Resolução de Exercícios sobre Vetores e Áreas

Questão 3 Mostre que o quadrilátero cujos os vértices são os pontos A123 B131 C573 e D221 é um paralelogramo e calcule a sua área Questão 4 Seja V o vetor que satisfaz as seguintes condições i Os vetores V101 e 212 são coplanares ii V é perpendicular ao vetor 111 iii V 2 iv O ângulo entre V e o vetor 110 é maior que π2 Encontre o ponto inicial do representante de V que tem ponto final em 103 Geometria Analítica 3 Os lados do quadrilátero são os vetores AB B A 1 1 3 2 1 3 054 CD D C 2 5 2 7 1 3 354 BC C B 5 1 7 3 3 1 442 DA A D 1 2 2 2 3 1 142 Observe que AB CD e BC DA ou seja os lados opostos não são congruentes Portanto ABCD não é um paralelogramo Para calcular a área vamos separar o quadrilátero em 2 triângulos ABC e ACD Temos que Área ABC 12 AB AC Observe que AC C A 5 1 7 2 3 3 4 9 6 logo AB AC i j k 0 5 4 4 9 6 i 56 49 j 06 44 k 054 61620 AB AC 6² 16² 20² 36 256 400 692 263 Área ABC 2632 1315 Além disso Área ACD 12 AC AD onde AD DA Assim AC AD i j k 4 9 6 1 4 2 i 92 64 j 42 61 k 44 91 6 2 7 AC AD 6² 2² 7² 36 4 49 89 943 Área ACD 9432 4715 Portanto Área ABCD 1315 4715 17867 1787 4 Seja Vxyz se V 101 e 212 são coplanares então x y z 1 0 1 2 1 2 0 x0 y12 z11 x1 y12 z0 0 2y z x 2y 0 z x 0 xz Além disso se V é perpendicular a 111 então xyz 111 0 x y z 0 x y x 0 y 0 Também temos que V 2 ou seja x² y² z² 2 x² 0² x² 2 2x² 2 x² 1 x 1 Assim nos resta duas opções x 1 ou x 1 Mas como o ângulo entre V e 110 é maior que π2 seu cosseno é negativo Temos que cosθ xyz 110 v 110 x y 2 1² 1² 0² x 0 2 2 x2 0 Logo x 0 Portanto V 1 0 1