Lista de Exercícios Resolvida: Teoria dos Conjuntos e Probabilidade

1º Lista de Exercícios Parte 1 1 a Como lê apenas A vamos considerar só A b agora lê todos agora vamos representar por ABC c Como não lê nenhuma vamos representar como conjunto vazio isso é com sinal em cima da letra pra representar tudo que não é a letra 𝐴𝐵𝐶 d𝐴𝐵𝐶 eComo lê apenas um dos jornais vamos fazer uma união para cada caso isso é lê apenas A ou lê apenas B ou lê apenas C 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 f 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 g 𝐴 𝐵 𝐶 hABC ABC ABC ABC pelo menos dois ou todos iComo lê no máximo dois podemos representar por ABC pois é no máximo dois é tudo que não for ler os 3 j Como ler apenas um é a letra temos que 𝐴 𝐵 𝐶 é a união da leitura de cada um entendemos que 𝐴 𝐵 𝐶 é 𝑞𝑢𝑒 𝐻 𝑛ã𝑜 𝑙𝑒𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑗𝑜𝑟𝑛𝑎𝑖𝑠 k Interpretando é a mesma lógica da alternativa i logo ABC l Como não lê A já temos 𝐴agora ler no mínimo um tirando A temos 𝐵 𝐶 podendo ser 𝐴𝐵 𝑒 𝐴𝐶 logo 𝐴𝐵 𝐶 mApenas A é a alternativa d todos é a alternativa b logo 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 2 Considerando a lógica do número 1 iremos seguir as preposições a b c d e 3 Como há ao todo 68 números 14 ao escolher 4 temos a combinação de 4 em 14 sabemos que o plano amostral é esse Agora sabemos pela lógica que a multiplicação só dará par se os números negativos forem pares portanto 2 terão que ser os 4 terão que ser ou 0 logo 𝐶6 4 𝐶6 2𝐶8 2 𝐶8 4 𝐶14 4 4 o espaço amostral será 𝐶15 3 a para o menor número ser igual a 7 temos que números de 8 a 15 poderão ser escolhidos 8 e como sabemos que o menor é 7 temos 𝐶8 2 Logo 𝐶8 2 𝐶15 3 b Seguindo a mesma lógica porém agora de 1 a 6 já que o 7 é certo logo temos 𝐶6 2 𝐶15 3 5Para selecionar a terceira de espada temos que pensar que as duas antes irão ter que ser escolhidas e como há 13 cartas de cada naipe temos 𝑝 13 56 12 51 39 50 38 49 37 48 𝐶5 2 A combinação no final é por que a ordem não importa logo as cartas de espada poderão estar em qualquer lugar entre as 5 primeiras logo existe uma combinação das duas em cinco Por último temos a probabilidade de escolher uma carta de espada nas últimas 47 restantes isso é 𝐶11 1 47 Logo 𝑝 13 56 12 51 39 50 38 49 37 48 𝐶5 2 𝐶11 1 47 6 O espaço amostral é 36 isso é 6 possíveis números vezes 6 possíveis outros números a probabilidade pedida é nada mais que tudo que não é a probabilidade de sair números iguais que é 6 112233445566 logo 36 6 36 30 36 5 6 7 a O primeiro caso inicialmente vamos escolher 1 entre as 8 cartas de cada naipe como há 32 cartas temos que há 8 de cada naipe 𝐶8 1 Depois dois entre os 4 naipes que formará a dupla Depois as 3 outras cartas que não poderá ser a mesma da primeira já que essa terá duplas se repetir será trincas ou quatro logo 3 entre 7 para cada uma dessas 3 podendo ser de 1 naipe entre 4 logo 𝐶8 1𝐶4 2𝐶7 3𝐶4 1𝐶4 1𝐶4 1 𝐶32 5 b Mesma lógica 𝐶8 2𝐶4 2²𝐶6 1𝐶4 1 𝐶32 5 c Mesma lógica 𝐶8 1𝐶4 3𝐶7 2𝐶4 1𝐶4 1 𝐶32 5 d Mesma lógica 𝐶8 1𝐶4 4𝐶7 1𝐶4 1 𝐶32 5 e Escolher 1 entre 8 cartas do naipe sendo que devera ser 3 iguais isso é 3 naipes de 4 ao todo depois escolher 1 dentre as outras 7 pois se for 8 novamente dará uma quadra então tem q excluir a carta escolhida inicialmente dessa 1 haverá 2 naipes dela entre 4 𝐶8 1𝐶4 3𝐶7 1𝐶4 2 𝐶32 5 8 Como são n pessoas teremos 365364363362361 365 𝑛 2365 𝑛 1365 𝑛 365𝑛 Consideramos n5 Teremos 365 𝑛 5365 𝑛 4 365 𝑛 365 𝑥 365 𝑥 365 𝑥 365 𝑥 365 9 Como há 3 livros teremos que considerar as seguintes hipóteses 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 O único que está em ordem da esquerda para é 1 caso 1 6 10 Como a probabilidade de escolher a carta em específico é 1 dentre 52 e são duas cartas somaremos a probabilidade 1 52 1 52 1 26 11 a Para se iniciar com Z é a probabilidade de 1 entre 26 1 26 b Segue a mesma lógica da a 1 10 1 10 001 c Agora considera todas as possibilidades subtraindo uma a cada multiplicação 26 26 25 26 24 26 10 10 9 10 8 10 0639 12 a Por ser mesmo naipe só diminui o numerador o denominador naturalmente cai por não ter reposição 13 52 12 51 11 50 001 b 4 vezes a questão de cima por serem naipes diferentes 4𝑥001 004 c mesma lógica 13 52 13 51 13 50 13 Vamos considerar o primeiro caso em que apenas 4 das cartas serão do mesmo naipe e a outra não 𝐶13 5 𝐶39 0 𝐶13 3 𝐶39 1 𝐶13 5 𝐶39 0 𝐶13 5 𝐶39 0 14 5 Estatística 4 História 6 Matemática a Como já sabemos o último temos essa operação 6 14 5 13 30 182 15 91 b 10 15 9 14 5 10 c A combinação existe pois a ordem não importa logo os livros de história podem ficar em várias posições 4 15 3 14 2 12 1 11 𝐶6 4 00107 dO primeiro é 6 por serem só matemática o último é 4 por ser apenas história os do meio somam o restante de matemática e estatística 6 14 9 13 8 12 7 11 6 10 4 9 00335 15 Urna X 2A 2B 1C Urna Y 2A 1B 1C Pedese a probabilidade de serem brancas ao sacar uma bola de cada sabendo que essas bolas são da mesma cor Para serem da mesma cor temos as seguintes probabilidades 2 5 2 4 2 5 1 4 1 5 1 4 Logo temos um problema de teorema de bayes 2 5 1 4 2 5 2 4 2 5 1 4 1 5 1 4 0285 16 Ao menos uma vez Vai ser 1 menos a probabilidade de não sair 6 uma única vez 1 5 6 30 0995 17primeiro vamos a hipótese que não retiramos nenhum rei dentre as cartas 𝐶4 0𝐶48 2 𝐶52 2 𝐶4 2 𝐶54 2 Agora retirarmos 1 rei 𝐶4 1𝐶48 1 𝐶52 2 𝐶5 2 𝐶54 2 Agora com 2 reis 𝐶4 2𝐶48 0 𝐶52 2 𝐶6 2 𝐶54 2 A probabilidade será a soma de todos os casos 18 a b 19 a Para ser aniquilada ocorrer ou no primeiro dia com probabilidade 1 3 Ou no segundo dia sendo 2 3 1 3 1 3 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑑𝑒𝑢 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚 𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 1 3 2 27 11 27 b Para ela ter sido aniquilada no primeiro dia temos 1 3 11 27 27 33 911 22 M 1 N 2 Essa questão não faz sentido visto que não estabelece quantos jogos ao máximo pode acontecer visto que M N podem ficar infinitamente jogando caso M vença a primeira e N vencer a segunda e seguir esse ciclo 121 1 4ª Lista de Exercícios Período 20221 1 Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte distribuição conjunta de probabilidades Y X 1 2 1 18 28 2 38 28 a Determinar as distribuições marginais de X e de Y b Determinar as distribuições condicionadas associadas a X Y c Verificar se X e Y são independentes 2 Seja XY uma variável aleatória bidimensional discreta com a seguinte função de probabilidade conjunta XY 1 p xy para x e y inteiros com 1 x 5 e 1 y x 15 a Determine as distribuições marginais de X e de Y b Determine as distribuições condicionadas associadas à XY c Verificar se as variáveis X e Y são independentes 3 Seja XY uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade 2 XY x y f xy x para 0 x 1 e 0 y 2 3 a Calcular a probabilidade de ocorrência do seguinte evento E X Y 1 b Determinar as distribuições marginais associadas à XY c Determinar as distribuições condicionadas associadas à XY d Verificar se X e Y são independentes 2 4 Seja X Y uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta fXY xy x y para 0 x 1 e 0 y 1 Pedese a verificar que a função acima satisfaz as propriedades de uma função de densidade de probabilidade b determinar as funções de densidades marginais de X e de Y c determinar as funções de densidades condicionais associadas à variável aleatória X Y d verificar se X e Y são independentes 5 Seja XY uma variável aleatória bidimensional com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta XY 1 f xy 2 para 0 x 2 e 0 y x a Determinar as funções de densidade de probabilidade marginais de X e de Y b determinar as distribuições condicionadas associadas à variável aleatória XY c determinar as expectâncias condicionadas EX y e EY x 6 Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte distribuição conjunta de probabilidades Y X 1 2 1 18 28 2 38 28 Pedese a A covariância entre X e Y b o coeficiente de correlação linear entre X e Y c verificar se X e Y são independentes 7 Seja X Y uma variável aleatória bidimensional discreta com a seguinte função de probabilidade conjunta 3 XY 1 y p xy x para x 12 e y 1 2 8 a Determinar as funções de probabilidades marginais de X e de Y b Determinar as funções de probabilidades condicionais associadas a XY c Verificar se X e Y são independentes d Determinar a expressão geral dos momentos conjuntos e Calcular a covariância e o coeficiente de correlação linear 8 Seja XY uma variável aleatória bidimensional do tipo contínuo com a seguinte densidade de probabilidade conjunta fXY xy 3x para 0 x 1 e 0 y x Pedese a Determinar o coeficiente de correlação linear entre X e Y b Verificar se X e Y são independentes 9 Consideremse n variáveis aleatórias quaisquer 1 2 3 X X X Xn e n números reais 1 2 3 a a a an Façase n i i i 1 Y a X A variável aleatória Y denominase combinação linear de 1 2 3 n X X X X Adotando a notação 2 2 Y Y i i i i μ EY σ VY μ EX σ VX i 123n i j i j i j i j X X i j σ CovX X ρ ρ CorX X i j 123n Determine as expressões da média e da variância da combinação linear Y 10 A partir do resultado estabelecido no exercício anterior determine as expressões da média e da variância de Y para n 2 e n 3 11 Uma moeda equilibrada é lançada três vezes consecutivamente Sejam X e Y as duas variáveis aleatórias definidas a seguir X o número eventual de caras obtidas nos dois primeiros lançamentos e Y o número eventual de caras obtidas nos dois últimos lançamentos Considerando a variável aleatória bidimensional discreta XY determine 4 a a distribuição conjunta de XY b a distribuição condicionada de Y dado que X assume o valor 2 c o valor esperado condicionado de Y sabendose que X 1 d a covariância entre X e Y justificando o sinal algébrico da covariância com base na distribuição conjunta de X e Y 12 Uma carteira de investimentos deverá ser formada apenas pelos ativos A e B Sejam X e Y respectivamente os retornos de A e B para uma aplicação durante certo período de tempo por exemplo um mês Sabendose que a variância de X é igual a 25 a variância de Y é igual a 16 e o coeficiente de correlação linear entre X e Y é igual a 04 determinar a proporção dos recursos da carteira que devem ser investidos em cada um desses ativos de sorte a minimizar a variância do retorno também denominada risco da carteira 13 Um rapaz e uma moça planejam se encontrar em determinado lugar entre 9 e 10 horas da manhã de certo dia cada um esperando no máximo 10 minutos pelo outro Sejam X e Y as variáveis aleatórias que representam os tempos de chegada ao local combinado do rapaz e da moça respectivamente Se a distribuição do tempo de chegada ao local do encontro for uniforme no período das 9 h às 10 h para ambos determinar a o modelo probabilístico a ser empregado justificando as razões para sua escolha b a probabilidade de que o rapaz e a moça se encontrem tal como combinado 14 Um dado equilibrado é lançado duas vezes Sejam X e Y as variáveis aleatórias que representam o número eventual de pontos obtidos no primeiro e no segundo lançamentos respectivamente Determine a distribuição de probabilidade da soma de X e Y 15 Considere a variável aleatória bidimensional do exercício 2 Determine a As expectâncias condicionadas b A covariância entre X e Y c O coeficiente de correlação de X e Y 5 Respostas 1 a As distribuições marginais de X e de Y são mostradas na tabela abaixo X Y X p x 1 2 1 18 28 38 2 38 28 58 Y p y 48 48 1 b As distribuições condicionadas associadas a XY são mostradas a seguir XY 1 se x 1 4 p x1 3 se x 2 4 XY 2 1 se x 1 4 2 p x2 2 1 se x 2 4 2 YX 1 se y 1 3 p y1 2 se y 2 3 YX 3 se y 1 5 p y2 2 se y 2 5 c As variáveis aleatórias X e Y não são independentes porque XY X Y 2 3 4 p 12 p 1 p 2 8 8 8 2 Solução A função de probabilidade conjunta de XY é XY 1 p xy para x 12345 e y 1x 15 6 A função de probabilidade conjunta de X e Y pode ser visualizada numericamente na tabela a seguir Y X 1 2 3 4 5 pX x 1 115 115 2 115 115 215 3 115 115 115 315 4 115 115 115 115 415 5 115 115 115 115 115 515 pY y 515 415 315 215 115 1 Os valores numéricos foram apresentados de modo a facilitar a compreensão e a verificação de resultados Entretanto a ideia desse exercício é treinar o tratamento matemático por meio do desenvolvimento algébrico dos cálculos Então a funções de probabilidade marginais ai x X y 1 1 1 1 p x x 1 1 x para x 12345 15 15 15 aii 5 Y x y 1 1 1 p y 5 y 1 6 y para y 12345 15 15 15 b funções de probabilidade condicionadas bi XY 1 1 15 p xy para x y5 com y 1 2 3 4 5 6 y 6 y 15 bii YX 1 1 15 p yx para y 1x com x 1 2 3 4 5 x x 15 c X e Y não são independentes pois as funções de probabilidades marginais das duas variáveis X e Y diferem das funções de probabilidade condicionadas XY e YX respectivamente 7 3 a 65 P E 72 b bi 2 X 2 1 f x 2x x 2x x para 0 x 1 3 3 bii Y 1 1 f y y para 0 y 2 3 6 c ci X Y 2x 3x y f x y para 0 x 1 com 0 y 2 2 y cii Y X x 3x y f y x para 0 y 2 com 0 x 1 6x 2 d X e Y não são independentes porque XY X Y f xy f x f y 4 a sim pois i 2 XY XY f xy 0para todo xy R ii fXY xydx dy 1 b as distribuições marginais de X e de Y são X 1 f x x 2 para 0 x 1 Y 1 f y y para 0 y 1 2 c as distribuições condicionadas associadas à X Y são X Y x y f x y 1 para 0 x 1 com 0 y 1 y 2 8 Y X x y f y x 1 para 0 y 1 com 0 x 1 x 2 d X e Y não são independentes pois XY X Y f xy f x f y 5 a as funções de densidade marginais de X e de Y são X 1 f x 2 x para0x2 Y 1 f y 2 2 y para0 y2 b as funções de densidade condicionais associadas a XY são XY 1 f xy para y x 2 com 0 y 2 2 y YX 1 f yx para0 yx com 0x 2 x c as expectâncias condicionadas são 2 y E XY y E X y com 0 y x 2 e 1 EYX x EYx 2 x com 0 x 2 6 Solução A distribuição conjunta foi dada e as distribuições marginais foram determinadas na solução do exercício 1 9 X Y X p x 1 2 1 18 28 38 2 38 28 58 Y p y 48 48 1 Então segue 3 5 13 E X 1 2 8 8 8 e 2 2 2 3 5 3 20 23 E X 1 2 8 8 8 8 4 4 12 3 E Y 1 2 8 8 8 2 e 2 2 2 4 4 4 16 20 5 E Y 1 2 8 8 8 8 2 1 2 3 2 1 4 6 8 19 E XY 1 1 1 2 2 1 2 2 8 8 8 8 8 8 a Covariância de X e Y 19 13 3 38 39 1 Cov XY E XY E X E Y 8 8 2 16 16 b Coeficiente de correlação entre X e Y 2 2 2 23 13 184 169 15 V X E X E X 8 8 64 64 2 2 2 5 3 10 9 1 V Y E Y E Y 2 2 4 4 XY 1 1 Cov XY 1 15 3 8730 16 16 ρ 0 2582 15 15 15 1 15 15 V X V Y 64 4 16 c Como Cov XY 0 então X e Y não são independentes 7 Solução Primeira solução determinação algébrica das distribuições A função de probabilidade conjunta de X e Y é 10 XY y p xy 18 x para x 12 e y 1 2 Então a funções de probabilidade marginais de X e de Y ai X 2 y y 1 1 p x x 8 2 1 x x 8 1 x 1 x para x 1 2 8 aii Y 2 y x 1 1 p y x 8 y y y 1 1 1 2 1 2 para y 12 8 8 b bi y XY 18 x p xy 18 x x 1 xy 1 para y 12 com x 12 x 1 bii y y XY y y 18 x x p xy para x 12 com y 12 1 2 18 1 2 c X e Y não são independentes porque XY X Y p xy p x p y Alternativa para a solução dos três primeiros itens Segunda solução determinação numérica das distribuições Esta solução apresentada a seguir envolve a atribuição de valores para cada célula de uma tabela que mostra os valores numéricos da função de probabilidade conjunta de XY X Y Soma 1 2 1 18 18 28 2 28 48 68 Soma 38 58 1 a X 1 4 x 1 p x 3 4 x 2 Y 38 y 1 p y 58 y 2 11 b XY 13 x 1 p x1 23 x 2 XY 15 x 1 p x2 45 x 2 YX 1 2 y 1 p y1 1 2 y 2 YX 13 y 1 p y2 23 y 2 c As variáveis X e Y não são independentes pois XY X Y p xy p xp y d a expressão geral dos momentos ordinários mistos conjuntos é 2 2 2 2 2 2 i j y i j y i j 1 j 2 i j 2 ij x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 x 1 1 1 1 1 μ x y x x y x x 1 x 2 x x x 2 x 8 8 8 8 2 2 2 i j 2 i 1 j i2 i 1 i 1 j i 2 i 2 ij x 1 x 1 x 1 1 1 1 μ x x 2 x x 2 x 1 2 2 1 2 8 8 8 i 1 i 1 j i 2 i 2 i 1 j i j 2 ij 1 1 μ 1 2 2 1 2 1 2 2 2 para i j 0123 8 8 i 1 j i j 2 ij 1 μ 1 2 2 2 para i j 0123 8 Então i 2 0 3 10 1 1 14 7 EX μ 1 2 2 2 1 4 1 8 8 8 8 4 ii 2 3 0 4 20 1 1 8 1 16 26 13 E X μ 1 2 2 2 8 8 8 4 iii 2 2 2 13 7 13 49 52 49 3 V X E X E X 4 4 4 16 16 16 iv 1 1 3 01 1 1 2 2 8 13 E Y μ 1 2 2 2 8 8 8 v 2 1 2 4 02 1 1 2 4 16 23 E Y μ 1 2 2 2 8 8 8 vi 2 2 2 23 13 23 169 184 169 15 V Y E Y E Y 8 8 8 64 64 64 vii 2 1 4 11 1 1 4 2 16 23 E XY μ 1 2 2 2 8 8 8 Então 12 e 23 7 13 92 91 1 Cov XY E XY E X E Y 8 4 8 32 32 XY 1 1 Cov XY 1 5 22361 32 32 ρ 014921 015 15 15 3 5 3 5 3 5 V X V Y 16 64 4 8 8 2 X a f x 3x para 0 x 1 2 fY y 3 2 1 y para 0 y 1 E X 3 4 E Y 3 8 E XY 310 Cov XY 3160 b Como Cov XY 0 X e Y não são independentes 9 A solução deste exercício é apresentada no resumo teórico do capítulo 4 RT04 Seção 412 sendo a demonstração feita na parte final do resumo teórico que contém as demonstrações dos principais resultados e também no livro texto no capítulo 4 Seção 412 páginas 86 e 87 10 Solução a para n 2 13 Sejam 1 2 X e X duas variáveis aleatórias 1 2 a e a dois números reais e Y uma combinação linear dessas duas variáveis isto é 2 i i 1 1 2 2 i 1 Y a X a X a X Determinar as expressões da expectância e da variância de Y Então temse 2 Y i i 1 1 2 2 i1 μ EY a μ a μ a μ e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y i i i j i j 1 1 2 2 1 2 12 i1 i1 j1 ji σ VY a σ 2 a a σ a σ a σ 2a a σ b para n 3 Sejam 1 2 3 X X e X três variáveis aleatórias e 1 2 3 a a e a três números reais Seja Y uma combinação linear dessas tres variáveis isto é 3 i i 1 1 2 2 3 3 i 1 Y a X a X a X a X Determinar as expressões da expectância e da variância de Y Então segue 3 Y i i 1 1 2 2 3 3 i1 μ EY a μ a μ a μ a μ e 3 3 3 2 2 2 Y i i i j i j i1 i1 j1 ji σ VY a σ 2 a a σ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 12 1 3 13 2 3 23 a σ a σ a σ 2 a a σ a a σ a a σ 11 Solução a Considerese a sequência de resultados obtidos nos 3 lançamentos da moeda observando se a sequência desses resultados Então o espaço amostral do experimento aleatório 14 considerado é S CCCKCCCKCCCKKKCKCKCKKKKK e portanto o espaço amostral induzido suporte da variável aleatória bidimensional XY é 2 RXY xy 00 10 11 01 21 12 22 Como são três lançamentos de uma mesma moeda podese considerar que são três realizações de um mesmo experimento aleatório Por outro lado também é bastante razoável supor que os três lançamentos são independentes Portanto a distribuição conjunta de XY é aquela mostrada na tabela a seguir juntamente com as distribuições marginais Y X 0 1 2 pX x 0 18 18 0 28 1 18 28 18 48 2 0 18 18 28 pY y 28 48 28 1 b a distribuição condicionada de Y quando X assume o valor 2 é YX 0 se y 0 p y2 1 2 se y 1 1 2 se 2 y c a distribuição condicionada de Y quando X assume o valor 1 é YX 1 4 se y 0 p y1 1 2 se y 1 1 4 se y 2 Assim o valor esperado de Y quando X assume o valor 1 é expresso por 1 1 1 2 2 E YX 1 0 1 2 1 4 2 4 4 Esse valor poderia ter sido indicado diretamente sem recurso ao cálculo uma vez que a distribuição de probabilidade é simétrica em torno do ponto 1 15 d no cálculo da covariância entre X e Y temse i E X 1 E Y ii Cálculo de EXY 2 2 XY x 0 y 0 1 1 1 2 1 E XY xyp xy 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 1 2 8 8 8 8 8 2 2 2 4 1 1 10 5 2 0 0 2 1 2 2 8 8 8 8 4 iii 5 Cov XY E XY E X E Y 4 1 1 025 Examinando a distribuição conjunta de XY percebese facilmente que as probabilidades XY XY p 02 0 p 20 ou seja as probabilidades de ocorrência conjunta do valor mais baixo de X com o mais alto de Y e também do valor mais alto de X com o mais baixo de Y são nulas o que leva à situação em que a associação das variáveis X e Y é positiva como foi determinada no cálculo 12 Solução Sejam R retorno da carteira e 2 R VR σ a variância do retorno da carteira α proporção dos recursos investidos no ativo A sendo 0 α 1 O retorno da carteira é uma combinação linear dos retornos de A e de B podendo ser expresso por R αX 1 αY para 0 α 1 Empregando a expressão da variância de uma combinação linear de duas variáveis aleatórias temse 2 2 2 2 2 R 1 1 1 2 12 VR σ α σ 1 α σ 2α1 ασ σ ρ 2 2 25α 161 α 2α1 α 25 16 04 2 2 2 25α 16 32α 16α 16α 16α 25α2 16α 16 para 0 α 1 16 Se não levarmos em consideração a restrição 0 α 1 vemos que a expressão anterior é um trinômio do segundo grau em α não negativo uma vez que 2 σR 0 cujo coeficiente de 2 α é positivo Portanto esse trinômio do segundo grau apresenta um mínimo em todo o campo real correspondente ao valor de α em que se anula a primeira derivada da expressão da variância do retorno da carteira 2 R σ Após a obtenção desse valor devese verificar se ele pertence ou não ao intervalo 01 para se concluir qual é a solução adequada No caso temse 2 2 dσR d 25α 16α 16 50 α 16 0 dα dα logo 8 α 032 25 Assim em todo o campo real o mínimo do trinômio corresponde a um valor de α que pertence ao intervalo 01 Portanto devese investir 32 dos recursos no ativo A e os demais 68 no ativo B para que o risco de mercado da carteira seja mínimo 13 Solução a Supondo independência entre os tempos de chegada do rapaz e da moça e considerando que o intervalo de tempo combinado para o encontro 9 h às 10 h corresponde a uma hora ou seja 60 minutos por um lado bem como que o instante de chegada expresso em minutos decorridos no intervalo de tempo acima mencionado possui distribuição uniforme para ambos os jovens um modelo probabilístico adequado ao estudo do problema é uma variável aleatória bidimensional uniforme no seguinte intervalo 2 2 RXY xy R 0 x 60 e 0 y 60 060 060 Portanto a variável aleatória bidimensional XY possui função de densidade de probabilidade XY 1 f xy para 0 x 60 e 0 y 60 3600 b O combinado entre o rapaz e a moça é que o primeiro a chegar espera pelo outro exatamente 10 minutos isto é eles só se encontrarão se o módulo da diferença dos instantes de chegada X e Y for no máximo igual a 10 Matematicamente o evento E os jovens se encontram é expresso por E X Y 10 ou seja E 10 X Y 10 17 A região do plano correspondente a esse evento 2 E R equivale àquela constituída pelos pontos de 2 RXY que estão sobre a reta X Y e também no seu entorno e que se encontram entre as duas retas paralelas entre si e paralelas à reta Y X representadas por Y X 10 e Y X 10 Geometricamente essa região equivale a dois trapézios isósceles adjacentes tendo como lado comum a base maior o segmento de reta que se estende do ponto 00 até o ponto 6060 situado na reta y x e como base menor cada qual o segmento de reta situado em cada uma das retas paralelas correspondentes às equações y x 10 do ponto 010 até o 5060 e y x 10 do ponto 100 até o 6050 Portanto o cálculo da probabilidade de ocorrência do evento E pode ser efetuado em bases geométricas pelo fato da distribuição conjunta de XY ser uniforme de dois modos i considerando diretamente as áreas dos trapézios 2 E R ou ii pelo evento complementar e sua correspondente região 2 E R considerando nesse caso as áreas dos dois triângulos que compõem a região do evento complementar Além dessas é claro o cálculo pode ser realizado recorrendose à integração As soluções são apresentadas a seguir a Cálculo em bases geométricas ai considerando diretamente os dois trapézios E 10 60 2 50 2 2 S 2 1100 2 logo a probabilidade é 1100 11 P E 3600 36 aii considerando os dois triângulos E 50 50 S 2 2500 2 donde 2500 11 P E 1 3600 36 b Cálculo integral Nesse caso é mais simples realizar a integração na região correspondente ao evento complementar 60 x 10 60 x 10 60 60 x 10 0 10 0 10 0 10 10 1 2 1 1 P E 2 dydx dydx y dx x 10 dx 3600 3600 1800 1800 donde 60 2 10 1 2500 0 25 P E 3600 x 10 3600 36 e assim temse 25 11 P E 1 36 36 18 14 Solução Seja X a variável aleatória que representa o número de pontos em um lançamento de um dado equilibrado Então a função de probabilidade de X é X 1 p x para x 1236 6 Consideremse dois lançamentos independentes desse dado Sejam agora as variáveis aleatórias definidas como o número de pontos no iésimo lançamento do dado para i 1 2 Nessas condições em dois lançamentos temse a variável aleatória bidimensional cuja função de probabilidade conjunta é 1 2 2 X X 1 2 1 2 1 1 p x x para 1 x 6 e 1 x 6 6 36 Seja S a soma dos pontos nos dois primeiros lançamentos do dado Então temse 1 2 S X X No caso o suporte de S é RS 2345101112 então segue i para 2 s 7 s 1 S x 1 1 1 1 s 1 p s s 1 1 1 6 6 36 36 ii para 8 s 12 6 S x s 6 1 1 1 13 s p s 6 s 6 1 6 6 36 36 15 Solução a expectâncias condicionadas ai 5 5 5 XY x y x y x y 5 y 5 y 1 1 1 1 E XY y x p xy x x 6 y 6 y 6 y 2 ou seja 5 y 6 y 1 5 y E XY y para y 12345 6 y 2 2 aii x x x YX y 1 y 1 y 1 1 x x 1 1 1 x x 1 1 1 1 E YX x yp yx y y x x x 2 x 2 19 ou seja x YX y 1 1 x E YX x yp yx para x 12345 2 Para resolver os dois últimos itens convém antes determinar a expressão geral dos momentos mistos ou conjuntos de X e Y isto é i j μi j E X Y Então segue 5 x 5 x 5 x i j i j i j i j i j x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 1 1 1 μ E X Y x y x y x y 15 15 15 Logo 5 x 5 x 5 5 i 0 2 10 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 x 1 1 1 1 1 1 5 6 11 11 μ E X x y x 1 x x x 15 15 15 15 15 6 3 2 5 x 5 x 5 5 2 2 0 2 2 3 20 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 x 1 1 5 5 1 1 1 1 1 μ E X x y x 1 x x x 15 15 15 15 15 2 donde 2 2 2 20 1 μ E X 3 5 15 15 5 x 5 x 5 5 5 2 01 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 1 1 1 μ E Y y y x x 15 15 15 2 30 5 5 2 x 1 x 1 1 5 5 1 1 5 6 11 1 70 7 x x 15 55 30 30 2 6 30 30 3 5 x 5 x 5 5 2 2 2 02 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 x 1 x x 1 2x 1 1 1 1 1 μ E Y y y x x 1 2x 1 15 15 15 6 90 5 x 1 1 1 x x 1 2x 1 1 2 3 2 3 5 3 4 7 4 5 9 5 6 11 90 90 6 30 84 180 330 630 7 90 90 5 x 5 x 5 x 5 1 1 11 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 1 1 1 μ E X Y x y x y x y x 15 15 15 15 2 20 2 5 5 5 5 3 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 5 5 1 1 1 1 5 6 11 x x x x x 15 2 30 30 30 6 2 donde 11 55 225 280 28 μ E XY 30 30 3 Portanto segue b 28 11 7 84 77 7 Cov XY E XY E X E Y 3 3 3 9 9 c XY Cov XY Cor XY ρ V X V Y 11 2 121 135 121 14 V X 15 15 3 9 9 9 7 2 49 63 49 14 V Y 7 7 3 9 9 9 Logo XY 7 7 7 1 9 9 ρ 0 5 14 14 2 14 14 9 9 9