Segunda Prova Algebra Linear Transformacao Linear Espaco Vetorial e Subespacos

Atividade da Segunda Prova CCCT0095 Álgebra Linear T2 Prof Dr Diego Alfonso Sandoval Salazar Seja V espaço vetorial sobre R Considere L T V R T é uma transformação linear de V em R munido das operações soma e multiplicação por escalar L L L S T S T V R v S Tv Sv Tv R L L α T α T V R v α Tv α Tv Mostre que L é um R espaço vectorial verificando cada um dos axiomas O que pode dizer da dimensão de L Seja V um espaço vetorial de dimensão finita Considere os subespaços W1 e W2 de V Mostre que o conjunto W w1 V w2 w1 W1 e w2 W2 é um subespaço de V e calcule sua dimensão EV 1 Comutatividade de Sejam S T L Seja v V S Tv Sv Tv Tv Sv T Sv Como v é arbitrário v V S Tv T Sv o que significa S T T S Como T e S são arbitrários S T L S T T S EV 2 Associatividade de Sejam F S T L Seja v V F S Tv Fv S Tv Fv Sv Tv associativa em R Fv Sv Tv F Sv Tv F S Tv Como v F S e T são arbitrários F S T L F S T F S T EV 3 Elemento neutro com relação a Seja T V R v 0 TL 1 Sejam uv V Tu v 0 0 0 Tu Tv Como u e v são arbitrarios uv V Tu v Tu Tv TL 2 Sejam v V λ R Tλv 0 λ0 λTv Como V é espaço vetorial sobre R λv R Como λ v são arbitrarios λ R v V Tλv λ Tv Portanto T λ R é uma transformação linear ou seja T L Seja S L Seja v V T Sv Tv Sv 0 Sv Sv Como v S são arbitrarios S L T S S Será utilizada a notação 0v para Tv EV 4 Elemento inverso com relação a Sejam T L e v V Quero encontrar S L tal que S Tv 0v Sv Tv 0v 0 Sv Tv Como v é arbitrario v V S Tv 0v e v V Sv Tv S T 0 S T Vamos denotar S por T e vale notar T V R v Tv Falta mostrar que TL1 fijan uv V Tuv Tuv Tu Tv Tu Tv Tu Tv TL2 fijan v V λ R Tλ v Tλ v λ Tv λ Tv λ Tv Ou seja T é transformação linear logo T L Como T é arbitrário T L T V R L v Tv T T 0 6 EV 5 Associatividade de Fijam T L λ μ R v V λ μ Tv λ μ Tv λ μ Tv λ μ Tv λ μ Tv Como v é arbitrário λ μ T λ μ T É como λ μ T são arbitrários T L λ μ R λ μ T λ μ T EV 6 Distributiva 1 Fijam T L λ μ R v V λ μ Tv λ μ Tv λ Tv μ Tv 7 λ Tv μ Tv λ T μ Tv Como v é arbitrário λ μ T λ T μ T E como λ μ T são arbitrários λ μ R T L λ μ T λ T μ T EV 7 Distributividade 2 Fijam S T L e λ R λ S Tv λ S Tv λ Sv Tv λ Sv λ Tv λ Sv λ Tv 8 Como v é arbitrário λST λS λT EV 8 1 é neutro com relação a sejam T L v V 1Tv 1Tv Tv Como v é arbitrário 1T T E como T é arbitrário T L 1T T Portanto L é um espaço vetorial sobre R Como para espaços vetoriais U W dimU n dimW m a dimensão de LUW é mn já que R tem dimensão 1 L LVR tem a mesma dimensão de V 2 SV 1 O elemento neutro de V visto em W Como W1 e W2 são subespaços de V Ov W1 e Ov W2 em que v V Ov v v v Assim Ov Ov v Ov W SV 2 Fechamento de W para v Lembrando que V é espaço vetorial logo v é comutativa e associativa sejam w1 u1 v v1 w2 u2 v v2 W Note que u1 u2 W1 v1 v2 W2 w1 v w2 u1 v v1 v u2 v v2 u1 v v1 v u2 v v2 u1 v v1 v u2 v v2 u1 v u2 v v1 v v2 W u1 v u2 v v1 v v2 W1 W2 Como w1 e w2 são arbitrários w1 w2 W1 w1 v w2 W1 SV 3 Fechamento de W para v sejam w W λ R w1 W1 w2 W2 w w1 v w2 λ v w λ v w1 v w2 λ v w1 v λ v w2 W1 W2 Como λ w1 w2 são arbitrários w W1 λ R λ v w W Portanto W é subespaço vetorial de V Sejam m n N m dimW₁ n dimW₂ Seja p N p dimW₁ W₂ B w₁ w₂ wp V base de W ou seja Como B W₁ W₂ B W Por definição B é conjunto LI logo u₁ ump W₁ C u₁ ump w₁ wp é base de W₁ De forma parecida B W₂ v₁ vnp W₂ D w₁ wp v₁ vnp é base de W₂ Diga que C e D são LIs Suponha que c C c α₁ u₁ αmp ump αmp1 w₁ αm1 wp αm2 v₁ αmnp1 vnp ou seja que c possa ser escrito como combinação linear de C D c c α₁ u₁ αmp ump αmp1 w₁ αm1 wp αm2 v₁ αmnp1 vnp W₁ W₂ v₁ v₂ vnp W₁ W₂ c u v W₁ W₂ D não é LI Absurdo Ou seja nenhum vetor de C pode ser escrito como combinação linear dos demais vetores de C D Similarmente nenhum vetor de D pode ser escrito como combinação dos demais em C D C D é LI Seja w W u W₁ v W₂ w u v α₁ αmn R tais que u α₁ u₁ αmp ump αmp1 w₁ αm wp v αm1 w₁ αmp wp αmp1 v₁ αmpn vnp w α₁ u₁ αmp ump αmp1 αm1 w₁ αm αmp wp αmp1 v₁ αmpn vnp Como w é arbitrário qualquer vetor de W pode ser escrito como combinação linear dos vetores de C D E como C D é LI é base de W dimW np p mp n m p