Lista Calculo 1

1 2 3 4 5 6 1 Derivamos ambos os lados com respeito a x sec2xy2 1 y2 x 2yy 12x y2y Juntando os termos envolvendo y para o mesmo lado sec2xy2 2xyy y2y 12x sec2xy2 y2 Isolando y e simplificando ysec2xy2 2xy 12y 1 2xy2 sec2xy22x y 4xy32 sec2xy2 12y 1 2xy2 sec2xy22x Finalmente calculando y y yx 1 2xy2 sec2xy24xy32 sec2xy2 1 2 Derivamos ambos os lados com respeito a x seny x cosy y y cosx y senx y 1 yx 1y 12 Isolando y e simplificando y x cosy cosx x 1y 12 y senx seny y 1y 12 y y senx senyy 12 y 1x cosy cosxy 12 x 1 O coeficiente angular da reta tangente no ponto x 3 é mT dydx 3 f3 Derivando implicitamente a equação em relação à variável x obtemos 3y2 dydx 4xy 2x2 dydx 3 0 fazendo x 3 e y 1 temse 3 dydx 3 12 18 dydx 3 3 0 dydx 3 37 Portanto a equação da reta tangente de fx no ponto 31 é y 1 f3x 3 y 1 37 x 3 y 37 x 167 Sejam x xt o comprimento do lado do quadrado no instante t e Ax x2 a área do quadrado Pela hipótese sabemos que xt0 10 1 Temos que dxdt t0 02 cmmin Então a taxa de variação será ddt Axt0 dAdx xt0 dxdt t0 2 xt002 2002 4 cm2min Isto indica que a área do quadrado tem um crescimento com uma taxa de variação de 4 cm2min no instante t t0 2 Temos que dxdt t0 04 cmmin Então a taxa de variação será ddt Axt0 dAdx xt0 dxdt t0 2 xt004 2004 8 cm2min Isto indica que a área do quadrado tem um decrescimento com uma taxa de variação de 8 cm2min no instante t t0 Seja x xt o comprimento do cateto tal que xt0 10 e y yt o comprimento do cateto tal que yt0 12 Sabemos pelas hipóteses que dxdt t0 1 e dydt t0 2 Seja θt o ângulo oposto ao cateto yt então podemos relacionar as três funções na seguinte expressão tanθt ytxt Derivando em relação a t obtemos sec2θt dθdt t xt dydt t yt dxdt t xt2 No instante t0 temos que sec2θt0 1 tan2θt0 1 yt0xt02 1 12102 244100 Assim dθdt t0 102 121244 861 Radmin Isto indica que o ângulo está diminuindo a uma taxa de variação de 861 Radmin Temos que V 13 πr2 h Como 2r h para todo t então Vt 112 πht3 Derivando com respeito ao t dVdt π4 h2 dhdt Substituindo dVdt 3 e h 3 obtemos 3 π4 9 dhdt ou que dhdt 43π mmin 4 a 12cm dadt 2cmmin b10cm dbdt 1 cmmin tgθ ab dtgθdt ddt ab sec²θ dθdt dbdt b a dadtb² Sabendo que sec²θ 1 tg²θ e substituindo os valores dθdt 861 radmin 5 V 13 π h2² h πh³ 12 dVdt π4 h² dhdt dhdt 3 m³min h 3m dhdt 43π mmin 6 1 lim x0 lnx 0 pela direita números positivos lim x0 lnx 0 pela esquerda números negativos lim x0 xlnx lim x0 xlnx x0 é assíntota vertical lim x xlnx lim x 1x Sem assíntotas horizontais 2 lim x0 1x lim x0 e¹x x0 é assíntota vertical lim x0 1x lim x0 e¹x 0 lim x 1x 0 lim x e¹x 1 y1 é assíntota horizontal 3 ln x ao² está definida nos reais para x0 lim x x²ln x Sem assíntotas horizontais lim x0 x²ln x lim x0 ln x 1x² lim x0 x²2 0 Sem assíntotas verticais 4 4 Sem assíntotas verticais lim x x eˣ lim x x eˣ lim x xeˣ lim x 1eˣ 0 Assíntota horizontal y0 5 Sem assíntotas verticais lim x π x³ lim x π x³ 0 Assíntota horizontal y0 Obs 4 e 5 não têm assíntotas verticais pois estão definidos em todo o ℝ 4 1 Derivando o lado esquerdo em relação à x ddx tgx y³ sec² x y³ y³ x 3y² y Regra da cadeia Regra do produto Derivando o lado direito ddx x 12 y 12 12x 12y y sec² x y³ y³ 2xy y 12x y 2y y 2xy sec² x y³ 12y 12x y² sec² x y³ y y 1 2 x y² sec² x y³ x 4 x y³2 sec² x y³ 1 2 Amalgamento cos y x cos y y y cos x y sen x 1 y 1 x 1 y y 1² Regra do quociente y y 1² y sen x x cos y y 1x cos y cos x x 1 y 1² x cos y cos x x 1 3 2 Por definição o coeficiente angular da reta m é dydx Basta encontrar esse valor em 31 Derivando a equação em relação à x 3 y² dydx 2 dydx x² 2 y x 3 0 dydx 3 4 x y 2 x² 3 y² 37 x3 y1 y 1 dydx 31 x 3 y 37 x 167 3 1 Seja Sa a² a função que representa a área de um quadrado de lado a dsdt 2a dadt 4 cm²min dadt 02 cmmin 2 Análogo sendo dadt 04 cmmin Diminuindo dsdt 8 cm²min 1 Df 01 1 Assíntota vertical x 1 pois lim x1 xlnx e lim x1 xlnx Assíntotas horizontais não tem pois lim x xlnx lim x 11x lim x x 2 Df ℝ 0 Assíntota vertical x 0 pois lim x0 e1x Assíntota horizontal y 1 pois lim x e1x 1 3 Df 0 Assíntota vertical não tem pois lim x0 x2 lnx lim x0 lnx 1x2 lim x0 1x2x3 lim x0 x2 0 Assíntota horizontal não tem pois lim x x2 lnx 4 Df ℝ Assíntota vertical não tem Assíntota horizontal y 0 lim x x ex lim x xex lim x 1ex 0 5 Df ℝ Assíntota vertical não tem Assíntota horizontal y 0 pois lim x πx3 0