Aplicações das Derivadas em Cálculo 1 - Valores Extremos e Teorema do Valor Médio

04 Aplicações das derivadas Cálculo 1 1 2013 Pearson Todos os direitos reservados Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas 04 Aplicações das derivadas 1 Valores extremos de funções 2 Teorema do valor médio 3 Funções monotônicas e o teste da primeira derivada 4 Concavidade e esboço de curvas 5 Formas indeterminadas e regra de l Hôpital 6 Otimização aplicada 7 Método de Newton 8 Primitivas 2 2 Teorema do valor médio Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções Valores extremos de funções Extremos absolutos para as funções seno e cosseno no intervalo π2 π2 Esses valores podem depender do domínio de uma função Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções Valores extremos de funções A figura a seguir apresenta algumas possibilidades para pontos de máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo fechado a b Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções Valores extremos de funções Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções Extremos locais relativos A figura abaixo mostra um gráfico com cinco pontos nos quais a função tem valores extremos em seu domínio a b Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções Extremos locais relativos Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções Determinando extremos O teorema a seguir explica por que normalmente precisamos investigar apenas alguns valores para determinar o extremo de uma função Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções Determinando extremos A figura mostra uma curva com um valor máximo local O coeficiente angular em c é simultaneamente o limite de números não positivos e não negativos e portanto tem valor zero Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções Determinando extremos Como determinar os extremos absolutos de uma função contínua ƒ em um intervalo fechado e finito 1 Calcule 𝑓𝑓 em todos os pontos críticos e extremidades 2 Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Valores extremos de funções EXEMPLO Determine os valores máximo e mínimo absoluto de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 10𝑥𝑥2 ln 𝑥𝑥 no intervalo 1 𝑒𝑒2 1 Valores extremos de funções Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Teorema de Rolle Uma curva derivável tem ao menos uma tangente horizontal entre dois pontos quaisquer onde a curva cruza uma reta horizontal Ela pode ter apenas uma tangente a ou mais de uma b Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Teorema do valor médio Geometricamente Em algum lugar entre a e b a curva apresenta pelo menos uma tangente paralela à corda AB Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Consequências matemáticas O primeiro corolário do teorema do valor médio fornece a resposta somente funções constantes possuem derivadas zero O corolário a seguir demonstra que seus valores no intervalo têm uma diferença constante Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio EXEMPLO Determine a função 𝑓𝑓𝑥𝑥 cuja derivada seja sin 𝑥𝑥 e cujo gráfico passe pelo ponto 02 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Determinação da velocidade e da posição a partir da aceleração Podemos usar o Corolário 2 para determinar as funções de velocidade e posição de um objeto em movimento ao longo de uma reta vertical De acordo com o Corolário 2 𝑣𝑣 𝑡𝑡 98𝑡𝑡 𝐶𝐶 para uma constante C Como o corpo cai partindo do repouso u0 0 Logo 98 0 𝐶𝐶 0 𝐶𝐶 0 A função velocidade será υt 98t Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Determinação da velocidade e da posição a partir da aceleração E quanto à função posição st De acordo com o Corolário 2 𝑠𝑠 𝑡𝑡 49𝑡𝑡2 𝐶𝐶 para uma constante C Como 𝑠𝑠0 0 49 𝑡𝑡 2 𝐶𝐶 0 𝐶𝐶 0 A função posição é 𝑠𝑠𝑡𝑡 49𝑡𝑡2 até que o corpo atinja o solo Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Prova de que ln bx ln b ln x O argumento começa com a observação de que ln bx e ln x possuem a mesma derivada As funções devem diferir por uma constante o que significa que Assim Após a substituição concluímos que Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Prova de que ln xr r ln x Para qualquer valor positivo de x Uma vez que ln xr e r ln x possuem a mesma derivada para uma constante C Tomando x como 1 verificamos que C é igual a zero Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Leis dos expoentes Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Teorema do valor médio Leis dos expoentes Prova da Lei 1 Seja Então 3 Funções monotônicas e o teste da primeira derivada Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Funções monotônicas e o teste da primeira derivada Funções crescentes e decrescentes Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Funções monotônicas e o teste da primeira derivada EXEMPLO Determine os pontos críticos de 𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑥𝑥3 12𝑥𝑥 5 e identifique os intervalos em que fé crescente e fé decrescente Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Funções monotônicas e o teste da primeira derivada Funções crescentes e decrescentes Teste da primeira derivada para extremos locais Os pontos críticos de uma função estabelecem onde ela é crescente e onde é decrescente O sinal da primeira derivada troca em pontos críticos onde ocorrem extremos locais Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Funções monotônicas e o teste da primeira derivada Funções crescentes e decrescentes Teste da primeira derivada para extremos locais Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua ƒ e que ƒ seja derivável em qualquer ponto de um intervalo que contenha c exceto possivelmente no próprio ponto c Deslocandose ao longo desse intervalo da esquerda para a direita 1 se ƒ passa de negativa a positiva em c então ƒ possui um mínimo local em c 2 se ƒ passa de positiva a negativa em c então ƒ possui um máximo local em c 3 se ƒ não muda de sinal em c isto é ƒ é positiva ou negativa em ambos os lados de c então ƒ não tem extremo local em c Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Funções monotônicas e o teste da primeira derivada EXEMPLO Determine os pontos críticos de 𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑥𝑥2 3 𝑒𝑒𝑥𝑥 Identifique os intervalos em que fé crescente e decrescente Determine os extremos locais e absolutos da função 4 Concavidade e esboço de curvas Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas Concavidade Como você pode ver na figura ao lado a curva y x3 é crescente quando x aumenta mas as porções definidas nos intervalos 0 e 0 se curvam de maneiras distintas Conforme nos aproximamos da origem pela esquerda ao longo da curva vemos que ela se vira para a nossa direita e fica abaixo de suas tangentes Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas Concavidade Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas EXEMPLO Determine a concavidade de 𝑦𝑦 3 sin 𝑥𝑥 em 0 2𝜋𝜋 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas Pontos de inflexão Um ponto em que o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é chamado de ponto de inflexão Em um ponto de inflexão c ƒc ou ƒc não existe ou ƒc 0 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas EXEMPLO Uma partícula se desloca ao longo de uma reta horizontal positiva à direita de acordo com a função posição 𝑠𝑠 𝑡𝑡 2𝑡𝑡3 14𝑡𝑡2 22𝑡𝑡 5 𝑡𝑡 0 Determine a velocidade e a aceleração e descreva o movimento da partícula Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas Teste da segunda derivada para extremos locais Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas EXEMPLO Esboce um gráfico da função 𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑥𝑥4 4𝑥𝑥3 10 realizando as etapas a seguir a Identifique onde os extremos de f ocorrem b Determine os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente c Determine onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo d Esboce a forma geral do gráfico de f e Trace alguns pontos específicos tais como os pontos de máximo e mínimo locais e os interceptes dos eixos x e y Em seguida esboce a curva Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas Estratégia para construir o gráfico de y ƒx 1 Identifique o domínio de ƒ e qualquer simetria que a curva possa ter 2 Determine as derivadas y e y 3 Determine os pontos críticos de ƒ se houver e identifique o comportamento da função em cada um deles 4 Determine onde a curva sobe e onde ela desce 5 Determine os pontos de inflexão caso haja e a concavidade da curva 6 Identifique todas as assíntotas que possam existir 7 Trace os pontos mais importantes tais como os interceptos dos eixos e aqueles encontrados nos Passos 35 e esboce a curva juntamente com as assíntotas que existirem Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas EXEMPLO Esboce o gráfico de 𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 2 1 𝑥𝑥2 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Concavidade e esboço de curvas Comportamentos dos gráficos de funções a partir de derivadas 5 Formas indeterminadas e regra de LHôpital Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital Forma indeterminada 00 Se ambas as funções contínuas ƒx e gx são zero em x a então lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 não pode ser determinada pela substituição de 𝑥𝑥 𝑎𝑎 A substituição resulta em 00 uma expressão sem sentido que não podemos avaliar Usamos 00 como uma notação para uma expressão conhecida como uma forma indeterminada Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital Forma indeterminada 00 Para aplicar a regra de lHôpital a 𝑓𝑓𝑔𝑔 divida a derivada de 𝑓𝑓 pela derivada de 𝑔𝑔 Não caia na armadilha de tornar a derivada de ƒ𝑔𝑔 O quociente a ser utilizado é 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑔 e não 𝑓𝑓𝑔𝑔 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital Uso da regra de lHôpital Para determinar lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 pela regra de lHôpital continue a derivar 𝑓𝑓 e 𝑔𝑔 contanto que ainda seja possível obter a forma 00 em 𝑥𝑥 𝑎𝑎 Mas logo que uma ou outra dessas derivadas for diferente de zero em 𝑥𝑥 𝑎𝑎 pare de derivar A regra de lHôpital não se aplica quando há no numerador ou no denominador um limite finito diferente de zero Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital EXEMPLO Utilize a regra de LHôpital para calcular os limites a lim 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 sen 𝑥𝑥 𝑥𝑥3 b lim 𝑥𝑥0 sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥2 Formas indeterminadas e regra de LHôpital Formas indeterminadas 0 Em tratamentos mais avançados de cálculo é provado que a regra de lHôpital se aplica à forma indeterminada bem como a 00 Se f x e g x quando x a então lim xa fxgx lim xa fxgx desde que o limite da direita exista Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital EXEMPLO Determine os limites a lim 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑥𝑥2 b lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥 sen 1 𝑥𝑥 c lim 𝑥𝑥 1 sen 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital Potências indeterminadas Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital EXEMPLO Determine o limite lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥1𝑥𝑥 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital Prova da regra de lHôpital Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Formas indeterminadas e regra de LHôpital Prova da regra de lHôpital Suponha que x esteja à direita de a Então 𝑔𝑔𝑔𝑥𝑥 0 e podemos aplicar o teorema do valor médio de Cauchy ao intervalo fechado de 𝑎𝑎 a 𝑥𝑥 Esse passo produz um número c entre a e x tal que 𝑓𝑓 𝑐𝑐 𝑔𝑔 𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑎𝑎 Mas ƒ𝑎𝑎 𝑔𝑔𝑎𝑎 0 então 𝑓𝑓 𝑐𝑐 𝑔𝑔 𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 À medida que x se aproxima de a c se aproxima de a porque ele sempre se situa entre a e x Portanto lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 lim 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑓𝑓 𝑐𝑐 𝑔𝑔 𝑐𝑐 lim 𝑥𝑥𝑎𝑎 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 6 Otimização aplicada Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Otimização aplicada Resolução de problemas de otimização aplicada 1 Leia o problema Leia o problema até compreendêlo Quais informações são fornecidas Qual é a quantidade desconhecida a ser otimizada 2 Faça um esquema Indique todas as partes que podem ser importantes para o problema 3 Introduza variáveis Represente todas as relações no esquema e no problema com uma equação ou expressão algébrica identifique a variável desconhecida 4 Escreva uma equação para a quantidade desconhecida Se possível expresse a quantidade desconhecida em função de uma única variável ou em duas equações em duas incógnitas Isso pode exigir um certo trabalho 5 Teste os pontos críticos e as extremidades no domínio da quantidade desconhecida Utilize o que você sabe sobre a forma do gráfico de uma função Use a primeira e a segunda derivadas para identificar e classificar os pontos críticos da função 7 Método de Newton Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Método de Newton Procedimento para o método de Newton O objetivo do método de Newton para estimar a solução de uma equação 𝑓𝑓𝑥𝑥 0 é produzir uma sequência de aproximações que tendem para a solução O método de Newton começa pela estimativa inicial 𝑥𝑥0 e sob circunstâncias favoráveis melhora a estimativa a cada passo Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Método de Newton Procedimento para o método de Newton As aplicações do método de Newton geralmente envolvem muitos cálculos numéricos o que as torna especialmente adequadas para computadores ou calculadoras De qualquer modo mesmo quando os cálculos são feitos manualmente o que pode ser bem tedioso o método é uma boa maneira de achar soluções para equações Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Método de Newton Convergência das aproximações Na prática o método de Newton geralmente apresenta convergência com uma velocidade impressionante mas isso não é garantido O método de Newton nem sempre converge Por exemplo se Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Método de Newton Convergência das aproximações Se o método de Newton converge ele converge para uma raiz Quando o método de Newton converge para uma raiz a raiz pode não ser aquela que você tem em mente Se você começar muito distante o método de Newton pode perder a raiz que você deseja 8 Primitivas Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Primitivas Determinação de primitivas Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Primitivas EXEMPLO Determine uma primitiva de 𝑓𝑓𝑥𝑥 3𝑥𝑥2 que satisfaça 𝐹𝐹1 1 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Primitivas Determinação de primitivas Fórmulas de primitivas sendo k uma constante diferente de zero Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Primitivas Determinação de primitivas Regras de linearidade para primitivas Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Primitivas Problemas de valor inicial e equações diferenciais Determinar uma primitiva de uma função ƒx é um problema similar a determinar uma função yx que satisfaça a equação 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 Essa equação é chamada equação diferencial Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Primitivas Determinação de primitivas Problemas de valor inicial e equações diferenciais Para fixar a constante arbitrária que entra na fórmula da primitiva especificamos uma condição inicial A combinação de uma equação diferencial e uma condição inicial é chamada de problema de valor inicial Resolvemos a equação diferencial encontrando a sua solução geral Em seguida resolvemos o problema de valor inicial encontrando a solução particular que satisfaz a condição inicial yx0 y0 Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas Primitivas Integrais indefinidas Após o sinal da integral na notação que acabamos de definir a função integranda é sempre seguida por uma diferencial para indicar a variável de integração Primitivas Integrais indefinidas Calcule x² 2x 5 dx Prof Anderson Rouver 04 Aplicações das derivadas REFERÊNCIAS Cálculo volume 1 George B Thomas 12 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 68 2013 Pearson Todos os direitos reservados