Lista 2 de Geometria

RReettaass ee PPllaannooss Universidade Federal da Bahia Departamento de Matemática 2000 Introdução Este texto é uma versão revisada e atualizada do texto Retas e Planos de autoria das professoras Ana Maria Santos Costa Heliacy Coelho Souza e Maria Christina Fernandes Cardoso Esta versão do mesmo modo que a primeira é um recurso didático utilizado na Disciplina Matemática Básica II Mat 002 do Departamento de Matemática da UFBA Esperamos contar com o auxílio dos leitores através de críticas sugestões e correções Salvador 01 de novembro de 1999 As autoras Maria Christina Fernandes Cardoso Sonia Regina Soares Ferreira Verlane Andrade Cabral Índice CAPÍTULO I Equações da reta 01 CAPÍTULO II Equações do plano 04 CAPÍTULO III Posições relativas de dois planos 09 CAPÍTULO IV Posições relativas de uma reta e um plano e duas retas 14 CAPÍTULO V Ângulos 22 CAPÍTULO VI Distância 29 Exercícios resolvidos 37 Exercícios propostos 46 3 b 1 z 3 y 1 4 r x equações simétricas da reta 2 Verifique se o ponto 201 P pertence às retas a IR h 213 h 3 7 7 r x yz b IR h h 2 z h 1 y h 3 x s c 2 4 z 3 y 2 1 t x Solução a r P se e somente existe ho IR tal que h 213 7 3 7 102 o Ou seja 312 h 936 o É fácil verificar que ho 3 torna a igualdade acima verdadeira logo r P b s P se e somente existe ho IR tal que o o o h 2 2 1 h 0 h 3 1 o que é impossível pois da primeira equação temos ho 2 e da segunda ho 1 Logo s P c t P se e somente 2 4 2 3 0 2 1 1 Como 1 0 temos que Pt 3 Seja z 4 2 y 2 1 r x Determine uma equação de r nas formas vetorial e paramétrica 32 64 Distância entre uma reta e um plano A distância entre a reta r e o plano π é indicada por dr π e definida como a menor distância entre os pontos de r a π Assim a Se r e π são concorrentes ou se r está contida em π então 0 d r π b Se r é paralela a π então dr π dR π R r 65 Distância entre dois planos A distância entre os planos β α e é indicada por d α β e definida como a menor distância entre os pontos de β α a Assim a Se β α e são concorrentes então d α β 0 b Se β α e são paralelos então d α β α β P d P r π R r π r π α β α β 48 11 Verifique se as retas r e s nos casos a seguir são coplanares a IR h3 11 h 101 0 e s X 1 z y x 3 0 z 2y r x b IR h 013 h 1 22 e s X 3 2 z 2 y 2 1 r x c 2 2 z 6 y 2 2 4 IR e s x h h z 3h 2 y h 1 x r 12 Determine o valor de a para que as retas r e s sejam concorrentes e ache o ponto de interseção sendo a z 3 y 2 r x IR h h z 5 2h y 1 3h x s 13 Determine se possível uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s nos casos a seguir a IR h 321 h 120 r X z 3 2 y 2 1 s x b IR h 1 21 h 121 r X IR t 242 t 25 2 s X c IR h 201 h 123 r X IR t 4t 1 z 3 y 2t x s 49 14 Sejam IR h A z h y h 1 x 0 s D 2 z y 0 x 1 z By 2x β α e 4 z 3 2 y 1 r x Determine se possível a B tal que α e β sejam paralelos b B tal que α e β sejam perpendiculares c D tal que r β d A tal que r e s sejam coplanares 15 Considere os pontos 8 b e Q03b 4a P 4 as retas z 3 y 2 1 r x e IR t 102 t s X Q e os planos 0 1 3z m 2y 1 mx π e IR t h e 13 h 2 13 t1 2 X π Determine se possível a a de modo que a reta paralela à reta s que passa pelo ponto P seja reversa com a reta r b b e m de modo que a reta s seja paralela ao plano 1 π c m de modo que os planos π1 e π2 sejam concorrentes segundo a reta r 16 a Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de coordenadas é paralela ao plano 0 2 z 2y 3x π e intercepta a reta z 3 2 y 1 r x b Ache uma equação do plano α que passa pelo ponto P213 é paralelo à reta IR h12 1 h r X 123 e é perpendicular ao plano 0 4 2z y x π 17 Considere as retas r e t tais que i r passa pelo ponto 1 13 P e é paralela à reta 0 2 z 2y 3x 0 5 3z y s x ii t passa pela origem do sistema de coordenadas e seu vetor direção tem ângulos diretores iguais Determine a as equações simétricas de r b as equações paramétricas de t 50 18 Dado o plano IR 2 4 h t 1 t 1 1 h 1 100 X π e a reta AB sendo A000 e B111 determine uma equação do plano α que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano π e é paralelo ao plano 0 3 x β 19 a Determine o simétrico de P213 em relação i ao ponto 11 Q 3 ii à reta IR t t 2 z t y 2t 1 x r iii ao plano 2 3z 2y 2x b Encontre uma equação da reta s simétrica da reta 3 z 1 y 2 x t em relação ao plano do item aiii 20 Determine o ângulo das retas IR 1 h 12 h 001 s X e z y 2 1 r x 21 Determine o ângulo da reta z y r x com o plano α nos casos a seguir a 0 1 z y 2x α b IR th 2t 4 z t h y t 2h 1 x α 22 Determine o ângulo dos planos a 0 2z y x α e 0 2 3z y 2x β b IR ht 3t 2h z 2t 1 y h 2 x α e 0 2 3z y 2x β 23 Determine uma equação da reta s que passa por P101 e intercepta a reta 1 z y r x formando um ângulo de 3 rd π 51 24 Determine uma equação do plano α que passa pelo ponto P211 é perpendicular ao plano coordenado yz e 3 rd arc cos2 α β sendo o plano 0 3 2z y 2x β 25 Considere o plano α determinado pelo ponto P120 e pela reta 3 4 z y 2 1 r x Calcule o ângulo que α forma com a reta 0 4z x 1 2y x s 26 Calcule a distância entre a o ponto P002 e a reta 2 2z y 1 z r x b o plano IR ht 011t 1 23 h 1 21 X π e o ponto 3 12 P c as retas 3 z y 2 2 1 r x e 1 z y z 5 2 x s d as retas IR h 242 h 001 r X e 1 2 z 2 y 1 x s2 e a reta z y r x e o plano 0 1 z y 2x π 27 a Escreva as equações dos planos β e γ paralelos ao plano 3 z 2y 2x α distando dele 5 unidades b Encontre uma equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de i B71 5 e 24 A 1 ii A121 B143 e C321 c Dados os pontos A213 11 B 4 e o plano 0 3 2z y 2x α determine uma equação da reta r contida em α tal que todo ponto de r é equidistante dos pontos A e B 52 28 De um triângulo ABC temos as seguintes informações i 3 21 A ii B e C são pontos da reta IR t t 1 z t y t 1 x r Determine a altura do triângulo ABC relativa à base BC 29 Considere 0 1 z 3y 2x α 54 P 1 e 3 z 1 y s x Determine justificando a dPs b dP α c uma equação da reta m que satisfaz às três condições i dPm 0 ii dms 0 iii dm α dP α 30 Da figura ao lado sabemos que i os planos α e 0 z x π são perpendiculares ii 1 31 1 e B 20 A iii C e D são pontos de π Determine a Uma equação do plano α b As equações paramétricas da reta r interseção dos planos α e π c Uma equação do plano β que passa por A e é paralelo a π d A altura do tetraedro ABCD relativa à base BCD e As coordenadas do ponto E sabendo que o triângulo ABE é equilátero e r contém a altura deste triângulo relativa ao vértice B 31 Do paralelepípedo dado a seguir sabese que i O plano 0 6 z y ABC x e a reta IR 3 t 21t DG X ii O plano ABF é perpendicular ao plano ABC e 020 F Determine a As equações simétricas da reta AF b As equações paramétricas do plano ABF c As coordenadas do ponto D d Uma equação geral do plano EFG A B C D E r π α A D B C G H E F 53 32 Determine o volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano 20 4z 2y 5x 33 Escreva as equações de uma reta t paralela aos planos α e β e concorrente com as retas r e s considerando 0 1 z y 2x α 0 2 2z 3y x β IR h 201 h 121 r X IR 32 1 2 32 sX λ λ 34 Seja r a reta interseção dos planos 0 d cz by ax α e 0 d c z b y x a 1 1 1 1 β Mostre que a equação 0 d c z b y x a t d cz by ax 1 1 1 1 tIR representa a família dos planos que contém a reta r com exceção do plano β Esta família é chamada de feixe de planos de eixo r 35 Seja r a reta interseção dos planos 0 11 z y x α e 0 10 5z 4y x β Determine a equação do plano que contém a reta r e a passa pelo ponto 41 A 3 b é paralelo ao plano 0 1 33z 21y 9x c dista 3 unidades da origem do sistema de coordenadas d é perpendicular a α e é paralelo à reta z 2 y x f é paralelo ao eixo ox Respostas 01 IR t 112 t 31 2 a r x yz 4 1 z 3 y 1 b r x 02 a P r b P r c P r 54 03 a h 012 t e h IR t 1 11 102 x yz α b 0 4 z 4y 3x α c t e h IR h t 2 z t y t 1 x α 04 π π π c P b P a P 05 0 14 4z 2y 3x π 06 d 11 3 1 1 c 2 01 11 b 2 a 1 07 0 0 plano OYZ x 0 plano OXZ y plano OXY z 08 a P r b IR t 3t 1 z t 1 y 2t 1 x r 09 a 0 4 z y 2x b 0 z y 2x 10 a 0 2z t e h IR ou y 12 h 5 t 100 X π π b 0 2z 1 3y x π 11 a Não b Sim c Sim 12 13 1 I2 a 13 a 0 1 7z 5y 11x α b 0 z x β c 0 1 z 2x γ 14 a 2 B b 2 5 B c 1 D d 2 A 15 a 4 a b 5 17 2 e b m c r IR tal que m 2 1 π π 16 a IR h 9 9 7 1 17 h s X b 0 2 z y x α 55 17 a 1 1 z 2 1 y 3 r x b IR h h z h y h x t 18 0 3 4x α 19 a i 1 3 P 4 ii 11 P 0 iii 17 3 17 17 53 2 P b IR h h1587 3 02 1 s X 20 0 sr 21 a α 3 2 2 arc sen r b α 29 3 arc sen r 22 a α β 2 21 7 arc cos b α β 29 14 1 arc cos 23 IR 2 h 3 2 h 2 3 101 s X e IR 2 t 3 2 2 3 t 101 s X 24 0 1 1 z α e 0 1 3z 2 4y α 25 α 3 105 14 arc s en s 26 a 6 29 rP d b 0 d P π c 62 32 sr d d 2 3 2 sr d e 0 d r π 27 a 0 12 z 2y 2 x β e 0 z 18 2y 2 x γ b i Plano 0 27 7z 5y 6 x π ii Reta z 3 2 y 2 x s c 0 1 z y x 0 3 2z y r 2x