Matéria de Cálculo 2

FIGURA 214 Curvas integrais para 2y ty 2 PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 12 a Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada b Baseado em uma análise do campo de direções descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t c Encontre a solução geral da equação diferencial dada e usea para determinar o comportamento das soluções quando t 1 y 3y t e2t 2 y 2y t2 e2t 3 y y tet 1 4 y 1ty 3 cos 2t t 0 5 y 2y 3et 6 ty 2y sen t t 0 6 CAPÍTULO UM 1 y 3 2y 3 y 3 2y 5 y 1 2y Em cada um dos Problemas de 7 a 10 escreva um têm o comportamento descrito quando t 7 Todas as soluções tendem a y 3 9 Todas as outras soluções se afastam de y 2 Em cada um dos Problemas de 11 a 14 desenhe ado no campo de direções determine o comport do valor inicial de y em t 0 descreva essa dep forma y ay b e o comportamento de suas so equações no texto 11 y y4 y 13 y y2 12 CAPÍTULO UM ciente y da resistência do ar através de medidas diretas apresenta dificuldades De fato algumas vezes o coeficiente de resistência do ar é encontrado indiretamente por exemplo medindose o tempo de queda de uma determinada altura e depois calculandose o valor de y que prevê esse tempo observado O modelo populacional dos ratos do campo está sujeito a diversas incertezas A determinação da taxa de crescimento r e da taxa predatória k depende de observações sobre populações reais que pod sofrer uma variação considerável A hipótese de que r e k são constantes também pode ser questio Por exemplo uma taxa predatória constante tornase difícil de sustentar quando a população d campo tornase menor Além disso o modelo prevê que uma população acima do valor de equi ce exponencialmente ficando cada vez maior Isso não parece estar de acordo com a obse populações reais veja a discussão adicional sobre dinâmica populacional na Seção 25 Se as diferenças entre observações realizadas e as previsões de um modelo matemátic grandes então você precisa refinar seu modelo fazer observações mais cuidadosas ou s sempre existe uma troca entre precisão e simplicidade Ambas são desejáveis mas em gera uma delas envolve uma perda na outra No entanto mesmo se um modelo matemático for incompleto ou não muito preciso ele ainda pode ser útil para explicar características qualitativas do problema sob investigação Ele pode também dar resultados satisfatórios em algumas circunstâncias e não em outras Portanto você deve sempre usar seu julgamento e bom senso na construção de modelos matemáticos e ao utilizar suas previsões ROBLEMAS 1 Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de y0 Depois descreva em poucas palavras as semelhanças ou diferenças entre as soluções a dydt y 5 y0 y0 b dydt 2y 5 y0 y0 c dydt 2y 10 y0 y0 2 Siga as instruções do Problema 1 para os problemas de valor inicial a seguir a dydt y 5 y0 y0 b dydt 2y 5 y0 y0 c dydt 2y 10 y0 y0 3 Considere a equação diferencial dydt ay b onde a e b são números positivos a Resolva a equação diferencial b Esboce a solução para diversas condições iniciais diferentes c Descreva como a solução muda sob cada uma das seguintes condições i a aumenta ii b aumenta iii ambos a e b aumentam mas a razão ba permanece constante 4 Considere a equação diferencial dydt ay b a Encontre a solução de equilíbrio ye b Seja Yt y ye de modo que Yt é o desvio da solução de equilíbrio Encontre a eq eferen cial satisfeita por Yt 5 Coeficientes a Determinar Vamos mostrar um modo diferente de resolver a equação dydt ay b a Resolva a equação mais simples dydt ay 6 CAPÍTULO UM 1 y 3 2y 3 y 3 2y 5 y 1 2y Em cada um dos Problemas de 7 a 10 escreva un têm o comportamento descrito quando t 7 Todas as soluções tendem a y 3 9 Todas as outras soluções se afastam de y 2 Em cada um dos Problemas de 11 a 14 desenhe ado no campo de direções determine o comport do valor inicial de y em t 0 descreva essa de forma y ay b e o comportamento de suas so equações no texto 11 y y4 y 13 y y² Considere a seguinte lista de equações diferen cient e γ da resistência do ar através de medidas diretas apresenta dificuldades De fato algumas vezes o coeficiente de resistência do ar é encontrado indiretamente por exemplo medindose o tempo de queda de uma determinada altura e depois calculandose o valor de γ que prevê esse tempo observado O modelo populacional dos ratos do campo está sujeito a diversas incertezas A determinação da taxa de crescimento r e da taxa predatória k depende de observações sobre populações reais que pod sofrer uma variação considerável A hipótese de que r e k são constantes também pode ser questio Por exemplo uma taxa predatória constante tornase difícil de sustentar quando a população campo tornase menor Além disso o modelo prevê que uma população acima do valor de equi ce exponencialmente ficando cada vez maior Isso não parece estar de acordo com a obse populações reais veja a discussão adicional sobre dinâmica populacional na Seção 25 Se as diferenças entre observações realizadas e as previsões de um modelo matemátic grandes então você precisa refinar seu modelo fazer observações mais cuidadosas ou sempre existe uma troca entre precisão e simplicidade Ambas são desejáveis mas em gera uma delas envolve uma perda na outra No entanto mesmo se um modelo matemático for incompleto ou não muito preciso ele ainda pode ser útil para explicar características qualitativas do problema sob investigação Ele pode também dar resultados satisfatórios em algumas circunstâncias e não em outras Portanto você deve sempre usar seu julgamento e bom senso na construção de modelos matemáticos e ao utilizar suas previsões ROBLEMAS 1 Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de y₀ Depois descreva em poucas palavras as semelhanças ou diferenças entre as soluções a dydt y 5 y0 y₀ b dydt 2y 5 y0 y₀ c dydt 2y 10 y0 y₀ 2 Siga as instruções do Problema 1 para os problemas de valor inicial a seguir a dydt y 5 y0 y₀ b dydt 2y 5 y0 y₀ c dydt 2y 10 y0 y₀ 3 Considere a equação diferencial dydt ay b onde a e b são números positivos a Resolva a equação diferencial b Esboce a solução para diversas condições iniciais diferentes c Descreva como a solução muda sob cada uma das seguintes condições i a aumenta ii b aumenta iii ambos a e b aumentam mas a razão ba permanece constante 4 Considere a equação diferencial dydt ay b a Encontre a solução de equilíbrio ye b Seja Yt y ye de modo que Yt é o desvio da solução de equilíbrio Encontre a eq cial satisfeita por Yt 5 Coeficientes a Determinar Vamos mostrar um modo diferente de resolver a equação dydt ay b a Resolva a equação mais simples dydt ay OBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 8 resolva a equação diferencial dada 1 y x²y 2 y x²y1 x³ 3 y y² sen x 0 4 y 3x² 13 2y 5 y cos² xcos² 2y 6 xy 1 y²¹² 7 dydx x eˣ y eˣ 8 dydx x² 1 y² Em cada um dos Problemas de 9 a 20 a Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita b Desenhe o gráfico da solução c Determine pelo menos aproximadamente o intervalo no qual a solução está definida 9 y 1 2xy² y0 16 10 y 1 2xy y1 2 11 x dx yeˣ dy 0 y0 1 12 drdθ r²θ r1 2 13 y 2xy x² y y0 2 14 y xy³ 1 x²¹² y0 1 15 y 2x1 2y y2 0 16 y xx² 14y³ y0 12 17 y 3x² eˣ2y 5 y0 1 18 y eˣ eˣ3 4y y0 1 19 sen 2x dx cos 3y dy 0 yπ2 π3 20 y²1 x²¹² dy arcsen x dx y0 1 Alguns dos resultados pedidos nos Problemas de 21 a 28 podem ser obtidos resolvendose a equação d licitamente ou gerandose gráficos de aproximações numéricas das soluções Tente formar uma opini as vantagens e desvantagens de cada abordagem 21 Resolva o problema de valor inicial y 1 3x²3y² 6y y0 1 e determine o intervalo de validade da solução Sugestão Para encontrar o intervalo de validade procure pontos onde a curva integral tem uma vertical 22 Resolva o problema de valor inicial y 3x²3y² 4 y1 0