Resolução de Treliças pelo Método dos Nós - Engenharia Estrutural

Em engenharia de estruturas uma treliça é uma estrutura composta por cinco ou mais unidades triangulares construídas com elementos retos cujas extremidades são ligadas em pontos conhecidos como nós Utilizando o método de nós encontre qual barra sofre maior compressão Apresente o memorial de Cálculo Questão 1 O primeiro passo para a resolução de um problema com treliças é determinar os ângulos de suas barras Conhecendo também a natureza dos apoios devemos calcular as reações externas verticais V e horizontais H Dessa forma teremos Como o apoio B tem mais incógnitas começamos calculando o equilíbrio dos momentos nele Logo 𝑀𝐵 0 8𝑉𝐴 10 400 15 400 25 800 𝑀𝐵 0 8𝑉𝐴 40 60 200 𝑀𝐵 0 8𝑉𝐴 220 𝑀𝐵 0 𝑽𝑨 𝟐𝟕 𝟓𝟎 𝒌𝑵 Encontramos a reação vertical em B pelo equilíbrio das forças verticais Assim teremos 𝐹𝑌 0 𝑉𝐵 2750 15 20 𝐹𝑌 0 𝑽𝑩 𝟕 𝟓𝟎 𝒌𝑵 De forma semelhante determinamos a reação horizontal em B pelo equilíbrio das forças horizontais 𝐹𝑋 0 HB 10 25 𝐹𝑋 0 𝐇𝐁 𝟏𝟓 𝒌𝑵 Uma vez calculadas as reações nos apoios determinamos as forças nas barras decompondo as reações de acordo com o ângulo de cada elemento Assim teremos No nó A Equilíbrio das forças Verticais 𝐹𝑌 0 𝐹𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛45 2750 𝐹𝑌 0 0707 𝐹𝐴𝐶 2750 𝐹𝑌 0 𝑭𝑨𝑪 𝟑𝟖 𝟖𝟗 𝒌𝑵 Equilíbrio das forças Horizontais 𝐹𝑋 0 𝐹𝐴𝐵 3889 cos 45 𝐹𝑋 0 𝑭𝑨𝑩 𝟐𝟕 𝟓𝟎 𝒌𝑵 No nó B Equilíbrio das forças Horizontais 𝐹𝑋 0 𝐹𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠450 15 2750 𝐹𝑋 0 0707 𝐹𝐵𝐶 15 2750 𝐹𝑋 0 𝑭𝑩𝑪 𝟏𝟕 𝟔𝟖 𝒌𝑵 Equilíbrio das forças Verticais 𝐹𝑌 0 𝐹𝐵𝐷 750 1768 𝑠𝑒𝑛45 𝐹𝑌 0 𝐹𝐵𝐷 750 1250 𝐹𝑌 0 𝑭𝑩𝑫 𝟓 𝟎𝟎 𝒌𝑵 No nó D Equilíbrio das forças Verticais 𝐹𝑌 0 𝐹𝐷𝐶 𝑠𝑒𝑛45 500 20 𝐹𝑌 0 𝑭𝑫𝑪 𝟑𝟓 𝟑𝟓 𝒌𝑵 Portanto a distribuição das forças nessa treliça fica da seguinte forma com o sinal positivo são as barras tracionadas com o sinal negativo as barras comprimidas Questão 2 Iniciamos a resolução calculando as reações nos apoios Fazendo o equilíbrio dos momentos no apoio A temos 𝑀𝐴 0 4𝑉𝑏 4 100 25 500 85 400 200 𝑀𝐴 0 4𝑉𝑏 4 125 680 𝑀𝐴 0 4𝑉𝑏 765 𝑀𝐴 0 𝑽𝒃 𝟏𝟗 𝟏𝟐 𝒌𝑵 Pelo Equilíbrio das Forças Verticais 𝐹𝑌 0 𝑉𝐴 1912 85 400 25 𝐹𝑌 0 𝑉𝐴 1912 34 25 𝐹𝑌 0 𝑽𝑨 𝟏𝟕 𝟑𝟖 𝒌𝑵 Pelo Equilíbrio das Forças Horizontais 𝐹𝑋 0 𝑯𝑨 𝟒 𝒌𝑵 A construção dos Diagramas dos Esforços Internos solicitantes se faz a partir de um dos apoios Primeiramente determinamos o diagrama de Força Cortante e a partir das áreas dele o de momento Fletor Por exemplo a força que atua como Cortante na barra AG é a reação do apoio Ha que vale 4 kN Como não há mais nenhuma força atuando como cortante nessa barra o Diagrama de Cortante terá o formato de um retângulo nesse trecho isto é a força segue constante ao longo dessa barra O momento fletor por sua vez é crescente ao longo da barra AG pois varia de acordo com a distância Seu valor máximo no nó G equivale à área acumulada do diagrama de Cortante até então isto é a área do retângulo de 4kN x 300m ou seja 12 kNm como pode ser observado nos diagramas a seguir Diagrama de Força Cortante Diagrama de Momento Fletor Questão 3 Determinamos o grau de estaticidade da viga da seguinte forma g n incóg apoios n barras que cruzam cada rótula 1 3 equações g 3 2 21 21 3 g 5 2 3 g 0 isostática Ser a estrutura é isostática significa que podemos calcular todos os esforços nessa viga utilizando as equações básicas de equilíbrio de Momentos e Forças Para a viga em questão devese desmembrar os segmentos a partir das rótulas e começar a resolver verificando o equilíbrio nas frações que tiverem o menor número de incógnitas Questão 4 Iniciamos a resolução calculando o grau de estaticidade da viga analisada g n incóg apoios barras das rótulas 1 3 equações g 2 1 1 1 0 3 g 5 0 3 g 2 hiperestática Uma vez que se trata de uma estrutura hiperestática devemos nos utilizar de um método adequado para calcular os esforços na viga pois as equações tradicionais de equilíbrio não são suficientes O método aqui adotado será o Método dos Deslocamentos Definimos inicialmente o Sistema Principal restringindo as rotações nos apoios B e C Determinamos o Efeito do Carregamento no Sistema Principal através das seguintes tabelas Dessa forma teremos 𝑀𝐵𝐴 0 𝑞𝑙2 8 5 402 8 10 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵𝐶 0 𝑞𝑙2 8 𝑃𝑎𝑏² 𝐿² 5 602 8 3 2 4² 62 2517 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶𝐵 0 𝑞𝑙2 8 𝑃𝑎2𝑏 𝐿2 5 602 8 3 22 4 62 2383 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶𝐷 0 𝑞𝑙2 8 5 302 8 5625 𝑘𝑁𝑚 Logo 𝛽10 𝑀𝐵𝐴 0 𝑀𝐵𝐶 0 10 2517 1017 𝑘𝑁𝑚 𝛽20 𝑀𝐶𝐵 0 𝑀𝐶𝐷 0 2383 5625 1821 𝑘𝑁𝑚 Aplicamos agora uma Rotação Unitária Δ1 1 no SP e calculamos os momentos de acordo com a tabela 𝑘11 𝑀𝐵 3𝐸𝐼 𝑙𝐴𝐵 4𝐸𝐼 𝑙𝐵𝐶 3𝐸𝐼 40 4𝐸𝐼 60 𝟏 𝟒𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝑘12 𝑀𝐶 2𝐸𝐼 𝑙𝐵𝐶 2𝐸𝐼 60 𝟎 𝟑𝟑𝟑 𝑬𝑰 De forma semelhante agora uma Rotação Unitária Δ2 1 no SP 𝑘22 𝑀𝐶 4𝐸𝐼 𝑙𝐵𝐶 3𝐸𝐼 𝑙𝐴𝐵 4𝐸𝐼 60 3𝐸𝐼 30 𝟏 𝟔𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝑘21 𝑀𝐵 2𝐸𝐼 𝑙𝐵𝐶 2𝐸𝐼 60 𝟎 𝟑𝟑𝟑 𝑬𝑰 Equação de compatibilidade dos esforços 𝛽10 𝑘111 𝑘122 0 𝛽20 𝑘211 𝑘222 0 Dessa forma temos 1017 1416 1 0333 2 0 1821 0333 1 1667 2 0 Ao resolver o sistema de equações encontramos 𝟏 𝟏𝟎 𝟐𝟑 𝒆 𝟏 𝟏𝟐 𝟗𝟕 De posse de 𝟏 𝒆 𝟐 podemos determinar qualquer um dos esforços que atua no sistema original através de combinações com o sistema principal da seguinte forma 𝑅𝑖 𝑅0 𝑅11 𝑅22 Questão 1 O primeiro passo para a resolução de um problema com treliças é determinar os ângulos de suas barras Conhecendo também a natureza dos apoios devemos calcular as reações externas verticais V e horizontais H Dessa forma teremos Como o apoio B tem mais incógnitas começamos calculando o equilíbrio dos momentos nele Logo M B08V A104 00154 0025800 M B08V A4060 200 M B08V A220 M B0V A2750kN Encontramos a reação vertical em B pelo equilíbrio das forças verticais Assim teremos FY0V B27 50 1520 FY0V B750 kN De forma semelhante determinamos a reação horizontal em B pelo equilíbrio das forças horizontais F X0H B1025 F X0H B15 kN Uma vez calculadas as reações nos apoios determinamos as forças nas barras decompondo as reações de acordo com o ângulo de cada elemento Assim teremos No nó A Equilíbrio das forças Verticais FY0 FACsen452750 FY00707FAC2750 FY0 FAC38 89kN Equilíbrio das forças Horizontais F X0F AB3889cos 45 F X0F AB27 50kN No nó B Equilíbrio das forças Horizontais F X0FBCcos 450152750 F X00707FBC152750 F X0FBC1768kN Equilíbrio das forças Verticais FY0 FBD7 5017 68sen45 FY0 FBD7 501250 FY0 FBD500kN No nó D Equilíbrio das forças Verticais FY0 FDCsen455 00 20 FY0 FDC3535kN Portanto a distribuição das forças nessa treliça fica da seguinte forma com o sinal positivo são as barras tracionadas com o sinal negativo as barras comprimidas Questão 2 Iniciamos a resolução calculando as reações nos apoios Fazendo o equilíbrio dos momentos no apoio A temos M A04V b4100255 00 85400200 M A04V b4 125 680 M A04V b765 M A0V b1912kN Pelo Equilíbrio das Forças Verticais FY0V A1912854 00 25 FY0V A191234 25 FY0V A1738 kN Pelo Equilíbrio das Forças Horizontais F X0H A4kN A construção dos Diagramas dos Esforços Internos solicitantes se faz a partir de um dos apoios Primeiramente determinamos o diagrama de Força Cortante e a partir das áreas dele o de momento Fletor Por exemplo a força que atua como Cortante na barra AG é a reação do apoio Ha que vale 4 kN Como não há mais nenhuma força atuando como cortante nessa barra o Diagrama de Cortante terá o formato de um retângulo nesse trecho isto é a força segue constante ao longo dessa barra O momento fletor por sua vez é crescente ao longo da barra AG pois varia de acordo com a distância Seu valor máximo no nó G equivale à área acumulada do diagrama de Cortante até então isto é a área do retângulo de 4kN x 300m ou seja 12 kNm como pode ser observado nos diagramas a seguir Diagrama de Força Cortante Diagrama de Momento Fletor Questão 3 Determinamos o grau de estaticidade da viga da seguinte forma g n incóg apoios n barras que cruzam cada rótula 1 3 equações g 3 2 21 21 3 g 5 2 3 g 0 isostática Ser a estrutura é isostática significa que podemos calcular todos os esforços nessa viga utilizando as equações básicas de equilíbrio de Momentos e Forças Para a viga em questão devese desmembrar os segmentos a partir das rótulas e começar a resolver verificando o equilíbrio nas frações que tiverem o menor número de incógnitas Questão 4 Iniciamos a resolução calculando o grau de estaticidade da viga analisada g n incóg apoios barras das rótulas 1 3 equações g 2 1 1 1 0 3 g 5 0 3 g 2 hiperestática Uma vez que se trata de uma estrutura hiperestática devemos nos utilizar de um método adequado para calcular os esforços na viga pois as equações tradicionais de equilíbrio não são suficientes O método aqui adotado será o Método dos Deslocamentos Definimos inicialmente o Sistema Principal restringindo as rotações nos apoios B e C Determinamos o Efeito do Carregamento no Sistema Principal através das seguintes tabelas Dessa forma teremos M BA 0 ql 2 8 5 4 0 2 8 10kNm M BC 0 ql 2 8 Pab² L² 560 2 8 324² 6 2 2517kNm M CB 0 ql 2 8 Pa 2b L 2 560 2 8 32 24 6 2 2383kNm M CD 0 ql 2 8 530 2 8 5625kNm Logo β10M BA 0 M BC 0 10251710 17kNm β20M CB 0 M CD 0 23835625 1821kNm Aplicamos agora uma Rotação Unitária Δ1 1 no SP e calculamos os momentos de acordo com a tabela k 11M B3 EI l AB 4 EI lBC 3 EI 40 4 EI 6 01416 EI k 12M C2 EI lBC 2 EI 600333 EI De forma semelhante agora uma Rotação Unitária Δ2 1 no SP k 22M C4 EI l BC 3EI l AB 4 EI 60 3 EI 301667 EI k 21M B2EI l BC 2EI 600333 EI Equação de compatibilidade dos esforços β10k111k1220 β20k211k2220 Dessa forma temos 101714161033320 182103331166720 Ao resolver o sistema de equações encontramos 11023e11297 De posse de 1e 2 podemos determinar qualquer um dos esforços que atua no sistema original através de combinações com o sistema principal da seguinte forma RiR0 R11R22