Lista de Exercícios: Integrais de Linha e Campos Vetoriais

Cs Gas Gee Ve a ari UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA UFBA ae es re INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA sein md DISCIPLINA MATAO03 CALCULO B LISTA 7 Integrais de linha 1 Calcule as integrais de linha a zy ds onde C é a metade direita do circulo 2 y 16 Cc b y ds onde C é 0 traco da curva parametrizada at 3t 0t 2 Cc c 2x ds onde C Cy UC com C arco da curva y 2 ligando o ponto 00 ao ponto Cc 11 e Cz 0 segmento de reta ligando o ponto 11 ao ponto 1 2 d xy 1ds onde C é 0 circulo de centro 00 e raio 1 Cc 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de forga a Fxy xy 2 sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide rt sent1cost0t 2r b F xy e i sen72 j sobre um objeto que se move sobre o caminho triangular que conecta os pontos 10 01 10 na ordem indicada 3 Calcule x ydx xydy onde C é 0 arco do circulo 2 y 4 percorrido no sentido Cc antihordrio do ponto 20 ao ponto 0 2 4 Considere o campo vetorial Fy axy y 1i 20 bay 27 em que a e b sao constantes a Determine valores de a e b para os quais F é um campo conservativo b Para estes valores de a e b encontre uma fungao potencial do campo F 5 Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma funcao potencial Utilize esta fungao e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular F dr onde C é a curva indicada Cc a Fay e4 2Qxyi Qre 2 17 C rt te 1 0t1 1 2 b Fxy Qa 1 2y 3 7 onde C é arco da hiperbéle x y 1 de 10 2 V3 c Fxy 2a yi 23y x Jj onde C 6 qualquer curva ligando 30 a 03 d Fa y 3a7yay 1i 2 2y4y 7 onde C é 0 quadrado com vértices em 00 10 11 e 01 percorridos no sentido antihorario 6 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada a y Ty dx 2xy 2x dy onde C o circulo de raio 1 e centro na origem Cc b y cos x dx a 2ysen x dy onde C é 0 tridngulo percorrido do 00 ao 26 ao 20 Cc ao 00 c e y dx xy senIny dy onde C é 0 quadrildtero percorrido do 11 ao 12 ao Cc 23 ao 21 d 3ay dx 2y dy onde C é 0 arco do circulo x y 4 no primeiro quadrante do ponto Cc 02 ao 20 7 Calcule o trabalho realizado pelo campo de forca Fay a el x 3ay Qarye para mover uma particula pela metade superior do circulo x y 4 do ponto 20 ao 20 8 Seja D regiao limitada por uma curva fechada e suave por partes C Mostre que a area da regiao 1 yo ao 1 D é dada por AD F dr para F an 25 ou AD s ydxardy C 2 2 2 Je 9 Mostre que a integral ry dx xy 2x dy sobre qualquer quadrado C depende apenas Cc do tamanho do quadrado e nao da sua localizacao 10 Calcule a drea da superficie Say2 07 y1 e 0zaytl 11 Um arame fino é entortado no formato da semicircunferéncia 2 y 4 x 0 0 Se a densidade linear for uma constante k determine a massa do arame 12 Um arame fino tem a forma da parte que esté no primeiro quadrante da circunferéncia com centro na origem e raio a Se a funcgao densidade for px y xy encontre a massa do arame ase de uma cerca circular de raio 10 m é dada por x y A altura da cerca na posigao 13 A base d ircular de raio 10 m é dad 2y 100 A altura d ic xy é dada pela fungio hay 4 0012 y portanto a altura varia de 3 m a 5 m Suponha que 1 L de tinta permita pintar 100 m Faca um esboco da cerca e determine quanto de tinta vocé precisara para pintar os dois lados da cerca 3 14 Calcule a integral de linha F dr onde F é 0 campo dado por Cc x e C éa curva dada por rt cost sent t 027 O campo F é conservativo 4 GABARITO Integrais de linha 1 a 5 5 1 6 2 b 2 546 c 145 145 1 54 d 2π 2 a 2π2 b 22 e 2 π 3 3π 2 3 4 a a 6 b 3 b fx y 2x3y xy3 x 2y C 5 a e5 2e2 1 b 5 3 3 c 18 d 0 6 a 9π b 16 c 16 6 d 8 16 3 7 12π 4 10 2π 11 2kπ 12 a3 2 13 2π 14 a 2π b O campo nao e conservativo