Limite e Integral

4ª Questão Calcule os limites valor 15 pontos a lim x 0 x4 2 x b lim x 3 x² 9 x² 3x b lim x 1 2x² 3x 1 x 1 5ª Questão Numa cidade o consumo de água é modelado em função do consumo de x metros cúbicos mensais por Ax 8 2x 10 se 10 x 20 28 28x 20 se 20 x Analise se o consumo de água é sensivelmente diferente se são gastos em torno de 20 metros cúbicos de água valor 15 pontos 6ª Questão Um time de beisebol joga em um estádio com capacidade para 55000 espectadores Com o preço do ingresso a 10 a média de público tem sido de 27000 Quando os ingressos abaixaram para 8 a média do público subiu para 33000 valor 20 pontos a Encontre a função demanda supondo que ela seja linear b Qual deveria ser o preço dos ingressos para maximizar a receita Justifique a sua resposta 1ª Questão Determine f 1 valor 15 pontos a fx x⁴ 3x² 2ex b fx ln x² 2x 2 c fx x⁵ x³ 1³ 2ª Questão O custo total para produzir um certo bem é Cx 16000 500x 16x² 0004x³ e a função de demanda é px 1700 7x valor 15 pontos a Ache a função receita total b Encontre a receita marginal c Encontre o custo marginal 3ª Questão A pontuação num vestibular obtida por um estudante depende do tempo t em horas que dedicou ao estudo Essa pontuação é modelada por Vt t3 se 0 t 15 2t 02t 3 se 15 t Valor 20 pontos a Estude a continuidade da função interpretando o resultado b Justifique por que a pontuação máxima não pode ultrapassar 20 pontos 1 a fx x⁴ 3x² 2ex Pela Regra de Produto fx x⁴ 3x² 2 ex x⁴ 3x² 2ex 4x³ 6xex x⁴ 3x² 2ex ex 4x³ 6x x⁴ 3x² 2 ex x⁴ 4x³ 3x² 6x 2 Então f1 e¹ 1⁴ 41³ 31² 61 2 e 1 4 3 6 2 16e 4349 1 b fx lnx2 2x2 Pela Regra da Cadeia fx 1x2 2x2 x2 2x21 2x2 2x 12 2x 2 2x2 2x x 1 2x 2x2 2x Então f1 21 212 21 2 21 2 01 0 1 c fx x5 x3 13 Pela Regra da Cadeia fx 3x5 x3 12 x5 x3 11 3x5 x3 12 5x4 3x2 Então f1 315 13 12 514 312 31 1 12 5 3 3328 398 216 2 a Para encontrar a função receita total multiplicamos a quantidade vendida x pelo preço por unidade A função de demanda nos dá o preço px em função da quantidade x ou seja Rx xpx Rx x 1700 7x Rx 1700x 7x2 b A receita marginal é dada pela derivada da função receita total Rx em relação à quantidade x ou seja Rx 1700x 7x2 Rx ddx 1700x 7x2 Rx 1700 14x Essa função nos diz quanto a receita total muda quando a quantidade vendida x aumenta em uma unidade c O custo marginal é dado pela derivada da função de custo total Cx em relação à quantidade x ou seja Cx 16000 500x 16 x2 0004 x3 Cx ddx 16000 500x 16 x2 0004 x3 Cx 500 162 x 00043 x2 Cx 500 32 x 0012 x2 Essa função nos diz quanto o custo total muda quando a quantidade produzida x aumenta em uma unidade 3 a Vt t3 se 0 t 15 2t02t 3 se t 15 Vamos analisar se essa função é contínua em t15 lim t15 Vt lim t15 t3 153 5 lim t15 Vt lim t15 2t02t 3 2150215 3 303 3 306 5 Como os limites laterais são iguais então lim t15 Vt 5 e além disso V15 153 5 pois 0 15 15 Como lim t15 Vt V15 concluímos que essa função é contínua em t15 3 b Veja que No 1º intervalo 0 t 15 a função é Vt t3 Para encontrar o valor máximo nesse intervalo substituímos t15 Então V15 153 5 No 2º intervalo t 15 a função é Vt 2t02t 3 lim t 2t02t 3 lim t 202 3t 202 202 10 Portanto no segundo intervalo a função Vt se aproxima de 10 conforme t aumenta mas nunca ultrapassa 10 Assim a pontuação máxima que um estudante pode obter é 10 pontos independentemente do tempo dedicado ao estudo pois Vt se aproxima assintoticamente de 10 quando t tende ao infinito 4 a lim x0 x4 2x x4 2x4 2 lim x0 x4 2x4 2 xx4 2 lim x0 x42 22 xx4 2 lim x0 x 4 4 xx4 2 lim x0 x xx4 2 lim x0 1 x4 2 1 4 2 1 2 2 14 4 b lim x 3 x2 9 x2 3x lim x 3 x2 32 xx 3 lim x 3 x 3x 3 xx 3 lim x 3 x 3 3 3 3 3 6 3 2 4 c lim x 1 2x2 3x 1 x 1 212 31 1 1 1 21 3 1 2 6 2 3 5 Ax 8 2x 10 se 10 x 20 28 28x 20 se x 20 Vamos analisar a função Ax em torno de x 20 A20 28 2820 20 28 28 0 28 Agora vamos analisar a função Ax para algum valor de x 10 20 Por exemplo x 199 A199 8 2199 10 8 2 99 8 198 278 Agora analisamos para algum valor de x 20 Por exemplo x 201 A201 28 28201 20 28 28 01 28 028 2828 Comparando esses valores A20 28 A199 278 A201 2828 Podemos observar que há uma diferença muito pequena entre esses valores calculados ou seja essa diferença não é muito grande o que indica que o consumo de água não varia de forma sensível ao redor de 20 metros cúbicos de água 6 A função demanda relaciona o preço do ingresso p com a quantidade demandada de ingressos q Dado que a função é linear então ela é da forma q a bp onde p1 10 e q1 27000 p2 8 e q2 33000 Então temos o seguinte sistema de equações lineares ao substituir esses valores na função q 27000 a 10b 33000 a 8b l2 l1 33000 27000 a 8b a 10b 6000 a 8b a 10b 6000 2b b 60002 3000 27000 a 103000 27000 a 30000 a 27000 30000 57000 Portanto a função demanda é qp 57000 3000p 6 b A receita é dada pelo produto do preço p e a quantidade demandada ou seja R pq R p 57000 3000p R 57000 p 3000 p2 Para maximizar a receita derivamos R em relação a p e igualamos a zero R ddp 57000 p 3000 p2 R 57000 6000p R 0 57000 6000 p 0 57000 6000 p p 570006000 576 95 Logo o preço dos ingressos que maximiza a receita é 950 Para justificar vamos calcular a segunda derivada da receita R 57000 6000 p R ddp 57000 6000 p R 6000 R95 6000 Como R95 0 então p 95 é um ponto de máximo local da função