Lista 1 de Ga

Cálculo Vetorial Instituto de Matemática UFBA 1999 AB AD AE 1 6 VT A B D E h θ 1 CAPÍTULO I VETORES 11 Segmentos orientados Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r Ao segmento de reta AB podemos associar um sentido o sentido de A para B ou o sentido de B para A Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B Dizemos que AB é o segmento orientado de origem A e extremidade B e BA é o segmento orientado de origem B e extremidade A Chamamos BA oposto de AB Se A B dizemos que o segmento orientado AB BA é o segmento nulo e escrevemos AA O Na reta r está representado graficamente AB Fixada uma unidade de comprimento a cada segmento orientado podemos associar um número real não negativo seu comprimento que é a sua medida em relação àquela unidade A medida do segmento AB indicamos por med AB Os segmentos nulos têm medida igual a zero É claro que med AB med BA Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD dizemos que eles têm mesma direção se as retas suportes destes segmentos são paralelas ou coincidentes Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm a mesma direção Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários A B r 2 Exemplos Mesmo sentido Sentidos contrários Mesmo sentido Sentidos contrários 12 Equipolência Definição O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se ambos são segmentos nulos ou se têm mesma medida e mesmo sentido Indicamos AB CD Exemplos AA BB AB CD EF GH Propriedades 1 AB AB reflexiva 2 Se AB CD então CD AB simétrica 3 Se ABCD e CD EF então AB EF transitiva B C D A G E F H 19 Exemplo 2 Consideremos o paralelogramo ABCD onde 201 A 21 B 1 2 20 C Desejamos determinar as coordenadas dos vetores AB e BC do vértice D e do ponto médio de AB Aplicando as propriedades anteriores temos 01 0 2 2 0 1 1 1 AB 4 31 BC 2 30 BC A AD A D e o ponto médio de AB é 2 2 1 1 M A B C D M 29 Interpretação geométrica do produto vetorial Consideremos o paralelogramo ABCD abaixo Sabemos que a área S desse paralelogramo é S base altura ou seja h AB S Do triângulo AMD temos θ h AD sen Daí segue que θ AB AD ADsen AB S Observamos também que a área T do triângulo ABD é 2 AB AD T Exemplo 4 Consideremos o paralelogramo ao lado onde 014 e C 210 B 011 A temos 5 201 AB e 2 2 5 04 AD 5 4 10 8 AB AD AB AD cosAB AD 5 3 25 9 25 16 1 senAB AD Segue daí que a área S do paralelogramo ABCD é 6 ua 3 5 5 2 5 S D A B C A B C θ D h M 33 Interpretação geométrica do produto misto Seja o paralelepípedo de arestas AB AD e AE Sabemos que o volume V desse paralelepípedo é V área da base altura Considerando a altura h desse paralelepípedo em relação à base ABCD e aplicando nossos conhecimentos do cálculo vetorial podemos escrever AB AD h V Por outro lado essa altura pode ser calculada como o módulo da projeção do vetor AE na direção do vetor AD AB pois a direção deste vetor é ortogonal ao plano ABC Assim podemos escrever AE cos AE cos AE AB AD AE proj h AB AD θ θ onde θ é o ângulo entre os vetores AE e AD AB Daí AB ADAE AB AD AE AB AD AE cos V θ ou seja AB AD AE V Consideremos agora o tetraedro de arestas AB AD e AE Seja VT o volume desse tetraedro assim 1 3 área da base altura VT Considerando a base ABD desse tetraedro observemos que a altura relativa a essa base coincide com a altura do paralelepípedo anterior A B D E h θ A B E h θ C D 42 11 Do paralelepípedo retângulo ao lado temos a 3 e BE 023 C 012 A b Dois dos ângulos diretores de AB são α γ 45 Determine o volume deste paralelepípedo 12 De um tetraedro ABCD sabemos que a e AC 2 2 0 1 D 3 1 4 8 B 3 0 4 A b Os ângulos diretores de AC são α γ 45 Determine o volume deste tetraedro 13 Dados os vetores 0 3 1 2 0 1 e OC OB 2 1 y OA determine o valor de y para que a altura do tetraedro OABC em relação à base OBC seja igual a 7 1 u c 14 De um paralelepípedo de base ABCD sabemos que a A0 1 1 B2 0 1 e C1 1 0 b Os ângulos diretores de AEsão agudos e β α 45 60 e Determine as coordenadas de vértice E para que o volume deste paralelepípedo seja igual a 4 2 uv 15 De um tetraedro ABCD sabemos que a A000 D15t t IR e AB AC 8 b 2 0 3 2 AB 100 e AC 1 c o triângulo ABC é equilátero Determine as coordenadas do vértice D para que o volume deste tetraedro seja igual a uv 3 3 8 A B C E D 43 RESPOSTAS Sequência I 5 a 1 e 0 b 3 e 3 3 2 3 1 2 c e 90 54 cos 6 arc d 0 ou y 0 x y IR e x 2 5y y 5x x e 27 1 54 54 5 5 f 000 g 3 1 h 3 2 3 3 1 3 ou 2 3 2 3 1 2 i 636 ou 636 j 2 3 5 2 2 3 10 3 5 l 12615 m 485 15 485 485 485 14 485 ou 8 485 485 15 485 485 14 485 485 485 8 p 4 24 q ua 2 485 r 15 s 60 uv Sequência II 1 3 t IR 3 1 3 1 t 2 2 a 5 90 2 3 90 2 R 75 b 3 120 40 R 60 4 a 033 AC b E510 c CG 001 d AL 320 5 3 3 2 3 1 3 e D 2 3 2 4 3 5 C 6 a 2 7 b 1 c 8