Questões de Eletromagnetismo

2 Considerando que haja uma linha de cargas com ρL 12 nCm e duas superfícies cilíndricas r a e r b b a respectivamente com ρSa 5 nCm² e ρSb 3mCm² todas centradas no eixo z calcule através da Lei de Gauss para a 0 r a b a r b c r b d Refaça os cálculos retirando a linha de cargas e Qual o valor de uma linha de cargas que colocada no eixo z faz 0 para r b 5 Encontre a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas se V Vr e a diferença de potencial entre os pontos r 15 m e r 32 m é 23 V enquanto V 1320 V em r 21 m 7 Considere um elétron de carga e se movendo em uma órbita de raio a em torno de um núcleo positivamente carregado a Selecionando uma corrente e uma área apropriada mostre que o momento de dipolo orbital equivalente é ea²ω2 em que ω é a velocidade angular do elétron b Mostre que o torque produzido por uma densidade de fluxo magnético paralelo ao plano da órbita é ea²ωB2 1 Calcule D no ponto 3 5 2 considerando que há uma carga pontual de Q1 3μC no ponto 2 0 4 uma carga pontual Q2 8nC no ponto 4 2 3 uma carga pontual de Q3 2μC no ponto 2 1 4 uma carga pontual Q4 6nC no ponto 3 2 5 uma carga pontual de Q5 8πC no ponto 2 8 6 uma carga pontual Q4 120nC no ponto 2 6 1 Utilize um software de cálculo de campos para verificar os resultados e gerar o fluxo em toda a região 2 Considerando que haja uma linha de cargas com 𝜌𝐿 12 𝑛𝐶𝑚 e duas superfícies cilíndricas 𝑟 𝑎 e 𝑟 𝑏 𝑏 𝑎 respectivamente com 𝜌𝑆𝑎 5 𝑛𝐶𝑚2 e 𝜌𝑆𝑏 3 𝑛𝐶𝑚2 todas centradas em no eixo 𝑧 calcule através da Lei de Gauss para a 0 𝑟 𝑎 b 𝑎 𝑟 𝑏 c 𝑟 𝑏 d Refaça os cálculos retirando a linha de carga e Qual o valor de uma linha de cargas que colocada no eixo 𝑧 faz 0 para 𝑟 𝑏 Resolução A lei de Gauss nos diz que o campo elétrico através de uma superfície fechada é 𝐸 𝑑𝐴 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜀0 Então se nós escolhermos uma superfície cilíndrica para a lei de Gauss que é a mais adequada nós teremos uma simetria nas extremidades do cilindro o que torna a integral da superfície fechada apenas a área lateral do cilindro assim nós temos 𝐸2𝜋𝑟𝐿 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜀0 Sendo assim agora nós só precisamos definir a carga interna para cada um dos casos a Quando 0 𝑟 𝑎 quer dizer que a única carga interna a superfície Gaussiana será a linha de cargas que é descrita pelo produto da densidade de cargas e o comprimento da linha 𝐸2𝜋𝑟𝐿 𝜌𝐿𝐿 𝜀0 Simplificando e substituindo os valores 𝐸 12109 𝐶𝑚 2𝜋88541012 𝐶2𝑁𝑚2𝑟 2157 𝑁𝐶 𝑟 Podemos perceber que 𝐸 é inversamente proporcional ao raio da superfície Gaussiana como é de se esperar b Quando 𝑎 𝑟 𝑏 nós teremos a contribuição das cargas superficiais da linha de cargas e da superfície cilíndrica de raio 𝐴 assim a carga interna a superfície será 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜌𝐿𝐿 𝜌𝑆𝑎2𝜋𝑎𝐿 Aplicando na fórmula do campo elétrico 𝐸2𝜋𝑟𝐿 𝜌𝐿𝐿 𝜌𝑆𝑎2𝜋𝑎𝐿 𝜀0 Simplificando e substituindo os valores 𝐸 12109 𝐶𝑚 5 𝑛𝐶𝑚22𝜋𝑎 2𝜋88541012 𝐶2𝑁𝑚2𝑟 2157 𝑁𝐶 56471 𝑁𝐶𝑎 𝑟 Então o campo elétrico nesse caso é diretamente proporcional ao raio da casca cilíndrica de raio 𝑎 e inversamente proporcional ao 𝑟 c Esse caso é bem parecido com o anterior mas agora também teremos contribuição da superfície cilíndrica de raio 𝑏 onde a carga interna será 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜌𝐿𝐿 𝜌𝑆𝑎2𝜋𝑎𝐿 𝜌𝑆𝑏2𝜋𝑏𝐿 Substituindo na fórmula do campo elétrico 𝐸2𝜋𝑟𝐿 𝜌𝐿𝐿 𝜌𝑆𝑎2𝜋𝑎𝐿 𝜌𝑆𝑏2𝜋𝑏𝐿 𝜀0 Aplicando os valores do enunciado 𝐸 12109 𝐶𝑚 5 𝑛𝐶𝑚22𝜋𝑎 3 𝑛𝐶𝑚22𝜋𝑏 2𝜋88541012 𝐶2𝑁𝑚2𝑟 Logo o campo elétrico é 𝐸 2157 𝑁𝐶 56471 𝑁𝐶𝑎 33883 𝑁𝐶𝑏 𝑟 De forma similar a questão anterior o campo elétrico depende do raio das superfícies cilíndricas d Quando 0 𝑟 𝑎 e nós não temos a linha de carga não teremos nenhuma carga interna a superfície Gaussiana Logo o campo elétrico é 𝐸 0 Quando 𝑎 𝑟 𝑏 a carga interna a superfície será a da superfície cilíndrica de raio 𝑎 logo 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜌𝑆𝑎2𝜋𝑎𝐿 Sendo assim substituindo na fórmula do campo elétrico 𝐸 𝜌𝑆𝑎2𝜋𝑎𝐿 2𝜋𝑟𝐿 Simplificando e aplicando os valores encontramos 𝐸 56471 𝑁𝐶𝑎 𝑟 Por fim de forma similar quando 𝑟 𝑏 𝐸 56471 𝑁𝐶𝑎 33883 𝑁𝐶𝑏 𝑟 e O campo elétrico só será 0 se a soma das cargas internas também for 0 então nós podemos escrever a seguinte equação 𝜌𝐿𝐿 𝜌𝑆𝑎2𝜋𝑎𝐿 𝜌𝑆𝑏2𝜋𝑏𝐿 0 Simplificando 𝜌𝐿 5 𝑛𝐶𝑚22𝜋𝑎 3 𝑛𝐶𝑚22𝜋𝑏 5 Encontre a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas se 𝑉 𝑉𝑟 e a diferença de potencial entre os pontos 𝑟 15 𝑚 e 𝑟 32 𝑚 é 23 𝑉 enquanto 𝑉 1320 𝑉 em 𝑟 21 𝑚 Resolução A equação de Laplace em coordenadas esféricas quando 𝑉 depende apenas de 𝑟 1 𝑟2 𝑑 𝑑𝑟 𝑟2 𝑑𝑉 𝑑𝑟 0 Se passarmos o 1𝑟2 para o outro lado ele irá zerar Então resolvendo a primeira integral nós temos 𝑟2 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝑐 Reorganizando a equação 𝑑𝑉 𝑐 𝑟2 𝑑𝑟 Integrando os dois lados 𝑉𝑟 𝑐 𝑟 𝑘 Agora nós temos que aplicar as condições de contorno para encontramos as constantes a primeira condição é que 𝑉32 𝑉15 23 Então 𝑐 32 𝑘 𝑐 15 𝑘 23 As constantes 𝑘 se cancelam 𝑐 32 𝑐 15 23 𝑐 6494 Logo nossa equação fica 𝑉𝑟 6494 𝑟 𝑘 A segunda condição é 𝑉21 1320 então 6494 21 𝑘 1320 𝑘 135092 Por fim a solução da equação de Laplace para o problema do enunciado é 𝑉𝑟 6494 𝑟 135092 7 Considere um elétron de carga 𝑒 se movendo em uma órbita de raio 𝑎 em torno de um núcleo positivamente carregado a Selecionando uma corrente e uma área apropriada mostre que o momento de dipolo orbital equivalente é 𝑒𝑎2𝜔2 em que 𝜔 é a velocidade angular do elétron b Mostre que o torque produzido por uma densidade de fluxo magnético paralelo ao plano da órbita é 𝑒𝑎2𝜔𝐵2 Resolução a A magnitude da corrente é dada por 𝐼 𝑒 𝑇 Onde nós temos que 𝑒 é a carga do eletron e 𝑇 é o período orbital Logo nós sabemos que o período em uma órbita é descrito pela equação abaixo 𝑇 2𝜋 𝜔 Substituindo na fórmula da corrente 𝐼 𝑒𝜔 2𝜋 Já a magnitude do momento dipolar é dada por 𝑚 𝐼𝐴 Onde 𝐴 é a área do loop sendo essa área 𝐴 𝜋𝑎2 Substituindo na fórmula da corrente 𝑚 𝜋𝑎2 𝑒𝜔 2𝜋 Simplificando 𝑚 𝑒𝑎2𝜔 2 b Assumindo que o campo magnético 𝐵 é constante através da área do loop nós teremos que o torque é 𝜏 𝑚 𝐵 Como o enunciado nos disse que 𝐵 é paralelo ao plano da órbita então 𝐵 e 𝑚 são ortogonais logo 𝜏 𝑚𝐵 Substituindo o valor de 𝑚 que encontramos na letra a 𝜏 𝑒𝑎2𝜔𝐵 2 1 Calcule 𝐷 no ponto 3 5 2 considerando que há uma carga pontual de 𝑄1 3 𝜇𝐶 no ponto 2 0 4 uma carga pontual 𝑄2 8 𝑛𝐶 no ponto 4 2 3 uma carga pontual 𝑄3 2 𝜇𝐶 no ponto 2 1 4 uma carga pontual 𝑄4 6 𝑛𝐶 no ponto 3 2 5 uma carga pontual 𝑄5 8 𝜇𝐶 no ponto 2 8 6 uma carga pontual 𝑄6 120 𝑛𝐶 no ponto 2 6 1 Fórmula A fórmula para o deslocamento elétrico é dada por 𝐷 𝑄 4𝜋𝑟2 𝑟 Então vamos calcular o vetor deslocamento e o módulo do vetor para cada carga 𝑟 1 3 5 2 2 0 4 1 5 2 𝑟 2 3 5 2 4 2 3 1 7 5 𝑟 3 3 5 2 2 1 4 1 4 2 𝑟 4 3 5 2 3 2 5 6 7 7 𝑟 5 3 5 2 2 8 6 5 3 8 𝑟 6 3 5 2 2 6 1 5 11 1 Sendo assim o módulo de cada um desses vetores é 𝑟1 12 52 22 30 𝑟2 12 72 52 75 𝑟3 12 42 22 21 𝑟4 62 72 72 134 𝑟5 52 32 82 98 𝑟6 52 112 12 147 Portanto a contribuição ao vetor deslocamento de cada uma das cargas é 𝐷 1 3106 4𝜋30 1 30 5 30 2 30 145109 726109 29109 𝐶𝑚2 𝐷 2 8 109 4𝜋75 1 75 7 75 5 75 981013 6861012 491012 𝐶𝑚2 𝐷 3 2 106 4𝜋21 1 21 4 21 2 21 165109 661109 33109 𝐶𝑚2 𝐷 4 6 109 4𝜋134 6 134 7 134 7 134 1841012 2151012 2151012 𝐶𝑚2 𝐷 5 8 106 4𝜋98 5 98 3 98 8 98 328109 196109 525109 𝐶𝑚2 𝐷 6 120 109 4𝜋147 5 147 11 147 1 147 2671011 5891011 5351012 𝐶𝑚2 Realizando a soma de todas as contribuições nós encontramos que o deslocamento total é 𝐷 64109 158108 114 108 𝐶𝑚2