Metodos Quantitativos Aplicados a Corporate Finance - Guia Completo FGV 2023

MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A CORPORATE FINANCE Carlos Eduardo Prado Feuser FGV Como citar este material FEUSER Carlos Eduardo Prado Métodos Quantitativos Aplicados a Corporate Finance Rio de Janeiro FGV 2023 Todos os direitos reservados Textos vídeos sons imagens gráficos e demais componentes deste material são protegidos por direitos autorais e outros direitos de propriedade intelectual de forma que é proibida a reprodução no todo ou em parte sem a devida autorização INTRODUÇÃO Com o aumento da competitividade global e a necessidade de buscar a rentabilidade no mundo dos negócios o domínio dos cálculos no âmbito das finanças temse tornado essencial para o sucesso de qualquer projeto de investimento São os estudos dos Métodos Quantitativos Aplicados a Corporate Finance que permitirão ao investidor adquirir o conhecimento necessário para saber calcular projetar e analisar a viabilidade de uma decisão de investimento seja no mundo corporativo seja na busca pela formação do patrimônio pessoal Por essa razão dominar os conceitos básicos de matemática financeira e o seu potencial aplicado às finanças é altamente relevante e essencial para a formação de qualquer profissional independentemente da sua área de conhecimento ou atuação Afinal potencializar a rentabilidade e acumular patrimônio são desejos muito comuns de qualquer pessoa física ou jurídica Nesse sentido serão abordados na disciplina de Métodos Quantitativos Aplicados a Corporate Finance os conceitos do valor do dinheiro no tempo e a sua aplicabilidade prática no mercado financeiro bem como em decisões de projetos de investimentos Essa abordagem inclui a operacionalização básica porém essencial da calculadora financeira HP12C a aplicabilidade dos regimes de capitalização e taxas de juros existentes no mercado corporativo os sistemas de amortização os métodos da análise de investimentos via fluxos de caixa e a modelagem matemática para compreender a correlação existente entre ativos bem como as suas projeções e estimação do risco financeiro Para esse enfoque esta apostila foi estruturada em cinco módulos No módulo I serão abordados os aspectos necessários para a devida compreensão dos efeitos do valor do dinheiro no tempo da forma de capitalização dos juros e da contagem dos prazos Além disso considerando a importância de dominar as ferramentas que permitem ganhar agilidade no processo decisório serão apresentadas as principais configurações e funções da calculadora HP12C para possibilitar a execução dos cálculos financeiros mais utilizados no mercado corporativo No módulo II serão demonstradas as aplicabilidades dos regimes de capitalização no mercado financeiro tais como as operações de desconto bancário de títulos o sistema de cálculo dos juros de contas correntes e os cálculos das variáveis financeiras no regime de juros compostos Ainda neste módulo serão apresentados os cálculos e os significados das diversas taxas de juros aplicadas em finanças que permitem ao investidor saber calcular o custo efetivo de uma operação de crédito ou a rentabilidade auferida de um projeto de investimento No módulo III serão apresentados os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos mais utilizados e como se comportam quando são aplicadas taxas variáveis ou indexadas a um indicador econômico A compreensão dos efeitos dos diferentes sistemas de amortização é crucial para a estruturação dos fluxos de caixa de investimentos e as análises das suas viabilidades quando envolve capital financiado por terceiros Portanto entender como são estruturados os cálculos inerentes aos sistemas de amortização é fundamental para que o investidor saiba como melhor se financiar e rentabilizar o seu negócio Nesse sentido neste mesmo módulo serão apresentadas as diferentes séries de pagamentos existentes bem como o comportamento dos juros nos casos de parcelas fixas com carência ou reforços sejam eles reforços intermediários ou apenas no final da operação de crédito No módulo IV já com o domínio da base matemática necessária para compreender o comportamento dos juros e como são calculados serão apresentados os principais métodos de análise de investimentos por meio dos fluxos de caixa aplicados a corporate finance São critérios que permitem ao investidor calcular se um investimento é viável por oferecer a rentabilidade desejada ou se deve ser descartado por não cumprir os requisitos mínimos exigidos Esses requisitos podem ser tanto de rentabilização mínima exigida quanto de prazo máximo de devolução do capital ou ainda serem estruturados para permitir a comparação de performance entre duas opções de investimento Por fim no módulo V serão apresentados os conceitos de modelagem matemática para permitir ao investidor calcular bem como compreender a correlação linear existente entre duas variáveis permitindo ainda estabelecer projeções a partir de séries históricas Adicionalmente serão apresentados os conceitos básicos para estimar o retorno esperado para um ativo e os seus riscos financeiros para fins decisórios Em virtude da crescente importância do gerenciamento dos investimentos para a maximização dos resultados financeiros o objetivo da apostila de Métodos Quantitativos Aplicados a Corporate Finance é descrever os conceitos básicos utilizados no mercado financeiro e a sua aplicabilidade para análise de investimentos e operações de empréstimos e financiamentos e ainda apresentar os conceitos de correlação linear entre duas variáveis e como é possível estimar o risco de um ativo financeiro O objetivo geral desta apostila é reunir em um só lugar os principais conceitos de Métodos Quantitativos Aplicados a Corporate Finance para oferecer ao interlocutor ferramentas que lhe permitam saber calcular projetar e analisar a viabilidade de uma decisão de investimento bem como compreender os seus riscos financeiros Os objetivos específicos a serem alcançados com esta disciplina são Apresentar os principais conceitos aplicados a corporate finance para permitir ao leitor a compreensão das operações financeiras existentes no mercado e a sua execução por meio da operacionalização da calculadora financeira HP12C Demonstrar a aplicabilidade dos regimes de capitalização e das taxas de juros existentes no mercado financeiro mediante a apresentação das operações de desconto bancários de títulos do sistema de cálculo dos juros de contacorrente dos cálculos das variáveis financeiras no regime de juros compostos Permitir ao leitor compreender as estruturas dos sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos e as séries de pagamentos mais praticadas no mercado financeiro Descrever os principais métodos de análise de investimentos por meio dos fluxos de caixa aplicados a corporate finance Evidenciar os aspectos básicos considerados para cálculo e análise da correlação linear existente entre duas variáveis e como realizar projeções básicas a partir de séries históricas Fornecer os métodos quantitativos básicos para a estimação do risco financeiro para fins decisórios Note que os objetivos geral e específicos descritos acima buscam fornecer conhecimentos de Métodos Quantitativos Aplicados a Corporate Finance essenciais para a formação profissional em qualquer área de conhecimento uma vez que independentemente da área de atuação é comum que no mercado corporativo as pessoas busquem potencializar os retornos financeiros das suas decisões de investimentos Uma boa decisão de investimento só poderá ser tomada por aquele que dominar os conceitos de finanças e a sua aplicabilidade pois são eles que permitem ao investidor saber quando como e onde investir bem como calcular projetar e analisar a viabilidade e o risco financeiro de um investimento SUMÁRIO MÓDULO I CONCEITOS BÁSICOS APLICADOS A CORPORATE FINANCE 11 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 11 Custo de oportunidade 11 Taxa mínima de atratividade 12 JUROS 12 Conceito de juros 13 Conceito de taxa de juros 13 Taxa unitária 13 Taxa percentual 13 Juros simples 14 Juros compostos 14 Fator de capitalização simples 15 Fator de capitalização composta 15 PRAZOS 16 Ano civil e juros exatos 16 Ano comercial e juros comerciais 16 Período de capitalização 17 Capitalização contínua 17 Capitalização descontínua 17 OPERACIONALIZAÇÃO DA CALCULADORA HP12C 17 Método de Cálculo RPN 17 Função primária e secundária das teclas 18 Configuração das casas decimais 19 Configuração dos separadores de dígitos 19 Configuração do sistema de datas 20 Operações com datas 20 Função da tecla CHS 21 Função da tecla CLX 21 Função da tecla yX 22 MÓDULO II APLICABILIDADE DOS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E TAXAS NO MERCADO FINANCEIRO 23 OPERAÇÃO DE DESCONTO BANCÁRIO DE TÍTULOS 23 Taxa de desconto bancário 24 Custo efetivo total da operação de desconto bancário de títulos 25 SISTEMA DE CÁLCULO DOS JUROS DE CONTACORRENTE 25 CÁLCULO DAS VARIÁVEIS FINANCEIRAS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS 27 Cálculo do valor presente VP 28 Cálculo do valor das prestações PMT 31 Cálculo do valor futuro VF 33 Cálculo da taxa de juros efetiva i 34 Cálculo da quantidade de períodos n 35 TAXAS DE JUROS APLICADAS NO MERCADO FINANCEIRO 36 Taxa real 36 Taxa nominal 37 Taxa efetiva 39 Taxas equivalentes 40 MÓDULO III SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E SÉRIES DE PAGAMENTOS 43 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 43 Princípios básicos dos sistemas de amortização 44 Sistema de Amortização com Prestações Constantes Price 44 Sistema de Amortização com a Amortização Constante SAC 45 Sistema de Amortização Misto SAM 47 Sistema de Amortização Americano SAA 47 Análise comparativa entre os sistemas de amortização 48 COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COM ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA 50 SÉRIES DE PAGAMENTOS 52 Série de pagamentos postecipados 52 Série de pagamentos antecipados 52 Série de pagamentos com carência 54 Série de pagamentos com reforço no último pagamento 56 Série de pagamentos com reforços intermediários ou periódicos 57 MÓDULO IV MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS APLICADOS A CORPORATE FINANCE 61 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 61 VALOR PRESENTE LÍQUIDO VPL 62 TAXA INTERNA DE RETORNO TIR 66 TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA TIRM 68 PAYBACK SIMPLES PS 72 PAYBACK DESCONTADO PD 75 ÍNDICE DE LUCRATIVIDADE IL 78 MÓDULO V QUANTITATIVE FINANCE 81 MODELAGEM MATEMÁTICA 81 Correlação linear 82 Introdução a projeções a partir de séries históricas 86 VALOR ESPERADO E DESVIO PADRÃO Σ E RISCO FINANCEIRO 90 Introdução ao value at risk VaR 92 ÍNDICE DE SHARPE 94 Coeficiente de variação CV 95 BIBLIOGRAFIA 98 PROFESSORAUTOR 99 CARLOS EDUARDO PRADO FEUSER 99 Formação acadêmica 99 Experiências profissionais 99 Neste módulo serão abordados os aspectos básicos porém essenciais do valor do dinheiro do tempo a forma de capitalização dos juros e a contagem dos prazos Essa é a base para estruturar qualquer pensamento matemático aplicado a corporate finance Adicionalmente é imprescindível que o investidor domine as ferramentas que lhe permitam ganhar dinamismo na execução de cálculos financeiros para embasar o processo decisório de investimento Nesse sentido serão apresentadas também neste módulo as principais configurações e funções da calculadora HP12C para preparar o leitor para a realização de cálculos financeiros com agilidade Valor do dinheiro no tempo O valor do dinheiro se modifica com o tempo seja pela sua perda no poder de compra em razão da existência de inflação no período em análise seja em razão da existência de um custo de oportunidade Custo de oportunidade Custo de oportunidade é o custo financeiro de uma aplicação alternativa ao investimento em análise Para melhor compreender este conceito perguntese considerando o ambiente econômico atual se pudesse escolher entre receber R 100000 hoje ou R 120000 daqui a um ano qual preferiria Neste caso a resposta é simples Depende Entenda o porquê considere um cenário em que uma pessoa esteja com o seu limite bancário de cheque especial tomado ou seja a sua conta está com o saldo negativo em exatos R 100000 Considere ainda que essa pessoa não possua a expectativa de receber qualquer recurso que lhe MÓDULO I CONCEITOS BÁSICOS APLICADOS A CORPORATE FINANCE 12 permita quitar o referido limite nos próximos meses Naturalmente ela preferirá receber os R 100000 hoje e quitar o limite Se assim não o fizer facilmente a dívida ultrapassará o valor de R 120000 já nos próximos dois meses uma vez que é comum que as taxas dos cheques especiais oferecidos pelos bancos atualmente superem os 10 ao mês Se esta fosse a taxa por exemplo dentro de um mês a dívida estaria em R 110000 passado o segundo mês já resultaria em R 121000 e no prazo de um ano ultrapassaria os R 300000 Agora considere um cenário em que o investidor além de possuir saldo positivo na sua conta corrente possua uma significativa quantia de recursos aplicados em renda fixa com remuneração de 100 do CDI que atualmente está em cerca de 640 ao ano e dado o seu perfil extremamente conservador o máximo que o investidor faria se recebesse os R 100000 hoje seria engordar ainda mais a sua aplicação em renda fixa Note que neste caso em um ambiente onde não existe o risco de inadimplência dos R 120000 dentro de um ano pouco atrativo se torna receber os R 100000 hoje e aplicar em uma alternativa que resultará em algo em torno de R 106400 após um ano Logo sabiamente este último investidor preferirá esperar para receber os R 120000 após um ano Observe portanto que o custo de oportunidade pode estar mais atrelado ao investidor do que ao investimento Essa é a razão de um determinado investimento poder ser viável para um investidor e inviável para outro uma vez que eles podem possuir custos de oportunidades diferentes Esse conceito não deve ser confundido com taxa mínima de atratividade Taxa mínima de atratividade Taxa mínima de atratividade é a taxa de rentabilidade exigida por um investidor para um determinado investimento em razão do risco financeiro de se investir nele Para a apuração dessa taxa são utilizadas metodologias de estimação do risco financeiro e de cálculo do custo financeiro do capital total exigido pelo investimento Essa é a base que permite apurar qual a rentabilidade mínima que justificaria o investidor se sujeitar ao risco de determinado investimento Portanto a taxa mínima de atratividade é inerente ao investimento e não ao investidor diferentemente do custo de oportunidade Juros Os juros podem representar o custo de oportunidade ou a taxa mínima de atratividade de um investimento dependendo do contexto Para quem concede um empréstimo pode representar a remuneração pelo capital emprestado logo a rentabilidade desse empréstimo deve ser igual ou maior que a taxa mínima de atratividade daquela operação caso contrário o investidor não se sentiria atraído em dispor do recurso Já para aquele que tomou o empréstimo os juros representam o custo por utilizar uma quantia que não lhe pertence logo esse custo se justificaria por cobrir os custos de oportunidade de quem decidiu captar o recurso na forma de empréstimo por considerar que os benefícios de pagar os referidos juros e utilizar o dinheiro é maior do que deixar de fazêlo 13 Conceito de juros Juros são a remuneração em moeda pelo uso do capital de outrem Os juros podem ser comparados ao valor pago a terceiros pelo aluguel de um imóvel Segundo Kuhnen e Bauer 2001 p 20 os juros podem ser compreendidos como a remuneração pelo direito do uso de uma determinada quantia de capital por um determinado período de tempo Conceito de taxa de juros Taxa de juros é a remuneração geralmente expressa em percentual pelo uso de capital de outrem É o resultado da divisão do valor dos juros de um período expresso em moeda pelo total do capital ao qual se refere Exemplificando 𝑖𝑖 J VP R 350 R 10000 0035 𝑜𝑜𝑜𝑜 35 𝑛𝑛𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝í𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 Onde i taxa de juros equivalente ao período de utilização do capital J juros expresso em moeda referente ao período de utilização do capital VP capital principal ou capital inicialmente emprestado ou aplicado 0035 taxa de juros de um período expresso na forma de taxa unitária 35 taxa de juros de um período expresso na forma de taxa percentual Taxa unitária São as taxas expressas a cada unidade de capital Normalmente utilizadas para a formação de índices de correção fatores de capitalização ou para utilização em modelos matemáticos Exemplificando 0035 taxa de juros no período expresso na forma de taxa unitária equivalente a 350 1035 fator de capitalização onde se corrige em 35 o capital inicial Taxa percentual São as taxas expressas a cada cento de capital Normalmente utilizadas para expressar o custo do dinheiro em determinado período de capitalização portanto deve sempre vir acompanhada do período ao qual se refere por exemplo 350 ao mês Logo a cada mês o valor será corrigido na ordem de três inteiros e cinco décimos por cento 14 Juros simples Juros simples são os juros calculados no regime de capitalização simples Capitalização é o termo utilizado pelo mercado financeiro para incorporar os juros calculados ao valor principal contudo no regime de capitalização simples apenas o valor principal será utilizado como base para o cálculo dos juros independentemente do prazo da operação Exemplificando Tabela 1 Capitalização pelo regime de juros simples a uma taxa de 10 ao mês Descrição Data Inicial Mês 1 Mês 2 Mês 3 Capital Principal Total dos Juros Saldo Capitalizado R 10000 R 11000 R 12000 R 13000 Juros compostos Juros compostos são os juros calculados no regime de capitalização composta No regime de capitalização composta os juros serão sempre incorporados ao valor principal e o seu total será a base de cálculo dos juros do período subsequente A incorporação ao capital principal será realizada a cada período de capitalização durante todo o prazo da operação Exemplificando Tabela 2 Capitalização pelo regime de juros compostos a uma taxa de 10 ao mês Descrição Data Inicial Mês 1 Mês 2 Mês 3 Capital Principal Total dos Juros Saldo Capitalizado R 10000 R 11000 R 12100 R 13310 R 100 R 100 R 100 R 100 R 10 R 10 R 10 R 10 R 10 R 10 R 100 R 100 R 100 R 100 R 10 R 1 R 10 R 10 010 R 2 R 10 R 1 R 20 15 Fator de capitalização simples Fator de capitalização é um índice que ao ser multiplicado pelo valor principal resultará no saldo acumulado já capitalizado com os juros referente ao prazo de determinada operação financeira Considerando o cálculo dos juros simples de um empréstimo de R 10000 a uma taxa de 10 ao mês por um período de três meses temos Juros Simples VP i n Juros Simples R 10000 010 3 Juros Simples R 3000 Logo Fator de Capitalização Simples 1 i n Fator de Capitalização Simples 1 010 3 Fator de Capitalização Simples 1 030 Fator de Capitalização Simples 130 Onde i taxa de juros equivalente a um período de utilização do capital n quantidade de períodos referente ao prazo da operação VP capital principal ou capital inicialmente emprestado ou aplicado Portanto ao se multiplicar o valor inicialmente emprestado ou aplicado pelo fator de capitalização simples resultará no valor capitalizado já com os juros Ou seja considerando o exemplo acima temos R 10000 130 R 13000 saldo capitalizado Fator de capitalização composta Fator de capitalização composta é um índice que ao ser multiplicado pelo valor inicial resultará no saldo acumulado já capitalizado com os juros compostos referentes ao prazo total de determinada operação financeira Considerando o cálculo dos juros compostos de um empréstimo de R 10000 a uma taxa de 10 ao mês por um período de três meses temos VF VP 1 i n VF R 10000 1 010 3 VF R 10000 13310 VF R 13310 16 Logo Fator de Capitalização Composta 1 i n Fator de Capitalização Composta 1 010 3 Fator de Capitalização Composta 13310 Onde i taxa de juros equivalente a um período de utilização do capital n quantidade de períodos referente ao prazo da operação VP capital principal ou capital inicialmente emprestado ou aplicado VF valor capitalizado já com os juros de todos os períodos incorporados Portanto ao se multiplicar o valor inicialmente emprestado ou aplicado pelo fator de capitalização composta resultará no valor capitalizado já com os juros incorporados Ou seja considerando o exemplo acima temos R 10000 13310 R 13310 saldo capitalizado Prazos O prazo é uma variável essencial para o cálculo dos juros ou da rentabilidade de um ativo É o prazo que servirá de base para o cálculo dos períodos de capitalização existentes dentro de uma operação financeira É o período de capitalização que fornecerá um referencial para ser utilizado na comparação da remuneração entre duas ou mais alternativas de investimento Ano civil e juros exatos O prazo calculado pelo ano civil considera o ano com todos os 365 dias ou 366 nos casos dos anos bissextos Logo as taxas de juros fazem referência a um período de capitalização e o tempo da aplicação considera o tempo exato de duração da operação financeira Diferentemente dos juros calculados quando o prazo é calculado pelo ano comercial Ano comercial e juros comerciais O prazo calculado pelo ano comercial considera o ano com apenas 360 dias e todos os meses como se 30 dias tivessem 17 Período de capitalização Período de capitalização é a frequência em que os juros são incorporados ao valor principal podendo fazer referência a um dia mês ano ou unidade de tempo pactuada entre as partes Capitalização contínua Ocorre quando a capitalização dos juros em prazos menores do que um período ou em períodos fracionados são calculados considerando todo o prazo da aplicação sendo que na parte fracionária os juros serão calculados proporcionalmente Capitalização descontínua Ocorre quando a capitalização dos juros somente é considerada a cada período de capitalização completo ou seja desconsidera os juros sobre os períodos fracionários É o caso da capitalização em uma conta poupança Caso o investidor decida resgatar o capital aplicado antes de completar um mês a sua remuneração será zero naquele período fracionário É por essa razão que sempre se recomenda verificar as datas bases de capitalização antes de efetuar saques da conta poupança Operacionalização da calculadora HP12C A calculadora HP12C é a mais tradicionalmente utilizada no mercado financeiro pois permite ao analista efetuar cálculos complexos de juros compostos com agilidade e simplicidade Ela possui as principais funções de cálculos financeiros já programadas nas suas teclas Por essa razão é essencial dominar a sua operacionalização no ambiente corporativo Método de Cálculo RPN Notação polonesa reversa ou simplesmente RPN na sigla em inglês é o sistema de cálculo utilizado pela calculadora HP12C O sistema possui algumas vantagens como a redução de passos na execução de cálculos matemáticos As comparações são feitas a seguir 18 04667 RPN DMY C Tabela 3 Comparativo dos sistemas de cálculos matemáticos entre algébrico e RPN Operação Matemática Notação Algébrica Passos na HP12C Sistema RPN 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 04667 Note que no sistema de cálculo RPN não é necessário pressionar a tecla com o sinal de inclusive algumas versões da calculadora HP12C nem a possuem Função primária e secundária das teclas Quase todas as teclas da calculadora HP12C possuem mais de uma função por essa razão é importante entender como acessar as funções secundárias das suas teclas A função primária das teclas é aquela gravada na cor branca já as funções secundárias são aquelas gravadas na cor laranja ou na cor azul O diagrama a seguir ilustrará o procedimento a ser feito LST x 2 ŷr E N T E R 1 xr 3 n LST x 2 ŷr E N T E R 1 xr X² 6 ẍw E N T E R 5 MDY LST x X² 4 DMY E N T E R 3 n X² 2 ŷr E N T E R 1 xr 300 RPN DMY C 100 RPN DMY C 19 Diagrama 1 Funcionamento das funções secundárias da calculadora HP12C Configuração das casas decimais A calculadora HP12C tem capacidade de mostrar no seu visor até nove dígitos após a vírgula muito embora possua capacidade para efetuar cálculos com mais Para o usuário configurar a quantidade de dígitos que serão mostrados após a vírgula basta pressionar a tecla e na sequência a quantidade de dígitos que deseja mostrar Configuração dos separadores de dígitos A calculadora HP12C vem configurada de fábrica para exibir os separadores decimais no padrão norteamericano O padrão norteamericano considera o ponto como separador decimal e a vírgula como separador dos milhares Já no Brasil o padrão utilizado é o mesmo que o europeu a vírgula é usada como separador decimal e o ponto como separador dos milhares Para alternar entre os sistemas basta desligar a calculadora e na sequência manter pressionada a tecla enquanto liga a calculadora novamente Para expressar o numeral mil o padrão norteamericano mostrará 100000 e o padrão europeu mostrará 100000 S FIN x y x y Para acessar a função laranja pressionar antes a tecla f Para acessar a função azul pressionar antes a tecla g f 20 Configuração do sistema de datas Da mesma forma que com os separadores de dígitos a calculadora HP12C vem configurada no padrão de datas norteamericano que é mêsdiaano Por exemplo para expressar a data de 2 de setembro de 2018 a calculadora configurada no padrão norteamericano mostrará 9022018 Já o padrão adotado no Brasil para expressar datas é diamêsano e neste caso ao configurar a calculadora para este padrão ela mostrará 2092018 no seu visor Para configurar a calculadora HP12C para o padrão utilizado no Brasil basta pressionar a tecla e na sequência a tecla Note que aparecerá no visor da calculadora a sigla DMY indicando que a configuração foi realizada corretamente Para retornar a calculadora ao padrão norteamericano de datas basta pressionar novamente a tecla e na sequência a tecla Neste caso a sigla DMY que estava no visor deverá desaparecer indicando que a calculadora agora está configurada para o padrão norteamericano de datas Operações com datas A calculadora HP12C realiza a contagem dos dias entre duas datas bem como estima a data futura ou passada a partir de uma data específica e uma quantidade de dias A exemplificação a seguir considera que a calculadora está configurada para o padrão brasileiro de datas Para calcular a quantidade de dias existentes entre o dia 15022016 e o dia 15032016 basta seguir os seguintes passos Configure a calculadora para o padrão brasileiro de datas e para melhor visualização ao digitar a data configure a calculadora para exibir seis dígitos após a vírgula Posteriormente digite a primeira data e pressione a tecla ENTER como segue Na sequência digite a segunda data e utilize a função DYS como segue g 4 DMY g 5 MDY 1 xr 5 MDY S 0 x 2 ŷr 2 ŷr 0 x 1 xr 6 ẍw E N T E R 1 xr 5 MDY S 0 x 3 n 2 ŷr 0 x 1 xr 6 ẍw g EEX DYS 29000000 RPN DMY C 21 Aparecerá no visor o número 29000000 indicando que entre as referidas datas transcorreu o prazo de 29 dias Note que o resultado apresenta a quantidade de dias exatos inclusive considerando os anos bissextos Para saber a quantidade de dias a serem considerados se o prazo for calculado pelo ano comercial basta pressionar a tecla Deverá aparecer no visor o número 30 Já para que a calculadora mostre por exemplo a data 30 dias a partir de 15022016 basta digitar a data base e pressionar a tecla ENTER como a seguir Na sequência digite a quantidade de dias no caso 30 e utilize a função DATE Aparecerá no visor a data de 16032016 e no canto direito o número 3 Note que ao mostrar a data resultante a calculadora apresenta o separador entre o dia e o mês e também entre o mês e o ano inclusive mostrando logo à direita o indicador do dia da semana Sendo que 1 significa segundafeira 2 significa terçafeira e assim sucessivamente até chegar ao 7 que significa domingo Observe que a calculadora somente considerará que o número digitado é uma data se for utilizada alguma das duas funções de datas Logo não há necessidade de desfazer qualquer configuração para voltar a calcular por exemplo uma soma subtração ou variável financeira Função da tecla CHS A tecla é basicamente utilizada para alternar entre positivo ou negativo o valor mostrado no visor Para isso basta pressionar a tecla após o visor mostrar um número digitado ou resultante de alguma operação realizada Função da tecla CLX A tecla ao ser pressionada substituirá o valor no visor pelo numeral 0 zero ou seja apagará o número mostrado no visor Já para apagar todas as memórias e variáveis armazenadas na calculadora de uma só vez o correto é pressionar antes a tecla e na sequência a tecla Neste caso a função que se está acionando é a função laranja que apaga todos os registros e que está indicada logo acima da tecla x y x y 1 xr 5 MDY S 0 x 2 ŷr 2 ŷr 0 x 1 xr 6 ẍw E N T E R 3 n 0 x g CHS DATE 16032016 3 RPN DMY C CHS DATE CLX X 0 f CLX X 0 22 Função da tecla yX A tecla yx é usada para elevar um número guardado na memória y a uma potência x Essa função é muito utilizada para calcular as taxas de juros compostos equivalentes em unidades de tempo diferentes e para calcular os fatores de capitalização composta que são aplicados sobre um capital para se encontrar o saldo capitalizado já com os juros incorporados ao valor principal Exemplificando para calcular o fator de capitalização composta a ser aplicado sobre um capital que se pretende corrigir a uma taxa de 10 ao mês por um período de três meses basta proceder da seguinte forma 1 xr E N T E R 1 xr 0 x INTG LST x 3 n yX x 13310 RPN DMY C Neste módulo serão apresentadas as aplicações práticas dos regimes de capitalização simples e composta no mercado corporativo Para tanto os cálculos serão evidenciados mediante exemplos reais inclusive com a demonstração do passo a passo na calculadora HP12C no intuito de dar dinamismo ao processo de aprendizagem Também será demonstrado como a calculadora consegue apurar com simplicidade e facilidade o valor de uma variável financeira no regime de juros compostos Ainda neste módulo serão apresentados os conceitos com exemplos práticos das diferentes taxas de juros utilizadas em finanças corporativas Operação de desconto bancário de títulos As operações de descontos bancários de títulos são muito utilizadas pelas empresas para cobrir os seus desencaixes eventualmente detectados no dia a dia dos fluxos de caixa Esta operação de antecipação de recursos também é conhecida como operação de desconto comercial por fora uma vez que os juros neste caso também chamado de desconto são calculados com base no valor futuro do título Os juros ou desconto neste caso são calculados a partir da aplicação de uma taxa de juros simples sobre o valor de face do título com vencimento futuro multiplicando o seu valor encontrado pela quantidade de períodos que expressa o prazo em que se deseja antecipar o recebimento O banco por exemplo descontará do valor de face o desconto calculado e disponibilizará o seu valor líquido já descontado na data presente Na operação de desconto bancário além do custo referente à taxa de juros é comum que sejam cobradas tarifas expressas em reais R ou percentual para se realizar a operação MÓDULO II APLICABILIDADE DOS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E TAXAS NO MERCADO FINANCEIRO 24 Veja o caso prático a seguir uma empresa possui um recebível no valor de R 100000 com data de vencimento para 45 dias ou seja 15 mês Em consulta o banco informou que a taxa de desconto para a operação de adiantamento de recebíveis é de 35 ao mês e mais uma tarifa de R 570 por título antecipado Os cálculos são os seguintes Juros da Operação ou Desconto D VF i n Tarifa Juros da Operação ou Desconto D R 100000 0035 15 R 570 Juros da Operação ou Desconto D R 5250 R 570 Juros da Operação ou Desconto D R 5820 Logo na data presente o valor líquido do título após o desconto será de Valor líquido ou Descontado VP VF D Valor líquido ou Descontado VP R 100000 R 5820 Valor líquido ou Descontado VP R 94180 Na calculadora HP12C temos a sequência dos seguintes passos Taxa de desconto bancário A taxa de desconto bancário ou desconto comercial simples por fora é a taxa utilizada nas operações de adiantamento de recebíveis para calcular o desconto do título mediante a sua aplicação sobre o valor de face Nesse sentido é importante entender que tal taxa não expressa o custo efetivo total da operação mas sim uma referência para o cálculo dos juros 1 xr 0 x 0 x 0 x E N T E R 3 n S 5 MDY INTG 1 xr S 5 MDY X² 5250 RPN DMY C 5 MDY S 7 BEG LST x 5820 RPN DMY C 94180 RPN DMY C 25 Custo efetivo total da operação de desconto bancário de títulos O custo efetivo total da operação de desconto bancário de títulos é a taxa que considera todos os custos envolvidos na operação e faz referência sempre sobre o capital líquido que foi recebido Considerando o exemplo descrito anteriormente temos que um título com o valor de face de R 100000 com vencimento para 45 dias resultou em um valor líquido de R 94180 após serem descontados todos os custos da operação sendo a taxa de desconto de 35 ao mês e mais uma tarifa de R 570 por título Logo o custo total ficou em R 5820 R 100000 R 94180 Como o valor de R 5820 é o custo para adiantar o recurso em 45 dias ao dividir o seu valor por 15 mês teremos o custo de R 3880 como sendo o equivalente ao mês Portanto considerando o regime de juros simples a taxa efetiva de juros da operação resulta em 41198 ao mês ou seja R 3880 R 94180 0041198 ou 41198 Note que no referido exemplo a taxa de desconto aplicada sobre o título foi de 35 ao mês e o custo calculado gerou uma taxa de 41198 que é 1770 maior do que o valor expresso na taxa de desconto A falta de compreensão desses custos pode resultar em decisões equivocadas Sistema de cálculo dos juros de contacorrente O sistema de cálculo dos juros pela utilização do cheque especial de uma contacorrente também conhecido como método hamburguês considera o regime de juros simples Consiste em aplicar a taxa de juros mensal ponderadamente pela quantidade de dias em que o saldo permaneceu negativo sobre o seu respectivo valor Contudo existem algumas considerações importantes de serem compreendidas Normalmente a taxa de juros pactuada faz referência a um mês de utilização e para encontrar a sua equivalência ao dia basta dividir por 30 independentemente do mês de utilização Essa taxa diária é aplicada pelo saldo devedor e multiplicado pela quantidade de dias de utilização Note que se por acaso o saldo permanecer negativo durante um mês que tenha 31 dias a taxa mensal será dividida por 30 mas aplicada por 31 dias da mesma forma que será multiplicada por 28 se o mês de utilização for fevereiro ou 29 se o ano for bissexto A exemplificação é apresentada a seguir considerando a taxa de 840 ao mês sendo 028 a sua equivalência ao dia 26 Tabela 4 Demonstração do cálculo de juros de contacorrente método hamburguês Movimento da ContaCorrente Sistema de Cálculo para a Apuração dos Juros Data Crédito Débito Saldo Utilização Cálculo Realizado Juros 31072022 100000 01082022 150000 50000 9 dias 50000 9 00028 R 1260 10082022 180000 130000 15082022 200000 70000 5 dias 70000 5 00028 R 980 20082022 220000 150000 29082022 170000 20000 2 dias 20000 2 00028 R 112 31082022 20000 1 dia 20000 1 00028 R 056 último dia do mês mostrando inclusive a cobrança do 31º dia Total dos Juros Calculados R 2408 Outra consideração importante de ser feita é que embora os juros sejam calculados pelo regime de juros simples nos primeiros dias do mês subsequente os juros calculados serão debitados na contacorrente e vão compor a nova base de cálculo dos juros Dessa forma caso o titular da contacorrente não cubra o saldo negativo os juros vão comportarse como se fossem calculados pelo regime de juros compostos uma vez que são incorporados ao saldo a cada mês Para melhor compreensão considere o seguinte no exemplo acima o último dia do mês de agosto encerrou com o saldo negativo em R 20000 Caso o titular da conta não efetue nenhum saque ou depósito no mês subsequente qual o valor dos juros referente ao mês de setembro de 2022 É fácil entender que como não houve movimentação por parte do titular o saldo devedor a ser considerado é de R 20000 logo os juros resultariam em R 1680 pois R 20000 30 dias 028 ao dia R 1680 Equívoco Observe que ainda deverá ser debitado na contacorrente o valor dos juros referente ao mês de agosto isso resultará em um saldo devedor de R 22408 sendo que R 20000 se referem ao saldo devedor do último dia do mês de agosto e R 2408 referentes aos juros do período Portanto os juros pela utilização do saldo devedor referente ao mês de setembro de 2022 resultarão em R 1882 pois R 22408 30 dias 028 ao dia R 1882 27 Cálculo das variáveis financeiras no regime de juros compostos Os juros compostos são os juros calculados a cada período de capitalização e incorporados ao valor principal de forma que sirvam de base para o cálculo dos juros do período subsequente por essa razão também são conhecidos pela expressão juros sobre juros A calculadora HP12C permite calcular as variáveis financeiras no regime de capitalização composta com muita praticidade e agilidade bastando para tanto o usuário compreender o significado de cada variável e identificála dentro de um fluxo de caixa A leitura deve ser a seguinte fluxos de caixa são as movimentações financeiras resultantes período após período de um ativo que se pretende analisar As variáveis financeiras de um fluxo de caixa são Número de períodos representado pela letra n e na HP12C pela tecla Taxa de juros expressa em representado pela letra i e na HP12C pela tecla Valor Presente ou Inicial representado pela sigla PV e na HP12C pela tecla Valor das parcelas representado pela sigla PMT e na HP12C pela tecla Valor Futuro ou Saldo representado pela sigla FV e na HP12C pela tecla Diagrama 2 Visão gráfica dos fluxos de caixa com as variáveis financeiras n 12 i 12 PV CFo PMT CFj FV Nj 28 É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Cálculo do valor presente VP O cálculo de qualquer variável financeira sucede da identificação de um contexto O valor presente ou valor inicial representa qual o valor equivalente no momento 0 zero de um ou mais valores no futuro São diversas as formulações utilizadas uma para cada caso por exemplo calcular o valor presente a partir de parcelas mensais calcular o valor presente a partir de um valor no futuro calcular o valor presente a partir de parcelas mensais e um valor futuro Inclusive as parcelas podem significar entradas e o valor futuro uma saída ao final do último período Porém com o uso da calculadora HP12C o cálculo de qualquer variável se torna muito prático Exemplificando considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de 25 ao mês qual o valor financiado Valor Presente que foi capaz de gerar 12 prestações mensais e sucessivas no valor de R 38513 cada A resposta é R 395057 A seguir as resoluções pelo método algébrico e na sequência com o uso da HP12C Algebricamente temos 𝑃𝑃𝑉𝑉 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 1 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑉𝑉 38513 1 002512 1 1 002512 0025 𝑃𝑃𝑉𝑉 38513 134488882 1 134488882 0025 𝑃𝑃𝑉𝑉 38513 034488882 003362222 𝑃𝑃𝑉𝑉 38513 1025776466 𝑃𝑃𝑉𝑉 395057 Com o uso da calculadora HP12C temos f CLX X 0 3 n 8 END 5 MDY S 1 xr 3 n CHS DATE PMT CFj 38513 RPN DMY C 2 ŷr S 5 MDY i 12 250 RPN DMY C 1 xr 2 ŷr n 12 1200 RPN DMY C PV CFo 395057 RPN DMY C 29 Observe que a solução com o uso da HP12C é muito prática basta digitar cada variável conhecida no seu lugar específico na calculadora independentemente da ordem e deixar para pressionar por último a variável que se deseja calcular Segue outro exemplo para verificação considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de 154 ao mês qual o valor financiado Valor Presente que foi capaz de gerar 10 prestações mensais e sucessivas no valor de R 25000 cada e juntamente com a última parcela um reforço de R 300000 A resposta é R 487550 A seguir as resoluções pelo método algébrico e na sequência com o uso da HP12C Algebricamente temos 𝑃𝑃𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑉𝑉1 𝑃𝑃𝑉𝑉2 𝑃𝑃𝑉𝑉 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 1 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑃𝑃𝑉𝑉 𝐹𝐹𝑉𝑉 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑉𝑉1 25000 1 0015410 1 1 0015410 00154 𝑃𝑃𝑉𝑉2 300000 1 0015410 𝑃𝑃𝑉𝑉1 25000 116512250 1 116512250 00154 𝑃𝑃𝑉𝑉2 300000 116512250 𝑃𝑃𝑉𝑉1 25000 016512250 001794289 𝑃𝑃𝑉𝑉2 257484 𝑃𝑃𝑉𝑉1 25000 920267025 𝑃𝑃𝑉𝑉2 257484 𝑃𝑃𝑉𝑉1 230066 𝑃𝑃𝑉𝑉2 257484 𝑃𝑃𝑉𝑉𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 487550 Com o uso da calculadora HP12C temos f CLX X 0 2 ŷr 5 MDY 0 x CHS DATE PMT CFj 25000 RPN DMY C 3 n 0 x 0 x 0 x CHS DATE FV Nj 300000 RPN DMY C 1 xr S 5 MDY 4 DMY i 12 154 RPN DMY C 1 xr 0 x n 12 1000 RPN DMY C PV CFo 487550 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Valor positivo por se tratar de uma entrada empréstimo tomado 30 Observe que tanto ao digitar o valor da variável PMT quanto da variável FV para tornar os seus valores negativos foi utilizada a tecla CHS A compreensão desse detalhe é altamente importante para a devida operacionalização e interpretação dos resultados fornecidos pela calculadora Observe ainda que no exemplo em questão a pergunta foi qual o valor financiado logo esse valor significa uma entrada Para tanto as prestações e os reforços geraram saídas no caixa portanto devem ser consideradas com o seu valor negativo Observe que o resultado apresentado foi positivo No exemplo acima caso o usuário não forneça os valores negativos para a PMT e para o FV a calculadora identificará que se trata de entradas no caixa logo a resposta apresentará o valor como sendo negativo evidenciando que para receber as prestações e o valor futuro é necessário desembolsar o valor no início A interpretação nesse caso não fica tão comprometida pois apenas apresentará a conta matemática pela ótica de quem está concedendo o financiamento Porém existem casos em que a falta de compreensão do que foi exposto pode gerar resultados muito equivocados Observe o exemplo a seguir considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de rendimento de 154 ao mês qual o valor que um investidor deveria aplicar hoje Valor Presente para acumular um valor de R 300000 ao final de 10 meses sabendo que ele vai fazer 10 aportes mensais e sucessivos de R 25000 cada A resposta é R 27417 Os passos para a resolução com o uso da HP12C são Note que apenas foi alterado o sinal de uma variável e o resultado calculado gerou uma resposta totalmente diferente da do exemplo anterior f CLX X 0 2 ŷr 5 MDY 0 x CHS DATE PMT CFj 25000 RPN DMY C 3 n 0 x 0 x 0 x FV Nj 300000 RPN DMY C 1 xr S 5 MDY 4 DMY i 12 154 RPN DMY C 1 xr 0 x n 12 1000 RPN DMY C PV CFo 27417 RPN DMY C Valor negativo por se tratar de uma saída aplicação inicial É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Valor negativo por se tratar de aplicações Valor positivo por se tratar de um resgate 31 Cálculo do valor das prestações PMT O cálculo do valor das prestações de um empréstimo ou financiamento é um cálculo muito comum no mercado financeiro em razão da sua habitualidade nas operações de crédito Representa uma série de pagamentos iguais e sucessivos que considerando o custo financeiro pactuado equivalem a um valor no início da operação ou no caso de aplicações para acúmulo de capital a um valor de resgate no futuro Exemplificando considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de 25 ao mês qual o valor das prestações mensais e sucessivas que possuem capacidade de amortizar um empréstimo no valor de R 395057 em 12 prestações A resposta é R 38513 A seguir as resoluções pelo método algébrico e na sequência com o uso da HP12C Algebricamente temos 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑉𝑉 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 395057 1 002512 0025 1 002512 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 395057 134488882 0025 134488882 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 395057 003362222 034488882 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 395057 009748713 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 38513 Com o uso da calculadora HP12C temos f CLX X 0 3 n 9 MEM 5 MDY 0 x S 5 MDY 7 BEG PV CFo 395057 RPN DMY C 2 ŷr S 5 MDY i 12 250 RPN DMY C 1 xr 2 ŷr n 12 1200 RPN DMY C PMT CFj 38513 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo 32 Note que o resultado encontrado pela calculadora é um valor negativo indicando que para pagar uma dívida de R 395057 deverá ser desembolsado mensalmente o valor de R 38513 A seguir outro exemplo contudo para encontrar o valor da aplicação periódica aportes necessários para o acúmulo de capital Considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de rendimento de 055 ao mês e a intenção do investidor de acumular um valor de R 300000 ao final de um ano qual o valor das 12 aplicações mensais e sucessivas que deverá realizar A resposta é R 24253 A seguir as resoluções pelo método algébrico e na sequência com o uso da HP12C Algebricamente temos 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐹𝐹𝑉𝑉 𝑖𝑖 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 300000 00055 1 0005512 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 300000 00055 106803356 1 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 300000 00055 006803356 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 300000 008084245 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 24253 Com o uso da calculadora HP12C temos f CLX X 0 3 n 0 x 0 x 0 x FV Nj 300000 RPN DMY C Valor positivo por se tratar de um acúmulo 0 x S 5 MDY 5 MDY i 12 055 RPN DMY C 1 xr 2 ŷr n 12 1200 RPN DMY C PMT CFj 24253 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Resultado negativo evidenciando que se trata de desembolsos 33 Cálculo do valor futuro VF O valor futuro corresponde normalmente ao valor acumulado de uma série de aplicações ou o valor montante já com os juros incorporados após a tomada de um empréstimo sem que existam amortizações periódicas O mesmo princípio é muito utilizado nos planejamentos previdenciários Exemplificando considerando o regime de capitalização composta com uma taxa de rendimento de 055 ao mês e que a disponibilidade do investidor é de durante os próximos 20 anos efetuar 240 aplicações mensais e sucessivas de R 35000 qual valor deverá ter acumulado ao final do último período A resposta é R 17372134 Observe que embora o prazo seja de 20 anos as aplicações serão mensais logo a capitalização deverá ser mensal portanto a variável n considerada com o seu valor igual a 240 pois são 240 meses no prazo de 20 anos A seguir as resoluções pelo método algébrico e na sequência com o uso da HP12C Algebricamente temos 𝐹𝐹𝑉𝑉 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 1 𝑖𝑖 𝐹𝐹𝑉𝑉 35000 1 00055240 1 00055 𝐹𝐹𝑉𝑉 35000 372990683 1 00055 𝐹𝐹𝑉𝑉 35000 272990683 00055 𝐹𝐹𝑉𝑉 35000 4963466967 𝐹𝐹𝑉𝑉 17372134 Com o uso da calculadora HP12C temos f CLX X 0 3 n 5 MDY 0 x CHS DATE PMT CFj 35000 RPN DMY C Valor negativo por se tratar de aplicações 0 x S 5 MDY 5 MDY i 12 055 RPN DMY C 2 ŷr 4 DMY 0 x n 12 24000 RPN DMY C FV Nj 17372134 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Resultado positivo evidenciando ser um valor disponível para resgate 34 A seguir outro exemplo porém apenas com uma aplicação no início Exemplificando pensando em formar patrimônio para a sua aposentadoria um investidor dispõe de R 4300000 para aplicar hoje em títulos do Tesouro Direto e só resgatar o capital no vencimento que ocorrerá daqui a 27 anos Sabendo que se trata de um título sem pagamentos de juros periódicos e que a taxa pactuada é de 958 ao ano qual será o valor bruto estimado que o investidor vai resgatar no vencimento A resposta é R 50840926 As resoluções pelo método algébrico e na sequência com o uso da HP12C serão apresentadas a seguir Algebricamente temos 𝐹𝐹𝑉𝑉 𝑃𝑃𝑉𝑉 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝐹𝐹𝑉𝑉 4300000 1 0095827 𝐹𝐹𝑉𝑉 4300000 1095827 𝐹𝐹𝑉𝑉 4300000 1182347111 𝐹𝐹𝑉𝑉 50840926 Com o uso da calculadora HP12C temos Cálculo da taxa de juros efetiva i A taxa efetiva de juros é aquela que expressa linearmente a taxa média representativa de todos os custos envolvidos na operação incluindo tarifas taxas comissões e seguros por exemplo Considere o caso a seguir pensando em aproveitar a promoção de Taxa Zero de uma concessionária de veículos um futuro comprador está analisando a seguinte oferta Adquira o seu veículo ZERO KM no valor de R 4875000 dando de entrada R 2925000 e financiando o restante com taxa zero de juros em 12 prestações Logo abaixo na propaganda constam os seguintes dizeres Sujeito a aprovação do crédito Serão cobrados R 150000 referentes à tarifa de aprovação do crédito e impostos diluídos com as parcelas Nesse contexto f CLX X 0 4 DMY 3 n 0 x 0 x 0 x CHS DATE PV CFo 4300000 RPN DMY C 9 MEM S 5 MDY 8 END i 12 958 RPN DMY C 2 ŷr 7 BEG n 12 2700 RPN DMY C FV Nj 50840926 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Resultado positivo por ser um valor disponível para resgate 35 perguntase qual a taxa representativa do custo médio efetivo da operação de financiamento A resposta é 1159 ao mês Note que com o uso da HP12C o procedimento para calcular o custo efetivo da operação se torna muito simples Vejamos como o valor total do veículo é de R 4875000 e a entrada é de R 2925000 resulta em uma diferença de R 1950000 a ser financiada Além disso considerando que são cobrados outros custos no valor de R 150000 em razão do crédito concedido o valor total financiado passa a ser de R 2100000 ou seja R 1950000 R 150000 R 2100000 Considerando ainda que o valor deve ser dividido em 12 prestações iguais e sucessivas sem a incidência de juros basta dividir o valor por 12 para encontrar o valor da prestação Esse cálculo resulta em R 175000 pois R 2100000 12 R 175000 Agora é só lançar as variáveis na HP12C e apurar a taxa que representará o custo efetivo da operação Importante perceber que mesmo sendo mencionado que a taxa de juros de financiamento é zero a existência de outros custos acessórios à operação de crédito influencia no custo global da operação e a falta da compreensão deste tema pode conduzir o analista a tomar decisões equivocadas Cálculo da quantidade de períodos n O cálculo da quantidade de períodos é muito utilizado para a estimação do prazo ideal de amortização de uma operação de financiamento mediante a capacidade de pagamentos periódicos de um fluxo de caixa Veja o exemplo determinado projeto de investimento exige a captação de R 10000000 em financiamentos Considerando que a capacidade do projeto de devolver o capital financiado é de prestações que não ultrapassem o valor de R 350000 mensalmente perguntase se o custo efetivo da operação de crédito se traduz em uma taxa de juros igual a 13068 ao mês independentemente do prazo qual é o prazo ideal para a amortização do empréstimo A resposta é 36 meses A resolução com a HP12C é apresentada a seguir f CLX X 0 1 xr 9 MEM 5 MDY 0 x 0 x PV CFo 1950000 RPN DMY C Valor financiado sem as taxas 1 xr 7 BEG 5 MDY 0 x CHS DATE PMT CFj 175000 RPN DMY C Valor das parcelas já com as taxas 1 xr 2 ŷr n 12 1200 RPN DMY C Quantidade de prestações i 12 1159 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Taxa ao mês equivalente incluindo todos os custos da operação 36 Taxas de juros aplicadas no mercado financeiro As taxas de juros no mercado financeiro são muito utilizadas para expressar o custo de uma operação financeira ou até mesmo a rentabilidade de um determinado ativo Dependendo do contexto as taxas podem receber diferentes terminologias para melhor evidenciar o que se deseja expressar Os termos mais utilizados são taxa real taxa nominal taxa efetiva e taxa equivalente A aplicação prática de cada um dos termos será demonstrada a seguir Taxa real Segundo Assaf Neto 2016 p 68 o termo real para as operações de Matemática Financeira denota um resultado apurado livre dos efeitos inflacionários Ou seja quanto se ganhou ou perdeu verdadeiramente sem a interferência das variações verificadas nos preços Em outras palavras a taxa real expressa a taxa representativa do aumento ou perda no poder de compra do dinheiro depois de descontado o efeito da inflação Considere o seguinte exemplo um investidor que gastaria o valor de R 100000 há um ano na aquisição de um determinado bem decidiu aplicar a quantia na renda fixa para multiplicar o seu dinheiro e somente hoje após um ano comprar o bem desejado A rentabilidade líquida da aplicação foi de 6 no ano Logo os R 100000 aplicados se transformaram em R 106000 Ocorre que o bem que o investidor compraria que há um ano custava R 100000 hoje custa R 105000 pois teve o seu preço atualizado pela inflação que neste caso foi de 5 no mesmo período Observe que com os R 106000 o investidor pode agora comprar o bem desejado por R 105000 e ainda lhe sobram R 1000 Isso induz ao pensamento que o investidor aumentou o seu poder de compra em apenas R 1000 equivalente a 1 sobre os R 100000 inicialmente aplicados Porém em razão da inflação o bem não custa mais R 100000 e sim R 105000 Logo o poder de compra deve fazer referência ao valor atual do bem o que resulta em um aumento no poder de compra de apenas 095238 no ano Vejamos f CLX X 0 1 xr 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x PV CFo 10000000 RPN DMY C 3 n 5 MDY 0 x 0 x CHS DATE PMT CFj 350000 RPN DMY C Valor máximo das parcelas 1 xr S 3 n 0 x 6 ẍw 8 END i 12 13068 RPN DMY C n 12 3600 RPN DMY C Quantidade de prestações necessárias É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo 37 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑇𝑇𝑅𝑅 1 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑝𝑝𝐸𝐸𝑖𝑖𝐸𝐸𝑇𝑇 1 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑜𝑜𝑝𝑝 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐸𝐸𝑅𝑅𝑇𝑇çã𝑜𝑜 1 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑇𝑇𝑅𝑅 1 006 1 005 1 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑇𝑇𝑅𝑅 106 105 1 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑇𝑇𝑅𝑅 10095238 1 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑇𝑇𝑅𝑅 00095238 𝑜𝑜𝑜𝑜 95238 Taxa nominal Segundo Martinetti Filho 2010 p 73 é a taxa em que a unidade de referência de seu período é diferente da unidade do período de capitalização Geralmente é fornecida em anos Em outras palavras a taxa nominal representa a taxa efetivamente usada para incorporar os juros sobre o capital a cada período multiplicado pela quantidade de vezes que isso ocorrerá em um espaço de tempo geralmente um ano Ou seja podemos afirmar que uma taxa efetiva de 1 ao mês durante um ano 12 meses pode ser expressa como sendo uma taxa nominal de 12 ao ano capitalizada mensalmente Da mesma forma que uma taxa efetiva de 2 ao mês durante o mesmo prazo de um ano pode ser expressa com sendo uma taxa nominal de 24 ao ano capitalizado mensalmente Ocorre porém que o período de capitalização descrito em uma taxa nominal pode influenciar na quantidade de vezes que os juros serão incorporados ao capital principal e isso resultar em valores acumulados diferentes Para melhor evidenciar esse efeito a demonstração será realizada a seguir partindo da atualização de R 100000 por um período de um ano com a taxa nominal de 12 ao ano capitalizada mensalmente em comparativo com a mesma taxa nominal de 12 ao ano porém capitalizada semestralmente 38 Tabela 5 Comparativo entre capitalização mensal e semestral de uma taxa nominal 12 aa Capitalizada ao Mês 1 ao mês 12 aa Capitalizada ao Semestre 6 ao semestre Período Capital Juros ao Mês Período Capital Juros ao Sem Mês 0 100000 Mês 0 100000 Mês 1 101000 1000 Mês 1 100000 Mês 2 102010 1010 Mês 2 100000 Mês 3 103030 1020 Mês 3 100000 Mês 4 104060 1030 Mês 4 100000 Mês 5 105101 1041 Mês 5 100000 Mês 6 106152 1051 Mês 6 106000 6000 Mês 7 107214 1062 Mês 7 106000 Mês 8 108286 1072 Mês 8 106000 Mês 9 109369 1083 Mês 9 106000 Mês 10 110462 1094 Mês 10 106000 Mês 11 111567 1105 Mês 11 106000 Mês 12 112683 1116 Mês 12 112360 6360 Total 100000 12683 Total 100000 12360 Taxa Efetiva no ano 1268 Taxa Efetiva no ano 1236 Note que para aplicarmos a capitalização de uma taxa nominal é importante respeitar o período de capitalização ao qual faz referência logo se a taxa nominal é anual mas a sua capitalização é mensal basta dividir o seu valor por 12 e nesse caso aplicar mensalmente a taxa Da mesma forma que se a taxa nominal for anual mas a sua capitalização for semestral bastará dividir o seu valor por 2 e aplicar a cada semestre afinal são 2 semestres em um ano 39 Importante perceber que os efeitos nos juros resultam em montantes acumulados diferentes No caso descrito na tabela acima se a capitalização for mensal a taxa efetiva gerada foi de 1268 no ano já no caso da capitalização semestral a taxa efetiva gerada foi de 1236 no ano Exemplificando as taxas nominais sem a incidência de outros custos ou valores temos 12 ao ano capitalizados mensalmente equivalem a uma taxa efetiva de 1 ao mês 12 ao ano capitalizados semestralmente equivalem a uma taxa efetiva de 6 ao semestre 24 ao ano capitalizados mensalmente equivalem a uma taxa efetiva de 2 ao mês 24 ao ano capitalizados semestralmente equivalem a uma taxa efetiva de 12 ao semestre 12 ao ano capitalizados bimestralmente equivalem a uma taxa efetiva de 2 ao bimestre 12 ao ano capitalizados trimestralmente equivalem a uma taxa efetiva de 3 ao trimestre Taxa efetiva Segundo Vieira Sobrinho 2018 p 164 taxa efetiva é a taxa de juros calculada com base no valor efetivamente emprestado ou aplicado e no valor efetivamente recebido ou resgatado o qual leva em conta eventuais despesas do contrato com taxas de administração comissões impostos e outras Em outras palavras a taxa efetiva é a taxa que representa o percentual a ser aplicado período a período para se calcular o valor atualizado já considerando todos os custos envolvidos na operação A taxa de juros efetiva é a base para o cálculo do custo efetivo total da operação financeira também chamada de CET Exemplo Considere um empréstimo de R 1000000 para ser pago em 30 dias com a aplicação de uma taxa de juros de 10 ao mês porém para a tomada do recurso existe uma tarifa de contrato igual a R 50000 São dois os cenários possíveis Cenário 1 o valor de R 50000 referente à tarifa sendo pago na tomada do recurso será o mesmo que tomar emprestado apenas R 950000 pois R 1000000 R 50000 R 950000 Porém para quitar a operação após um mês o valor devido será de R 1100000 pois R 1000000 R 1000000 10 R 1100000 Neste caso a taxa efetiva da operação será de 1579 no mês afinal R 1100000 R 950000 11579 Cenário 2 o valor de R 50000 referente à tarifa sendo financiado com a operação para possibilitar ao tomador receber os R 1000000 propostos resultará em um valor de empréstimo igual a R 1050000 Considerando que a taxa aplicada é de 10 ao mês e que o valor será quitado 30 dias após a tomada do recurso o valor necessário para quitar o empréstimo será de R 1155000 uma vez que R 1050000 R 1050000 10 R 1155000 Neste caso a taxa efetiva da operação será de 1550 no mês afinal R 1155000 R 1000000 11550 40 Taxas equivalentes Taxas equivalentes são as taxas que aplicadas sobre o mesmo capital no mesmo prazo geram o mesmo resultado mesmo que se referenciem a períodos de capitalização diferentes Exemplificando temos que aplicando R 100000 pelo prazo de um ano usando taxas que se referem a períodos diferentes podese chegar a um mesmo valor acumulado Neste caso as taxas serão equivalentes Observe 1 ao mês durante 12 meses um ano sobre R 100000 resultará em R 112682 e 12682 ao ano por um ano 12 meses sobre R 100000 resultará em R 112682 Logo as taxas de 10 ao mês e 12682 ao ano são equivalentes no regime de juros compostos Caso se deseje transformar uma taxa ao mês em uma taxa ao ano basta capitalizar a taxa A expressão é a seguinte 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 1 100 Onde 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 taxa de juros capitalizada equivalente ao período maior de tempo i taxa de juros referenciada a um intervalo menor de tempo n quantidade de períodos em que se deseja capitalizar a taxa Fazendo referência ao exemplo citado anteriormente temos 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 1 𝑖𝑖𝑛𝑛 1 100 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 1 00112 1 100 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 10112 1 100 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 112682 1 100 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 012682 100 𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 12682 41 Agora caso se deseje transformar uma taxa ao ano em uma taxa ao mês basta descapitalizar a taxa A expressão é a seguinte 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 1 𝑖𝑖 1 𝑛𝑛 1 100 Onde 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 taxa de juros descapitalizada equivalente ao período menor de tempo i taxa de juros referenciada a um intervalo maior de tempo n quantidade de períodos em que se deseja descapitalizar a taxa Na mesma linha do exemplo anterior temos 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 1 𝑖𝑖 1 𝑛𝑛 1 100 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 1 012682 1 12 1 100 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 112682 1 12 1 100 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 112682008333333 1 100 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 101 1 100 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 001 100 𝑖𝑖𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 100 42 A calculadora HP12C permite mediante alguns procedimentos calcular a taxa equivalente rapidamente contudo é importante compreender a lógica por trás dos cálculos Os passos são os seguintes Transformar a taxa de 1 ao mês na sua taxa equivalente ao ano O mesmo pode ser aplicado para o procedimento inverso transformar a taxa de 12682 ao ano na sua taxa equivalente ao mês f CLX X 0 1 xr PV CFo 100 RPN DMY C Valor fixo para todos os casos 1 xr i 12 100 RPN DMY C A taxa a ser convertida 1 xr 2 ŷr n 12 1200 RPN DMY C FV Nj 112682 RPN DMY C Resultado evidenciando o montante capitalizado 1 xr n 12 100 RPN DMY C Se do período menor para o maior coloque o menor i 12 12682 RPN DMY C Resultado taxa equivalente a um período f CLX X 0 1 xr PV CFo 100 RPN DMY C Valor fixo para todos os casos 1 xr 2 ŷr S 6 ẍw 8 END 2 ŷr i 12 12682 RPN DMY C A taxa a ser convertida 1 xr n 12 100 RPN DMY C Se do período maior para o menor coloque o menor FV Nj 112682 RPN DMY C Resultado evidenciando o montante capitalizado 1 xr 2 ŷr n 12 1200 RPN DMY C i 12 100 RPN DMY C Resultado taxa equivalente a um período Se do período menor para o maior coloque o maior É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Se do período maior para o menor coloque o maior É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Neste módulo serão apresentados os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos mais utilizados no mercado financeiro e como se comportam quando são aplicadas taxas variáveis ou indexadas a um indicador econômico Para a compreensão dos efeitos dos diferentes sistemas de amortização é altamente relevante a elaboração dos fluxos de caixa de um projeto de investimento e a análise da sua viabilidade quando os investimentos possuem parte financiada com capital de terceiros Portanto entender como são estruturados os cálculos inerentes aos sistemas de amortização é fundamental para que o investidor saiba como melhor se financiar e rentabilizar o seu negócio Nesse sentido ainda neste módulo serão apresentadas as diferentes séries de pagamentos existentes e o comportamento dos juros nos casos de parcelas fixas com carência ou reforços sejam eles reforços intermediários ou apenas no final da operação de crédito Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos Segundo Vieira Sobrinho 2018 p 127 um sistema de amortização nada mais é do que um plano composto por pagamentos periódicos para liquidação de um empréstimo ou de um financiamento de curto ou de longo prazo Em outras palavras os sistemas de amortização descrevem a dinâmica em que o saldo devedor de um empréstimo vai sendo liquidado e o valor das parcelas necessárias para tal Os principais sistemas de amortização utilizados no mercado financeiro serão apresentados a seguir mas antes é importante compreender os princípios básicos que regem todos os sistemas MÓDULO III SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E SÉRIES DE PAGAMENTOS 44 Princípios básicos dos sistemas de amortização Os sistemas de amortização podem estar estruturados de diferentes formas com parcelas fixas com parcelas decrescentes com reforços periódicos ou até mesmo com apenas uma amortização ao final do prazo da operação de crédito Porém todos os sistemas possuem um mesmo princípio para que a parcela tenha capacidade de amortizar ao menos uma parte da dívida ela deverá ser maior do que os juros referentes ao período de capitalização Dessa forma com exceção do sistema de amortização americano é muito comum que a prestação referente a qualquer empréstimo seja composta do total dos juros referente ao período mais uma parte destinada à amortização da dívida Sistema de Amortização com Prestações Constantes Price O sistema de amortização com prestações constantes também conhecido como sistema da Tabela Price é um dos sistemas de amortizações mais utilizados no mercado financeiro principalmente nas operações de empréstimos e financiamentos bancários O sistema de amortização baseado na Tabela Price consiste basicamente em estruturar um valor de amortização mais os juros do respectivo período de forma que somados produzam um valor de prestação constante durante todo prazo da operação de crédito desta forma facilitando o planejamento financeiro e estruturação de uma análise de investimento A estrutura do cálculo do sistema de amortização com prestações constantes será demonstrada a seguir partindo do seguinte exemplo empréstimo no valor de R 500000 ao custo financeiro de 10 ao período para ser quitado mediante o pagamento de cinco prestações iguais e sucessivas calculadas pelo sistema Price de amortização Tabela 6 Cálculo do Sistema de Amortização com Parcela Constante Tabela Price Sistema de Amortização com Prestação Constante Tabela Price Saldo Devedor Prestação Juros 10 ao per Amortização Valor da Prestação 500000 1 de 5 50000 81899 131899 418101 2 de 5 41810 90089 131899 328013 3 de 5 32801 99097 131899 228915 4 de 5 22892 109007 131899 119908 5 de 5 11991 119908 131899 000 Total 159494 500000 659494 000 45 Note que nesse caso a prestação por ser constante produz uma amortização crescente ao passo que o valor de juros é decrescente na medida em que o saldo devedor vai sendo amortizado Observe ainda que o valor dos juros calculados e pagos a cada período corresponde exatamente ao valor da taxa neste caso 10 ao período aplicada sobre o saldo devedor período a período O exemplo demonstra que foram tomados R 500000 e pagas cinco prestações iguais e sucessivas no valor de R 131899 cada que totalizam R 659494 de desembolso total durante o prazo da operação sendo que desse valor R 500000 são para amortizar 100 da dívida e a diferença de R 159494 se refere ao total dos juros calculados e pagos durante toda a operação Normalmente em razão do objetivo desse sistema de amortização ser o cálculo de uma prestação constante durante todo o prazo da operação o calendário utilizado é o calendário comercial considerando que todos os meses possuem 30 dias até mesmo o mês de fevereiro Tal situação permite por exemplo a fixação de um dia no mês para vencimento de cada prestação e com isso facilitar na prática o planejamento financeiro dos fluxos de caixa Sistema de Amortização com a Amortização Constante SAC Diferentemente do sistema de amortização com prestações constantes o sistema de amortização com a amortização constante também conhecido como sistema da Tabela SAC é muito utilizado para financiamentos imobiliários O sistema SAC de amortização possui prestações variáveis e decrescentes O sistema de amortização com a amortização constante consiste basicamente em estruturar um fluxo de pagamentos de forma que a prestação paga periodicamente tenha a capacidade de amortizar igualitariamente parte da dívida a cada período Ou seja por exemplo se o empréstimo foi realizado em três prestações a amortização de cada prestação será de 13 um terço da dívida a cada período da mesma forma que se for realizado um financiamento para ser quitado em 10 prestações a amortização de cada prestação será equivalente a 110 um décimo do valor financiado A estrutura do cálculo do sistema de amortização com amortização constante será demonstrada a seguir partindo do seguinte exemplo empréstimo no valor de R 500000 ao custo financeiro de 10 ao período para ser pago em cinco prestações sucessivas calculadas pelo sistema de amortização constante 46 Tabela 7 Cálculo do Sistema de Amortização Constante Tabela SAC Sistema de Amortização com Amortização Constante Tabela SAC Saldo Devedor Prestação Juros 10 ao per Amortização Valor da Prestação 500000 1 de 5 50000 100000 150000 400000 2 de 5 40000 100000 140000 300000 3 de 5 30000 100000 130000 200000 4 de 5 20000 100000 120000 100000 5 de 5 10000 100000 110000 000 Total 150000 500000 650000 000 Note que nesse caso em razão de a amortização ser constante a prestação tornase variável e decrescente Observe ainda que o valor dos juros calculados e pagos a cada período corresponde exatamente ao valor da taxa neste caso 10 ao período aplicado sobre o saldo devedor período a período O exemplo demonstra que foram tomados R 500000 e pagas cinco prestações variáveis e decrescentes que totalizam R 650000 de desembolso total durante o prazo da operação sendo que desse valor R 500000 são para amortizar 100 da dívida e a diferença de R 150000 se refere ao total dos juros calculados e pagos durante toda a operação O sistema de amortização pela Tabela SAC também é muito utilizado por proporcionar facilidade na compreensão dos cálculos Por exemplo no caso acima como foram tomados R 500000 emprestados para serem quitados em cinco prestações o saldo devedor para quitar integralmente o empréstimo imediatamente após o pagamento da prestação de cada período será o valor do empréstimo dividido pela quantidade de prestações totais multiplicado pelo número de prestações que faltam pagar Exemplificando caso se deseje saber o saldo para quitar o empréstimo imediatamente após o pagamento da segunda prestação basta dividir R 500000 por cinco prestações que é o total de prestações da operação e multiplicar por três prestações que ainda restam O saldo será de R 300000 que pode ser confirmado observandose a tabela 7 acima Outro diferencial para fins de planejamento financeiro é que como normalmente os empréstimos para aquisição de imóveis são de prazos bem longos o risco de inadimplemento futuro tende a diminuir uma vez que a expectativa é de que com o passar do tempo as pessoas busquem aumentar a sua renda e com prestações diminuindo o valor do impacto nos fluxos de caixa vai diminuindo ao longo do tempo 47 Sistema de Amortização Misto SAM O sistema de amortização misto SAM segundo Assaf Neto 2016 p 215 foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação Esclarece ainda que este sistema representa basicamente a média aritmética entre o sistema de amortização calculado pela Tabela Price e o sistema de amortização calculado pela Tabela SAC dando origem à denominação Mista Tabela Mista ou ainda Sistema de Amortização Misto A demonstração da estrutura de cálculo do sistema de amortização misto tomará por base os exemplos descritos anteriormente para a Tabela Price e a Tabela SAC considerando a mesma operação de R 500000 ao custo financeiro de 10 ao período para ser quitado mediante o pagamento de cinco prestações sucessivas porém agora calculadas pelo sistema de amortização misto Tabela 8 Cálculo do Sistema de Amortização Misto Tabela SAM Sistema de Amortização Misto Tabela SAM Saldo Devedor Prestação Juros 10 ao per Amortização Valor da Prestação 500000 1 de 5 50000 90949 140949 409051 2 de 5 40905 95044 135949 314006 3 de 5 31401 99549 130949 214458 4 de 5 21446 104504 125949 109954 5 de 5 10995 109954 120949 000 Total 154747 500000 654747 000 Observe que o valor das prestações calculadas pelo sistema de amortização misto é exatamente a média aritmética do valor da prestação calculado pela Tabela Price e pela Tabela SAC Sistema de Amortização Americano SAA O sistema de amortização americano SAA segundo Assaf Neto 2016 p 218 estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez Dessa forma não são previstas amortizações parciais no transcorrer do prazo total da operação de empréstimo contudo os juros são pagos integralmente a cada período 48 A demonstração da estrutura de cálculo do sistema de amortização americano será apresentada a seguir partindo do seguinte exemplo empréstimo no valor de R 500000 ao custo financeiro de 10 ao período que deverá ser amortizado pelo sistema americano ou seja amortização única ao final do último período contudo os juros deverão ser pagos integralmente a cada período Tabela 9 Cálculo do Sistema de Amortização Americano Tabela SAA Sistema de Amortização Americano Tabela SAA Saldo Devedor Prestação Juros 10 ao per Amortização Valor da Prestação 500000 1 de 5 50000 000 50000 500000 2 de 5 50000 000 50000 500000 3 de 5 50000 000 50000 500000 4 de 5 50000 000 50000 500000 5 de 5 50000 500000 550000 000 Total 250000 500000 750000 000 Note que nesse caso em razão de a amortização ser apenas no último período as prestações com exceção da última são compostas basicamente dos juros calculadas sobre o saldo devedor Considerando que o saldo devedor permanece constante durante toda a operação os juros também serão constantes O exemplo demonstra que foram tomados R 500000 e pagas quatro prestações compostas basicamente dos juros e mais uma prestação no final do prazo total da operação composta de juros e amortização integral do saldo devedor Nesse sentido os pagamentos totalizaram R 750000 sendo que desse valor R 500000 são para amortizar 100 da dívida e a diferença de R 250000 se refere ao total dos juros calculados e pagos durante toda a operação Análise comparativa entre os sistemas de amortização Os pagamentos realizados para quitar um empréstimo independentemente do sistema de amortização utilizado devem ser capazes de amortizar integralmente a dívida e remunerar adequadamente o saldo devedor a cada período Nesse sentido embora a taxa de juros seja a mesma em todos os sistemas os juros totais pagos em cada sistema serão diferentes ou seja o total desembolsado pelo devedor dependerá do sistema que foi adotado Essa análise comparativa é altamente relevante para que se verifique qual sistema possuirá melhor aderência aos fluxos de caixa de que o devedor vai dispor para fazer frente ao empréstimo tomado A análise será realizada a seguir 49 Figura 1 Saldo devedor conforme o sistema de amortização evolução comparativa Ao analisar os dados descritos acima é possível verificar que na Tabela SAC o saldo diminui linearmente período a período já na Tabela Price o saldo devedor diminui mais lentamente e na Tabela SAM é exatamente a média dos saldos das duas tabelas anteriores O saldo devedor na Tabela SAA não sofre mutação até ser quitado no último período e naturalmente tal situação influencia no volume de juros calculados A seguir será apresentado um comparativo de desembolso total em cada sistema de amortização e a parcela equivalente aos juros de cada sistema Figura 2 Juros e desembolso conforme o sistema de amortização evolução comparativa 50 Ao verificar os dados descritos acima é possível constatar que o total de juros pagos é menor na Tabela SAC e maior nas demais Lembrando que a taxa de juros aplicada é a mesma para todos os sistemas exemplificados Porém em razão de o saldo devedor variar diferentemente em cada sistema será diferente também o desembolso total Importante lembrar também que embora o sistema de amortização pela Tabela SAA possua um maior desembolso global o seu sistema de amortização favorece o desenvolvimento de projetos de investimentos com prazo de maturação mais alongado uma vez que até a quitação do empréstimo que ocorrerá ao final do último período serão pagos apenas os juros período a período Tal situação favorece e gera alívio nos fluxos de caixa de quem tomou o empréstimo Comportamento dos sistemas de amortização com atualização monetária Nos empréstimos com prazos mais alongados dada a dificuldade de previsão da inflação segundo Hazzan e Pompeo 2015 p 255 automaticamente existe a dificuldade de se estabelecer uma taxa de juros fixa para todo o período do empréstimo Por essa razão nos financiamentos imobiliários por exemplo são utilizados indexadores de atualização monetária Para simplificar a compreensão de como são aplicados os índices de atualização monetária e os seus impactos basta partir de um sistema de amortização qualquer e aplicar um índice de atualização acumulado até o seu respectivo período em cada variável que compõe a planilha de cálculo do sistema de amortização escolhido 51 A exemplificação será demonstrada a seguir Diagrama 3 Aplicação da atualização monetária nos empréstimos Basta multiplicar cada valor da tabela pelo índice de Atualização Acumulado até o seu respectivo período Tabela Base de Exemplo sem a Aplicação da Atualização Monetária Parcela Juros Amortização Prestação Saldo Devedor 0 de 5 000 000 000 500000 1 de 5 50000 81899 131899 418101 2 de 5 41810 90089 131899 328013 3 de 5 32801 99097 131899 228915 4 de 5 22892 109007 131899 119908 5 de 5 11991 119908 131899 000 Total 159494 500000 659494 000 Atualização Monetária do Período Índice de Atualização Acumulado Tabela de Exemplo com a Aplicação da Atualização Monetária Parcela Juros Amortização Prestação Saldo Devedor 00000 10000000 0 de 5 000 000 000 500000 04050 10040500 1 de 5 50203 82230 132433 419795 05926 10100000 2 de 5 42228 90990 133218 331293 10000 10201000 3 de 5 33461 101089 134550 233516 01000 10211201 4 de 5 23375 111309 134684 122440 05000 10262257 5 de 5 12305 123053 135358 000 Total 161572 508671 670243 000 52 Séries de pagamentos O entendimento da sistemática dos cálculos das séries de pagamentos advém da compreensão dos sistemas de amortização uma vez que as séries de pagamentos são basicamente utilizadas para a quitação de um empréstimo ou financiamento ou acúmulo de capital no caso de recebimentos Para melhor evidenciar o comportamento das séries de pagamentos mais utilizadas no mercado corporativo e facilitar a sua comparação entre elas todas as séries descritas a seguir usarão um mesmo exemplo de valor prazo e taxa Série de pagamentos postecipados A série de pagamentos postecipados é muito frequente nos empréstimos e financiamentos bancários Consiste basicamente em captar um valor e realizar o pagamento mediante prestações periódicas e sucessivas compostas de juros mais a amortização sendo que a primeira prestação ocorre já ao final do primeiro período Considere o seguinte exemplo calcular o valor das prestações postecipadas ao custo financeiro de 2 ao mês capazes de quitar um financiamento no valor de R 1000000 em 36 prestações mensais e iguais A resposta é R 39233 A seguir a resolução com o uso da HP12C Série de pagamentos antecipados A série de pagamentos antecipados consiste basicamente em parcelamentos quando as prestações ocorrem no início de cada período Atenção Não se trata necessariamente de parcelamentos com entrada mais parcelas fixas uma vez que a entrada pode ter um valor diferente da prestação periódica Considere o seguinte exemplo calcular o valor das prestações antecipadas ao custo financeiro de 2 ao mês capazes de quitar um financiamento no valor de R 1000000 em 36 prestações mensais e iguais A resposta é R 38464 f CLX X 0 1 xr 0 x 0 x 0 x 0 x PV CFo 1000000 RPN DMY C 3 n 6 ẍw n 12 3600 RPN DMY C 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C PMT CFj 39233 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo 53 A calculadora HP12C vem preparada também para calcular prestações considerando a série antecipada basta configurála pressionando a tecla e na sequência a tecla Observe que na parte de baixo do visor da calculadora aparecerá escrito BEGIN indicando que a configuração foi realizada adequadamente Para voltar a calculadora para o padrão de cálculo com parcelas considerado as séries postecipadas basta pressionar novamente a tecla e na sequência a tecla Nesse caso o escrito BEGIN desaparecerá indicado que agora a calculadora está configurada no seu padrão de fábrica que é o modo END ou seja considera que as parcelas ocorrem ao final de cada período A seguir a resolução com o uso da HP12C utilizando a configuração no modo BEGIN Observe que os passos na calculadora são os mesmos utilizados no cálculo com séries postecipadas o que mudou foi apenas a configuração da calculadora Observe ainda que a prestação calculada considerando a série antecipada resultou menor R 38464 do que a prestação calculada anteriormente considerando a série postecipada R 39233 A lógica é bem simples como na série antecipada a prestação ocorre no início de cada período a primeira prestação é composta basicamente de amortização uma vez que não transcorreu o prazo necessário para gerar juros logo o efeito é de um valor financiado menor Outra forma de calcular a prestação antecipada sem se preocupar em ter de configurar a calculadora para o modo BEGIN é calcular a prestação normalmente utilizando o padrão de fábrica que é o modo END e depois antecipar o valor da prestação por um período g 7 BEG g 8 END g 7 BEG Configurando a calculadora para o modo BEGIN f CLX X 0 1 xr 0 x 0 x 0 x 0 x PV CFo 1000000 RPN BEGIN DMY C 3 n 6 ẍw n 12 3600 RPN BEGIN DMY C 2 ŷr i 12 200 RPN BEGIN DMY C PMT CFj 38464 RPN BEGIN DMY C Observe que está aparecendo o escrito BEGIN no visor É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo 54 Tomando por base o cálculo da prestação realizado considerando a série postecipada basta proceder da seguinte forma Note que o princípio aplicado para calcular a prestação antecipada partindo do valor da prestação postecipada é o princípio básico de atualização do valor do dinheiro no tempo ou seja se existe um valor no futuro e desejo encontrar o seu equivalente no presente basta aplicar a taxa de juros pactuada pelo prazo existente entre as duas datas O interessante de aprender a calcular as parcelas dessa forma é não precisar se preocupar de terse esquecido de voltar a calculadora para o modo END e acabar calculado o valor das prestações equivocadamente Esse princípio também torna o cálculo das prestações quando existe carência mais simples Série de pagamentos com carência As séries de pagamentos com carências ocorrem quando são convencionados prazos superiores a um período para o início da amortização do valor emprestado Os valores dos juros durante o período de carência podem ser pagos periodicamente para evitar que a dívida aumente ou incorporados ao valor principal e parcelados juntamente com o valor financiado o que naturalmente resultará em prestações maiores Considere o seguinte exemplo calcular o valor das prestações postecipadas ao custo financeiro de 2 ao mês capazes de quitar um financiamento no valor de R 1000000 em 36 prestações mensais e iguais sendo que a primeira parcela acontecerá ao final do terceiro mês A resposta é R 40818 Importante notar que as prestações calculadas considerando a série postecipada já consideram que o primeiro desembolso somente ocorrerá ao final do primeiro período logo para calcular o valor da prestação considerando que o primeiro pagamento acontecerá ao final do terceiro período basta atualizar o valor da prestação por mais dois meses da mesma forma que se o primeiro pagamento ocorresse ao final do 6º mês bastaria atualizar por mais cinco Embora anteriormente já se tenha calculado o valor da prestação postecipada sem carência anteriormente a demonstração será realizada novamente para fins didáticos f CLX X 0 3 n 9 MEM 2 ŷr S 3 n 3 n FV Nj 39233 RPN DMY C 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C Taxa de juros utilizada para calcular as prestações 1 xr n 12 100 RPN DMY C 1 indicando que antecipará do final para o início PV CFo 38464 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Prestação ao final de um período Valor das prestações se antecipadas em um período 55 A seguir a resolução com o uso da HP12C Agora basta atualizar o seu valor por mais dois períodos uma vez que se pede calcular a prestação ao final do terceiro período Observe que o princípio utilizado para o cálculo da prestação com carência é o mesmo da correção do valor do dinheiro no tempo a uma determinada taxa e um prazo específico Naturalmente os valores das prestações corrigidas para que o primeiro pagamento ocorra ao final do terceiro mês R 40818 é maior do que o valor das prestações calculadas se o primeiro pagamento ocorrer ao final do primeiro período R 39233 Isso se dá em razão de o valor financiado incorporar os juros referentes ao período de carência na dívida Outra forma de calcular a prestação considerando o período de carência é capitalizar o valor total financiado durante o período em que não há pagamentos e calcular as prestações partindo da dívida capitalizada Os passos na calculadora HP12C são os seguintes f CLX X 0 1 xr 0 x 0 x 0 x 0 x PV CFo 1000000 RPN DMY C 3 n 6 ẍw n 12 3600 RPN DMY C 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C PMT CFj 39233 RPN DMY C f CLX X 0 3 n 9 MEM 2 ŷr S 3 n 3 n PV CFo 39233 RPN DMY C Prestação ao final de um período 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C Taxa de juros utilizada para calcular as prestações 2 ŷr n 12 200 RPN DMY C 2 para corrigir as prestações por mais dois períodos FV Nj 40818 RPN DMY C f CLX X 0 1 xr 0 x 0 x 0 x 0 x PV CFo 1000000 RPN DMY C 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C Taxa de juros utilizada para calcular as prestações 2 ŷr n 12 200 RPN DMY C FV Nj 1040400 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Valor da prestação postecipada ao final do primeiro período É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Valor das prestações corrigidas após dois períodos ao final do 3º período É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Valor financiado no momento 0 zero 2 para incorporar os juros de dois períodos no financiamento Valor da dívida corrigido com a incorporação dos juros de dois períodos 56 Agora basta partir do valor da dívida corrigido e calcular normalmente as prestações Série de pagamentos com reforço no último pagamento As séries de pagamentos com reforço no último período são muito utilizadas na aquisição de imóveis na planta por exemplo O objetivo é deixar um valor para ser quitado ao final do último período e com isso gerar prestações periódicas menores Considere o seguinte exemplo calcular o valor das prestações postecipadas ao custo financeiro de 2 ao mês capazes de quitar um financiamento no valor de R 1000000 em 36 prestações mensais e iguais sabendo que juntamente com a última parcela será pago um reforço de R 400000 A resposta é R 31540 A seguir a resolução com o uso da HP12C Importante lembrar que como se trata de um reforço o desembolso total no último período será de R 431540 ou seja o valor da prestação mais o reforço Observe que o valor da prestação R 31540 considerando que haverá um reforço de R 400000 juntamente com a última prestação é menor se comparado ao valor da prestação postecipada calculada sem a ocorrência do reforço R 39233 Tal situação resulta da capacidade que o reforço possui de amortizar parte da dívida restando para as parcelas amortizar um valor menor f CLX X 0 1 xr 0 x 4 DMY 0 x 4 DMY PV CFo 1040400 RPN DMY C Novo valor financiado já corrigido 3 n 6 ẍw n 12 3600 RPN DMY C 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C Taxa de juros pactuada PMT CFj 40818 RPN DMY C f CLX X 0 1 xr 0 x 0 x 0 x 0 x PV CFo 1000000 RPN DMY C 3 n 6 ẍw n 12 3600 RPN DMY C 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C 4 DMY 0 x 0 x 0 x CHS DATE FV Nj 400000 RPN DMY C PMT CFj 31540 RPN DMY C Valor das prestações mensais É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Número de prestações para quitar o financiamento Valor das prestações considerando o novo valor financiado É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Reforço negativo por ser um desembolso 57 O valor que matematicamente o reforço possui capacidade de quitar da dívida é possível de ser calculado simplesmente trazendo o valor do reforço que ocorre ao final do último período para a data presente aplicando a taxa de juros convencionada Os passos com a HP12C são os seguintes Portanto como o reforço na última prestação possui capacidade de amortizar R 196089 da dívida sobra para as parcelas amortizar apenas a diferença ou seja R 803911 pois R 1000000 R 196089 R 803911 Importante perceber que como se optou por fazer o pagamento do reforço ao final do último período a capacidade de amortização das prestações diminuiu e isso naturalmente resultará em um total de juros desembolsados durante todo prazo da operação maior Veja considerando que o valor das prestações postecipadas sem a incidência do reforço resultou no valor de R 39233 para calcular o total de juros pagos basta multiplicar o valor das parcelas pelo número de prestações e subtrair do valor inicialmente financiado isso resulta em R 412388 de juros pois R 39233 36 R 1412388 e R 1412388 R 1000000 R 412388 Já os juros totais desembolsados com a operação considerando o valor das prestações postecipadas com a incidência de um reforço ao final do último período resultou no valor de R 535440 pois R 31540 36 R 1135440 e R 1135440 R 400000 R 1000000 R 535440 Ou seja embora exista minimização do impacto da prestação nos fluxos de caixa dos primeiros 35 períodos da operação o desembolso global é maior em razão do adiamento da amortização Série de pagamentos com reforços intermediários ou periódicos A série de pagamentos com reforços intermediários ou periódicos funciona com o mesmo princípio de amortização descrito anteriormente porém aplicado respectivamente para cada reforço A série de pagamento com reforços intermediários é muito utilizada para financiamento de negócios em setores que o nível de atividade é sazonal f CLX X 0 4 DMY 0 x 0 x 0 x FV Nj 400000 RPN DMY C Valor do reforço no último período 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C Taxa de juros utilizada para calcular as prestações 3 n 6 ẍw n 12 3600 RPN DMY C Número de períodos que se deseja antecipar PV CFo 196089 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Valor do reforço no presente Capacidade de amortização do reforço 58 Considere o seguinte exemplo calcular o valor das prestações postecipadas ao custo financeiro de 2 ao mês capazes de quitar um financiamento no valor de R 1000000 em 36 prestações mensais e iguais sabendo que a cada 12 prestações serão pagos reforços de R 100000 cada juntamente com a parcela A resposta é R 31777 Antes de calcular o valor das prestações é necessário verificar qual capacidade de amortização da dívida que os reforços possuem Os passos são descritos a seguir como os reforços ocorrem com a periodicidade de 12 meses é preciso verificar qual é a taxa de juros equivalente a um período de um ano a partir da taxa de 2 ao mês A resposta é 268242 ao ano Na HP12 temos o seguinte De posse da taxa anual equivalente é possível calcular o valor presente dos três reforços anuais de uma só vez e verificar o potencial de amortização A capacidade de amortização é de R 190044 Os passos na HP12C são os seguintes Como a capacidade de amortização da dívida que os reforços possuem é de R 190044 restam apenas R 809956 a serem amortizados pelas prestações pois R 1000000 R 190044 R 809956 f CLX X 0 1 xr PV CFo 100 RPN DMY C Valor fixo para todos os casos 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C A taxa a ser convertida 1 xr 2 ŷr n 12 1200 RPN DMY C FV Nj 1268242 RPN DMY C Resultado evidenciando o montante capitalizado 1 xr n 12 100 RPN DMY C 1 para transformar a taxa para o período de um ano i 12 268242 RPN DMY C Resultado taxa equivalente a um ano f CLX X 0 1 xr 0 x 0 x 0 x PMT CFj 100000 RPN DMY C Valor dos reforços periódicos 2 ŷr 6 ẍw S 8 END 2 ŷr 4 DMY 2 ŷr i 12 268242 RPN DMY C Taxa anualizada 3 n n 12 300 RPN DMY C Quantidade de reforços Um a cada 12 prestações PV CFo 190044 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Quantidade de períodos que se deseja transformar em 1 Capacidade a amortização da dívida que os três reforços possuem É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo 59 Basta agora calcular o valor das prestações considerando o valor financiado de R 809956 Os passos são os seguintes Da mesma forma que os exemplos anteriores para calcular o valor total de juros desembolsados decorrente dessa operação basta multiplicar o valor R 31777 por 36 prestações somar os três reforços de R 100000 cada e subtrair do valor inicialmente financiado de R 1000000 O resultado será de R 443972 f CLX X 0 8 END 0 x 9 MEM 9 MEM S 5 MDY 6 ẍw PV CFo 809956 RPN DMY C 3 n 6 ẍw n 12 3600 RPN DMY C 2 ŷr i 12 200 RPN DMY C PMT CFj 31777 RPN DMY C Valor das prestações mensais É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Para a verificação da viabilidade aplicando o método de cálculo do valor presente líquido basta calcular o valor presente de cada um dos fluxos de caixa futuros projetados e subtrair do investimento inicial Algebricamente os cálculos são VPL VPdo Fcx 1 VPdo Fcx 2 VPdo Fcx 3 VPdo Fx 4 Investimento VPL Fcx1 1 i1 Fcx2 1 i2 Fcx3 1 i3 Fcx4 1 i4 Investimento VPL 3 1 015201 5 1 015202 7 1 015203 7 1 015204 10 VPL 3 11520 5 13271 7 15288 7 17612 10 VPL 2604 3768 4579 3974 10 VPL 14925 10 VPL 4925 VPL Positivo Como o resultado do VPL foi positivo significa dizer que o projeto em análise possui a capacidade de remunerar a rentabilidade exigida pelos investidores de 1520 ao ano sobre o capital aplicado devolver o capital total investido e ainda gerar um ganho adicional equivalente a R 4925 milhões no momento presente Nesse sentido considerase viável a aquisição do braço mecânico para aumentar a velocidade de produção da fábrica A calculadora HP12C possui a funcionalidade de calcular o VPL de um fluxo de caixa bastando para isso digitar os valores dos fluxos de caixa na ordem cronológica inserir a rentabilidade exigida na variável i pressionar a tecla f e na sequência a tecla PV CF0 A função na cor laranja a que se está acessando é a NPV sigla em inglês para Net Present Value que em português significa Valor Presente Líquido Os fluxos de caixa são inseridos na calculadora usando a função azul das teclas que é acionada por meio da tecla g Para inserir o valor do fluxo de caixa 0 inicial neste exemplo o investimento basta digitar o valor aplicado na sequência pressionar a tecla CHS DATE pois se trata de um desembolso e posteriormente as teclas g e PV CF0 uma após a outra Para inserir os demais fluxos de caixa basta digitar o valor resultante do fluxo de caixa pressionar a tecla g e posteriormente a tecla PMT CFj sempre observando se corresponde a uma entrada ou saída de caixa Também existe a função g FV Nj que serve para informar o número de vezes que o último fluxo de caixa se repete Neste módulo já com o domínio da base matemática necessária para compreender o comportamento dos juros e como eles são calculados serão apresentados os principais métodos de análise de investimentos por meio dos fluxos de caixa aplicados a corporate finance São critérios que permitem ao investidor calcular se um investimento é viável por oferecer a rentabilidade desejada ou se deve ser descartado por não cumprir os requisitos mínimos exigidos Esses requisitos podem ser tanto de rentabilização mínima exigida quanto de prazo máximo de devolução do capital ou ainda ser estruturados para permitir a comparação de performance entre duas opções de investimento Introdução à análise de investimentos A multiplicação do capital é um dos principais objetivos de qualquer investidor Para tanto é altamente importante conhecer as técnicas que permitem verificar se determinado investimento tem a capacidade de remunerar satisfatoriamente o capital nele empregado São diversos os métodos de análise de investimentos existentes contudo alguns são tradicionalmente mais utilizados e todos eles obedecem a um princípio básico para que um investimento seja considerado viável deverá cumprir os requisitos mínimos de rentabilidade e de devolução do capital investido Nesse sentido para a devida aplicação dos métodos de análise de viabilidade é essencial a estimação dos fluxos de caixa dos projetos de investimentos uma vez que são os fluxos de caixa que evidenciarão os volumes de recursos necessários para a implementação de determinado projeto bem como a sua capacidade de geração de caixa para fazer frente aos recursos investidos MÓDULO IV MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS APLICADOS A CORPORATE FINANCE 62 Valor Presente Líquido VPL O valor presente líquido VPL segundo Vieira Sobrinho 2018 p 171 é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos ou recebimentos iguais ou diferentes a uma taxa conhecida e deduzir o valor do fluxo inicial Em outras palavras o valor presente líquido ou simplesmente VPL consiste em calcular o valor presente equivalente de todos os fluxos de caixa futuros de um projeto mediante a aplicação de uma taxa de desconto que expressa a rentabilidade exigida pelo investidor e subtrair desse montante o valor total dos investimentos necessários para a sua implementação Os resultados possíveis são VPL positivo VPL 0 VPL negativo VPL 0 ou VPL nulo VPL 0 As interpretações possíveis para cada resultado são as seguintes VPL positivo ou VPL 0 zero evidencia o ganho adicional de um investimento equivalente no presente após a devolução do capital investido e pagamento da rentabilidade exigida pelo investidor sempre considerando toda vida útil do projeto Portanto caso o VPL resulte positivo o projeto deverá ser considerado viável uma vez que teve a capacidade de devolver o capital investido rentabilizar adequadamente o investimento e ainda gerar um excedente em favor do investidor VPL negativo ou VPL 0 zero evidencia que o projeto de investimento não é capaz de pagar a rentabilidade exigida pelo investidor e ainda devolver todo capital nele investido Desse modo caso o VPL resulte negativo o projeto deverá ser considerado inviável uma vez que não possui a capacidade de devolver o capital investido e ainda rentabilizar adequadamente o capital investido VPL nulo ou VPL 0 zero evidencia que o projeto de investimento cumpre exatamente os requisitos de rentabilidade e de devolução de capital não gerando excedente de resultado mas também não deixando a desejar Ou seja o VPL sendo igual a zero significa dizer que o investimento possui capacidade de devolver o capital investido e remunerar exatamente a rentabilidade exigida para o investimento Sob essa ótica um projeto com o VPL nulo poderia ainda ser considerado viável embora alguns autores optem por mencionar que tal projeto se mostre indiferente para o investidor cabendo a ele decidir se deverá ou não realizar o investimento Em uma abordagem prática apurar o VPL significa verificar quanto um ativo vale a mais ou a menos do que ele custa inclusive descontando a rentabilidade desejada pelo investidor Por essa razão o VPL fornece ao analista uma visão altamente objetiva da geração ou destruição de valor ao implementar um investimento 63 Para melhor compreensão da aplicabilidade dos métodos de análise de viabilidade de investimentos iniciando pelo VPL considere o seguinte exemplo o analista de investimentos da Empresa Fictícia de Tecnologia SA analisa a viabilidade de adquirir um braço mecânico para aumentar a velocidade de produção da sua fábrica de placas de circuito impresso para computadores O braço mecânico possui a vida útil de quatro anos e após esse período o fabricante sugere que seja totalmente trocado Acreditase que com a aquisição do equipamento as receitas aumentarão e gerarão incrementos líquidos nos fluxos de caixa na ordem de R 3 milhões no primeiro ano R 5 milhões no segundo ano e R 7 milhões em cada um dos dois últimos anos de vida útil do braço mecânico Os incrementos líquidos nos fluxos de caixa já consideram os resultados após os pagamentos de todos os custos operacionais em cada ano de operação Os custos de aquisição da máquina incluindo todos os custos logísticos e de instalação para deixar o equipamento pronto para iniciar a operação totalizam R 10 milhões A rentabilidade exigida pelos investidores para que o projeto em análise seja considerado viável é de 1520 ao ano A seguir o diagrama de fluxos de caixa resultantes dos investimentos Diagrama 4 Visão gráfica dos fluxos de caixa do investimento no braço mecânico Questão chave VPL sabendo que o método de análise de investimentos aplicado é o cálculo do Valor Presente Líquido VPL o analista deverá considerar o projeto viável Por quê Segundo Gitman 2010 p 371 a TIR é a taxa de desconto que iguala o VPL de uma oportunidade de investimento a zero isso porque o valor presente das entradas de caixa igualase ao investimento inicial Nesse sentido algebricamente temos t1nFCxt1TIRt FCx0 Gitman 2010 p 372 complementa que calcular a TIR envolve uma técnica complexa de tentativa e erro que testa logicamente diversas taxas de desconto até encontrar aquela que faz com que o valor presente das entradas de caixa do projeto seja idêntico ao investimento inicial Felizmente a calculadora HP12C possui a função de cálculo da TIR que permite ao usuário calcular o seu valor com muita rapidez e simplicidade bastando para isso digitar os valores dos fluxos de caixa na ordem cronológica igualmente ao procedimento utilizado para o cálculo do VPL pressionar a tecla f e na sequência a tecla FV Nj Neste caso a função na cor laranja a que se está acessando é a IRRsigla em inglês para Internal Rate of Return que em português significa Taxa Interna de Retorno Note que para o uso dessa função não é necessário inserir a rentabilidade exigida pelo investimento na variável i uma vez que será a própria calculadora que calculará a rentabilidade média que os fluxos de caixa inseridos oferecerão considerando toda a vida útil do projeto em análise Os fluxos de caixa são digitados na calculadora e inseridos por meio do uso das teclas g PV CF0 PMT CFj e FV Nj da mesma forma que utilizado anteriormente para o cálculo do VPL Para calcular a TIR do exemplo descrito anteriormente e que está esquematizada no diagrama 4 os passos são os seguintes f CLX x0 É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo 1 0 CHS DATE g PV CF0 Insere o investimento negativo no fluxo de caixa 0 inicial 3 g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 1 positivo 5 g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 2 positivo 7 g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 3 positivo 7 g PMT CFj ou 2 g FV Nj Informa que são dois fluxos no valor de 7 Ano 3 e Ano 4 f FV Nj 3456 RPN DMY C Aparece a IRR ou em português TIR No caso 3456 ao ano 65 A representação gráfica do cálculo do VPL para o exemplo descrito anteriormente será apresentada a seguir e na sequência os passos para a resolução com o uso da calculadora HP12C Diagrama 5 Visão gráfica do cálculo do VPL do investimento no braço mecânico Na calculadora HP12C a sequência das teclas para a resolução é a seguinte Observe que como a rentabilidade exigida pelos investidores é de 1520 ao ano e o VPL positivo indica que a rentabilidade foi alcançada devolveu o capital investido e ainda resultou em ganho adicional presumirseá que a rentabilidade média do projeto é superior à taxa mínima de atratividade Para apurar a taxa de retorno que o projeto oferece devese calcular a Taxa Interna de Retorno ou simplesmente TIR f CLX X 0 1 xr 0 x CHS DATE g PV CFo Insere o investimento negativo no fluxo de caixa 0 inicial 3 n g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 1 positivo 5 MDY g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 2 positivo 7 BEG g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 3 positivo 7 BEG g PMT CFj ou 2 ŷr g FV Nj 1 xr 5 MDY S 2 ŷr i 12 Insere a taxa de rentabilidade desejada taxa de desconto f PV CFo 49250 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Informa que são dois fluxos no valor de 7 Ano 3 e Ano 4 Aparece o NPV ou em português VPL No caso positivo 66 Taxa Interna de Retorno TIR A taxa interna de retorno segundo Assaf Neto 2016 p 158 é a taxa de juros desconto que iguala em determinado momento do tempo o valor presente das entradas recebimentos com o das saídas pagamentos previstas de caixa Em outras palavras a Taxa Interna de Retorno ou simplesmente TIR é a taxa média de retorno período após período que determinado fluxo de caixa oferece considerando toda a vida útil do projeto em análise Comparando os valores possíveis da Taxa Interna de Retorno TIR com a Taxa Mínima de Atratividade TMA do investimento os resultados possíveis podem ser TIR TMA TIR TMA ou TIR TMA As interpretações possíveis para cada resultado são as seguintes TIR TMA A TIR sendo maior que a TMA evidencia que os fluxos de caixa em análise oferecem uma rentabilidade média período após período considerando toda a vida útil do projeto maior do que a rentabilidade média exigida pelo investimento Portanto caso a TIR resulte maior que a TMA o projeto deverá ser considerado viável por gerar uma rentabilidade adicional se comparada à taxa mínima exigida para o investimento Neste caso o VPL do Projeto resultará em um valor necessariamente positivo TIR TMA A TIR sendo menor que a TMA evidencia que os fluxos de caixa em análise não possuem a capacidade de oferecer uma rentabilidade média período após período considerando toda a vida útil do projeto maior do que a rentabilidade média exigida pelo investimento Portanto caso a TIR resulte menor que a TMA o projeto deverá ser considerado inviável por não gerar a rentabilidade mínima exigida para a realização do investimento Neste caso o VPL do Projeto resultará em um valor necessariamente negativo TIR TMA A TIR sendo igual à TMA evidencia que os fluxos de caixa em análise possuem a capacidade de oferecer uma rentabilidade média período após período considerando toda a vida útil do projeto exatamente igual à rentabilidade média exigida pelo investimento Neste caso o VPL do projeto resultará em um valor necessariamente nulo igual a zero Sob essa ótica um projeto que resulte em uma TIR igual à TMA poderia ainda ser considerado viável embora alguns autores optem por mencionar que tal projeto se mostre indiferente para o investidor cabendo a ele decidir se deverá ou não realizar o investimento A exemplificação do método de análise de investimentos baseado no cálculo da Taxa TIR será realizada a partir do exemplo anteriormente descrito conforme segue Questão chave TIR Sabendo que o método de análise de investimentos aplicado é o cálculo da TIR deverá o analista da Empresa Fictícia Tecnologia SA considerar viável o projeto de adquirir um braço mecânico para aumentar a velocidade de produção da sua fábrica de placas de circuito impresso para computadores Por quê 68 Note que os passos na calculadora para calcular a TIR são muito similares aos passos para calcular o VPL apenas com a mudança no final em vez de digitar a TMA e usar a função NPV basta acionar diretamente a função IRR Nesse caso como a TIR apurada de 3456 ao ano resultou em um valor maior que a TMA de 1520 ao ano o projeto deverá ser considerado viável uma vez que oferece uma rentabilidade TIR superior à taxa de rentabilidade exigida pelos investidores TMA para o investimento Taxa Interna de Retorno Modificada TIRM A taxa interna de retorno modificada TIRM é uma inovação da taxa interna de retorno TIR em razão das seguintes situações A TIR pode não distinguir projetos que apresentam VPLs positivos de projetos que apresentam VPLs negativos Por exemplo considerando a TMA 10 ao período Fluxo de Caixa A R 100 R 50 R 80 TIR 1787 e VPL R 1157 Fluxo de Caixa B R 100 R 50 R 80 TIR 1787 e VPL R 1157 A TIR pode apresentar mais de um resultado possível quando os fluxos de caixa possuírem mais de uma inversão de sinal ao longo do projeto Por exemplo Fluxo de Caixa C R 8 R 50 R 50 TIR 25 e TIR 400 A TIR presume que o os fluxos de caixa gerados serão retirados do projeto pelo investidor ou que eles serão reinvestidos no projeto a uma taxa de retorno igual à da própria TIR O investidor pode decidir ao seu critério não retirar os fluxos de caixa até o final da vida útil do projeto e neste caso os fluxos serão reinvestidos a uma taxa provavelmente diferente da TIR original Como alternativa para solucionar todas as questões descritas acima a TIRM considera que todos os fluxos de caixa serão reinvestidos até o final da vida útil do projeto a uma taxa pré estabelecida Dessa forma caberá ao analista simular como resultaria o novo fluxo de caixa considerando os reinvestimentos dos seus próprios fluxos até o último período e calcular novamente a TIR do fluxo de caixa resultante Essa nova TIR encontrada receberá o nome de TIR Modificada uma vez que se trata de uma simples TIR mas que foi calculada a partir de um fluxo de caixa modificado Comparando os valores possíveis da Taxa Interna de Retorno Modificada TIRM com os da Taxa Mínima de Atratividade TMA do investimento os resultados poderão ser TIRM TMA TIRM TMA ou TIRM TMA As interpretações possíveis para cada resultado são as seguintes TIRM TMA A TIR Modificada sendo maior que a TMA evidencia que mesmo os fluxos de caixa sendo reinvestidos até o final da vida útil do projeto a rentabilidade média do investimento período após período resultou maior que a rentabilidade média exigida pelos investidores Portanto caso a TIRM seja maior que a TMA o projeto deverá ser 69 considerado viável por gerar uma rentabilidade adicional em comparação à taxa mínima exigida para o investimento É comum que a TIRM resulte em um valor menor do que a própria TIR isso evidencia que houve destruição de rentabilidade ao se reinvestirem os fluxos de caixa no mesmo projeto contudo como visto o projeto ainda poderá manter a sua viabilidade se a TIRM for maior que a TMA TIRM TMA A TIR Modificada sendo menor que a TMA evidencia que os reinvestimentos dos fluxos de caixa no mesmo projeto resultaram em destruição excessiva de rentabilidade e nesse caso o projeto será considerado inviável uma vez que a nova rentabilidade auferida não é capaz de cobrir a rentabilidade mínima exigida pelos investidores para a realização do investimento TIRM TMA A TIR Modificada sendo igual à TMA evidencia que ao serem reinvestidos os fluxos de caixa de um investimento até o final da sua vida útil a rentabilidade média apurada período após período resulta exatamente igual à rentabilidade média exigida pelos investidores Sob essa ótica um projeto que possua uma TIRM igual à TMA poderia ainda ser considerado viável embora alguns autores optem por mencionar que tal projeto se torne indiferente para o investidor cabendo a ele decidir se deverá ou não realizar o investimento A exemplificação do método de análise de investimentos baseado no cálculo da Taxa Interna de Retorno Modifica será realizada a partir do exemplo anteriormente descrito conforme segue Questão chave TIRM os analistas da Empresa Fictícia Tecnologia SA acreditam que ao aumentar a velocidade de produção da sua fábrica e com isso aumentar a sua participação no mercado será necessária a implementação de novas políticas de prazos médios concedidos aos seus clientes e maiores níveis de estoques A mudança nos prazos implicará um aumento da necessidade de capital de giro e por essa razão os fluxos de caixa gerados precisarão ser reinvestidos até o final da vida útil do projeto a uma taxa de 10 ao ano quando serão retirados Nessas condições o analista ainda deverá considerar viável o projeto de adquirir um braço mecânico para aumentar a velocidade de produção da sua fábrica de placas de circuito impresso para computadores Por quê Como descrito anteriormente tratase de verificar se a rentabilidade média será excessivamente destruída com os reinvestimentos dos fluxos de caixa a ponto de inviabilizar o projeto Para calcular a TIR Modificada basta reaplicar cada fluxo de caixa até o final da vida útil do projeto pela taxa de reinvestimento informada projetar um novo fluxo de caixa em que existem somente o investimento inicial e um único fluxo de retorno ao final do último período e calcular novamente a TIR 70 A demonstração aplicada ao caso será apresentada a seguir Diagrama 6 Visão gráfica do cálculo da TIRM do investimento no braço mecânico Note que os fluxos de caixa do Ano 1 ao Ano 3 foram transportados para o Ano 4 mediante a aplicação de uma taxa de reinvestimento de 10 ao ano Dessa forma o fluxo de caixa do Ano 4 que antes era de R 7 milhões passou a ser de R 24743 milhões porém nos anos 1 2 e 3 os fluxos de caixa se tornariam nulos Nesse sentido basta agora calcular a TIR do novo fluxo de caixa gerado o resultado apurado será a Taxa Interna de Retorno Modificada TIRM Os passos são os seguintes f CLX X 0 1 xr 0 x CHS DATE g PV CFo 0 x g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 1 igual a 0 zero 3 n g FV Nj 2 ŷr 4 DMY S 7 BEG 4 DMY 3 n g PMT CFj Insere o novo fluxo de caixa do Ano 4 f FV Nj 2542 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Insere o investimento negativo no fluxo de caixa 0 inicial Informa que são três fluxos de caixas iguais a 0 Ano 1 Ano 2 e Ano 3 Aparece a TIR 2542 que no caso passa a se chamar a TIRM 71 Como o fluxo de caixa se tornou um fluxo de caixa simples ou seja apresenta apenas um fluxo de caixa de retorno ao final do projeto para o investimento realizado o cálculo da TIR no caso a TIRM poderá ser encontrado também da seguinte forma Observe que as duas formas mostradas exigem que o analista já tenha calculado o novo valor do fluxo de caixa 4 para que possa ser inserido no fluxo de caixa porém ainda existe mais uma forma de calcular a TIRM a partir dos fluxos de caixa originais de maneira mais dinâmica mas isso exigirá um pouco mais de técnica Os passos são os seguintes 1 Trazer ao valor presente todos os fluxos de caixa gerados com o uso da função f NPV da calculadora sem inserir o investimento no g Cfo utilizando a taxa de reinvestimento não a TMA 2 Posteriormente transportar o valor encontrado no presente para o valor futuro último período da vida útil do projeto 3 Inserir o valor do investimento no valor presente e pressionar a tecla Para o caso em análise na calculadora HP12C os passos são os seguintes f CLX X 0 1 xr 0 x CHS DATE PV CFo Insere o investimento negativo no valor presente 2 ŷr 4 DMY S 7 BEG 4 DMY 3 n FV Nj Insere o fluxo de caixa do Ano 4 como valor futuro 4 DMY n 12 Insere o número de períodos do fluxo de caixa i 12 2542 RPN DMY C i 12 f CLX X 0 3 n g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 1 positivo 5 MDY g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 2 positivo 7 BEG g PMT CFj Insere o fluxo de caixa do Ano 3 positivo 7 BEG g PMT CFj ou 2 ŷr g FV Nj 1 xr 0 x i 12 Insere a taxa de reinvestimento dos fluxos de caixa f PV CFo 16900 RPN DMY C 4 DMY n 12 FV Nj 24743 RPN DMY C 1 xr 0 x PV CFo i 12 2542 RPN DMY C É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Aparece a TIR 2542 que no caso passa a se chamar a TIRM É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Informa que são dois fluxos no valor de 7 Ano 3 e Ano 4 Valor de todos os fluxos de caixa já somados no presente Insere o número de períodos do fluxo de caixa entre o Valor Presente e o Valor Futuro Aparece o valor futuro dos fluxos de caixa equivalente no Ano 4 negativo Adiciona o investimento no Valor Presente positivo porque o FV resultou negativo Aparece a TIR 2542 que no caso passa a se chamar a TIRM 72 Observe que com o procedimento mostrado ao calcular o valor futuro acumulado dos fluxos de caixa este resultou um valor negativo R 24743 neste caso basta colocar no valor presente o investimento com sinal positivo para que haja a inversão do sinal e permita a HP12C calcular a taxa de retorno adequadamente Como a TIRM resultou em 2542 ao ano a interpretação do resultado aplicada ao caso deve ser de que mesmo o projeto perdendo a capacidade de gerar fluxos de caixa intermediários em razão da necessidade de reinvestimentos a aquisição do braço mecânico ainda se mostra viável uma vez que a Taxa Interna de Retorno Modificada TIRM 2542 aa resultou maior que a Taxa Mínima de Atratividade do projeto TMA 1520 aa Note que a rentabilidade média do projeto sem a necessidade de reinvestimento dos fluxos tinha resultado em uma TIR 3456 aa e que a TIRM calculada resultou em uma rentabilidade média bem menor TIRM 2542 aa A interpretação é que com os reinvestimentos dos fluxos houve destruição de riqueza contudo ainda assim o projeto se mantém viável por manter uma rentabilidade média considerando toda a vida útil do projeto superior à taxa mínima de rentabilidade exigida pelos investidores Payback simples PS O payback simples ou simplesmente payback é o termo utilizado em análise de investimento para especificar o tempo em que os fluxos de caixas gerados por um projeto são capazes de devolver integralmente o capital investido Em outras palavras o payback period que em português significa período de retorno é o tempo entre o momento do investimento e o momento em que os fluxos de caixa acumulados se igualam ao valor investido O cálculo do payback simples consiste basicamente em ir subtraindo os fluxos de caixa gerados por um projeto período a período do investimento inicialmente realizado a fim de verificar o momento em que fluxos de caixa acumulados terão a capacidade de devolver todo o capital investido no projeto O método de análise de investimentos baseado no período de payback é recomendado para a verificação de projetos de investimentos que tenham uma vida útil préestabelecida ou que se sujeitem a fortes consequências decorrentes da inovação seja tecnológica seja de processo ou até mesmo de padrões de consumo Em outras palavras o investidor deverá perguntarse por quanto tempo acredita se que poderá sustentar a atividade que está sob análise e posteriormente verificar se os fluxos de caixa gerados e acumulados até esse momento conseguirão devolver o integralmente o capital investido 73 Por essa razão o período de payback auxilia também na avaliação do risco de investimento em projetos que podem sofrer fortes impactos decorrentes da inovação Comparando o período de payback simples apurado para determinado projeto de investimento com o prazo máximo de retorno exigido pelos investidores os resultados possíveis podem resultar em Payback Simples Prazo Máximo de Retorno Payback Simples Prazo Máximo de Retorno ou Payback Simples Prazo Máximo de Retorno As interpretações possíveis para cada resultado são as seguintes Payback Simples Prazo Máximo de Retorno o payback simples sendo maior que o prazo máximo de retorno exigido pelos investidores evidencia que o projeto não possui capacidade de devolver todo o capital investido dentro do tempo máximo exigido pelos investidores e por essa razão deverá o projeto ser descartado Caso o mesmo projeto resulte uma TIR TMA e um VPL 0 a interpretação pode ser complementada verificando que mesmo que o investimento se apresente lucrativo considerando toda a vida útil do projeto existe significativo risco de se tornar inviável pela sua lucratividade ou rentabilidade dependerem dos fluxos de caixa posteriores ao prazo máximo de retorno exigidos pelos investidores e que naturalmente possuem menor confiabilidade de se concretizarem Payback Simples Prazo Máximo de Retorno o payback simples sendo menor que o prazo máximo de retorno exigido pelos investidores evidencia que o projeto possui capacidade de devolver todo o capital investido dentro do tempo máximo exigido pelos investidores e por essa razão o projeto deverá ser considerado viável Caso o mesmo projeto resulte uma TIR TMA e um VPL 0 a interpretação pode ser modificada verificando que mesmo que o investimento possua a capacidade de devolver todo o capital investido antes do prazo máximo exigido pelos investidores a rentabilidade exigida para o projeto não foi alcançada e por essa razão o projeto deverá ser descartado Payback Simples Prazo Máximo de Retorno o payback simples sendo igual ao prazo máximo de retorno exigido pelos investidores evidencia que o projeto devolverá todo o capital investido exatamente no tempo máximo exigido por eles e por essa razão poderá ser aceito Caso o mesmo projeto resulte uma TIR TMA e um VPL 0 a interpretação pode ser modificada verificando que mesmo que o investimento possua a capacidade de devolver todo o capital investido no prazo máximo exigido pelos investidores a rentabilidade exigida para o projeto não foi alcançada e por essa razão o projeto deverá ser descartado A exemplificação do método de análise de investimentos baseado no cálculo do payback simples será realizada a partir do exemplo anteriormente descrito e que consta resumido no diagrama 4 conforme segue 74 Questão chave PS os analistas da Empresa Fictícia Tecnologia SA acreditam que o mercado de placas de circuito impresso para computadores não deve sofrer fortes impactos decorrentes de inovação nos próximos três anos mas que após seja possível que aconteça Logo pretendese aproveitar o momento para aumentar a participação de mercado desde que os investimentos realizados para isso não possuam um período de payback simples superior a 36 meses Sabendo que o método de análise de investimentos aplicado é o cálculo do período de Payback Simples PS o analista da Empresa Fictícia Tecnologia SA deverá considerar viável o projeto de adquirir um braço mecânico para aumentar a velocidade de produção da sua fábrica de placas de circuito impresso para computadores Por quê Como descrito anteriormente para o cálculo do período de payback simples basta acumular os fluxos de caixa de um determinado projeto de investimento e verificar o momento em que o capital investido é integralmente devolvido A demonstração aplicada ao caso será apresentada a seguir Tabela 10 Fluxos de caixa projetado para o investimento no braço mecânico PS Períodos Descrição Investimentos Ano 0 Geração de Caixa Ano 1 Geração de Caixa Ano 2 Geração de Caixa Ano 3 Geração de Caixa Ano 4 Fluxos de caixa R 10 milhões R 3 milhões R 5 milhões R 7 milhões R 7 milhões Fcx Acumulados R 10 milhões R 7 milhões R 2 milhões R 5 milhões R 12 milhões Payback Simples PS 3 anos Note que no Ano 3 o fluxo de caixa acumulado tornase positivo indicando que acumulando os recebimentos dos fluxos de caixa até o ano 3 o capital investido já foi integralmente devolvido logo o período de payback simples é menor que três anos ou 36 meses que no caso é o prazo máximo de retorno do capital exigido pelos investidores Por essa razão sob a ótica do payback simples o projeto deverá ser considerado viável O cálculo do período de payback simples pode tornarse um pouco mais refinado caso o analista verifique que os fluxos de caixa acumulados até o prazo máximo de retorno exigido pelos investidores resultaram em um valor positivo e muito alto Poderá então calcular a fração necessária do último fluxo de caixa para terminar de devolver integralmente o capital investido e verificar o momento mais provável que isso ocorre 75 Para isso basta proceder da seguinte forma 1 Verificase o valor do fluxo de caixa acumulado até o ano exatamente anterior ao ano em que o período de payback simples acontece e dividese pelo fluxo de caixa gerado exatamente no ano em que o período de payback simples ocorre O resultado encontrado será a fração do fluxo de caixa do ano em que o payback simples acontece necessária para terminar de retornar integralmente o investimento realizado Essa fração corresponderá também a uma previsão da fração de tempo necessária do ano O resultado dessa equação aplicada ao caso em análise é a seguinte 028 ano uma vez que R 2 milhões R 7 milhões 028 Até aqui o resultado do período de payback simples passa a ser 228 anos pois 2 anos 028 ano 228 2 Caso o analista deseje calcular o período de payback simples expresso em meses bastará multiplicar o valor encontrado em anos por 12 No caso em questão o resultado será de 2736 meses pois 228 anos 12 meses 2736 meses Como a viabilidade com base no período de payback simples somente se verifica se o retorno total ocorrer buscado o analista arredondar o valor encontrado deverá fazêlo para mais ou seja como no caso em questão o resultado apurado foi de 2736 meses ao arredondar para cima o valor considerado deverá ser de 28 meses e não 27 Embora o cálculo do período de payback simples se apresente de fácil aplicação e compreensão o payback simples possui uma limitação importante que é a de não considerar o valor do dinheiro no tempo Para corrigir essa falha surgiu o payback descontado que nada mais é que o cálculo do payback já apresentado porém considerando os fluxos de caixa projetados pelo seu equivalente no presente A seguir a apresentação do método de análise de investimentos baseado no período de payback descontado Payback descontado PD O método de análise de investimentos baseado no período de payback descontado é uma inovação do método de análise de investimento baseado no período de payback simples O seu cálculo obedece ao mesmo princípio verificar o momento em que os fluxos de caixa acumulados serão capazes de devolver integralmente os investimentos realizados contudo no caso do payback descontado os fluxos de caixa deverão ser computados pelo seu valor equivalente no presente devidamente descontados pela taxa mínima de atratividade do investimento 76 Por essa razão o período de payback descontado evidencia quanto tempo é necessário para que um determinado projeto devolva o capital investido devidamente remunerado pela rentabilidade mínima exigida pelos investidores Comparando o período de payback descontado apurado para determinado projeto de investimento com o prazo máximo de retorno exigido pelos investidores os resultados possíveis são Payback Descontado Prazo Máximo de Retorno Payback Descontado Prazo Máximo de Retorno ou Payback Descontado Prazo Máximo de Retorno As interpretações possíveis para cada resultado são as seguintes Payback Descontado Prazo Máximo de Retorno o payback descontado sendo maior que o prazo máximo de retorno exigido pelos investidores evidencia que o projeto não possui capacidade de remunerar devidamente o capital investido pela taxa mínima de atratividade do projeto e ainda devolvêlo para o investidor dentro do tempo máximo exigido por eles portanto deverá o projeto ser descartado Caso o mesmo projeto resulte uma TIR TMA e um VPL 0 a interpretação pode ser complementada verificando que mesmo que o investimento se apresente lucrativo considerando toda a vida útil do projeto existe significativo risco de se tornar inviável em razão de a sua lucratividade ou rentabilidade depender dos fluxos de caixa posteriores ao prazo máximo de retorno exigido pelos investidores e que naturalmente possuem menor confiabilidade de se concretizarem Payback Descontado Prazo Máximo de Retorno o payback descontado sendo menor que o prazo máximo de retorno exigido pelos investidores evidencia que o projeto possui capacidade de remunerar devidamente o capital investido pela taxa mínima de atratividade do projeto e ainda devolvêlo para o investidor dentro do tempo máximo exigido por eles portanto o projeto deverá ser considerado viável Neste caso necessariamente a TIR TMA e o VPL 0 logo reforçando ainda mais o entendimento de que um projeto de investimentos nessas condições deverá ser considerado viável Payback Descontado Prazo Máximo de Retorno o payback descontado sendo igual ao prazo máximo de retorno exigido pelos investidores evidencia que o projeto possui capacidade de remunerar adequadamente o capital investido pela taxa mínima de atratividade exigida para o investimento e ainda devolvêlo integralmente para os investidores exatamente no prazo máximo exigido por eles e por essa razão poderá ser considerado viável Neste caso necessariamente a TIR TMA e o VPL 0 logo reforçando ainda mais o entendimento de que um projeto de investimentos nessas condições deverá ser considerado viável A exemplificação do método de análise de investimentos baseado no cálculo do payback descontado será realizada a partir do exemplo anteriormente descrito e que consta resumido no diagrama 4 conforme segue 77 Questão chave PD os analistas da Empresa Fictícia Tecnologia SA acreditam que o mercado de placas de circuito impresso para computadores não deve sofrer fortes impactos decorrentes de inovação nos próximos três anos mas que após seja possível que aconteça Logo pretendese aproveitar o momento para aumentar a participação de mercado desde que os investimentos necessários para isso não possuam um período de payback descontado superior a 36 meses Sabendo que o método de análise de investimentos aplicado é o cálculo do Período de Payback Descontado PD o analista da Empresa Fictícia Tecnologia SA deverá considerar viável o projeto de adquirir um braço mecânico para aumentar a velocidade de produção da sua fábrica de placas de circuito impresso para computadores Por quê Como descrito anteriormente para o cálculo do período de payback descontado basta calcular o valor presente de cada um dos fluxos de caixa projetados para o investimento acumulálos e verificar o momento em que o capital investido é integralmente devolvido Como o valor presente descontado a TMA de 1520 ao ano de cada um dos fluxos de caixa do projeto em análise já foi calculado no momento da demonstração do cálculo do VPL agora estes serão consolidados em uma tabela para a demonstração do cálculo do payback descontado conforme segue Tabela 11 Fluxos de caixa projetado para o investimento no braço mecânico PD Períodos Descrição Investimentos Ano 0 Geração de Caixa Ano 1 Geração de Caixa Ano 2 Geração de Caixa Ano 3 Geração de Caixa Ano 4 Fluxos de caixa R 10 milhões R 3 milhões R 5 milhões R 7 milhões R 7 milhões Fcx Descontados R 10 milhões R 2604 milhões R 3768 milhões R 4579 milhões R 3974 milhões Fcx Desc Acumulados R 10 milhões R 7396 milhões R 3628 milhões R 0951 milhão R 4925 milhões Payback Descontado PD 3 anos Note que no Ano 3 o fluxo de caixa descontado acumulado tornase positivo indicando que acumulando os recebimentos dos fluxos de caixa descontados até o ano 3 além de remunerar adequadamente os investimentos o capital investido já foi integralmente devolvido logo o período de payback descontado é menor que três anos ou 36 meses que no caso é o prazo máximo de retorno do capital exigido pelos investidores Por essa razão o projeto deverá ser considerado viável sob a ótica do payback descontado 78 O cálculo do período de payback descontado da mesma forma que payback simples pode tornarse um pouco mais refinado caso o analista verifique que os fluxos de caixa acumulados até o prazo máximo de retorno exigido pelos investidores resultaram em um valor positivo e muito alto Poderá então calcular a fração necessária do último fluxo de caixa para terminar de devolver integralmente o capital investido e verificar o momento mais provável que isso ocorre Para isso basta proceder da seguinte forma 1 Verificase o valor do fluxo de caixa acumulado até o ano exatamente anterior ao ano em que o período de payback descontado acontece e dividese pelo fluxo de caixa gerado exatamente no ano em que o período de payback descontado ocorre O resultado encontrado será a fração do fluxo de caixa do ano em que o payback descontado acontece necessária para terminar de retornar integralmente o investimento realizado Essa fração corresponderá também a uma previsão da fração de tempo necessária do ano O resultado dessa equação aplicada ao caso em análise é a seguinte 079 ano uma vez que R 3628 milhões R 4579 milhões 079 Até aqui o resultado do período de payback descontado passa a ser 279 anos pois 2 anos 079 ano 279 2 Caso o analista deseje calcular o período de payback descontado expresso em meses bastará multiplicar o valor encontrado em anos por 12 No caso em questão o resultado será de 3348 meses pois 279 anos 12 meses 3348 meses Como a viabilidade com base no período de payback descontado somente se verifica se o retorno total ocorrer buscado o analista arredondar o valor encontrado deverá fazêlo para mais ou seja como no caso em questão o resultado apurado foi de 3348 meses ao arredondar para cima o valor considerado deverá ser de 34 meses e não 33 Enquanto o payback simples representa o tempo que determinado projeto de investimento leva para devolver todo o capital investido o payback descontado representa o tempo que determinado projeto de investimento leva para devolver o capital investido e ainda rentabilizar adequadamente o todo o investimento Índice de lucratividade IL Segundo Assaf Neto 2016 p 391 o índice de lucratividade IL ou índice de valor presente é uma variante do método do NPV é determinado por meio da divisão do valor presente dos benefícios líquidos de caixa pelo valor presente dos dispêndios desembolso de capital O índice de lucratividade é calculado da seguinte forma 𝐼𝐼𝑉𝑉 𝑉𝑉𝑇𝑇𝑅𝑅𝑜𝑜𝑝𝑝 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛𝐸𝐸𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑜𝑜𝐼𝐼 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑜𝑜𝑇𝑇𝑜𝑜𝐼𝐼 𝑜𝑜𝑝𝑝 𝐶𝐶𝑇𝑇𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇𝐼𝐼 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜𝐼𝐼 𝑇𝑇𝑝𝑝ó𝐼𝐼 𝑜𝑜 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐸𝐸𝑝𝑝𝐼𝐼𝐸𝐸𝑖𝑖𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛𝐸𝐸𝑜𝑜 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑖𝑖𝐹𝐹𝑖𝑖𝑇𝑇𝑅𝑅 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐸𝐸𝑝𝑝𝐼𝐼𝐸𝐸𝑖𝑖𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛𝐸𝐸𝑜𝑜 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑖𝑖𝐹𝐹𝑖𝑖𝑇𝑇𝑅𝑅 O Índice de Lucratividade indica quanto de retorno o projeto em análise é capaz de gerar para cada unidade de capital investido Os resultados possíveis são IL 1 IL 1 e IL 1 As interpretações possíveis para cada resultado são as seguintes IL 1 o índice de lucratividade sendo maior que 1 um evidencia que o projeto é capaz de retornar todo capital investido remunerar adequadamente o investimento e ainda gerar um excedente de retorno Por essa razão o projeto deverá ser considerado viável No caso do IL 1 necessariamente o VPL 0 e a TIR TMA IL 1 o índice de lucratividade sendo menor que 1 um evidencia que o projeto não é capaz de retornar todo capital investido e ainda remunerar adequadamente o investimento Por essa razão o projeto deverá ser considerado inviável No caso do IL 1 necessariamente o VPL 0 e a TIR TMA IL 1 o índice de lucratividade sendo igual que 1 um evidencia que o projeto é capaz de retornar exatamente todo capital investido e ainda remunerar adequadamente o investimento realizado Nesse sentido o projeto poderá ainda ser considerado viável uma vez que devolve o capital devidamente majorado pela rentabilidade exigida não gerando riqueza adicional mas também não deixando a desejar No caso do IL 1 necessariamente o VPL 0 e a TIR TMA A exemplificação do método de análise de investimentos baseado no cálculo do índice de lucratividade será realizada a partir do mesmo exemplo utilizado anteriormente para evidenciar todos os outros métodos e que está descrito no diagrama 4 conforme segue Questão chave IL sabendo que o método de análise de investimentos aplicado é o cálculo do Índice de Lucratividade IL o analista da Empresa Fictícia Tecnologia SA deverá considerar viável o projeto de adquirir um braço mecânico para aumentar a velocidade de produção da sua fábrica de placas de circuito impresso para computadores Por quê Para a verificação da viabilidade aplicando o método de cálculo do Índice de Lucratividade basta calcular o valor presente de cada um dos fluxos de caixa futuros projetados após o investimento inicial e dividir pelo investimento inicial Algebricamente os cálculos são IL VPdo Fcx 1 VPdo Fcx 2 VPdo Fcx 3 VPdo Fx 4 Investimento IL Fcx11 i1 Fcx21 i2 Fcx31 i3 Fcx41 i4 Investimento IL 31 015201 51 015202 71 015203 71 015204 10 Neste módulo serão apresentados os conceitos de modelagem matemática para permitir ao investidor calcular bem como compreender a correlação linear existente entre duas variáveis permitindo ainda estabelecer projeções a partir de séries históricas Adicionalmente serão apresentados os conceitos básicos para estimar o retorno esperado para um ativo e os seus riscos financeiros para fins decisórios Modelagem matemática O objetivo da modelagem matemática é organizar os dados históricos de um ambiente a fim de criar sistemas que sejam capazes de prever o seu comportamento Em outras palavras modelagem matemática é a arte de descrever matematicamente um acontecimento ou as correlações existentes entre eventos A modelagem matemática é uma das portas do universo financeiro que leva o analista a se aventurar pelo mundo da econometria e com isso estimar probabilidades e medidas estatísticas Nesse sentido serão apresentados a seguir alguns conceitos de estatística e as suas aplicações práticas no mercado financeiro dando origem ao estudo das finanças quantitativas ou quantitative finance MÓDULO V QUANTITATIVE FINANCE IL 311520 513271 715288 717612 10 IL 2604 3768 4579 3974 10 IL 14925 10 IL 14925 IL maior do que 1 Como o resultado do IL foi maior do que 1 significa dizer que o projeto em análise possui capacidade de devolver todo o capital aplicado rentabilizar adequadamente o investimento e ainda gerar lucro excedente para cada unidade de capital investido Portanto a aquisição do braço mecânico para aumentar a velocidade de produção da fábrica deverá ser considerada viável O cálculo do IL pode ser otimizado mediante o uso da função NPV da calculadora HP12C Os passos são os seguintes É sempre recomendável limpar as memórias antes de iniciar um novo cálculo Insere o fluxo de caixa do Ano 1 positivo Insere o fluxo de caixa do Ano 2 positivo Insere o fluxo de caixa do Ano 3 positivo ou Informa que são dois fluxos no valor de 7 Ano 3 e Ano Insere a taxa de rentabilidade desejada taxa de desconto Aparece o Valor Presente dos Fluxos de Caixa Divide o Valor Presente pelo Investimento IL 14925 Observe que no procedimento descrito não foi inserido o valor do investimento na variável Cfo e por consequência ao acionar a função NPV o valor resultante representará apenas o valor equivalente no presente dos fluxos de caixa gerados após o investimento e não o VPL do projeto bastando na sequência dividir o valor encontrado pelo investimento realizado Após verificado o valor presente dos fluxos de caixa futuros enquanto o VPL resulta da subtração do investimento o IL é resultado da divisão por ele 83 Questão chave ρ os analistas da Fábrica de Fraldas Fofinhas SA estão analisando as possíveis estratégias para aumentar a sua participação no mercado de comércio de fraldas e consequentemente aumentar o faturamento Para isso embora seja esperado que haja correlação existente entre os prazos concedidos aos clientes e o volume de vendas os analistas decidiram testar se realmente a correlação existe e a sua intensidade O objetivo é entender se ao aumentar o prazo médio concedido aos clientes será esperado um aumento nas vendas Os dados históricos foram organizados e apresentados conforme a tabela abaixo Tabela 12 Dados históricos de prazo médio concedido aos clientes e faturamento Período Prazo Médio X Faturamento Y 1 30 68000 2 18 48000 3 30 64000 4 45 82000 5 30 68000 6 56 102000 7 45 92000 8 40 87000 9 48 89000 10 30 70000 11 38 83000 12 52 99000 Correlação linear Segundo Assaf Neto 2016 p 259 o conceito de correlação visa explicar o grau de relacionamento verificado no comportamento de duas ou mais variáveis Quando se trata unicamente de duas variáveis temse a correlação simples Já quando o estudo visar relacionar mais de duas variáveis a correlação recebe o nome de correlação múltipla O estudo aqui abordará apenas a correlação simples ou seja o comportamento entre duas variáveis apenas Segundo Gitman 2010 p 215 se duas séries se movem na mesma direção elas são positivamente correlacionadas Quando se movem em direções opostas são negativamente correlacionadas Gitman 2010 p 215 esclarece ainda que o grau de correlação existente entre duas ou mais variáveis é dado pelo coeficiente de correlação que varia entre 1 para séries perfeitas e positivamente correlacionadas e 1 para séries perfeitas e negativamente correlacionadas As correlações são perfeitas quando se movem exatamente na mesma intensidade quando na mesma direção são positivas e quando em direções opostas são negativas Importante mencionar que mesmo o coeficiente de correlação variando entre 1 e 1 a correlação é medida pelo valor absoluto ou seja menor será quanto mais próximo a 0 zero sendo que 0 zero significa a inexistência de correlação Considerando a variável n como sendo o número de observações e X e Y os valores de cada observação segundo Assaf Neto 2016 p 262 a expressão de correlação linear pode ser apresentada da seguinte forma ρxy ΣX Y Σ X Σ Yn ΣX2 Σ X2 n ΣY2 Σ Y2 n Compreender o que é correlação linear e como interpretar os resultados encontrados é altamente importante para que se possa entender o comportamento entre duas variáveis de mercado e com isso possibilitar a construção de cenários no mundo corporativo A exemplificação será apresentada a partir do seguinte caso 84 Para fins didáticos a tabela de dados apresentada será complementada com variáveis estatísticas utilizadas para calcular o coeficiente de correlação linear A tabela preparada com as variáveis estatísticas é a seguinte Tabela 13 Dados históricos de prazo médio e faturamento com variáveis estatísticas Período n Prazo Médio X Faturamento Y X Y X² Y² 1 30 68000 2040000 900 4624000000 2 18 48000 864000 324 2304000000 3 30 64000 1920000 900 4096000000 4 45 82000 3690000 2025 6724000000 5 30 68000 2040000 900 4624000000 6 56 102000 5712000 3136 10404000000 7 45 92000 4140000 2025 8464000000 8 40 87000 3480000 1600 7569000000 9 48 89000 4272000 2304 7921000000 10 30 70000 2100000 900 4900000000 11 38 83000 3154000 1444 6889000000 12 52 99000 5148000 2704 9801000000 Soma 462 952000 38560000 19162 78320000000 Média 385 7933333 321333333 159683 652666666767 A seguir o cálculo do coeficiente de correlação linear e posterior interpretação ρxy ΣX Y ΣX ΣYn ΣX² ΣX² n ΣY² ΣY² n ρxy 38560000 462 952000 12 19162 462² 12 78320000000 952000² 12 ρxy 38560000 439824000 12 19162 213444 12 78320000000 906304000000 12 ρxy 38560000 36652000 19162 17787 78320000000 7552533333333 ρxy 1908000 1375 279466666667 ρxy 1908000 384266666666667 ρxy 1908000 196027209 ρxy 0973334 86 Várias são as formas de calcular o coeficiente de correlação linear contudo com o uso de planilhas eletrônicas o cálculo se torna muito prático Por exemplo a função do Microsoft Excel que calcula a correlação é CORRELmatriz1matriz2 A exemplificação consta na figura 3 abaixo Figura 3 Exemplificação do uso da função CORREL no Microsoft Excel Uma vez calculado o coeficiente de correlação linear passamos agora para a sua interpretação para o caso Note que o coeficiente de correlação linear resultou em 0973334 ou 097 evidenciando que existe uma forte correlação entre o prazo médio concedido aos clientes e o faturamento da empresa por essa razão é possível afirmar que ao aumentar o prazo médio concedido aos clientes será esperado um aumento nas vendas Contudo para expressar matematicamente o relacionamento entre as variáveis é necessário efetuar um procedimento chamado de regressão linear que será apresentado a seguir Introdução a projeções a partir de séries históricas O desejo de encontrar projeções cada vez mais acertadas é muito comum no ambiente econômico e corporativo por essa razão são constantes os estudos com o uso da estatística econometria e modelagem matemática que visam identificar a correlação existente entre as variáveis de mercado e como se relacionam Nesse sentido ao ser verificada a correlação entre variáveis é muito importante conseguir expressar matematicamente o seu relacionamento Segundo Assaf Neto 2016 p 263 esse é o objetivo da análise de regressão a qual por meio de sua expressão matemática permite que se efetuem além da identificação da relação das variáveis importantes projeções futuras Complementa ainda que a expressão da reta ajustada para uma correlação linear em que os valores de X explicarão os valores de Y é a seguinte Y a bX Onde Y variável que se deseja projetar chamada também de variável dependente a ponto onde a reta corta o eixo Y b medida angular que define a intensidade da inclinação da reta de regressão X variável utilizada para explicar o modelo também chamada de variável independente Portanto a regressão linear calculada para um conjunto de dados estabelece a reta representativa da relação existente entre as variáveis Em tese em um cenário perfeito com correlação perfeita e igual a 1 os pontos representativos dos valores de X e Y estariam juntamente sobre a reta Segundo Bussab e Morettin 2006 p 440 os valores das variáveis b e a podem ser encontrados respectivamente por meio das seguintes expressões b ΣX Y n X Ȳ ΣX² n X² e a Ȳ b X Para melhor evidenciar a aplicação prática da regressão linear no ambiente corporativo utilizaremos os dados do exemplo anteriormente descrito no tópico em que foi tratada a correlação linear Serão calculadas as variáveis b e a na sequência apresentada a equação representativa da reta de regressão linear para prever os valores de Y em função dos valores apresentados de X e posteriormente demonstrados os gráficos de evolução e de dispersão dos valores históricos O cálculo das variáveis b e a são os seguintes b ΣX Y n X Ȳ ΣX² n X² e a Ȳ b X b 38560000 12385 7933333 19162 12385² e a 7933333 b 385 b 38560000 12305433333 19162 12148275 e a 7933333 b 385 88 𝑏𝑏 38560000 36652000 19162 17787 𝑝𝑝 𝑇𝑇 7933333 𝑏𝑏 385 𝑏𝑏 1908000 1375 𝑝𝑝 𝑇𝑇 7933333 𝑏𝑏 385 𝑏𝑏 138764 𝑝𝑝 𝑇𝑇 7933333 138764 385 𝑏𝑏 138764 𝑝𝑝 𝑇𝑇 7933333 53424 𝑏𝑏 138764 𝑝𝑝 𝑇𝑇 2590933 Portanto a equação da reta para prever os valores de Y em função dos valores apresentados de X resultou ser 𝑌𝑌 2590933 138764 𝑋𝑋 Agora com todas as variáveis correlação b a equação da reta devidamente calculadas podemos apresentar os gráficos para finalizar a análise São os gráficos Figura 4 Evolução do prazo médio concedido aos clientes e faturamento 89 Figura 5 Gráfico de dispersão prazo médio concedido aos clientes e faturamento Note que na figura 4 visualmente já é possível perceber a existência de uma correlação entre os valores de prazos médios concedidos aos clientes e o faturamento da empresa contudo tal informação somente pode ser confirmada e estimada mediante o cálculo do coeficiente de correlação linear que resultou em 0973334 ou seja uma forte correlação Já na figura 5 é possível perceber a existência de uma linha de tendência muito aderente aos dados históricos A equação da reta de regressão linear resultou ser Y 2590933 138764 X Ou seja como a variável X representa os prazos médios concedidos aos clientes e a variável Y o valor dos faturamentos os analistas podem afirmar que será esperado um aumento médio de R 138764 no faturamento para cada dia a mais concedido no prazo médio aos clientes Em tese a equação demonstra ainda que partindo da posição atual caso a empresa deseje apenas realizar vendas à vista prazo médio com clientes igual a 0 zero o faturamento esperado seria algo em torno de R 2590933 Uma variável importante foi adicionada na figura 5 para complementar a análise da reta de regressão linear calculada é a variável R² também chamada de coeficiente de determinação da reta de regressão Para encontrar o seu valor basta elevar ao quadrado o valor do coeficiente de correlação linear veja ρxy 0973334 logo ρxy ² 0973334² 09474 e se R² ρxy ² R² 09474 O valor de R² como é dependente da correlação porém elevando o seu valor ao quadrado em quanto o coeficiente de correlação pode variar e 1 até 1 o coeficiente de determinação pode variar de 0 até 1 Segundo Assaf Neto 2016 p 285 o Coeficiente de Determinação R² é uma medida estatística que define a porcentagem de Y variável dependente que pode ser explicada pela equação de regressão linear Por essa razão ao verificar o valor do R² poderá o analista avaliar se os valores encontrados para Y a partir dos valores de X produzirão boas estimativas ou não No caso em questão com o Coeficiente de Determinação R² resultou em 09474 é possível afirmar que a reta de regressão linear possui boa aderência aos dados históricos e que a estratégia de prazos médios concedidos aos clientes X explicam em 9474 os faturamentos gerados Y Em outras palavras a empresa mantendo as demais condições por exemplo política de preços qualidade dos produtos e atendimento os níveis de faturamento dependem em 9474 dos prazos médios concedidos aos clientes Logo os analistas da Fábrica de Fraldas Fofinhas SA podem concluir que caso desejem aumentar o faturamento da empresa mantendo as demais condições será necessário aumentar o prazo médio concedido aos clientes sendo que para cada dia a mais concedido no prazo será esperado um aumento de aproximadamente R 138764 Tudo isso porque conforme evidenciado pela regressão linear 9474 do faturamento são explicados pelo prazo médio concedido aos clientes e 526 de outras variáveis de mercado já que 100 9474 resulta em 526 Valor esperado E desvio padrão σ e risco financeiro O Valor Esperado E ou Esperança Matemática segundo Assaf Neto 2016 p 220 é a primeira medida importante para o estudo do risco a ser mensurada Essa medida representa uma média dos vários resultados esperados ponderada pela probabilidade atribuída a cada um desses valores Já para Gitman 2010 p 210 o valor esperado de um retorno é o retorno mais provável de um ativo É calculado da seguinte forma E Σj1n rj Pj Onde E é o valor esperado Pj é a probabilidade de ocorrência de cada resultado rj rj é o resultado de cada ocorrência n é total de resultados considerados para se calcular a média ponderada Em suma ao se calcular o valor esperado para um evento o analista busca simplesmente encontrar qual seria o valor mais provável para uma determinada variável considerando as diversas probabilidades de ocorrências para cada resultado O cálculo do valor esperado é muito utilizado pelos analistas de mercado para a estimação do retorno médio de um ativo e a partir daí tomar decisões de investimentos Contudo outra informação importante que deve acompanhar a análise é referente ao risco financeiro uma vez que o cálculo do valor esperado não leva em consideração o grau de dispersão dos resultados possíveis em relação ao retorno médio esperado 91 Nesse sentido Assaf Neto esclarece que O conceito de risco vinculase estreitamente com o de probabilidade Existe risco sempre que a probabilidade de um evento ocorrer for menor que 100 Assim para um contexto determinístico em que a probabilidade de um evento for de 100 certeza total não há risco Em termos estatísticos o risco pode refletir a dispersão dos resultados em relação ao valor médio esperado Por exemplo ao se lançar uma moeda a probabilidade que caia a face da cara ou coroa voltada para cima é de ½ ou seja há uma probabilidade de 50 de aparecer cara e também uma chance de 50 de aparecer coroa NETO 2016 p 218 Em complemento Gitman 2010 p 210 diz que o indicador estatístico mais comum de risco de um ativo é o desvio padrão σ que mede a dispersão em torno do valor esperado Embora o risco financeiro seja a probabilidade de um resultado diferente do esperado alguns autores ilustram que o risco somente existiria se o resultado ficasse abaixo do valor esperado Em linhas gerais a distribuição normal de probabilidades é uma ótima referência para os analistas estimarem e perceberem o risco financeiro de um ativo Segundo Gitman 2010 p 212 de forma simplificada pode ser feita a seguinte interpretação 68 dos resultados possíveis estarão no máximo 1 um desvio padrão 95 dos resultados estarão a no máximo dois desvios padrão do valor esperado e 99 dos resultados estarão a no máximo três desvios padrão do valor esperado A figura 6 abaixo ilustra a análise a ser realizada considerando a distribuição normal de probabilidades Figura 6 Variabilidade do retorno esperado e a probabilidade normal de ocorrência 92 Observe que a figura 6 apresenta um histórico de retorno de cada ocorrência e que o valor esperado calculado resultou ser igual a 100 com um desvio padrão de aproximadamente 2 Considerando a distribuição normal de probabilidades é possível afirmar que existe uma probabilidade de aproximadamente 68 dos retornos estarem entre 98 e 102 uma vez que essa probabilidade considera o valor médio esperado mais ou menos uma vez o desvio padrão Da mesma forma que se o analista desejar obter uma chance de acerto de 9545 no valor de retorno deverá considerar que os retornos poderão apresentar valores entre 96 e 104 ou seja igual ao valor médio esperado e mais ou menos duas vezes o desvio padrão Caso deseje ter uma probabilidade de acerto de 9999 nas projeções deverá considerar que os retornos possíveis estarão entre 92 e 108 uma vez que o valor médio esperado mais ou menos quatro vezes o desvio padrão resulta nos referidos valores Introdução ao value at risk VaR O Value at Risk VaR ou Valor em Risco em português é a perda máxima expressa em reais de um determinado ativo em um determinado período de tempo associado a um intervalo de confiança São várias as metodologias para o cálculo do VaR e se dividem basicamente em modelos paramétricos e não paramétricos A maior perda estimada pode ser calculada tanto pelo conhecimento prévio de uma distribuição normal de probabilidades quanto a partir de um histórico dos movimentos do próprio ativo em análise Neste último caso a presunção é de que as variações futuras do ativo se distribuirão da mesma forma que o comportamento registrado historicamente Portanto o Valor em Risco necessariamente fará referência a uma estimativa de perda máxima um lapso temporal e um intervalo de confiança Para fins didáticos a exemplificação considerará um histórico de apenas 40 dias úteis a fim de melhor evidenciar os efeitos e tornar assertiva a demonstração dos cálculos O exemplo é o seguinte os títulos públicos do Tesouro Nacional têm oferecido taxas altamente atrativas para quem desejar investir contudo um investidor identificou que os preços unitários dos títulos têm oscilado bastante tanto para mais quanto para menos Embora os títulos públicos do Tesouro Nacional sejam considerados investimentos de baixíssimo risco um analista de investimento foi procurado para informar qual poderia ser a perda máxima para um dia caso o investidor decidisse adquirir uma Letra do Tesouro Nacional Questão chave VaR Qual é o valor máximo de perda para um dia de um investimento de R 10000000 em Letras do Tesouro Nacional com vencimento para 01012025 considerando o histórico dos últimos 40 dias úteis e um intervalo de confiança de 95 Para responder à pergunta o analista de investimento calculou o VaR e emitiu o seu parecer conforme segue 93 Tabela 14 Dados históricos da LTN01012025 e cálculo do VaR Dia Data Base Taxa Preço Unitário LTN 01012025 Variação Diária Índice Variações Ordenadas Densidade Descrição Valor 40 12122018 975 R 57033 00368 1 06200 1000 Valor Atual do Ativo R 61014 39 13122018 964 R 57400 06435 2 05085 975 Número de Ocorrências 40 38 14122018 954 R 57738 05889 3 04341 950 Retorno Esperado 1 dia 01704 37 17122018 943 R 58109 06426 4 03491 925 Desvio Padrão 03724 36 18122018 937 R 58322 03666 5 03446 900 VaR 950 04341 35 19122018 942 R 58183 02383 6 02394 875 VaR 975 05085 34 20122018 930 R 58589 06978 7 02383 850 VaR 950 em R R 26488 33 21122018 923 R 58856 04557 8 01297 825 VaR 975 em R R 31027 32 24122018 918 R 59018 02752 9 01294 800 31 26122018 917 R 59071 00898 10 01285 775 30 27122018 916 R 59124 00897 11 00764 750 29 28122018 909 R 59393 04550 12 00747 725 28 02012019 905 R 59544 02542 13 00743 700 27 03012019 896 R 59860 05307 14 00217 675 26 04012019 903 R 59651 03491 15 00213 650 25 07012019 893 R 59999 05834 16 00325 625 24 08012019 894 R 59986 00217 17 00331 600 23 09012019 887 R 60237 04184 18 00368 575 22 10012019 889 R 60192 00747 19 00897 550 21 11012019 891 R 60146 00764 20 00898 525 20 14012019 896 R 60002 02394 21 01967 500 19 15012019 887 R 60319 05283 22 02509 475 18 16012019 899 R 59945 06200 23 02542 450 17 17012019 902 R 59868 01285 24 02752 425 16 18012019 894 R 60150 04710 25 03666 400 15 21012019 897 R 60072 01297 26 04184 375 14 22012019 889 R 60355 04711 27 04550 350 13 23012019 889 R 60375 00331 28 04557 325 12 24012019 877 R 60811 07222 29 04710 300 11 25012019 885 R 60547 04341 30 04711 275 10 28012019 887 R 60502 00743 31 05283 250 9 29012019 884 R 60621 01967 32 05307 225 8 30012019 872 R 61038 06879 33 05834 200 7 31012019 875 R 60959 01294 34 05889 175 6 01022019 863 R 61377 06857 35 06426 150 5 04022019 859 R 61531 02509 36 06435 125 4 05022019 859 R 61551 00325 37 06857 100 3 06022019 869 R 61238 05085 38 06879 75 2 07022019 876 R 61027 03446 39 06978 50 1 08022019 877 R 61014 00213 40 07222 25 Fonte Consolidação realizada pelo autor Preços unitários Disponível em httpwwwtesourofazendagovbr 94 Para calcular o Valor em Risco ou simplesmente o VaR os passos foram os seguintes 1 Ordenar os valores históricos dos preços unitários a LTN01012025 e calcular a variação diária em percentual 2 Ordenar as variações diárias em percentuais em ordem crescente para verificar as perdas máximas ocorridas em relação a quantidade de ocorrências analisadas 3 Calcular o VaR Perda máxima registrada no intervalo de confiança desejado 4 Realizar a análise Depois de consolidar os dados históricos e organizar os dados para o cálculo do Valor em Risco o analista verificou que para um intervalo de confiança de 95 considerando um histórico de 40 dias úteis a LTN01012025 apresentou uma perda máxima de 04341 se analisados 95 das ocorrências Em complemento verificou que a perda máxima registrada para 975 das ocorrências foi de 05085 e a maior perda já registrada no período de 40 dias foi de 06200 Portanto considerando um investimento de R 100 mil a maior perda para um dia considerando um intervalo de confiança de 95 em um histórico de 40 dias úteis está estimada em 04341 ou seja perda máxima de até R 43410 pois R 100000 04341 R 43410 Logo o VaR 95 é igual a R 43410 ou 04341 Índice de Sharpe Segundo Ross e Westerfield 2015 p 345 o Índice de Sharpe é o prêmio médio pelo risco do capital próprio ao longo de um período de tempo dividido pelo desvio padrão Acrescenta ainda que por essa razão alguns analistas chamam o índice de Sharpe de índice de Recompensa pelo Risco pois em linhas gerais basicamente significa quanto de retorno determinado ativo oferece para cada unidade de risco financeiro Portanto o índice de Sharpe pode ser expresso pela seguinte fórmula 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑅𝑅𝑝𝑝𝐸𝐸𝑜𝑜𝑝𝑝𝑛𝑛𝑜𝑜 𝑃𝑃é𝑜𝑜𝑖𝑖𝑜𝑜 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐸𝐸 𝐷𝐷𝑝𝑝𝐼𝐼𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝ã𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑜𝑜𝐼𝐼 𝑅𝑅𝑝𝑝𝐸𝐸𝑜𝑜𝑝𝑝𝑛𝑛𝑜𝑜𝐼𝐼 𝜎𝜎 Outra análise sobre o risco financeiro de um ativo também pode ser observada usando as mesmas variáveis que compõem o cálculo do Índice de Sharpe é o caso do Coeficiente de Variação 95 Coeficiente de variação CV Segundo Gitman 2010 p 212 o coeficiente de variação CV consiste em uma medida de dispersão relativa que é útil na comparação dos riscos de ativos com diferentes retornos esperados Consiste na divisão do desvio padrão dos retornos de um ativo pelo valor de retorno esperado Por essa razão a interpretação do indicador é de que quanto maior for o Coeficiente de Variação dos seus retornos históricos maior será o seu nível de risco financeiro e por consequência deveriam ser esperados maiores retornos A expressão do cálculo do Coeficiente de Variação é a seguinte 𝐶𝐶𝑉𝑉 𝐷𝐷𝑝𝑝𝐼𝐼𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝ã𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑜𝑜𝐼𝐼 𝑅𝑅𝑝𝑝𝐸𝐸𝑜𝑜𝑝𝑝𝑛𝑛𝑜𝑜𝐼𝐼 𝜎𝜎 𝑅𝑅𝑝𝑝𝐸𝐸𝑜𝑜𝑝𝑝𝑛𝑛𝑜𝑜 𝑃𝑃é𝑜𝑜𝑖𝑖𝑜𝑜 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐸𝐸 Para melhor evidenciar a aplicação prática tanto do Coeficiente de Variação quanto do Índice de Sharpe apresentamos o seguinte exemplo Questão chave IS e CV embora sejam considerados títulos de renda fixa os títulos públicos podem tornarse títulos de renda variável se o investidor resgatar o valor investido antecipadamente Nesse caso acompanhar as variações nos preços dos títulos se tornou uma preocupação para os analistas de investimentos Dessa forma surgiu a seguinte indagação qual das duas Letras do Tesouro Nacional LTN01012023 ou LTN01012025 apresenta maiores oscilações nos seus preços e por consequência maiores riscos Qual das duas LTNs apresenta maiores prêmios para cada unidade de risco financeiro Os dados analisados são os seguintes 96 Tabela 15 Dados históricos da LTN01012025 e LTN01012023 LTN 01012025 LTN 01012023 LTN 01012025 Data Base Taxa Preço Unitário Variação Taxa Preço Unitário Variação Descrição Valor 02012019 905 R 59544 02542 849 R 72254 01067 Retorno Esperado E 01191 03012019 896 R 59860 05307 836 R 72623 05107 Desvio Padrão σ 03770 04012019 903 R 59651 03491 844 R 72433 02616 Coef de Variação CV 317 07012019 893 R 59999 05834 840 R 72563 01795 Índice de Sharpe IS 032 08012019 894 R 59986 00217 842 R 72533 00413 09012019 887 R 60237 04184 838 R 72662 01779 LTN 01012023 10012019 889 R 60192 00747 840 R 72632 00413 Descrição Valor 11012019 891 R 60146 00764 843 R 72576 00771 Retorno Esperado E 00868 14012019 896 R 60002 02394 847 R 72494 01130 Desvio Padrão σ 02369 15012019 887 R 60319 05283 838 R 72755 03600 Coef de Variação CV 273 16012019 899 R 59945 06200 849 R 72488 03670 Índice de Sharpe IS 037 17012019 902 R 59868 01285 851 R 72458 00414 18012019 894 R 60150 04710 844 R 72666 02871 21012019 897 R 60072 01297 849 R 72558 01486 22012019 889 R 60355 04711 841 R 72792 03225 23012019 889 R 60375 00331 838 R 72895 01415 24012019 877 R 60811 07222 828 R 73206 04266 25012019 885 R 60547 04341 834 R 73047 02172 28012019 887 R 60502 00743 834 R 73070 00315 29012019 884 R 60621 01967 830 R 73199 01765 30012019 872 R 61038 06879 818 R 73540 04659 31012019 875 R 60959 01294 818 R 73563 00313 Fonte Consolidação realizada pelo autor Preços unitários Disponível em httpwwwtesourofazendagovbr Observe que o retorno diário esperado para a LTN01012025 resultou em 01191 com um desvio padrão de 03770 Já o retorno diário esperado para a LTN01012023 resultou em 00868 com um desvio padrão de 02369 Dessa forma o retorno médio diário esperado para a LTN01012025 resultou maior do que para a LTN01012023 contudo ainda falta verificar o nível de risco financeiro Em análise ao Coeficiente de Variação dos retornos dos dois títulos verificouse que a LTN 01012025 apresentou uma variação de 317 vezes enquanto a LTN01012023 variou apenas 273 vezes Logo a análise é de que a LTN01012025 apresenta maior nível de risco embora o seu retorno também seja maior Essa constatação abre o espaço para uma importante indagação essa rentabilidade adicional da LTN01012025 sobre a LTN01012023 se justifica dado os seus respectivos níveis de riscos Para responder tal questionamento será analisado agora o Índice de Sharpe calculado para os investimentos 97 Note que o Índice de Sharpe calculado para a LTN01012025 resultou em 032 ou seja os históricos apresentaram 032 de retorno para cada unidade de risco desvio padrão Já o mesmo índice calculado para a LTN01012023 resultou em 037 ou seja os históricos apresentaram 037 de retorno para cada unidade de risco Logo verificase que o prêmio pelo risco da LTN 01012023 é maior do que o prêmio pelo risco da LTN01012025 e por essa razão os analistas de investimentos poderiam sugerir que se optasse pelo investimento na LTN01012023 Embora a LTN01012025 tenha apresentado um retorno diário esperado maior 01191 00868 a decisão de optar pelo investimento na LTN01012023 se justifica em razão de este título apresentar um prêmio maior para cada unidade de risco se comparado ao prêmio pelo risco oferecido pela LTN01012025 98 BIBLIOGRAFIA ASSAF NETO A Finanças corporativas e valor 7 ed São Paulo Atlas 2016 Matemática financeira e suas aplicações 13 ed São Paulo Atlas 2016 BRASIL Banco Central do Brasil Calculadora do cidadão 11 de dezembro de 2018 Disponível em httpswww3bcbgovbrCALCIDADAOpublicoexibirFormCorrecaoValoresdomethodexibi rFormCorrecaoValoresaba5Acesso em maio 2023 Tesouro Nacional Tesouro Direto rentabilidade dos títulos públicos Disponível em httpswwwtesourodiretocombrmercadodetitulospublicosrentabilidadeacumuladahtm Acesso em maio 2023 GITMAN L J Princípios de administração financeira 12 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 HAZZAN S POMPEO J N Matemática financeira 7 ed São Paulo Saraiva 2015 KUHNEN O L BAUER U R Matemática financeira aplicada e análise de investimentos São Paulo Atlas 2001 MARTINETTI FILHO A Matemática financeira HP12C MS Excel BrOffice Calc Compinas Alínea 2010 MORETTIN P A BUSSAB W D O Estatística básica 5 ed São Paulo Saraiva 2006 ROSS S A et al Administração financeira 10 ed Porto Alegre AMGH 2015 VIEIRA SOBRINHO J D Matemática financeira 8 ed São Paulo Atlas 2018 99 PROFESSORAUTOR Carlos Eduardo Prado Feuser Formação acadêmica Mestre em Agronegócio e Desenvolvimento Regional pela Faculdade de Economia da Universidade Federal de Mato Grosso UFMT Especialista em Gestão Empresarial pela FGV Especialista em Gestão Financeira Controladoria e Auditoria pela FGV Bacharel em Direito pela Universidade de Cuiabá Unic Experiências profissionais Docente dos cursos de MBA da Fundação Getulio Vargas Diretor executivo da SFX Participações e Negócios empresa de assessoria especializada em gestão empresarial controladoria e finanças Consultor e palestrante nas áreas de gestão empresarial gestão do capital de giro e finanças corporativas e comportamentais Idealizador e sócio da solução em gestão financeira nambicom Atuou como membro de conselhos consultivos de administração de grupos econômicos Atuou como CEO diretor administrativo e financeiro e de TI de um grupo que é referência nacional no segmento de comércio de combustíveis e derivados de petróleo Ocupou o cargo de controller de grupos econômicos e sociedades anônimas Desenvolveu trabalhos relacionados à análise de negócios a sistemas de gerenciamento e processos com know how em gerenciamento de planilhas eletrônicas para aplicação em business intelligence BI Siga as nossas redes sociais