Lista de Exercícios Resolvidos - Equações Diferenciais e Aplicações

Pergunta 7 1 pts De acordo com a lei de resfriamento de Newton a temperatura Tt de um objeto satisfaz a equação diferencial dTdt 13 T 45 Sabendo que a T0 20 Determine o instante em que a temperatura do objeto é igual a 40 graus OBS escreva apenas o valor numérico da resposta na forma decimal com duas casas de arredondamento quando necessário Não salvo Enviar teste Pergunta 7 1 pts Uma população de ratos do campo satisfaz a equação diferencial dPdt P 9002 Encontre o instante t em que a população é extinta Pt 0 Sabendo que a população inicial era P0 835 OBS escreva apenas o valor numérico da resposta na forma decimal com duas casas de arredondamento quando necessário Pergunta 5 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo y2 dx 2xy 1 dy 0 Carregar Escolher um arquivo Pergunta 6 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo 3x y 1 dx x 4y 3 dy 0 Carregar Escolher um arquivo Fazer o Teste Sair Pergunta 3 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo usando Fator Integrante y y 3ex Carregar Escolher um arquivo Pergunta 4 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo usando Fator integrante y 4y 2 Carregar Escolher um arquivo Fazer o Teste Sair Determine a solução geral da EDO abaixo dydx cos5xe10y Carregar Escolher um arquivo Pergunta 2 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo dydx 5xxy Carregar Escolher um arquivo Pergunta 2 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo dydx exy Carregar Escolher um arquivo Pergunta 5 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo 2x y 1 dx x 3y 2 d1 Carregar Escolher um arquivo Pergunta 6 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo y3 dx 3xy2 2 dy 0 Carregar Escolher um arquivo Uma população de ratos do campo satisfaz a equação diferencial dPdt P 9002 Encontre o instante t em que a população é extinta Pt 0 Sabendo que a população inicial era P0 835 dPdt P 9002 dPP 900 12 dt lnP 900 12 t C1 P 900 et2 C1 P 900 k et2 k eC1 OPVI nos dá que P0 835 835 900 K K 65 Logo Pt 900 65 et2 E a população é extinta se Pt 0 0 900 65 et2 65 et2 900 et2 90065 18013 ln et2 ln18013 t2 ln18013 t 2 ln18013 52560 Pergunta 6 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo y3 dx 3xy2 2 dy 0 y3 x 2 y C C ℝ x2 x y x 2 y 32 y2 C C ℝ y lnc1 ex yx 110 ln2 sen5x K Determine a solução geral da EDO abaixo dydx 5xxy Com efeito dydx 5xxy ydy 5xx dx ydy 5x 1 dx y²2 5 lnx x c y 10 lnx 2x 2C e a solução é y 10 lnx 2x 2C Determine a solução geral da EDO abaixo usando Fator Integrante y y 3ex Buscaremos um fator integrante yx que é determinado fazendo ddx y y y y y y y y y y y y y y Portanto temos que y y y y d yy dx d yy dx lny x y ex Logo multiplicando y na EDO temos y y y y y 3 ex ddx ex y 3 ddx ex y dx 3 dx ex y 3x c y 3x ex c ex c R E a solução é y 3x ex c ex Pergunta 4 1 pts Determine a solução geral da EDO abaixo usando Fator integrante y 4y 2 Buscaremos um fator integrante yx que é determinado fazendo ddx y y y y y y y y 4y y y y 4 y y Portanto temos que y y 4 y y d yy 4 dx d yy 4 dx lny 4x y e4x Logo multiplicando y na EDO temos y y 4 y y 2 y ddx e4x y 2 e4x Integrando teremos que ddx e4x y dx 2 e4x dx y e4x 2 e4x4 C e4x4 C y c e4x 14 E a solução é y c e4x 14 Pergunta 5 Determine a solução geral da EDO abaixo y² dx 2xy 1 dy 0 Definimos Mxy y² e N xy 2xy 1 Logo temos que 2M 2y 2y² 2y 2y 2N 2x 22xy1 2x 2y Como My Nx a EDO é exata Então existe um campo Vx y tal que Vx y² e Vy 2xy 1 Então veja que Vx y² V y² dx y²x hy onde hy é uma função a determinar Derivando em y Vy yy²x hy 2xy dhdy Então igualando com Vy 2xy 1 teremos que 2xy 1 2xy dhdy dhdy 1 h dy y Logo o campo V é Vxy xy² y E as soluções y yx são obtidas nas curvas de Nível de Fxy y³x 2y de forma implícita isto é xy² y C C R Pergunta 6 Determine a solução geral da EDO abaixo 3x y 1 dx x 4y 3 dy 0 Definindo Mx y 3x y 1 e N x 4y 3 Logo temos que 2M 2y 23x y 1 2y 1 2N 2x 2x 4y 3 2x 1 Como My Nx a EDO é exata Então existe um campo Vx y tal que Vx 3x y 1 e Vy x 4y 3 Então veja que Vx 3x y 1 V 3x y 1 dx 32 x² xy x dhdy onde hy é uma função a determinar Derivando V em y Vy x dhdy e igualando com Vy x 4y 3 teremos que Vy x 4y 3 x dhdy dhdy 4y 3 h 4y 3 dy 3y 2y² Logo o campo V é V 32 x² xy x 3y 2y² E as soluções y yx são obtidas nas curvas de Nível de Fx y 32 x² xy x 3y 2y² de forma implícita isto é 32 x² xy x 3y 2y² C C R De acordo com a lei de resfriamento de Newton a temperatura Tt de um objeto satisfaz a equação diferencial dTdt 13T 45 Sabendo que a T0 20 Determine o instante em que a temperatura do objeto é igual a 40 graus Da EDO temos que dTdt 13 T 45 dT T 45 dt 3 dT T 45 dt 3 lnT 45 13 t C T 45 et3 C k et3 k eC Tt 45 k et3 Do PVI temos Tt0 20 20 45 k k 25 E obtemos Tt 45 25 et3 Agora se T 40 temos 40 45 25 et3 et3 40 45 25 5 25 15 ln et3 ln15 t3 ln5 t 3 ln5 E o tempo pedido é t 3 ln5 48228 unidades de tempo