Marcos Alexandrino Algebra Linear P1

MAT 0122 - Álgebra Linear\nGabarito da 1º Prova - 29/09/11\n1 Prova A\n\nQuestão 1.1 (2,5 pt). Considere a matriz:\nA = [ 1 0 0 2 3 4 ]\n [ 3 2 7 11 13 ]\n [ 4 10 5 17 25 23 ]\n\n(a) Resolva o sistema linear Ax = 0 por meio da eliminação de Gauss.\n(b) Determine a fatoração LU da matriz A.\n\nRespostas:\n(a)\nx1 = -3/2 x5 - 3x6\nx2 = -1/2 x3 - 5/8 x5 - 1/4 x6\nx4 = 3/4 - x5 - 1/2 x6\n\n(b) L = [ 1 0 0 ] U = [ 1 0 0 2 3 4 ]\n [ 3 1 0 ] [ 0 2 1 2 1 ]\n [ 4 5 1 ] [ 0 0 0 4 3 2 ]\n\nObservação: Compare com Problemas 1.4, 1.8, 1.9, 1.10 da Primeira Lista de Exercícios\n Questão 1.2 (3,0 pt). Considere a base ν := {v1, v2, v3} de vetores em R³ onde v1 = (1/√3, 1/√5, -2/√5), v2 = (-1/√3, 7/14, 4/√2) e v3 = (1/3√14, 1/√42).\nSeja T: R³ → R³ a transformação linear definida como \n\nT(x1v1 + x2v2 + x3v3) = (x1√2/2 - x2√2/2)v1 + (x1√2/2 + x2√2/2)v2 + x3v3.\n\nPor fim seja ε := {e1, e2, e3} a base canônica.\n(a) Determine a representação matricial [T]ν de T na base ν.\n(b) Determine a representação matricial [Id]νe da aplicação identidade (base de entrada ν, base de saída e).\n(c) Determine a representação matricial [Id]νe.\n(d) Seja [T]ε a representação matricial de T na base ε. Determine ([T]εe1, e1) denota o produto escalar no espaço Euclidiano.\n\nRespostas:\n(a) [T]ν = [√2/2 0 √2/2 ]\n [2 2 0 ]\n [0 0 1 ]\n(b) [Id]νe = [1/√3 1/√3 1/√3 ]\n [-1/√4 1/√2 -√3/√2 ]\n(c) [Id]νe = [1/√3 0 -5/√4 ]\n [1 √2 2 ]\n [1/√3 -3/√14 1/√42 ]\n\nObservação: Compare com o Problema 3.7 da Primeira Lista de Exercício\n Questão 1.3 (2,0 pt). Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.\n(a) Seja V o espaço vetorial real de polinômios com coeficientes reais. Então o conjunto W dos polinômios com coeficientes racionais é subespaço vetorial de V. FALSA\n(b) {(1,1,1), (1,0,3)} é uma base de R³. FALSA\n(c) Se m < n então não podem haver n vetores linearmente independentes em R^m. VERDADEIRA\n(d) T : R² → R² definida como T(x, y) = (xy, y) é transformção linear. FALSA\n(e) Seja Id : R² → R² a aplicação identidade e ν uma base de R². Então a representação matricial [Id]νe [Id]νe = [1 0 ] VERDADEIRA\n [0 1 ]\n(f) Seja A uma matriz m × n de posto r. Então N(A) é complemento ortogonal de C(Aᵀ). VERDADEIRA\n(g) Seja V é espaço V de matrizes reais n × n. Então g(A, B) = tr(AᵀB) onde A, B ∈ V é um produto interno. VERDADEIRA\n(h) g(x̄, ȳ) = (x̄, A ȳ) = xᵀAy para A = [2 6]\n [6 18] com x̄, ȳ ∈ R² é produto interno. FALSA\n(i) Seja B matriz m × n com núcleo trivial e A = BᵀB. Então g é produto interno de Rⁿ, onde g(x, y) = ⟨x, Ay⟩ = xᵀAy. VERDADEIRA\n(j) A matriz A = [1 0 ] é uma matriz ortogonal. VERDADEIRA\n\nObservação: Compare com Problemas 2.3 (a), 2.4 (a), 2.8 (a), 3.1 (i), 3.7, 3.13, 4.1 (c)(e), 4.2, 4.4 (c) da Primeira Lista de Exercícios Questão 1.4 (2,5 pt). Considere a matriz:\nA = \\[ \\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 3 & 4 \\\\ 3 & 2 & 7 & 11 & 13 \\\\ 4 & 10 & 5 & 25 & 23 \\end{matrix} \\]\n(a) Determine uma base e a dimensão do núcleo de A.\n(b) Determine uma base e a dimensão para o espaço colunas de A.\n(c) Determine uma base e a dimensão do espaço de linhas de A.\nRespostas:\n(a) Base: \\{(0,-1/2,1,0,0,0),(-3/2,-5/8,0,-3/4,1,0),(-3,-1/4,0,-1/2,0,1)\\} e dim N(A) = 3\n(b) Base: \\{(1,3,4),(0,2,10),(2,7,17)\\} e dim C(A) = 3\n(c) Base: \\{(1,0,0,2,3,4),(0,0,2,1,1,2,1),(0,0,0,4,3,2)\\} dim C(A^t) = 3\nObservação: Compare com Problemas 3.10, 3.11, 3.12 da Primeira Lista de Exercícios 2 Prova B:\nQuestão 2.1 (2,5 pt). Considere a matriz:\nA = \\[ \\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & 4 \\\\ 3 & 2 & 1 & 10 & 7 & 14 \\\\ 2 & 2 & 10 & 9 & 11 \\end{matrix} \\]\n(a) Resolva o sistema linear Ax = 0 por meio da eliminação de Gauss.\n(b) Determine a fatoração LU da matriz A.\nRespostas:\n(a)\n x_1 = 2x_5 - 3x_6\n x_2 = -1/2(x_3 - 1/3x_5 + 5/3x_6)\n x_4 = -4/3x_5 - 1/3x_6\n(b) L = \\[ \\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\end{matrix} \\] U = \\[ \\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & 4 \\\\ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 1 \\end{matrix}\\]\nObservação: Compare com Problemas 1.4, 1.8, 1.9, 1.10 da Primeira Lista de Exercício Questão 2.2 (3,0 pt). Considere a base ν := \\{\\vec{v_1},\\vec{v_2},\\vec{v_3}\\} de vetores em \\mathbb{R}^3 onde \\vec{v_1} = \\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}},\\frac{1}{\\sqrt{14}},\\frac{5}{12}\\right), \\vec{v_2} = \\left(\\frac{1}{\\sqrt{3}},\\frac{7}{14},\\frac{4}{12}\\right) e \\vec{v_3} = \\left(\\frac{-1}{\\sqrt{3}},\\frac{1}{\\sqrt{14}},\\frac{-1}{\\sqrt{42}}\\right).\nSeja T : \\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{R}^3 a transformação linear definida como\nT(x_1 \\vec{v_1} + x_2 \\vec{v_2} + x_3 \\vec{v_3}) = ( -x_1 \\frac{\\sqrt{2}}{2} - x_2 \\frac{\\sqrt{2}}{2} + x_3 \\frac{\\sqrt{2}}{2} ) \\vec{v_1} + ( x_1 \\frac{\\sqrt{2}}{2} - x_2 \\frac{\\sqrt{2}}{2} + x_3 \\frac{\\sqrt{2}}{2} ) \\vec{v_2} + x_3 \\vec{v_3}\nPor fim seja ϵ := \\{\\vec{e_1},\\vec{e_2},\\vec{e_3}\\} a base canônica.\n(a) Determine a representação matricial [T]_{\\nu} de T na base ν.\n(b) Determine a representação matricial [Id]_{\\nu} da aplicação identidade (base de entrada ν, base de saída e).\n(c) Determine a representação matricial [Id]^{\\nu}.\n(d) Seja [T]_{\\nu} a representação matricial de T na base e. Determine ( \\langle [T]_{\\nu}\\vec{e_1}, \\vec{e_1}\\rangle ).\nRespostas:\n(a) [T]_{\\nu} = \\[ \\begin{matrix} -\\frac{\\sqrt{2}}{3} & 2 & 0 \\\\ -\\frac{\\sqrt{2}}{2} & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \\end{matrix} \\]\n(b) [Id]_{\\nu} = \\[ \\begin{matrix} \\frac{1}{\\sqrt{3}} & \\frac{1}{\\sqrt{3}} & \\frac{-1}{\\sqrt{14}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{14}} & \\frac{1}{\\sqrt{42}} & \\frac{3}{\\sqrt{12}} \\\\ \\frac{5}{12} & \\frac{4}{12} & \\frac{-2}{\\sqrt{42}} \\end{matrix} \\]\n(c) [Id]^{\\nu} = \\[ \\begin{matrix} \\frac{1}{\\sqrt{3}} & \\frac{1}{\\sqrt{14}} & \\frac{5}{12} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{3}} & \\frac{7}{14} & \\frac{4}{12} \\\\ -\\frac{1}{\\sqrt{3}} & \\frac{1}{\\sqrt{14}} & -\\frac{3}{\\sqrt{14}} \\end{matrix} \\]\n(d) \\frac{-1}{3}\\sqrt{2} \\ Questão 2.3 (2,0 pt). Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.\n\n(a) A matriz A = \\[ \\begin{matrix} 1 & 0 \\\\\\ 0 & -1 \\end{matrix} \\] é uma matriz ortogonal. VERDADEIRA\n\n(b) Seja B matriz m x n com nucleo trivial e A = B^tB. Então g é produto interno de R^n, onde g(x,y) = \\langle x, Ay \\rangle = x^tAy. VERDADEIRA\n\n(c) Seja V o espaço vetorial real de polinômios com coeficientes reais. Então o conjunto W dos polinômios com coeficientes racionais é sub-espaço vetorial de V. FALSA\n\n(d) \\{(1,1),(1,0,3)\\} é uma base de R^3. FALSA\n\n(e) T : R^2 → R^2 definida como T(x,y) = (xy,y) é transformação linear. FALSA\n\n(f) Seja A uma matriz m x n de posto r. Então N(A) é complemento ortogonal de C(A^t). VERDADEIRA\n\n(g) Id : R^2 → R^2 a aplicação identidede e u uma base de R^2. Então a representação matricial [Id]^y_{u} e [Id]^{y} = \\[ \\begin{matrix} 1 & 0 \\\\\\ 0 & 1 \\end{matrix} \\] VERDADEIRA\n\n(h) Se m < n então não podem haver n vetores linearmente independentes em R^m. VERDADEIRA\n\n(i) Seja V é o espaço V de matrizes reais n x n. Então g(A,B) = tr(A^tB) onde A,B e V é um produto interno. VERDADEIRA\n\n(j) g(\\vec{x},\\vec{y}) = \\langle \\vec{x},A\\vec{y} \\rangle para A = \\[ \\begin{matrix} 2 & 6 \\\\\\ 6 & 18 \\end{matrix} \\] com \\vec{x}, \\vec{y} \\in R^2 é produto interno. FALSA\n\nObservação: Compare com Problemas 2.3 (a), 2.4 (a), 2.8 (a), 3.1 (i), 3.7, 3.13, 4.1 (c) (e), 4.2, 4.4 (c) da Primeira Lista de Exercícios Questão 2.4 (2,5 pt). Considere a matriz:\n\nA = \\[ \\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & 4 \\\\\\ 3 & 2 & 1 & 10 & 7 & 14 \\\\\\ 2 & 2 & 1 & 10 & 9 & 11 \\end{matrix} \\]\n\n(a) Determine uma base e a dimensão do núcleo de A.\n(b) Determine uma base e a dimensão para o espaço colunas de A.\n(c) Determine uma base e a dimensão do espaço de linhas de A.\n\nRespostas:\n\n(a) Base: \\{(0,-1/2,1,0,0,0),(2,1/6,0,-4/3,1,0),(-3,-5/6,0,-1/3,0,1)\\} e dim N(A) = 3\n\n(b) Base: \\{(1,3,2),(0,2,2),(3,10,10)\\} e dim C(A) = 3\n\n(c) Base: \\{(1,0,0,3,2,4),(0,2,1,1,2),(0,0,0,3,4,1)\\} e dim C(A^t) = 3\n\nObservação: Compare com Problemas 3.10, 3.11, 3.12 da Primeira Lista de Exercícios