Integral de Linha - Definição, Exemplos e Curvas Lisas por Partes

1 Integral de Linha Seja C uma curva plana dada pelas y equações paramétricas C 2 xt y yt at b mun isto é al TH st yt é uma parametri zação de C Suponhamos que C é uma curva lisa Em outras palavras é contínua e H 0 Definição Se f é definida sobre uma curva lisa C então a integral de linha de F sobre 2 é fla y ds bt yt vtdt No caso em que C é um segmento de reta ligando a pontos a 0 e 16 0 segue que FH t 0 Além disso b b Sfla yds fa yH dtft 0 O Em outras palavras quando C é um segmento de reta a in tegral de linha se reduz a uma integral unidimensional b fla ylds 1ft d Exemplo Calculeyds onde C é a metade superior do círculo unitário y 1 It est sent out T t sent cost Frent 1 ydsctrentdatsent ladt Metant ca Exemplo Calcule yds onde C é a reta ligando os pontos 10 0 e 1 2 Y t It at Ost 1 2 c t 1 2 111 121 pos Seyds Netat dt e utzdt a Uma outra parametrização da curva C é dada por Ht 2t yt 04t1 12 seyds Mi 2 at 41 dt av 3a 3dt O 25 st Estas O O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva 2 Curva Lisa por Partes Y C Cy Suponha agora que C seja umacurva O2 G3 lisa por partes on seja C1 mun C GUC V UCn onde cada O a Ci é lisa definimos a integral de fao longo de C como a soma das integrais de f ao longo de cada trecho liso de C Ifla ylds Pflaydsfydstfays e Exemplo Calcule ads onde C é formada pelo arco C da parábola y a de 10 0 a 1 1 seguido pelo segmento de reta vertical Ca de 1 1 a 1 2 da C CU é uma curva lisa por partes T sands sands radso C2 mun Sejam t e velt as parametrizações de C e C respectivamente t t 2 OstS1 Elt 1 1 t 01t11 Segue que lands t S O landsda Logo Sands 55 Luas outras integrais de linha são obtidas trocandose ds por das ou dy na definição Elas são chamadas integran de linha de f ao longo de C com relação a se e y Ifa y dafalt yt silt dt fa y dy 1bfxt ytytdt Exemplo Calcule do redy onde a C C é o segmento de reta de 5 3 a 02 b C Ca é o arco da parábola a 4y2 de 5 3 a 102 da 2 Sejam t e velt as Ga 1 Ca parametrizações de C e C I I I In 11 respectivamente um mu t 1 5St 3 5t 0St 11 t 4 th t 31t 2 3 aMydo sedy Syd dy ydt G1 43 stsd dt b Sydatody ydx dy Syd Ca Ca Ga htt dt 1 dt zntdt a T Observemos que as respostas são diferentes apesar de as duas au nas terem as mesmas extremidades Em geral portanto o va lor de uma integral de linha depende não somente das es tremidades da curva como também da trajetória Nas próximas aulas estudaremos condições nas quais a integral independe da trajetória 3 E se mudarmos a orientação da SeaC o segmento de 2 reta que vai de 102 a 153 G1 Cabularemosyado oedy Os t St 2 St jo t11 parametrização de C 3 Mudatdy yddytStds 5 da C B Em geral seC dendaa curva constituída pela mesmos pontos que C mas com orientação contrária então mun temos t fa y da Mfa y d da Cm B fa y dy Jfx y dy A mun da 2 Seja C o segmento de reta que vai de 12 C a 12 1 Calcularemos ads Ja N mun t 1 2t oSt I 1 parametrização de C Sandstad En geral se integrarmos em relação ao comprimento de arco o valor da integral de linha não se altera ao revertermos a orientação da curva Pa yds fla yds Por que isso ocorre Observemos que quando invertemos a orientação da é positivo enquanto dos e dy mudan de sinal