Questões Cálculo 1

1 O custo C em milhares de unidades monetárias para eliminar x por cento de contaminantes industriais lançados por uma fábrica em um rio é dado pela função Cx 60x 100 x com 0 x 100 a É possível eliminar 100 dos contaminantes lançados no rio Elabore sua resposta em termos do conceito de limite b Esboce o gráfico da função custo no intervalo 0 100 que evidencie sua resposta ao item a 2 Dois veículos encontramse no tempo t 0 s em um cruzamento de duas estradas retilíneas que formam um ângulo de 60 A posição em metros do veículo A no instante t segundos ao longo de uma das estradas retilíneas é modelada pela função SAt 2t t² e a posição em metros do veículo B no instante t segundos ao longo da outra estrada retilínea é dada pela função SBt t 2t² a Determine a distância DABt entre os dois veículos em um instante de tempo t segundos b Calcule a taxa de variação instantânea da distância DAB entre os dois veículos no instante t 2 segundos Interprete fisicamente esse resultado 3 Considere uma barra retilínea de comprimento L do ponto x 0 ao ponto x L no eixo das abcissas O centro de massa de uma barra pode ser obtido por x ₀ᴸ xμx dx ₀ᴸ μx dx em que μx é a densidade por unidade de comprimento da barra Calcule o centro de massa de uma barra de 30 cm sabendo que a densidade por unidade de comprimento em cada ponto da barra é dada por μx x 1 gcm Questão 1 O custo C em milhares de unidades monetárias para eliminar x por cento de contaminantes industriais lançados por uma fábrica em um rio é dado pela função Cx 60x 100 x com 0 x 100 a É possível eliminar 100 dos contaminantes lançados no rio Elabore sua resposta em termos do conceito de limite Resposta Para determinar se é possível eliminar 100 dos contaminantes analisamos o comportamento da função Cx quando x se aproxima de 100 Usamos o conceito de limite lim x100 60x 100 x À medida que x se aproxima de 100 o denominador 100 x se aproxima de 0 o que faz com que a fração 60x 100 x tenda ao infinito Portanto lim x100 60x 100 x Isso indica que o custo para eliminar 100 dos contaminantes se torna infinitamente grande ou seja é impraticável eliminar completamente todos os contaminantes lançados no rio b Esboce o gráfico da função custo no intervalo 0 100 que evidencie sua resposta ao item a imagem do gráfico O gráfico da função Cx mostra que à medida que x se aproxima de 100 o custo Cx aumenta rapidamente tendendo ao infinito o que confirma a conclusão do item a Questão 2 Dois veículos encontramse no tempo t 0 s em um cruzamento de duas estradas retilíneas que formam um ângulo de 60 A posição em metros do veículo A no instante t segundos ao longo de uma das estradas retilíneas é modelada pela função SAt 2t t² e a posição em metros do veículo B no instante t segundos ao longo da outra estrada retilínea é dada pela função SBt t 2t² a Determinação da distância DABt entre os dois veículos em um instante de tempo t segundos A distância entre os dois veículos pode ser determinada usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano Como os veículos estão se movendo em direções que formam um ângulo de 60 usamos a Lei dos Cossenos para calcular a distância entre os dois veículos DABt SAt² SBt² 2 SAt SBt cos60 Sabemos que cos60 12 então a fórmula fica DABt SAt² SBt² SAt SBt Substituindo SAt e SBt DABt 2t t²² t 2t²² 2t t²t 2t² b Cálculo da taxa de variação instantânea da distância DAB entre os dois veículos no instante t 2 segundos Interpretação física do resultado Para calcular a taxa de variação instantânea da distância DABt no instante t 2 segundos precisamos derivar DAB²t em relação ao tempo t e depois avaliar a derivada no instante t 2 segundos Primeiro derivamos DAB²t em relação a t ddt DAB²t ddt 3t⁴ 3t³ 3t² 12t³ 9t² 6t No instante t 2 segundos substituímos t por 2 ddt DAB²2 122³ 92² 62 96 36 12 144 Portanto a taxa de variação da distância ao quadrado entre os dois veículos no instante t 2 segundos é 144 Para encontrar a taxa de variação da distância DABt usamos a relação ddt DABt 1 2 DABt ddt DAB²t No instante t 2 segundos calculamos DAB2 DAB²2 32⁴ 32³ 32² 48 24 12 84 DAB2 84 221 Assim a taxa de variação da distância DAB no instante t 2 segundos é ddt DAB2 1 2 221 144 144 421 36 21 3621 21 1221 7 A interpretação física do resultado é que no instante t 2 segundos a velocidade relativa entre os dois veículos é 1221 7 metros por segundo o que indica a rapidez com que a distância entre os dois veículos está mudando naquele instante Questão 3 Considere uma barra retilínea de comprimento L do ponto x 0 ao ponto x L no eixo das abcissas O centro de massa de uma barra pode ser obtido por x ₀ᴸ xμx dx ₀ᴸ μx dx em que μx é a densidade por unidade de comprimento da barra Calcule o centro de massa de uma barra de 30 cm sabendo que a densidade por unidade de comprimento em cada ponto da barra é dada por μx x 1 gcm Para calcular o centro de massa primeiro encontramos o numerador e o denominador da fórmula fornecida Numerador ₀³⁰ xμx dx ₀³⁰ xx1 dx Utilizando a substituição u x 1 temos du dx e os limites de integração mudam de 0 para 31 ₀³⁰ xx 1 dx ₁³¹ u 1u du Expandindo e separando a integral ₁³¹ u 1u du ₁³¹ u³² du ₁³¹ u¹² du Calculamos as integrais separadamente u³² du ₂₅ u⁵² u¹² du ₂₃ u³² Substituindo os limites ₂₅ u⁵² ₁³¹ ₂₃ u³² ₁³¹ Calculamos ₂₅31⁵² 1⁵² ₂₃31³² 1³² Denominador ₀³⁰ μx dx ₀³⁰ x 1 dx Usando a mesma substituição u x 1 temos ₁³¹ u du ₁³¹ u¹² du ₂₃ u³² ₁³¹ Calculamos ₂₃31³² 1³² Centro de Massa Substituímos os valores encontrados na fórmula do centro de massa x ₂₅31⁵² 1⁵² ₂₃31³² 1³² ₂₃31³² 1³² Simplificamos as expressões numéricas para obter o valor final do centro de massa Portanto o centro de massa da barra está em x 1 74475 136431 1 3131 1