P2 Calculo a Varias Variaveis - Prova com Gabarito

P2 Cálculo a Várias Variáveis Tema Cada grupo deverá elaborar uma prova entre 4 e 6 questões com gabarito Tópicos aulas 7 a 11 Regras a A prova e o gabarito devem ser enviados em um único arquivo pdf na plataforma Teams na pasta P2 localizada na pasta Arquivos Deve conter o nome completo de todos os participantes b O primeiro grupo a colocar o arquivo deve colocar o nome do arquivo Grupo1pdf o segundo deve colocar Grupo2pdf e assim por diante c Entrega 2112 até ás 1200 hs Se a data limite não for cumprida todos os alunos do grupo ficarão com nota zero na P2 d O grupo deve conter entre 4 e 6 participantes e A prova deve conter questões que cubram de forma satisfatória o conteúdo f A prova e o gabarito devem ser desenvolvidos levando em consideração os conceitos e as notações apresentados neste curso Questões com notações diferentes ou conceitos não apresentados não serão levadas em consideração na correção g A prova deve ser justa com questões de diferentes níveis de dificuldade h As questões e o gabarito devem ser redigidos de forma clara e organizada O gabarito pode ser feito a mão livre mas é fundamental que esteja legível A forma de apresentar o trabalho também é avaliada i As questões devem ser diferentes das questões das listas e dos slides j Após a correção pode ser solicitado ao grupo uma reunião com o professor Questões de Cálculo 2 01 INTEGRAL DUPLA Dada a função 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 responda às questões a Através da integral 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦² 𝑦 calcule os limites de integração em y b Desenhe a região de integração 02 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado por x² y² z 4 3𝑥2 3𝑦² Respostas 01 a to b y to y2 xy dx dy a a b y x y2 y x reta x y2 parábola a e b serão os pontos de interseção entre as funções x y e x y² x y y y² y y² 0 x y² yy 1 0 y 0 e y 1 Portanto a 1 e b 0 01 b 1 to 0 y to y2 xy dx dy x y² y x 1 1 Região de integração 02 Primeiramente vamos determinar a projeção no plano xy da interseção de z 4 3x² 3y² i z x² y² ii Da equação i temos z 4 3x² 3y² z² 4 3x² 3y² z² 4 3x² y² logo z² 4 3 z² 3z 4 0 z 1z 4 0 Assim z 4 e z 1 Note que z 4 não satisfaz as equações i e ii então a projeção no plano xy é o círculo de raio 1 isso é D xy R x² y² 1 Portanto o volume V do sólido é V D x² y²4 3x² 3y² 1 dz dA D 4 3x² 3y² x² y² dA Para facilitar vamos passar para coordenadas polares x r cos θ y r sin θ dA r dr dθ 0 r 1 0 θ 2π Logo V 02π 01 4 3r² r² r dr dθ 02π 01 r 4 3r² r³ dr dθ 02π dθ 01 r 4 3r² dr 01 r³ dr u 4 3r² du 6r dr 02π dθ 41 r u12 du 6r n4 4 01 2π 19 19 8 14 2π 1936 19π18