Lista de Exercícios da Disciplina Estática engenharia Civil

I EXERCICIOS DE MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS PLANAS 1 Para as áreas abaixo determinar o momento de inércia com relação aos eixos x y x e y a b c d e Medidas em cm f g h 2 Determinar o momento de inercia polar e o raio de giração em relação a x e y e para os eixos centroidais para as figuras b d e i II EXERCÍCIOS DE DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR 1 A viga engastada tem 3 forças aplicadas conforme figura a Trace o DEC e DMF para a viga b Determine as equações de Qx e Mx para 1 m x 3 m 2 As reações de apoio da viga mostrada na figura são VA 1000 kN e VB 800 kN e HA 0 a Trace para essa viga o diagrama de esforço cortante DEC e o diagrama de momento fletor DMF b Determine a equação de Mx e Qx para 4 x 5 m 3 A viga simétrica da figura tem carregamento uniformemente distribuído de 400 kNm e uma força concentrada de 200 N a Trace para essa viga o diagrama de esforço cortante DEC e o diagrama de momento fletor DMF Mostre todos os cálculos b Determine a equação de Mx e Qx para 0 m x 2 m 4 A viga biapoiada tem 3 forças aplicadas conforme figura a Trace o DEC e DMF para a viga b Determine as equações de Qx e Mx para 3 m x 4 m 5 A viga simétrica da figura tem 2 carregamentos uniformemente distribuído de 400 kNm a Trace para essa viga o diagrama de esforço cortante DEC e o diagrama de momento fletor DMF Mostre todos os cálculos b Determine a equação de Mx e Qx para 3 x 5 m 6 Para a viga engastada da figura traçar o DEC e o DMF e determinar as equações Qx e Mx para 0 x 2 m Estática para Engenharia xrzS5P7me segundafeira 20 de maio de 2024 1757 Página 1 de Anotações Rápidas Página 2 de Anotações Rápidas Página 3 de Anotações Rápidas Página 4 de Anotações Rápidas Página 5 de Anotações Rápidas Página 6 de Anotações Rápidas Página 7 de Anotações Rápidas Página 8 de Anotações Rápidas Página 9 de Anotações Rápidas Página 10 de Anotações Rápidas Página 11 de Anotações Rápidas Página 12 de Anotações Rápidas Página 13 de Anotações Rápidas Página 14 de Anotações Rápidas Página 15 de Anotações Rápidas Página 16 de Anotações Rápidas Página 17 de Anotações Rápidas Página 18 de Anotações Rápidas Página 19 de Anotações Rápidas Página 20 de Anotações Rápidas Página 21 de Anotações Rápidas Página 22 de Anotações Rápidas Página 23 de Anotações Rápidas Página 24 de Anotações Rápidas Página 25 de Anotações Rápidas Página 26 de Anotações Rápidas Página 27 de Anotações Rápidas Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos syms a real xbar 3055 ybar 5405 Area 106080101010 Ixcg 6010312108031210412 Iycg 1060312108031210412 DadosdassecoestablexbarybarAreaIxcgIycg Dadosdassecoes 35 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 30 5 600 5000 180000 2 5 40 800 42667e05 42667e05 3 5 5 100 8333333 8333333 A posição do centróide é dada por e 1 a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez Para a seção em análise temos que XbarArea xbarArea XbarArea 21500 SumArea sumArea SumArea 1300 Xbar XbarAreaSumArea Xbar 165385 YbarArea ybarArea YbarArea 34500 Ybar YbarAreasumArea Ybar 265385 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca ybarYbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IxcgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 215385 4639053 27834e05 5000 28334e05 2 134615 1812130 14497e05 42667e05 57164e05 3 215385 4639053 46391e04 8333333 47224e04 2 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx sumIcgi Icgx 80776e05 De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca xbarXbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IycgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 134615 1812130 10873e05 5000 28873e05 2 115385 1331361 10651e05 42667e05 53318e05 3 115385 1331361 13314e04 8333333 14147e04 Icgy sumIcgi Icgy 80776e05 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo xb2 xbar2 yb2 ybar2 3 Axb2 Areaxb2 Ayb2 Areayb2 Ixi Ixcg Ayb2 Iyi Iycg Axb2 DadosIcg tablexb2yb2Axb2Ayb2IxiIyi DadosIcg 36 table xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 900 25 540000 15000 20000 720000 2 25 1600 20000 1280000 17067e06 44667e05 3 25 25 2500 2500 33333e03 33333e03 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix sumIxi Ix 17233e06 Iy sumIyi Iy 11633e06 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais JcgIcgxIcgy Jcg 16155e06 rcg sqrtJcgsumArea rcg 352520 Momento de inércia polar em relação aos eixos xy JIxIy 4 J 28867e06 r sqrtJsumArea r 471223 5 Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos syms a real xbar 501005010 ybar 106006010 Area 100201202010020 Ixcg 100203122012031210020312 Iycg 201003121202031220100312 DadosdassecoestablexbarybarAreaIxcgIycg Dadosdassecoes 35 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 40 70 2000 66667e04 16667e06 2 0 0 2400 2880000 80000 3 40 70 2000 66667e04 16667e06 A posição do centróide é dada por e 1 a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez Para a seção em análise temos que XbarArea xbarArea XbarArea 0 SumArea sumArea SumArea 6400 Xbar XbarAreaSumArea Xbar 0 YbarArea ybarArea YbarArea 0 Ybar YbarAreasumArea Ybar 0 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca ybarYbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IxcgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 70 4900 9800000 66667e04 98667e06 2 0 0 0 2880000 2880000 3 70 4900 9800000 66667e04 98667e06 2 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx sumIcgi Icgx 22613e07 De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca xbarXbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IycgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 40 1600 3200000 66667e04 48667e06 2 0 0 0 2880000 80000 3 40 1600 3200000 66667e04 48667e06 Icgy sumIcgi Icgy 98133e06 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo xb2 xbar2 yb2 ybar2 3 Axb2 Areaxb2 Ayb2 Areayb2 Ixi Ixcg Ayb2 Iyi Iycg Axb2 DadosIcg tablexb2yb2Axb2Ayb2IxiIyi DadosIcg 36 table xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 1600 4900 3200000 9800000 98667e06 48667e06 2 0 0 0 0 2880000 80000 3 1600 4900 3200000 9800000 98667e06 48667e06 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix sumIxi Ix 22613e07 Iy sumIyi Iy 98133e06 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais JcgIcgxIcgy Jcg 32427e07 rcg sqrtJcgsumArea rcg 711805 Momento de inércia polar em relação aos eixos xy JIxIy 4 J 32427e07 r sqrtJsumArea r 711805 5 Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos Dadosdassecoes 35 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 Seção 1 0 3a2 4a2 a43 16a43 2 Seção 2 0 0 2a2 2a43 a46 3 Seção 3 0 3a2 4a2 a43 16a43 A posição do centróide é dada por e a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez Para a seção em análise temos que XbarArea 1 SumArea Xbar YbarArea Ybar 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 Seção 1 3a2 9a24 9a4 a43 28a43 2 Seção 2 0 0 0 2a43 2a43 3 Seção 3 3a2 9a24 9a4 a43 28a43 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 Seção 1 0 0 0 a43 16a43 2 Seção 2 0 0 0 2a43 a46 3 Seção 3 0 0 0 a43 16a43 Icgy 2 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo DadosIcg 36 table xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 Seção 1 0 9a24 0 9a4 28a43 16a43 2 Seção 2 0 0 0 0 2a43 a46 3 Seção 3 0 9a24 0 9a4 28a43 16a43 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix Iy 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais Jcg 3 rcg Momento de inércia polar em relação aos eixos xy J r 4 Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos Dadosdassecoes 35 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 Seção 1 275 125 137500 71615e08 34661e09 2 Seção 2 500 1666667 18750 65104e07 23437500 3 Seção 3 200 125 11310e04 10179e07 10179e07 A posição do centróide é dada por e a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez Para a seção em análise temos que XbarArea 26176e07 1 SumArea 10744e05 Xbar 2436289 YbarArea 12649e07 Ybar 1177285 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 Seção 1 72715 528745 72702e06 71615e08 72342e08 2 Seção 2 489381 23949e03 44905e07 65104e07 11001e08 3 Seção 3 72715 528745 59800e05 10179e07 10777e07 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx 60263e08 De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 Seção 1 313711 9841463 13532e08 71615e08 36015e09 2 Seção 2 2563711 65726e04 12324e09 65104e07 12558e09 3 Seção 3 436289 19035e03 21528e07 10179e07 31707e07 Icgy 23140e09 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura 2 Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo DadosIcg 36 table xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 Seção 1 75625 15625 10398e10 21484e09 28646e09 13865e10 2 Seção 2 250000 27778e04 46875e09 52083e08 58594e08 47109e09 3 Seção 3 40000 15625 45239e08 17671e08 18689e08 46257e08 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix 20918e09 Iy 86911e09 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais Jcg 29166e09 rcg 1647608 Momento de inércia polar em relação aos eixos xy J 10783e10 r 3167983 3 Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos syms a real xbar 4603pi903 ybar 4603pi30 Area pi602490602 Ixcg pi604169060336 Iycg pi604166090336 DadosdassecoestablexbarybarAreaIxcgIycg Dadosdassecoes 25 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 254648 254648 28274e03 25447e06 25447e06 2 30 30 2700 540000 1215000 A posição do centróide é dada por e 1 a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez Para a seção em análise temos que XbarArea xbarArea XbarArea 9000 SumArea sumArea SumArea 55274e03 Xbar XbarAreaSumArea Xbar 16282 YbarArea ybarArea YbarArea 153000 Ybar YbarAreasumArea Ybar 276801 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca ybarYbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IxcgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 25 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 22153 49077 13876e04 25447e06 25586e06 2 23199 53819 14531e04 540000 55453e05 2 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx sumIcgi Icgx 31131e06 De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca xbarXbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IycgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 25 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 270930 7340324 20754e06 25447e06 46201e06 2 283718 8049566 21734e06 540000 33884e06 Icgy sumIcgi Icgy 80085e06 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo xb2 xbar2 yb2 ybar2 Axb2 Areaxb2 3 Ayb2 Areayb2 Ixi Ixcg Ayb2 Iyi Iycg Axb2 DadosIcg tablexb2yb2Axb2Ayb2IxiIyi DadosIcg 26 table xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 6484556 6484556 18335e06 18335e06 43782e06 43782e06 2 900 900 2430000 2430000 2970000 3645000 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix sumIxi Ix 73482e06 Iy sumIyi Iy 80232e06 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais JcgIcgxIcgy Jcg 11122e07 rcg sqrtJcgsumArea rcg 448561 Momento de inércia polar em relação aos eixos xy JIxIy J 15371e07 r sqrtJsumArea 4 r 527344 Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos syms a real xbar 304303pi60303 ybar 3030603 Area 6060pi302230602 Ixcg 6060312pi30483060336 Iycg pi60416010983046090336 DadosdassecoestablexbarybarAreaIxcgIycg Dadosdassecoes 35 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 30 30 3600 1080000 25447e06 2 127324 30 14137e03 31809e05 88938 3 50 20 900 180000 1215000 A posição do centróide é dada por e a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez 1 Para a seção em análise temos que XbarArea xbarArea XbarArea 45000 SumArea sumArea SumArea 12863e03 Xbar XbarAreaSumArea Xbar 349845 YbarArea ybarArea YbarArea 47588e04 Ybar YbarAreasumArea Ybar 369969 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca ybarYbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IxcgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 69969 489567 17624e05 1080000 12562e06 2 69969 489567 69211e04 31809e05 38730e05 3 169969 2888947 26001e05 180000 44001e05 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx sumIcgi 2 Icgx 42894e05 De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca xbarXbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IycgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 49845 248454 89443e04 1080000 26341e06 2 222521 4951569 70001e05 31809e05 78895e05 3 150155 2254647 20292e05 180000 14179e06 Icgy sumIcgi Icgy 42727e05 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo xb2 xbar2 yb2 ybar2 Axb2 Areaxb2 Ayb2 Areayb2 Ixi Ixcg Ayb2 Iyi Iycg Axb2 DadosIcg tablexb2yb2Axb2Ayb2IxiIyi DadosIcg 36 table 3 xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 900 900 3240000 3240000 4320000 57847e06 2 1621139 900 22918e05 12723e06 15904e06 31812e05 3 2500 400 2250000 360000 540000 3465000 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix sumIxi Ix 21896e06 Iy sumIyi Iy 20016e06 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais JcgIcgxIcgy Jcg 85621e05 rcg sqrtJcgsumArea rcg 258001 Momento de inércia polar em relação aos eixos xy JIxIy J 41911e06 r sqrtJsumArea r 570818 4 Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos syms a real xbar 04203pi0 ybar 45904203pi4303pi Area 9090pi2024pi3022 Ixcg 6090312pi2041601098304 Iycg 9060312pi20416pi3048 DadosdassecoestablexbarybarAreaIxcgIycg Dadosdassecoes 35 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 0 45 8100 3645000 1620000 2 84883 815117 3141593 31416e04 31416e04 3 0 127324 14137e03 88938 31809e05 A posição do centróide é dada por e 1 a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez Para a seção em análise temos que XbarArea xbarArea XbarArea 26667e03 SumArea sumArea SumArea 63721e03 Xbar XbarAreaSumArea Xbar 04185 YbarArea ybarArea YbarArea 32089e05 Ybar YbarAreasumArea Ybar 503588 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca ybarYbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IxcgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 53588 287164 23260e05 3645000 38776e06 2 311530 9705073 30489e05 31416e04 33631e05 3 376264 14157e03 20015e06 88938 20904e06 2 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx sumIcgi Icgx 14509e06 De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca xbarXbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IycgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 35 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 04185 01751 14186e03 3645000 16214e06 2 89068 793303 24922e04 31416e04 56338e04 3 04185 01751 2475890 88938 31833e05 Icgy sumIcgi Icgy 12467e06 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo xb2 xbar2 yb2 ybar2 3 Axb2 Areaxb2 Ayb2 Areayb2 Ixi Ixcg Ayb2 Iyi Iycg Axb2 DadosIcg tablexb2yb2Axb2Ayb2IxiIyi DadosIcg 36 table xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 0 2025 0 16402500 20047500 1620000 2 720506 66442e03 22635e04 20873e06 21187e06 54051e04 3 0 1621139 0 22918e05 31812e05 31809e05 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix sumIxi Ix 17611e07 Iy sumIyi Iy 12479e06 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais JcgIcgxIcgy Jcg 26976e06 rcg sqrtJcgsumArea rcg 205755 Momento de inércia polar em relação aos eixos xy JIxIy 4 J 18858e07 r sqrtJsumArea r 544016 5 Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos syms a real xbar 45403402035904103pi202043pi ybar 202570503201010202043pi Area 905040502pi2022070pi1022pi2024 Ixcg 90503124050336pi20447020312pi1048pi2048 Iycg 50903125040336pi2044207031201098104pi2048 DadosdassecoestablexbarybarAreaIxcgIycg Dadosdassecoes 65 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 45 45 4500 937500 3037500 2 133333 533333 1000 13889e05 88889e04 3 40 20 12566e03 12566e05 12566e05 4 55 10 1400 46667e04 57167e05 5 857559 10 1570796 39270e03 1098 6 115117 115117 3141593 62832e04 62832e04 A posição do centróide é dada por e 1 a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez Para a seção em análise temos que XbarArea xbarArea XbarArea 20605e05 SumArea sumArea SumArea 38004e03 Xbar XbarAreaSumArea Xbar 542166 YbarArea ybarArea YbarArea 14008e05 Ybar YbarAreasumArea Ybar 368588 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca ybarYbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IxcgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 65 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 81412 662796 29826e05 937500 12358e06 2 164746 2714112 27141e05 13889e05 41030e05 3 168588 2842182 35716e05 12566e05 48282e05 2 Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 4 268588 7213937 10100e06 46667e04 10566e06 5 268588 7213937 11332e05 39270e03 11724e05 6 253470 6424722 20184e05 62832e04 26467e05 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx sumIcgi Icgx 15467e06 De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca xbarXbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IycgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 65 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 92166 849463 38226e05 937500 34198e06 2 408833 16714e03 16714e06 13889e05 17603e06 3 142166 2021127 25398e05 12566e05 37965e05 4 07834 06137 8591280 46667e04 57253e05 5 315392 9947233 15625e05 39270e03 15735e05 6 427049 18237e03 57293e05 62832e04 63577e05 Icgy sumIcgi Icgy 23307e06 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial 3 Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo xb2 xbar2 yb2 ybar2 Axb2 Areaxb2 Ayb2 Areayb2 Ixi Ixcg Ayb2 Iyi Iycg Axb2 DadosIcg tablexb2yb2Axb2Ayb2IxiIyi DadosIcg 66 table xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 2025 2025 9112500 9112500 10050000 12150000 2 1777778 28444e03 17778e05 28444e06 29833e06 26667e05 3 1600 400 20106e06 50265e05 62832e05 21363e06 4 3025 100 4235000 140000 18667e05 48067e06 5 73541e03 100 11552e06 15708e04 19635e04 11563e06 6 1325201 1325201 41632e04 41632e04 10446e05 10446e05 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix sumIxi Ix 67098e06 Iy sumIyi Iy 13502e07 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais 4 JcgIcgxIcgy Jcg 38774e06 rcg sqrtJcgsumArea rcg 319414 Momento de inércia polar em relação aos eixos xy JIxIy J 20212e07 r sqrtJsumArea r 729264 5 Cálculo do momento de inércia de uma seção em relação ao centróide da área Todos os valores calculados estão em mm ou mm4 1 Definição da posição do centróide A seção é dividida em regiões menores com momentos de inércia e centróide conhecidos syms a real xbar 9034303pi ybar 2330304303pi Area pi302490302 Ixcg pi30489030336 Iycg pi30483090336 DadosdassecoestablexbarybarAreaIxcgIycg Dadosdassecoes 25 table xbar ybar Area Ixcg Iycg 1 30 20 7068583 31809e05 31809e05 2 127324 172676 1350 67500 607500 A posição do centróide é dada por e a área negativa significa que a seção representa um furo ou uma área que está sendo computada mais de uma vez 1 Para a seção em análise temos que XbarArea xbarArea XbarArea 40170e03 SumArea sumArea SumArea 20569e03 Xbar XbarAreaSumArea Xbar 19530 YbarArea ybarArea YbarArea 37448e04 Ybar YbarAreasumArea Ybar 182066 2 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide Para calcular o momento de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide temos que utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos Teorema de Steiner dessa forma temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca ybarYbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IxcgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 25 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 17934 32162 22734e03 31809e05 32036e05 2 09390 08817 11904e03 67500 68690e04 Na tabela acima a segunda coluna é o quadrado da primeira a terceira é a segunda vezes a área da respectiva seção e a coluna Icgi é a contribuição de cada seção para o momento de inércia de cada seção sendo a soma da coluna DifquadxA diferença ao quadrado vezes Area com o respectivo momento de inércia em relação ao próprio CG Assim o momento de inércia da seção em análise é a soma dos valores da última coluna Icgx sumIcgi Icgx 38905e05 2 De forma análoga para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y que passa pelo CG temos que Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo Diferenca xbarXbar Diferencaquadrada Diferenca2 DifquadxA AreaDiferencaquadrada Icgi IycgDifquadxA DadosIcg tableDiferencaDiferencaquadradaDifquadxAIxcgIcgi DadosIcg 25 table Diferenca Diferencaquadrada DifquadxA Ixcg Icgi 1 280470 7866350 55604e05 31809e05 87413e05 2 146854 2156604 29114e05 67500 89864e05 Icgy sumIcgi Icgy 17728e06 3 Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x e y da figura Para o cálculo dos momentos de inércia em relação ao eixo da figura se dará da mesma forma que para o cálculo em relação aos eixos que passam pelo CG sendo que as distâncias agora são a própria posição do CG dado que os mesmos foram definidos em relação a esse referencial Os dados intermediários para esse cálculo estão organizados na tabela abaixo xb2 xbar2 yb2 ybar2 Axb2 Areaxb2 Ayb2 Areayb2 Ixi Ixcg Ayb2 Iyi Iycg Axb2 DadosIcg tablexb2yb2Axb2Ayb2IxiIyi DadosIcg 26 table xb2 yb2 Axb2 Ayb2 Ixi Iyi 1 900 400 63617e05 28274e05 60083e05 95426e05 2 1621139 2981702 21885e05 40253e05 47003e05 82635e05 3 Na tabela acima as colunas xb2 e yb2 representam as coordenadas do cg de cada seção ao quadrado Já as colunas Axb2 e Ayb2 representam os valores dos quadrados das cotas dos CG vezes a área de cada seção As últimas duas colunas são a soma dos momentos de inércia em relação aos respectivos CGs com a parcela de acordo com as equações acima Os valores do momento de inércia em relação ao eixo x e y são Ix sumIxi Ix 10709e06 Iy sumIyi Iy 17806e06 4 Cálculo do momento de inércia polar e do raio de giração em relação ao eixo x e y da figura e para os eixos centroidais Momento de inércia polar em relação aos eixos centroidais JcgIcgxIcgy Jcg 21618e06 rcg sqrtJcgsumArea rcg 324196 Momento de inércia polar em relação aos eixos xy JIxIy J 28515e06 r sqrtJsumArea r 372334 4