Questionário de Geometria Analítica e Algébra Linear

Questão 1 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Sejam E e F espaços vetoriais e T uma transformação linear de E em F Assinale a afirmação correta sobre T Escolha uma opção a Se w F e existe u E tal que Tu w então u ImT b Se T é sobrejetora então NT c Dados u v E então Tu v Tu Tv d NT é um subconjunto de F e Se u E e Tu 0 então u NT Questão 2 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Encontre as matrizes L e U que permitam efetuar uma fatoração LU da matriz A 3 6 2 5 Escolha uma opção a L 1 0 2 5 e U 1 2 0 5 b L 1 0 12 1 e U 2 1 1 3 c L 3 0 2 1 e U 1 2 0 1 d L 13 0 12 1 e U 1 12 0 1 e L 1 0 2 1 e U 3 0 0 1 Questão 3 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Na diagonalização ortogonal da matriz simétrica 8 4 16 4 2 8 16 8 14 calcule a soma S dos elementos da matriz diagonal D Escolha uma opção a A não é diagonalizável b S 6 c S 24 d S 0 e S 30 Questão 4 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Em álgebra linear é essencial conhecer as propriedades dos objetos estudados Com isso em mente determine qual das afirmativas a seguir é verdadeira Escolha uma opção a O espaço aNulA pode ter um vetor no máximo b O subespaço de ImA está contido no domínio da transformação matricial A c O subespaço de ImA de uma matriz 4x4 com colunas linearmente independentes não pode ser igual ao espaço R⁶ c O subespaço de ImA de uma matriz 4x4 com colunas linearmente independentes não pode ser igual ao espaço R⁴ d Um conjunto de geradores para o espaço R⁶ tem 4 vetores no máximo e O espaço anulado aNulA de uma matriz com determinante diferente de zero é sempre igual a aNul A 0 Questão 5 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Na diagonalização ortogonal da matriz simétrica 8 4 16 4 2 8 16 8 14 determine uma base ortonormal de autovetores que compõem a matriz P Escolha uma opção a A não pode ser diagonalizável b 1 2 0 2 1 2 4 2 5 c 15 25 0 23 13 23 445 245 545 d 15 25 0 29 19 29 445 245 545 e 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Questão 6 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas Determine a imagem do ponto P 1 1 pela reflexão em torno da reta diagonal do plano Escolha uma opção a 0 1 b 1 2 c 1 1 d 1 1 e 1 1 Questão 7 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão A exploração da relação entre a inversão de matriz determinantes e dependência linear permite obter informações importantes sobre muitos objetos Use seus conhecimentos sobre o assunto para completar as lacunas na frase a seguir Se A for uma matriz nx as de A serão linearmente se e somente se detA 0 Escolha uma opção a m colunas independentes b n linhas dependentes c m linhas dependentes d n colunas independentes e n colunas dependentes Questão 8 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão No espaço vetorial P₂ dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais qual dos conjuntos abaixo é linearmente dependente Escolha uma opção a v₁ 3x² 1 b v₁ 3x² 1 v₂ 3x² 2 v₃ x² x 1 c v₁ 3x² 1 v₂ 3x² 2 d b v₁ 3x² 1 v₂ x 2 e v₁ 3x² 2x 1 v₂ x² 2 v₃ x² 2x 9 Questão 9 Ainda não respondida Vale 068 pontos Marcar questão Em um espaço vetorial E dados uv elementos de E e o número real então pela definição não é exigido que uvx satisfaçam Escolha uma opção a uv E b u av αv u c a² αu v E d a²u E e u u 0v Questão 10 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Os conceitos de dependência e independência linear estão relacionados à geometria de espaços gerados como na relação de paralelismo Determine qual dos pares de vetores a seguir é um par de vetores paralelos Escolha uma opção a 1 2 1 12 b 1 2 2 1 c 1 2 2 1 d 1 2 e 2 1 e 1 0 0 3 Questão 11 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Transformações matriciais atuam sobre espaços vetoriais A transformação Fx y 2x y por exemplo atua no espaço R² Por essa transformação qual é a imagem do ponto P 2 1 Escolha uma opção a Q 4 1 b Q 4 1 c Q 4 1 d Q 4 1 e Q 4 0 Questão 12 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Considere a matriz linha A e a matriz coluna B dadas abaixo A 2 3 B 4 1 O produto matricial AB é igual a Escolha uma opção a 8 12 1 3 b 10 c 11 d 8 3 e 8 3 Questão 13 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Sendo E um espaço vetorial e F um subconjunto de E assinale a afirmação correta Escolha uma opção a Se u v pertencem à F então u v E b Se F é subespaço então 0 F c Se u v F então não necessariamente u v F d F não é subespaço de E se F E e F precisa ser fechado em relação às operações de E Questão 14 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Em R⁵ considere o conjunto de vetores C 13041 34121 41120 05102 31204 e determine a dimensão e uma base para o gerado de C Escolha uma opção a O conjunto 13041 05102 31204 é uma base do gerado de C que é um subespaço de dimensão 3 b O conjunto 13041 é uma base do gerado de C que é um subespaço de dimensão 1 c O conjunto 13041 34121 05102 31204 é uma base do gerado de C que é um subespaço de dimensão 4 d C é linearmente independente e portanto uma base de um subespaço de dimensão 5 logo o gerado de C é o próprio R⁵ e O conjunto 13041 34121 é uma base do gerado de C que é um subespaço de dimensão 2 Questão 15 Ainda não respondida Vale 067 pontos Marcar questão Conjuntos geradores têm papel importante em álgebra linear Sobre os assuntos estudados nesse tópico determine qual afirmação a seguir é correta Escolha uma opção a Se U é um subespaço de Rⁿ e r rⁿ pertence a U para todo r R então t R b Se U é um subespaço de Rⁿ r rⁿ pode não pertencer a U para todo r R então t R c Se t U gerv₁ v₂ então U gerv₁ a d O conjunto contendo apenas o vetor nulo não é um subespaço de Rⁿ e Os vetorescoluna da matriz A 1 2 2 4 formam um conjunto gerador para o plano 1 Sejam E e F espaços vetoriais e T uma transformação linear de E e F Assinale a afirmação correta sobre T RESOLUÇÃO Por definição Se u E e Tu 0 u NT Em outras palavras o Núcleo NT é o conjunto de todos os vetores u em E que satisfazem Tu 0 Gabarito e 2 Encontre as matrizes L e U que permitam efetuar uma fatoração LU da matriz A 3 6 2 5 RESOLUÇÃO Aplicando o Método de Crout A L U 3 6 2 5 l11 0 l21 l22 1 u12 0 1 3 6 2 5 l11 1 0 0 l11 u12 0 1 l21 1 l22 0 l21 u12 l22 1 l11 l11 u12 l21 l21 u12 l22 Temos um sistema com as seguintes equações l11 3 l21 2 l11 u12 6 l21 u12 l22 5 Substituindo o valor de l11 l11 u12 6 3 u12 6 u12 63 u12 2 Substituindo os valores de l21 e u12 l21 u12 l22 5 2 2 l22 5 l22 5 4 l22 1 Podemos então substituir os valores e determinar as Matrizes L l11 0 l21 l22 3 0 2 1 U 1 u12 0 1 1 2 0 1 Gabarito c 3 Na diagonalização ortogonal da matriz simétrica 8 4 16 4 2 8 16 8 14 calcule a soma S dos elementos da matriz diagonal D RESOLUÇÃO Sabendo que a soma dos elementos da diagonal da matriz D é igual a soma dos autovalores da matriz original podemos solucionar essa questão utilizando a propriedade que diz que a soma dos autovalores de uma matriz é igual ao seu traço trM 8 12 14 trM 24 Temos então que a soma S dos elementos da matriz diagonal D trM Gabarito c 4 Em álgebra linear é essencial conhecer as propriedades dos objetos estudados Com isso em mente determine qual das afirmativas a seguir é verdadeira RESOLUÇÃO Diante das afirmativas analisaremos com mais atenção a alternativa e Se uma Matriz A tem o Deta 0 significa que ela é uma matriz invertível Em matrizes desse tipo temos que para Ax 0 existe solução apenas para x 0 Por definição o espaço nulo NulA é o conjunto de todas as soluções para Ax 0 logo NulA 0 Gabarito e 5 Na diagonalização ortogonal da matriz simétrica A 8 4 16 4 2 8 16 8 14 determine uma base ortonormal de autovalores que compõem a matriz P RESOLUÇÃO Precisamos calcular os autovalores da Matriz A através da equação detA λI 0 det 8 λ 4 16 4 2 λ 8 16 8 14 λ 0 λ3 24λ2 180λ 0 λλ2 24λ 180 0 Calculando as raízes teremos λ1 0 b2 4ac 242 41180 576 720 1296 λ b 2a λ 24 36 2 λ2 24 36 2 λ2 30 λ3 24 36 2 λ3 6 Agora precisamos determinar o autovetor correspondente para cada autovalor A λIv 0 i λ1 0 Av 0 3 8 4 16 4 2 8 16 8 14 x y z 0 0 0 Com isso temos o sistema de equações bem definido 8x 4y 16z 0 4x 2y 8z 0 16x 8y 14z 0 As duas primeiras equações são linearmente dependente podemos então descartar uma delas Da primeira equação podemos isolar o y da seguinte maneira 4y 16z 8x y 4z 2x Substituindo y na terceira equação teremos 16x 84z 2x 14z 0 16x 32z 16x 14z 0 32z 14z 0 z 0 Substituindo z na equação de y y 40 2x y 2x Determinamos então que o autovetor tem a forma x y z x 2x 0 x y z x1 2 0 Podemos então escolher um x não nulo para encontrarmos um autovetor específico Nesse caso fazemos x 1 v1 1 2 0 ii λ2 6 A 6Iv 0 A 6Iv 0 A 6I 8 6 4 16 4 2 6 8 16 8 14 6 14 4 16 4 8 8 16 8 20 Realizando os mesmos procedimentos de i encontraremos o autovetor da seguinte forma 4 xyz 2yy2y xyz y212 Podemos então escolher um y não nulo para encontrarmos um autovetor específico Nesse caso fazemos y 1 v2 212 iii λ3 30 A 30Iv 0 A 30I 8 30 4 16 4 2 30 8 16 8 14 30 22 4 16 4 28 8 16 8 16 Realizando os mesmos procedimentos de i e ii encontraremos o autovetor da seguinte forma xyz 45 z 25 z z Podemos então escolher um z adequado para evitar frações nesse caso z 5 v3 425 Por último normalizamos os autovetores i v1 1² 2² 0² 5 u1 15 25 0 ii v2 2² 1² 2² 9 3 u2 23 13 23 iii v3 4² 2² 5² 45 u3 445 245 545 Gabarito c 6 Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas Determine a imagem do ponto P 1 1 pela reflexão em torno da reta diagonal do plano RESOLUÇÃO A reflexão de um ponto qualquer x y em torno da reta y x é o ponto y x Sendo assim para o ponto P 1 1 P 1 1 Gabarito e 7 A exploração da relação entre a inversão de matriz determinantes e dependência linear permite obter informações importantes sobre muitos objetos Use seus conhecimentos sobre o assunto para completar as lacunas da frase a seguir Se A for uma matriz n as de A serão linearmente se e somente se detA 0 RESOLUÇÃO Para solucionar essa questão utilizaremos uma propriedade fundamental das matrizes quadradas que afirma que uma Matriz quadrada A de ordem n nxn é invertível se e somente se detA 0 Isso é equivalente a dizer que os n vetores coluna ou vetores linha da matriz sejam linearmente independentes Logo podemos preencher nossas lacunas com n colunase independentes Gabarito d 8 No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais qual dos conjuntos abaixo é linearmente dependente RESOLUÇÃO Na alternativa e temos o seguinte v1 3x2 2x 1 v2 x2 2 v3 x2 2x 9 Os vetores correspondentes são v1 3 2 1 v2 1 0 2 v3 1 2 9 Ao calcularmos o determinante da matriz gerada por esses vetores teremos detA 3 1 1 2 0 2 1 2 9 detA 30 9 2 2 12 9 2 1 12 2 0 1 6 Considere a matriz linha A e a matriz coluna B dadas abaixo O produto matricial AB é igual a A 2 3 B 4 1 RESOLUÇÃO Sabemos que o produto de uma matriz 1x2 por uma matriz 2x1 resulta em uma matriz 1x1 AB 2 34 1 AB 2 4 3 1 8 3 AB 11 Gabarito c Sendo E um espaço vetorial e F um subconjunto de E assinale a afirmação correta RESOLUÇÃO 3 condições precisam ser satisfeitas para que um subconjunto F de um espaço vetorial E seja um subespaço vetorial i Conter o vetor nulo 0 F ii Fechado para adição uv F u v F iii Fechado para multiplicação por escalar λ K u F λu F Ou seja F precisa ser fechado em relação às operações de E Gabarito e Gabarito c 15 Conjunto geradores têm papel importante em álgebra linear Sobre os assuntos estudados nesse tópico determine qual a afirmação é correta RESOLUÇÃO Ao analisarmos a premissa da alternativa a temos implicitamente que v é um vetor em Rn Além disso se U é subespaço e rv U para todo r R analisando em caso particular par r 1 temos que 1 v v U Gabarito a 9