Lista de Exercícios Resolvidos sobre Derivadas Parciais e Multiplicadores de Lagrange

Página 709 1 e 3 Página 986 1 e 2 13e 14 19 a 24 Página 1034 1 e 2 Página 1054 1 e 2 Questão 24 O problema consiste em dada uma função de temperatura Txyz 100x2yz determinar as temperaturas máxima e mínima sobre a esfera x2 y2 z2 4 Primeiramente vamos avaliar o problema do ponto de vista das derivadas parciais Com efeito temos Temos Tx xyz 200xyz Ty xyz 100x2z Tz xyz 100x2y igualando a zero obtemos 200xyz 0 100x2z 0 100x2y 0 onde se x0 temos a solução trivial do sistema Por outro lado se x0 obtemos que da terceira equação que y0 e da segunda que z0 e logo obtemos o seguinte ponto crítico da função temperatura x00 x R Agora devemos estudar a fronteira do problema isto é a temperatura sob a região da esfera Para isso empregaremos o método dos multiplicadores de Lagrange o qual nos guia a definir as seguintes funções Txyz T 100x2yz gxyz g x2 y2 z2 4 onde temos ainda que T î ddx ĵ ddy k ddz 100x2yz 200xyzî 10x2zĵ k100x2y g î ddx ĵ ddy k ddz x2 y2 z2 4 2xî 2yĵ 2k daí devemos impor que onde λ são os multiplicadores de Lagrange T λg disso obtemos o seguinte sistema 200xyz 100x2z 100x2y λ2x 2y 2z x2 y2 z2 4 gxyz 000 200xyz 2λx 100x2z 2λy 100x2y 2λz x2 y2 z2 4 gxyz 000 Multiplicando a primeira equação por y e a segunda por x teremos 200xy2z 2λyx 100x3z 2λyx que resulta na igualdade 200xy2z 100x3z ou seja xz2y2 x2 0 Mas olhando para o sistema tiramos que xz 0 caso fossem teríamos que x y z 0 Então o termo dos parênteses deve ser identicamente nulo isto é 2y2 x2 0 o que resolvendo para y nos dá que y 22 x Agora multiplicando a segunda equação por z e a terceira por y teremos 100x2z2 2λyz 100x2y2 2λyz o que nos dá a seguinte igualdade 100x2z2 100x2y2 z2 y2 z y e disso tiramos as seguintes igualdades z y 22 x De posse disso resta substituirmos na condição da esfera a qual nos dá que 4 x2 y2 z2 x2 22 x2 22 x2 x2 24 x2 24 x2 2x2 portanto temos que x2 2 o que implica que x 2 Então teremos que z y x Com as combinações de sinais determinares os seguintes pontos P1 2 1 1 T 2 1 1 2 P2 2 1 1 T 2 1 1 2 P3 2 1 1 T 2 1 1 2 P4 2 1 1 T 2 1 1 2 P5 2 1 1 T 2 1 1 2 P6 2 1 1 T 2 1 1 2 P7 2 1 1 T 2 1 1 2 P8 2 1 1 T 2 1 1 2 P9 x 0 0 Tx 0 0 0 x R Logo na esfera teremos que a temperatura máxima é 2 enquanto que a mínima 2 3 Cálculo 3 50 1 n1 to 12n 12n 1 Note que 12n12n1 12n1 12n1 12 menos Logo temos que n1 to 12n 12n 1 n1 to 12 12n1 12n1 Definimos an por an 12 12n1 12n1 Os quatro primeiros termos da sequência Sn são S1 a1 12 11 13 12 1 13 26 13 S2 a1 a2 13 12 13 15 13 12 215 13 115 615 25 S3 a1 a2 a3 615 a3 615 12 15 17 615 12 235 615 135 216 1535 15 37 Por fim S4 a1 a2 a3 a4 37 a4 37 12 17 19 37 12 263 37 163 49 Portanto temos que S1 13 S2 25 S3 37 S4 49 A partir disso podemos mostra uma seguinte fórmula para Sn Sn n 2n 1 Então calculando o limite obtémos Lim n Sn Lim n n 2n 1 Lim n n n 2 1n 1 2 Lim 1n 12 Lim n Sn 12 Logo como Lim n Sn existe então a série Σ n1 até 12n12n1 é convergente e sua soma vale Lim n Sn isto é Σ n1 até 12n12n1 12 3 Σ n1 até 5 3n13n2 Aqui temos que 1 3n13n2 13 13n2 13n1 E com isso a série retorna Σ n1 até 5 3n13n2 Σ n1 até 53 13n2 13n1 Definamos an 53 13n2 13n1 Seja Sn a sequencia das somas parciais associadas a an Então seus quatro primeiros termos são S1 a1 53 1312 1311 53 1 14 53 34 54 S2 a1 a2 54 53 14 17 54 53 328 54 528 107 S3 a1 a2 a3 107 53 17 110 107 570 32 S4 Σ i1 até 4 ai 32 a4 32 53 110 113 32 5130 2013 Logo temos que S1 54 S2 107 S3 32 S4 2013 Note que a partir disso podemos exibir uma expressão para Sn por Sn 5 n 3n 1 5n 3n 1 cujo limite é Lim n Sn Lim n 5n 3n 1 Lim n 5n n 3 1n Lim n 5 3 1n 5 3 Lim 1n 53 Portanto Lim n Sn 53 Logo como o limite da sequencia Sn existe então a série Σ n1 até 5 3n13n2 é convergente e Σ n1 até 5 3n13n2 53 13 Seja x y e z ℝ tais que Sxyz x y z 24 Determinemos x y e z de modo que fxyz x y z Seja máxima Seja λ os multiplicadores de Lagrange então f λ S x y z 24 Desenvolvendo temos f yz î xz ĵ xy k yz xz xy S 1 î ĵ k 1 1 1 Logo temos do sistema que yz 1λ xz 1λ yz λ xz λ xy xy 1λ yz xz x y xy yz x z Logo x y z Daí temos x y z 3x 24 x 8 Portanto x y z 8 14 É similar a anterior Seja x y z ℝ tais que fxyz x y z 24 Sxyz x y z seja máxima Vamos empregar os multiplicadores de Lagrange λ Os quais devem satisfazer S λ f i x y z 24 ii De i temos S î ĵ k 1 1 1 f yz î xz ĵ xy k yz xz xy Daí temos o seguinte 1 1 1 λ yz xz xy Isto é λyz 1 λyz λxz 1 1 yx 1 y x λxz 1 λxy 1 λxz λxy 1 zy 1 z y E temos que x y z Logo devemos x y z x³ 24 x ³24 E obtemos x y z ³24 19 R x² y³ c x y i c 0 O problema é determinar os valores de x e y que maximizar som restrições sob x e y Então devemos então particionar este como está em aberto para entendendo Logo temos Rx 0 Ry 0 Rx x x² y³ c x³ y³ y⁴ x² 2 x y³ c 3 x² y³ 4 x y³ Ry y x² y³ c x³ y³ x² y³ 3 x² y² c 3 x³ y² 0 E temos nauit2mai 2 x y³ c 3 x² y³ 4 x y⁴ 0 3 x² y² c 3 x³ y² 4 x² y³ 0 Dividir de tudo por xy² temos 2 y c 3 x y² 4 x y³ 0 3 x c 3 x y² 0 Nosso problema é resolver o sistema não linear não há métodos formais para isso Note que X c3 e Y c2 resolve o sistema de fato 2Y2c 3XY2 2Y3 2 c34 3 c3 c24 2 c38 c32 c34 c34 0 e ainda 3XYc 3X2Y 4XY2 3 c3 c2 c 3 c29 c2 9c3 c24 c32 c36 c33 0 Logo c3 c2 é um ponto crítico da R Verificamos que esse é um ponto de máximo com efeito o teste da derivada segunda temos que calcular D ²Rx² ²Rxy ²Ryx ²Ry² 2y3c 6xy3 2y4 6xy2c 9x2y2 8xy3 6xy2c 9x2y2 8xy3 6x2yc 6yx3 12x2y2 2y3c 6xy3 2y4 6x2yc 6yx3 12x2y2 6xy2c 9x2y2 8xy32 Calculando Dc3 c2 temos Dc3 c2 2 c38 c 6 c3 c38 2 c48 6 c29 c2 6 c2 c38 12 c436 6 c3 c24 c 9 c29 c24 8 c3 c382 c44 3 c48 2 c48 c43 3 c48 c43 c42 c44 c432 3 c48 3 c48 c42 c432 38 c42 c462 c8 964 136 c8 65576 como c 0 Portanto Dc3 c2 0 logo o ponto é máximo ou mínimo Agora calculamos ²Rx²c3 c2 com efeito ²Rx² C3 C2 2y3c 6xy3 2y4 xyc3 c2 2 c23 c 6 c3 c23 2 c24 c44 c44 c44 c44 0 Logo temos que ²Rx² c3 c2 0 e D c3 c2 0 Portanto pelo teste da derivada segunda R tem máximo em c3 c2 e as dosagens são x c3 e y c2 20 É similar a 19 Seja Rxt t et c x x Determinaremos xt de modo que Rxt seja máxima Os pontos críticos são 0 Rx x t et c x x x t et c x x2 t et c 2x e 0 Rt x t et c x x t t et c x x et c x x t et c x x c x x et t et Daí temos c x x et t et 0 c 2x et 0 Equivalentemente temos c x x 1 t 0 c 2x t 0 E temos que c t 2x t c x c t x t 0 i t 0 temos x c ii t 0 temos x c2 e t 1 Assim determinarmos dois pontos críticos xtc0 xtc21 A Matriz Hessiana é D2²R2x² 2²R2t2x 2²R2x2t 2²R2t² 2tet c2x et tet c2xet tet c1xxet t tet 2tet c2x et tet c2xet tet c4x x et 2 t 2e2t t x cxt2 c2xet tet² Agora apliquemos os pontos Para xtc0 temos Dc0 c2c² c² 0 Para xt c21 temos Dc21 2e2 c2 cc22 c c2 et e2 2e² c²4 2 e2 c²4 c²2 e² Logo D c21 0 e veja que 2²R c21 2 1 e1 2e 0 Portanto pelo teste da derivada segunda temos como Dc2 1 0 e Rtt 0 o ponto c21 é máximo de R Logo é em x c2 e t 1 que a resposta é máxima 22 Considere a caixa abaixo Custo para a área da base é Cxy 015 X Y É o custo para os laterais é C2 xyz 2y z x z 03 2x y z 03 06 x y z Restrição Custo total 10 reais E a função custo é f 015 XY 06 x y z Logo é pedido V x y z volume máximo 015XY 06 x y z 10 Empregarei mes a técnica dos multiplicadores de Lagrange Logo devo re poster V λ f Isto é V yzî xzĵ xy k yz xz xy f î x ĵ y k z015xy 06xz 06yz î015y 06z ĵ015x 06z k06x 06y 015y 06 z 015x 06z 06x 06y Então de teremos o seguinte sistema yz λ 015y 06z i xz λ 015x 06z ii xy λ 06x 06y iii multiplicando i por x e ii por y teremos xyz λ 015xy 06xz xyz λ 015xy 06yz Logo temos λ015xy 06yz λ 015xy 06xz 015xy 06yz 015xy 06xz 06yz 06xz x y Como x y temos o seguinte xy λ 06x 06y x² 12 λ x x 122 y 12 λ E ainda temos xz λ 015x 06z yz λ 015y 06z Logo temos 12 λ z λ 015x 06z 12 z 015 x 06 z 06 z 015 x z 156 x 3 053 2 x 025 x z 025 x 025 y Daí temos na funçao custo que 10 fx x 025 x Logo fxyz fxx025x 015 x² 06 2x025x 015 x² x² 12 025 x²015 03 x² 045 Logo dever mos ter 045 x² 10 x² 2009 x 1023 au de Ja x 1023 Então y 1023 e z é ie z 025 x 25 1023 100 102 14 102 526 23 Modelo x 1023 y 1023 z526 V16 cm³ De base temos a custo C1xy 2018 xy 036 xy 036 x y Da frente e tras C2yz 2 016 yz 032 yz 032 y z Dos lados C3xz 2 012 x z 024 x z 024 x z 036xy 024xz λxyz 036xy 032yz λxyz Igualando temos 024 xz 036 024 xz 032yz 024 x 032 y x 32 24 y Daí levando em ii temos 032 y 024 3224 y λxy 032 y 032 y λ y 32 24 y 064 y λ y ² 32 24 λ y 24 064 32 48 Então obtemos que λ y 48 Logo λ x 32 24 2 y 32 24 2 24 064 Portanto temos que λ y 48 λ x 064 O custo total é f c1 c2 c3 036 xy 032 yz 024 xz queremos o custo mínimo para que f x y z 036 xy 032 yz 024 xz V x y z x y z 16 cm³ Empregaremos o método dos multiplicadores de Lagrange Com efeito teremos f λ V a f î 036 y 024 z ĵ 036 x 032 z k 032 y 024 x V î y z ĵ x z k x y E de a teremos o seguinte sistema 036 y 024 z λ y z i 036 x 032 z λ x z ii 032 y 024 x λ x y iii Multiplicando i por x e ii por y temos Da equação i temos 036y 029z λyz 036y 029z λ 48 λ z 036y 029z 48 z 036y 456z y 456 036 z 38 3 z E temos y 38 3 z Logo x 32 24 y 32 24 38 3 z 304 3 z Daí temos x 304 3 z y 38 3 z e z Na expressão do volume obtemos V 16 x y z 304 3 z 38 3 z z 11552 9 z³ Portanto z³ 115529 16 z ³9 1611552 023 Logo x e y são x 3043 z 2349 e y 3873 z 2936 E as medidas que minimizam o custo são x 2349 y 2936 e z 023 em cm Exercício 182 1 ₁²₀²ˣ x y³ dy dx Aqui temos ₁²₀²ˣ x y³ dy dx ₁²₀² x y³ dy dx ₁² x y44₀²ˣ dx ₁² x 2x⁴4 dx ₁² 164 x⁵ dx 4 ₁² x⁵ dx 4 x⁶6₁² 46 2⁶ 1 46 63 22 21 323 42 ₁² ₀²ˣ x y³ dy dx 42 2 ₀⁴ ₀ʸ dx dy Aqui temos ₀⁴₀ʸ dx dy ₀⁴ x₀ʸ dy ₀⁴ y dy y²2₀⁴ 4²2 162 8 ₀⁴ ₀ʸ dx dy 8 Exercício 186 1 ₀¹ ₀¹ˣ ₂ʸ ¹ʸ² x dz dy dx Aqui temos o desenovolvimento ₀¹ ₀¹ˣ ₂ʸ ¹ʸ² x dz dy dx ₀¹ ₀¹ˣ x z₂ʸ ¹ʸ² dy dx ₀¹ ₀¹ˣ x 1 y² 2 y dy dx ₀¹ x y y³3 y²₀¹ˣ dx ₀¹ x 1 x 1 x³3 1 x² dx Conte quando 01 01x 01y2 x dz dy dx 01 x 1 x 1 2x x2 1x33 dx 01 x x x2 1x33 dx 01 x2 x3 x3 1x3 dx 01 x2 x3 x3 1 3x 3x2 x3 dx 01 x2 x3 x3 x2 x3 x43 dx 01 x3 x43 dx 13 x22 x5501 13 12 15 13 310 110 01 01x 01y2 x dz dy dx 110 2 12 0x 1xxy x y dz dy dx Aqui temos 12 0x 1xxy x y dz dy dx 12 0x x y z1x x y dy dx 12 0x x y x x y 1 dy dx 12 0x y x2 y2 x2 x y dy dx 12 y2 x22 y3 x23 x y220x dx 12 x2 x22 x3 x23 x x22 dx 12 x42 x53 x33 dx x510 x618 x41212 2510 6418 2712 110 118 112 3210 110 6418 118 1 1612 3 110 6318 1512 10720 12 0x 1xxy x y dz dy dx 10720 1 fx y x3 y2 6 x2 y 1 As derivadas parciais de f são 2 f2 x 22 x x3 y2 6 x2 y 1 3 x2 12 x 2 f2 y 22 y x3 y2 6 x2 y 1 2 y 1 Os pontos críticos da f são os pontos onde as derivadas parciais se anulam isto é 2 f2 x 0 3 x2 12 x 0 3 xx 4 0 i 2 f2 y 0 2 y 1 0 y 12 ii De i temos x 0 ou x 4 e de ii y 12 Com isso formamos os seguintes pontos críticos 0 12 e 4 12 Vamos usar o teste da derivada segunda para classificálos Com efeito calculamos a Hessiana Dx y 22 f2 x2 22 f2 x 2 y 6 x 12 0 0 2 12 x 24 Logo Dx y 12 x 24 Com isso temos que D012 120 24 24 0 D4 12 124 24 48 24 24 0 E veja ainda que ²fx² 0 12 12 e ²fx² 4 12 24 12 12 0 Com isso temos pelo teste da derivada segunda que o ponto 0 12 é ponto de sela em verdade todo ponto da forma 0y é ponto de sela da f pois D0y 0 y R o ponto 4 12 é ponto de mínimo pois D 4 12 0 e ²fx² 0 2 fxy x² 4xy y3 4y Essa questão é análoga a anterior De fato calculámos os pontos críticos isto é x e y tais que fx 0 e fy 0 Aqui temos 0 fx x x² 4xy y³ 4y 2x 4y 0 fy y x² 4xy y³ 4y 4x 3y² 4 Daí temos 2x 4y 0 x 2y 4x 3y² 4 0 Logo temos 3y² 42y 4 0 3y² 8y 4 0 Cuja soluções são y12 8 64 434 23 8 64 98 23 8 16 23 8 4 23 8 4 23 12 6 2 8 4 23 2 3 E disso temos y1 2 e y2 23 Logo os x são x1 2y1 22 4 e x2 2y2 2 23 43 e obtemos os pontos 4 2 e 43 23 De posse disso podemos calcular a Hessiana com efeito D ²fx² ²fyx 2 4 12y 16 ²fxy ²fy² 4 6y E colotemos Dxy 12y 16 Agora resta calcularmos o valor de D nos pontos críticos 4 2 e 43 23 ou seja temos D4 2 122 16 24 16 8 0 D43 23 12 23 16 8 16 8 0 Logo o ponto 43 23 é pelo teste da derivada segunda um ponto de sela Por outro lado o ponto 4 2 pode ser máximo ou mínimo como é feito calculámos ²fx² 4 2 que é ²fx² 4 2 2 0 Logo como D 4 2 0 e ²fx² 4 2 0 o ponto 4 2 é mínimo relativo de f o resultado segue do teste da derivada segunda Questão 21 Elipsóide 36x² 9y² 4z² 36 Acharermos o volume do paralelepípedo de inscito no elipsóide de maior máximo volume cujas lados são paralelos aos eixos coordenados O volume é a função V xyz V Vxyz e a função auxiliar que descreve o elipsóide é gxyz g 36x² 9y² 4z² 36 0 restricão Vamos usar os métodos dos multiplicadores de Lagrange então desde já calculamos os gradientes da função V î x ĵ y k z xyz îyz ĵxz kxy yz xz xy g î x ĵ y k z36x² 9y² 4z² 36 î72x ĵ18y k8z 72x 18y 8z Com isso montamos o sistema usando o multiplicador de Lagrange λ Com efeito V λ g yz xz xy λ72x 18y 8z E temos yz λ 72x i xz λ 18y ii xy λ 8z iii e 36x² 9y² 4z² 36 multiplicando i por x ii por y e iii por z obtemos xyz 72x²λ xyz 18y²λ xyz 8z²λ Somando temos 3xyz λ 72x² 18y² 8z² λ 36 Logo temos 3xyz 36λ xyz 723 λ 24λ xyz 24λ Com isso temos xyz 24λ 72x²λ x² 2472 x 13 13 xyz 24λ 18y²λ y² 2418 y 43 23 xyz 24λ 8z²λ z² 248 z 3 3 E temos que x 13 y 23 e z 3 Logo o volume máximo é Vxyz 13 23 3 23 33 233 V 233