Lista 5 Eletromagnetismo

Disciplina Eletricidade e Magnetismo Lista de exercícios 05 1 As três pequenas esferas indicadas na Figura ao lado possuem cargas q1 400 nC q2 780 nC e q3 240 nC Determine o fluxo elétrico total através de cada uma das superfícies fechadas cujas seções retas são indicadas na Figura a S1 b S2 c S3 d S4 e e S5 R a 4524 Nm²C b 882 Nm²C c 430 Nm²C d 724 Nm²C e 158 Nm²C 2 Uma placa plana possui a forma de um retângulo com lados de 0400 m e 0600 m A placa está imersa em um campo elétrico uniforme com módulo igual a 900 NC e cuja direção forma um ângulo de 20º com o plano da placa de acordo com a Figura Calcule o módulo do fluxo elétrico total através da placa R 74 Nm²C 3 Uma camada fina e uniforme de tinta carregada é espalhada sobre a superfície de uma esfera plástica com diâmetro de 120 cm produzindo uma carga de 49 µC Determine o campo elétrico a dentro da camada de tinta b fora da camada de tinta c 500 cm fora da superfície da camada de tinta R a E 0 b 122 108 NC c 364107 NC 4 Uma esfera metálica maciça com raio igual a 0450 m possui uma carga líquida de 0250 nC Encontre o módulo do campo elétrico a em um ponto situado fora da esfera a uma distância de 0100 m de sua superfície b em um ponto interno a uma distância de 0100 m abaixo da superfície R a E 744 NC b E 0 5 A carga Q está distribuída uniformemente ao longo de todo o volume de uma esfera isolante de raio R 400 cm A uma distância de r 800 cm do centro da esfera o campo elétrico produzido pela distribuição de carga possui módulo E 940 NC Determine a a densidade volumétrica de carga da esfera e b o campo elétrico a uma distância de 200 cm do centro da esfera R a ρ 25 106 Cm³ b 1885 NC 2 6 Mostre que o campo elétrico em um plano com densidade superficial de carga σ é igual a 2 o E 7 Dois planos paralelos estão uniformemente carregados com densidades superficiais de carga σ e σ respectivamente Calcule o campo elétrico em pontos acima de ambos abaixo de ambos e entre os dois Represente as linhas de força nas três regiões R a E σεo b E 0 8 Uma esfera uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ contém em seu interior uma cavidade esférica Mostre que o campo no interior da cavidade é uniforme e é dado por E ρd3εo onde d é o vetor que liga os centros das duas esferas figura Sugestão Use o princípio de superposição 9 Uma esfera oca isolante possui raio interno a e raio externo b No interior do material isolante a densidade volumétrica de carga é dada por ρr α r em que α é uma constante positiva a Em função de a e α qual é o módulo do campo elétrico a uma distância r do centro da esfera em que a r b b Uma carga pontual q é colocada no centro do espaço oco em r 0 Em função de a e α qual deve ser o valor de q sinal e módulo para que o campo elétrico seja constante na região de a r b e então qual é o valor do campo constante nessa região R a ² 1 2 ² o a E r b q 2παa² 1 Pela Lei de Gauss o fluxo elétrico é ΦE q ε0 Logo a ΦE q1 ε0 4109 8851012 452 N m2 C b ΦE q2 ε0 78109 8851012 881 N m2 C c ΦE q1 q2 ε0 38109 8851012 429 N m2 C d ΦE q1 q3 ε0 64109 8851012 723 N m2 C e ΦE q1 q2 q3 ε0 14109 8851012 158 N m2 C 2 O fluxo elétrico é ΦE ĒĀ EA cos θ onde θ é o ângulo entre o campo e a normal da placa Logo o ângulo é θ 90 20 70 Portanto como E 90 N C A 0406 024 m2 e cos 70 0342 temos ΦE 900240342 ΦE 74 N m2 C 3 Vamos utilizar a Lei de Gauss A superfície Gaussiana usada será uma esfera concêntrica ao sistema de raio r O sistema possui simetria esférica de modo que Ē Er êr Temos a Se r 006 m Ē dĀ 0 pois q 0 Logo E 0 b Se r 006 m E 4πr2 q ε0 com q 49 106 C Logo E q 4πε0 r2 9 109 49 106 0062 E 122 108 N C c Se r 005 006 011 cm E 4πr2 q ε0 E 9 109 49 106 0112 E 364 107 N C 4 Novamente usaremos a Lei de Gauss do mesmo modo que a questão anterior a Temos Ē dĀ q ε0 E4πr2 q ε0 E q 4πε0 r2 Se q 025 109 C e r 01 045 055 m E 9109 025 109 0552 E 744 N C b O campo dentro de um condutor é sempre nulo Logo E 0 a Novamente usamos a Lei de Gauss do mesmo modo que as questões anteriores vamos encontrar o campo de uma esfera com densidade volumétrica de carga ρ Se r R temos EdA 1ε0 ρ dv Como ρ é uniforme temos E 4πr² ρε043πr³ E ρr3ε0 π² Dado E 940 NC com r 008 m logo ρ 3ε0Eπ 3 88510¹² 940 008² 0004³ ρ 2510⁶ Cm³ b Se r R temos EdA 1ε0 ρ dv Como ρ é uniforme temos E 4πr² ρε043πr³ E ρr3ε0 Logo E 2510⁶ 002 3 88510¹² E 1883 NC Pela Lei de Gauss temos EdA qε0 Vamos explorar a simetria do sistema Como o plano é infinito e a densidade de carga é uniforme logo E é perpendicular ao plano em todos os pontos e deve ser constante Vamos usar um cilindro perpendicular ao plano com área da base A Como o campo é perpendicular ao plano a área lateral do cilindro é paralela ao campo e não contribui para o fluxo Logo A placa positiva gera linhas de campo para fora A placa negativa gera linhas de campo para dentro Portanto pelo princípio da superposição o campo de duas placas é E σε0 σε0 2σε0 entre as placas E σε0 σε0 0 fora das placas Vimos na questão 5 que o campo no interior de uma esfera com densidade ρ é E ρr 3ε₀ Pelo princípio da superposição podemos pensar no problema como uma esfera de densidade ρ centrada na origem e uma esfera de densidade ρ centrada em r d Seja um ponto dentro da cavidade dado por r r₀ O campo devido à esfera maior é dado por Eρ ρr₀ 3ε₀ O campo devido à esfera de densidade ρ centrada em r d é Eρ ρ r₀ d 3ε₀ Logo o campo total é E Eρ Eρ ρr₀ 3ε₀ ρr₀ 3ε₀ ρd 3ε₀ ρd 3ε₀ Vamos utilizar a Lei de Gauss A superfície Gaussiana usada será uma esfera concêntrica ao sistema de raio r O sistema possui simetria esférica de modo que E Er r Temos a E dA q ε₀ E 4πr² 4πα ε₀ ₐr r² dr r Logo E α ε₀r² r²2ar E α 2ε₀r² r² a² b Pela superposição o campo total é a soma do campo do item a com o campo da carga E q 4πε₀r² α 2ε₀r² r² a² Para o campo ser constante devemos eliminar a dependência em r Logo q 4πε₀r² αa² 2ε₀r² 0 q 4πε₀r² αa² 2ε₀r² q 2παa²