Responder Justificando o Questionário de Geometria Analítica

Trabalho 02 Responder as questões justificando sua resposta enviar o trabalho no formato pdf 1 Responder o pedido a A passa pelo ponto e é paralela à reta Se o ponto determine m e n b Determine o ponto que pertence à reta que passa pelos pontos e 2 Determine um ponto e um vetor diretor da reta dada pelas seguintes equações simétricas Em seguida escreva as equações paramétricas das seguintes retas 3 Responder a Determine de modo que sejam ortogonais as retas e b Decidir se as retas e são o não concorrentes Caso afirmativo dê o ponto de intersecção 4 Responder a Obter uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e onde b Obter uma equação geral do plano que passa pelos pontos nos casos 5 Determine o ponto de interseção da reta com o plano onde 6 Calcular a Calcular a distância do ponto à reta dada pela intersecção de dois planos b Calcular a distância do ponto ao plano 7 Responder a Obtenha as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação geral dada por b Uma circunferência inscrita num quadrado tem equação Determine a equação da circunferência circunscrita a esse quadrado Esboçar o gráfico 8 Resolver a Determine a equação reduzida da elipse Esboçar o gráfico b Uma elipse de focos nos pontos e tem excentricidade Determine sua equação geral e esboçar o gráfico 9 Resolver a Determine o valor de as coordenadas do foco e do vértice e a equação da reta diretriz da parábola Esboçar seu gráfico b Determine a equação da parábola sabendose que seu foco esta à esquerda de numa reta paralela ao eixo e o ponto pertence à parábola Esboçar seu gráfico 10 Resolver c Determine as medidas dos eixos real e imaginário e as coordenadas dos focos da hipérbole de equação Esboçar o gráfico d Os pontos e são extremidades do eixo real de uma hipérbole cuja distância focal é 6 Determine a equação dessa hipérbole e esboçar seu gráfico Trabalho 01 Responder as questões justificando sua resposta enviar o trabalho no formato pdf 1 Dados os pontos determine as coordenadas de um ponto talque sejam vértices de um paralelogramo Esboçar o gráfico do paralelogramo 2 Encontre o valor de tal que o vetor tenha módulo 3 supondo que as coordenadas de e são e 3 Verificar se os são colineares os pontos 4 Mostre que o segmento que une os pontos médios de um dos lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade 5 Determine os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são 6 Mostre que os pontos e vértices de um triângulo retângulo 7 Mostre que 8 Dado calcular 9 Calcular o produto misto onde 10 Responder o que é pedido a Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores b Calcular o valor de para que o volumem do paralelepípedo determinado pelos vetores seja igual a 33 Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida pelos vetores Trabalho 01 1 Note que os pontos Q e R estão no plano x2 portanto o vetor QR é uma das arestas do paralelogramo sua aresta oposta é dada por PS e vale que QR PS Q R P S S P Q R 124 232 211 101 2 Buscamos que 3 AB AB 2a1 a 4 2a12 a2 1612 5a2 4a 1712 ou seja 5a2 4a 6 0 a 4 16 465 2 o discriminante é negativo portanto não existe a R que satisfaça o problema 3 a Basta verificar se a matriz formada pelas coordenadas desses pontos possui determinante nulo det 1 5 0 2 1 3 2 7 1 1 30 21 10 31 31 0 Logo são colineares b Mesmo raciocínio que o anterior det 2 1 1 3 1 0 1 0 4 8 112 21 0 Não são colineares 4 Considere o triângulo ABC e sejam M1 e M2 os pontos médios dos segmentos AB e AC Note que podemos obter imediatamente da soma de vetores as duas relações I CA CB AB II M2A M2M1 AM1 De I temos CB CA AB 2M2A 2AM1 2M2A AM1 II 2M1M2 M1M2 12 CB M1M2 e CB são paralelos em razão da semelhança dos triângulos ABC e AM1M2 5 Considere o triângulo Ax1 x2 x3 By1 y2 y3 Cz1 z2 z3 2M A B 2N B C 2P A C 1004 x1 y1 x2 y2 x3 y3 626 y1 z1 y2 z2 y3 z3 842 x1 z1 x2 z2 x3 z3 Há 09 equações que devem ser satisfeitas simultaneamente 10 x1 y1 0 x2 y2 4 x3 y3 6 y1 z1 2 y2 z2 6 y3 z3 8 x1 z1 9 x2 z2 2 x3 z3 Resolvendo obtemos x1 6 y1 4 z1 2 x2 1 y2 1 z2 3 x3 2 y3 6 z3 0 Portanto os vértices são dados por A 612 B 9 1 6 C 230 6 Para mostrar isso basta verificar o teorema de Pitágoras sobre o comprimento dos vetores AB BC e AC Assim AB2 12 22 32 14 AC2 82 32 42 89 BC2 72 52 12 75 AC2 AB2 BC2 7 a u v2 u v u v u u 2 u v v v u2 2 u v v2 b u v2 u v u v u u 2 u v v v u2 2 u v v2 c Subtraindo os resultados a e b temse u v2 u v2 u2 2 u v v2 u2 2 u v v2 4 u v 8 2u 3v 4 2 2 3 3 0 i j k 4 2 2 3 3 0 2 2 3 0 i 4 2 3 0 j 4 2 3 3 k 6 i 6 j 18 k 6 6 18 9 u v w det 1 2 2 2 1 4 2 1 3 3 16 4 4 4 12 23 4 19 10 a Para determinar a área podemos utilizar a relação A2 u2 v2 uv2 assim u2 32 12 22 14 v2 42 12 02 17 uv 34 11 20 11 logo A2 1417 112 117 A 117 b Só igualar o produto misto desses vetores a 33 Assim 33 uvw det0 1 2 4 2 1 3 m 2 3 8m 12 8 1 8m 1 8m 33 m 348 174 Trabalho 2 1 Notar que não é possível fazer o item a pois falta a variável m no ponto P b Podemos usar a expressão paramétrica da reta r que passa por A e tem direção AB tR rt A tAB 314 t125 como Prt para algum t temos m1m 314 t125 3t 12t 45t m 3 t 1 1 2t m 4 5t t 1 m 2 e m 9 Portanto P 219 2 a Das equações simétricas temos que existe tR tal que 1x8 2y43 z12 t ou seja x 1 8t y 2 32 t z 1 2t essa reta passa então pelo ponto 121 e tem vetor diretor 8 32 2 é a equação paramétrica da reta 6 Analogamente o processo é o mesmo aqui 45x7 32y2 z 2 t ou seja x 65 75 t y 32 t z 2 t tR essa reta passa por 65 32 2 e tem vetor diretor 75 1 1 3 a Para que as retas r e s sejam ortogonais os vetores diretores devem ser ortogonais ou seja possuir prod interno nulo Basta encontrar os vetores diretores ur e us r x 12 t y 3 t z 2 t ur 111 em forma paramétrica s x mt y 3 0t z 1 t us m 0 1 Devemos ter 0 ur us m1 10 11 m 1 m 1 b i Não são concorrentes pois temos um ponto em comum e seria dado pelos igualodes 5 2t 2 h 3 t h 2t h 3 t 3 h t h 3 t 0 e h 3 o ponto de interseção é 5 3 0 ii Não são concorrentes pois tem uma infinidade de pontos em comum Por exemplo 3 1 4 e 7 3 10 4 a O vetor normal do plano será dado pelo produto vetorial u v u v i j k 4 1 2 2 1 2 4 12 2 Para achar a equação do plano basta calcular agora o prod interno serão ortogonais θ x y zu v x y z4 12 2 4x 12y 2z 8 16 4x 12y 2z 0 b i Basta calcular O x 2 y 2 z 2AB BC AB BC i j k 1 1 0 0 2 0 0 4 4 x 2 y 2 z 28 0 0 8x 2 x 2 ii Análogo ao anterior em sucuinho O x 4 y 2 z 2AB BC AB BC i j k 4 4 4 2 6 0 x42y 8y 2 16 z 2 2y 8 16 2y x4 8y 2 16 z 2 0 5 Basta substituír as coordenadas do reta no equação do plano assle assim 21 2t 5 3t 33 t 0 semplificando 14t 2 0 t 17 Assim o ponto do interseção é 1 27 5 37 3 17 57 387 207 7 a Basta completar quadros no expressão 0 x² 2x 1 1 y² 12y 6² 6² 44 x 1² 1 y 6² 6² 44 x 1² y 6² 49 36 1 81 9² o centro é 16 e o raio é r 9 b Note que a circumferência circunscrita possui o mesmo centro Só precisamos determinor o raio R Do gráfico a aresta do quadrado é 6 Então R é metade da diagonal do quadrado 2R 6 4R² 72 R² 18 R 32 8 a Só completar quadrados novamente 0 9x² 16x 16 16 9y² 90y 15² 15² 205 2x 4² 16 3y 15² 15² 205 4 2x 4² 3y 15² 4x 2² 3² y 5² 1 x 2² 94 y 5² 5 2 b A distância focal C é dado por C 2F2 24² 0² 8 como é dado a excentricidade e existe a relação a Ce temos a 825 54 20 resta determinar o comprimento do eixo menor b basta usar a² b² c² b² a² c² 20² 8² 1228 b 427 Assim a equação geral é x²20² y²421² 1 10 a primeiro colocamos na forma canônica completando quadrados Eq reduzida 0 3y2 6y x2 24x 56 3y2 2y 1 1 x2 24x 122 122 56 3y 12 3 x 122 122 56 49 x 122 3y 12 1 x 122 49 3 49 y 12 Note que 12 1 é o centro da hipérbole enquanto a2 1 197 b2 3 197 c2 a2 b2 1 197 3 197 4 197 c 2 197 Então os focos são dados por F1 12 2 197 1 e F2 12 2 197 1