Resistência dos Materiais

1 20 pontos Uma viga simples AB suporta um carregamento concentrado P atuando nas distâncias a e b dos suportes esquerdo e direito respectivamente figura abaixo Determine as equações da curva de deflexão os ângulos de rotação θA e θB nos suportes a deflexão máxima δc no ponto C da viga Nota A viga tem comprimento L e rigidez de flexão EI constante 2 20 pontos Uma laje de concreto tem barras de aço de 16mm de diâmetro a cada 150mm colocadas a 20mm acima da face inferior da laje Os módulos de elasticidade são de 21GPa para o aço Sabendose que um movimento fletor de 4kNm está aplicado à cada 30cm de largura da large determinar a A máxima tensão no concreto b A tensão no aço 3 20 pontos Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kN m como mostra a figura Determine a tensão normal máxima na viga e a orientação do eixo neutro 4 20 pontos Uma viga composta ABC tem um suporte rolante em A uma rótula interna em B e um suporte fixo em C O segmento AB tem comprimento a e o segmento BC tem comprimento b Um carregamento concentrado P atua à distância 2a3 do suporte A e um carregamento uniforme de intensidade q atua entre os pontos B e C Determine a deflexão δb na rótula e o ângulo de rotação θA no suporte A Nota a viga tem rigidez de flexão EI constante 5 20 pontos Discuta as características principais das deflexões causadas por mudanças de temperatura nãouniformes 1 A apoio simples B apoio móvel Equação de deflexão da viga EI dθ2dx2 Mx Para 0 x a RA PbL Rb PaL Mx RA x Pb xL Para a x L Mx RA x Pxa Pb x2 Pxa EI dθ2dx2 Mx 0 x a EI d²θdx² Pb x2 dθdx Pb xLEI dx Pb x²2LEI C1 d²θdx² Pb x²8LEI C1 dx Pb x³6LEI C1x C2 a x L EI d²θdx² Pb xL Pxa dθdx Pb xLEI Pxa dx PEI bxL xa dx C3 PEI bx²2L xa²2² C3 d²θ2dx² PEI bx²L xa²2 dx C3 x C4 PEI b x³6L xa36 C3x C4 Aplicando as leis do contorno para encontrar C1 C2 C3 e C4 θ1x Pb x³6LEI C1x C2 θ2x Pb x³6LEI Pxa³6EI C3x C4 Em x0 θ0 0 θ10 0 C10 C2 C20 Em x L θ0 0 θ20 Pb L³6EI Pxa³6EI C3 L C4 como que L a b b L a θ20 Pb L²6EI Pb³6EI C3L C4 Continuidade em x a θ1 θ2 deflexão contínua Pba³6LEI C1a Pb a³6LEI Paa³6EI C3 a C4 C1 C3 C4 0 logo C1 C3 C2 C4 0 Substituindo C40 na condição xL Pb L²6EI Pb³6EI C3 L Pb L²b²6EI C1 Portanto as equações de deflexão para 0 x a v1x Pb x L2 b2 x2 6 LE I derivada do produto uv uv v1x Pb 6 LE I x L2 b2 x2 Pb 6 LE I L2 b2 x2 fxx v1x Pb 6LEI L2 b2 3 x2 Para a x L v2x Pb x L2 b2 x2 Pxa3 6 EIL v2x Pb 6 LEI L2 b2 3 x2 Pxa2 9 EIL Ângulo de rotação nos apoios Lab a L b ΘA v10 Pb L2 b2 6 LE I Pba Lb 6 LE I ΘB v2L Pb QLEI L2 b2 3L2 PL a2 2LEI v1L Pb GLEI 2 L2 b2 Pb2 2LEI v2L Pb 6LEI 2 L2 b b2 Pb 6 LEI 2L2 2b2 v2L Pba La 6LEI Deflexão máxima δc no ponto C L acontece quando v0 0 v0x Pb 6LE I L2 b2 3 x2 0 Pb 6LEI L2 b2 3 x2 Pb 6LEI 0 L2 b2 3x2 0 x raiz quadrada L2 b2 3 substituindo x em vx 0 x a v0x Pb x 6 LEI L2 b2 x2 vmax Pb 6 LEI raiz quadrada L2 b2 3 L2 b2 raiz quadrada L2 b2 32 vmax Pb 6 LEI raiz quadrada L2 b2 3 2L2 b2 3 Pb L2 b232 9 raiz quadrada 3 LEI Vmax δmax δmáx Pb L2 b232 9 raiz quadrada 3 LE I a b No ponto C para x L 2 δc v0 L2 Pb L 12 LE I L2 b2 L22 Pb 12 E I 9L2 4b2 L2 4 Pb 48 EEL a b 2 300 mm 100 mm 100 k c η Ea Ec 210 GPa 21 GPa 10 ηA 10 π 4 16mm2 402124 mm2 300 x x 2 4021 100 x 0 150 x2 4021 x 402100 0 x 4007 x 6688 x 4007 mm altura total da lasa 100mm eixo neutro em x 4007 mm as barras estão a 100 mm do topo logo col vertical cd x 100 mm 4007 5993 mm I 1 3 300 mm4007 mm3 402124 mm2 5993 mm2 I 087x 106 mm4 σc Mc1 I 4000 N m 004067 m 2087 x106 m4 47 MPa σa n Mc2 I 10 4000 Nm 005998 mm 2087 x 106 m4 11486 MPa 3 200 mm 80 mm 80mm 30 mm 100mm 40mm My 15000 30 1299 kNm Mz 15000 30 75 KNm y linha neutra y Ay 5010040 11580200 89 mm 00890 A 10040 30200 m Pelo teorema dos eixos paralelos I Io Ad² bh³12 Ad² Iz 112 10040³ 112 30200³ 2053 x 10 6 mm⁴ 2053 x 10⁶ m⁴ Iy 112 40100³ 1004089 50² 112 20030³ 20030115 89² 189 x 10⁶ mm⁴ 159 x 10⁶ m⁴ 01 m 0040 m y 00890 m A maior tenção de tração ocorre em B e de compressão em C σ Mz yIz My zIy 75 x 10³ 012053 x 10⁶ 1299 x 10³ 0041159 x 10⁶ σB 7484 MPa σc 75 x 10³ 002 1299 x 10³ 000890 9047 MPa 2053 x 10⁶139 x 10⁶ tg α tg 60 255 α tg¹ 255 6858 7 6858 60 N m A N y 4 2a3 ρ V C B A a b Viga simples AB F ρb3 engastamento em balanço F ρb3 B C BC deflexão em B causada por F ρb3 δ Fb³3EI δ₀ ρb3³8EI 2 ρb³9EI deflexão no centro da viga δ qL⁴8EI δB qb⁴8EI δB qb⁴8EI 2ρb³9EI AB 8 AB QA B C δB B o ângulo BAB producido por δB e a flecao da viga AB pela carga ρ QA1 δBa qb⁴8aEI 2ρb³9aEI o ângulo devido a P é obtido tabulado em que 2a3 a3 θA P 2Pb²9EI QA θA δ θA P qb⁴8aEI 2ρb³9aEI 2ρb²9EI inclinação local em A Labc a b a a3 4a3 logo b a3 a b⁴ a⁴81 b³ a³27 b² a²9 θA 9 a⁴81 8aEI 2ρa³27 9aEI 2ρa²9 9EI 4ρa²81EI θA mudanças de temperatura não uniformes são mudanças de temperaturas diferentes em cada parte da secção transversal de um elemento Quando diferentes partes de uma peça sofrem alterações como expansão ou contração ocorre junto um gradiente térmico que provoca deformações internas irregulares Quando a estrutura é solicitada surgem esfroços internos como momentos fletores e tensões térmicas A intensidade e a forma da deflexão dependem do gradiente térmico Um exemplo de deflexão seria uma viga que possui um aquecimento maior na parte superior então ela se incurva para baixo