 4π y²209 812π N 162π d y x y x around y1 V π₀¹ 1x² 1x² dx π ₀¹ 1 2x x² 1 2x x dx π ₀¹ x² 3x 2x dx π x³3 3x²2 4x323 ₀¹ π 13 32 43 π6 c yx3 yx x0 yx Vπ x2 x6 dx from 0 to 1 π x33 x77 from 0 to 1 π 13 17 π21 7 3 4π21 2 yx2 xy2 yx x1 xx4 xx310 x0 ou x31 Vπ 1y22 1 y2 dy from 0 to 1 π 1 2y2 y4 1 y 2y dy from 0 to 1 π 2y33 y55 y22 4y323 from 0 to 1 π 23 15 12 43 π2930 29π30 Q45 a Vπ cos2 x dx from 0 to π2 fxcos x Rotacionado em torno do eixo x o solido é metodo do leno esfera b Vπ y22 y42 dy from 0 to 1 Em torno do eixo y