Sinais e Sistemas de Tempo Discreto - Guia Completo

SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO SINAIS DE TEMPO DISCRETO Função de uma variável independente inteira Não é definido em instantes entre duas amostras sucessivas É incorreto pensar que xn é igual a zero se n não é inteiro Simplesmente o sinal xn não é definido para valores de n não inteiro Representações Funcional xn1 para n13 4 para n2 0 caso contrário Tabular n 2 1 0 1 2 3 4 5 xn 0 0 0 1 4 1 0 0 Sequência xn0014100 na seta n0 xn014100 xn0 para n0 xn3125041 Duração finita xn0141 Duração finita e xn0 para n0 SINAIS ELEMENTARES DE TEMPO DISCRETO Impulso unitário δn1 para n0 0 para n0 Figure 212 Graphical representation of the unit sample signal Degrau unitário un1 para n0 0 para n0 Figure 213 Graphical representation of the unit step signal SINAIS ELEMENTARES DE TEMPO DISCRETO Rampa unitária urn n para n 0 0 para n 0 Figure 214 Graphical representation of the unit ramp signal Exponencial xn an para todo n se a é real então xn é um sinal real Figure 215 Graphical representation of exponential signals SINAIS ELEMENTARES DE TEMPO DISCRETO Exponencial Se a é complexo pode ser expresso como a rejθn Então podese expressar xn como xn rn ejθn rn cos θn jsen θn xRn rn cos θn xIn rn sen θn Figure 216 Graph of the real and imaginary components of a complexvalued exponential signal SINAIS ELEMENTARES DE TEMPO DISCRETO Exponencial xn An rn xn ϕn θn a Graph of An rn r 09 b Graph of ϕn π10 n modulo 2π plotted in the range π π Figure 217 Graph of amplitude and phase function of a complexvalued exponential signal a graph of An rn r 09 b graph of ϕn π10n modulo 2π plotted in the range π π CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO O método matemático empregado na análise de sinais e sistemas discretos depende das características dos sinais SINAIS DE ENERGIA determinísticos e não periódicos E xn 0 E P0 SINAIS DE POTÊNCIA aleatórios Não periódicos P lim N 12N1 EN EN xn E 0 P Sinais Periódicos P 1N x2n EXAMPLE 211 Determine the power and energy of the unit step sequence The average power of the unit step signal is P lim N 12N1 u2n lim N N12N1 lim N 11N2 1N 12 Consequently the unit step sequence is a power signal Its energy is infinite CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO SINAIS SIMÉTRICOS PAR xn xn E ANTISIMÉTRICOS ÍMPAR xn xn CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO Qualque arbitrário sinal pode ser expresso como a soma de duas componentes de sinal uma par e outra impar xen 12 xn xn xon 12 xn xn xn xen xon SIMPLES MANIPULAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO Transformação da variável independente Em aplicações de processamento de tempo real a operação de avanço é fisicamente irrealizável Figure 219 Graphical representation of a signal and its delayed and advanced versions SIMPLES MANIPULAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO SIMPLES MANIPULAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO Transformação da variável independente As operações de reflexão e atraso e avanço não são comutativas TDkxn xnk k 0 FDxn xn TDkFDxn TDkxn xnk FDTDkxn FDxnk xnk xnk xnk SIMPLES MANIPULAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO Transformação da variável dependente Escala yn Axn n Adição yn x1n x2n n Multiplicação yn x1nx2n n SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Em muitas aplicações de processamento digital de sinal desejase projetar um dispositivo ou um algoritmo que realize algumas operações prescritas no sinal Tal disposito ou algoritmo é chamado de sistema de tempo no sinal Tal disposito ou algoritmo é chamado de sistema de tempo discreto Em geral vemos um sistema como uma operação ou um conjunto de operações realizadas no sinal de entrada xn para produzir o sinal de saida yn Dizemos que o sinal de entrada xn é transformado pelo sistemas no sinal de saída yn yn ℑ xn Onde o simbolo ℑ denota a transformação também chamada operador ou realização de processamento do sistema em xn para produzir yn DESCRIÇÃO DA ENTRADASAÍDA DE SISTEMAS Consiste de uma expressão matemática ou um regra que explicitamente define a relaçaõ entre os sinais de saída e de entrada A exata estrutura interna do sistema é ou desconhecida ou ignorada xn ℑ yn EXAMPLE 221 Determine the response of the following sytems to the input signal xn n 3 n 3 0 otherwise a yn xn identity system b yn xn 1 unit delay system c yn xn 1 unit advance system d yn 13 xn 1 xn xn 1 moving average filter e yn medianxn 1 xn xn 1 median filter f yn Σ xk xn xn 1 xn 2 accumulator Solution First we determine explicitly the sample values of the input signal xn 0 3 2 1 0 1 2 3 0 Next we determine the output of each system using its inputoutput relationship a In this case the output is exactly the same as the input signal Such a system is known as the identity system b This system simply delays the input by one sample Thus its output is given by xn 0 3 2 1 0 1 2 3 0 c In this case the system advances the input one sample into the future For example the value of the output at time n 0 is y0 x1 The response of this system to the given input is xn 0 3 2 1 0 1 2 3 0 d The output of this system at any time is the mean value of the present the immediate past and the immediate future samples For example the output at time n 0 is y0 13 x1 x0 x1 13 1 0 1 23 Repeating this computation for every value of n we obtain the output signal yn 0 1 53 2 1 23 1 2 53 1 0 e This system selects as its output at time n the median value of the three input samples xn 1 xn and xn 1 Thus the response of this system to the input signal xn is yn 0 2 2 1 1 1 2 2 0 0 0 f This system is basically an accumulator that computes the running sum of all the past input values up to present time The response of this system to the given input is yn 0 3 5 6 6 7 9 12 0 DESCRIÇÃO DA ENTRADASAÍDA DE SISTEMAS Para vários dos sistemas a saída no tempo nn0 depende não somente do valor de entrada em nn0 mas também do valor de entrada aplicado ao sistema antes e depois de nn0 yn Σ from k to n xk Σ from k to n1 xk xn yn1 xn Acumulador yn0 yn01 xn0 yn0 1 yn0 xn0 1 yn0 1 Σ from k to n01 xk Saída do sistema em resposta a todas as entradas aplicadas antes do tempo n0 DESCRIÇÃO DA ENTRADASAÍDA DE SISTEMAS REPRESENTAÇÃO EM DIAGRAMA DE BLOCO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Somador sem memória Multiplicador por constante sem memória Multiplicador de sinais sem memória Unidade de atraso de elemento Na verdade a amostra n1 é armazenada na memória no tempo xn1 e é chamada da memória no tempo n REPRESENTAÇÃO EM DIAGRAMA DE BLOCO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Unidade de avanço de elemento é fisicamente impossível em tempo real uma vez que envolve observar o futuro do sinal Entretanto se armazenamos o sinal na memória do computador nós podemos chamar qualquer amostra em qualquer tempo Em aplicações de tempo não real é possível avançar o sinal no tempo EXAMPLE 223 Using basic building blocks introduced above sketch the block diagram representation of the discretetime system described by the inputoutput relation yn 14 yn1 12 xn 12 xn1 225 where xn is the input and yn is the output of the system Black box xn z¹ 05 05 z¹ 025 yn a Black box xn z¹ 05 025 z¹ yn b Figure 227 Block diagram realizations of the system yn 025 yn1 05 xn 05 xn1 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Para um sistema possuir uma dada propriedade a propriedade deve manterse para todo possível sinal de entrada no sistema não pode ser para alguns e não para outros Sistema Estático a saída do sistema depende da amostra de entrada no mesmo tempo mas não de passada ou futura amostra da entrada ou seja sem memória yn axn yn nxn bx³n Sistema Dinâmico possui memória yn xn 3xn1 yn k0 to n xnk yn k0 to xnk CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Sistema Invariante no Tempo característica de entradasaída não muda com o tempo xn yn xnk ynk ynk 𝒮xnk ynk EXAMPLE 224 Determine if the systems shown in Fig 228 are time invariant or time variant Solution a This system is described by the inputoutput equations yn ℑxn xn xn1 2215 Now if the input is delayed by k units in time and applied to the system it is clear from the block diagram that the output will be ynk xnk xnk1 2216 On the other hand from 2214 we note that if we delay yn by k units in time we obtain ynk xnk xnk1 2217 Since the righthand sides of 2216 and 2217 are identical it follows that ynk ynk Therefore the system is time invariant Figure 228 Examples of a timeinvariant a and some timevariant systems bd b The inputoutput equation for this system is yn Txn nxn 2218 The response of this system to xnk is yn k nxnk 2219 Now if we delay yn in 2218 by k units in time we obtain ynk nkxnk nxnk kxnk 2220 This system is time variant since yn k ynk c This system is described by the inputoutput relation yn Txn xn 2221 The response of this system to xnk is ynk Txnk xnk 2222 Now if we delay the output yn as given by 2221 by k units in time the result will be ynk xnk 2223 Since ynk ynk the system is time variant d The inputoutput equation for this system is yn xn cos ω0n 2224 The response of this system to xnk is ynk xnk cos ω0n 2225 If the expression in 2224 is delayed by k units and the result is compared to 2225 it is evident that the system is time variant CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Sistema Linear satisfaz o teorema da superposição Sa1x1n a2x2n a1Sx1n a2Sx2n Figure 229 Graphical representation of the superposition principle T is linear if and only if yn yn CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Sistema Linear Propriedade da mudança de escala na variável dependente a2 0 ℑa1x1n a1 ℑx1n a1y1n Propriedade da aditividade e a1 a2 1 ℑx1n x2n ℑx1n ℑx2n y1n y2n Em geral xn Σ k1 to M1 ak xkn yn Σ k1 to M1 ak ykn ykn ℑxkn k 12 M1 EXAMPLE 225 Determine if the systems described by the following inputoutput equations are linear or nonlinear a yn nxn b yn xn2 c yn x2n d yn Axn B e yn exn Solution a For two input sequences x1n and x2n the corresponding outputs are y1n nx1n y2n nx2n 2231 A linear combination of the two input sequences results in the output y3n ℑa1x1n a2x2n na1x1n a2x2n a1nx1n a2nx2n 2232 On the other hand a linear combination of the two outputs in 2231 results in the output a1y1n a2y2n a1nx1n a2nx2n 2233 Since the righthand sides of 2232 and 2233 are identical the system is linear b As in part a we find the response of the system to two separate input signals x1n and x2n The result is y1n x1n2 y2n x2n2 2234 The output of the system to a linear combination of x1n and x2n is y3n ℑa1x1n a2x2n a1x1n2 a2x2n2 2235 Finally a linear combination of the two outputs in 2234 yields a1y1n a2y2n a1x1n2 a2x2n2 2236 By comparing 2235 with 2236 we conclude that the system is linear c The output of the system is the square of the input Electronic devices that have such an inputoutput characteristic are called squarelaw devices From our previous discussion it is clear that such a system is memoryless We now illustrate that this system is nonlinear The responses of the system to two separate input signals are y1n x12n y2n x22n 2237 The response of the system to a linear combination of these two input signals is y3n ℑa1x1n a2x2n a1x1n a2x2n2 2238 a12 x12n 2a1a2 x1nx2n a22 x22n On the other hand if the system is linear it will produce a linear combination of the two outputs in 2237 namely a1y1n a2y2n a1x12n a2x22n 2239 Since the actual output of the system as given by 2238 is not equal to 2239 the system is nonlinear d Assuming that the system is excited by x₁n and x₂n separately we obtain the corresponding outputs y₁n Ax₁n B 2240 y₂n Ax₂n B A linear combination of x₁n and x₂n produces the output y₃n 𝒯a₁x₁n a₂x₂n Aa₁x₁n a₂x₂n B 2241 Aa₁x₁n a₂Ax₂n B On the other hand if the system were linear its output to the linear combination of x₁n and x₂n would be a linear combination of y₁n and y₂n that is a₁y₁n a₂y₂n a₁Ax₁n a₁B a₂Ax₂n a₂B 2242 Clearly 2241 and 2242 are different and hence the system fails to satisfy the linearity test The reason that this system fails to satisfy the linearity test is not that the system is nonlinear in fact the system is described by a linear equation but the presence of the constant B Consequently the output depends on both the input excitation and on the parameter B 0 Hence for B 0 the system is not relaxed If we set B 0 the system is now relaxed and the linearity test is satisfied e Note that the system described by the inputoutput equation yn eˣⁿ 2243 is nonrelaxed If xn 0 we find that yn 1 This is an indication that the system is nonlinear This in fact is the conclusion reached when the linearity test is applied CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Sistema Causal se a saída do sistema em qualquer tempo n depende somente de entrada presentes e passadas Sistema NãoCausal a saída depende não somente de entradas presente ou passada mas também de entradas futuras Fisicamente inrrealizável para aplicações de processamento de sinal em tempo real É possível para processamento offline tempo não real onde o sinal é armazenado a yn xn xn 1 d yn xn 3 xn 4 b yn xk e yn xn²ⁿ k f yn x2n c yn axn g yn xn CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Sistema Estável entrada limitada produz saída limitada BIBO xn Mₓ yn Mᵧ Sistema Instável entrada limitada produz saída ilimitada infinita INTERCONEXÃO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO Sistemas de tempo discreto podem ser interconectados para formar sistemas maiores 1 2 1 2 1 2 1 1 ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ x n n y x n y n y n x n n y C C LIT então é e para sistemas arbitrários Entretanto se o sistema é Isto são realizadas é importante e geral a ordem em que as operações Em 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ 2 1 3 y n y n n y 2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ P P x n n y x n n y x n x n y n ANÁLISE DE SISTEMAS DISCRETOS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO Porque enfatizar o estudo de sistemas LTI Há uma grande quantidade de técnicas matemáticas que podem ser aplicadas para analisar sistemas LTI Muitos sistemas práticos são ou LTI ou podem ser aproximados para sistemas LTI TÉCNICAS PARA ANÁLISE DE SISTEMAS LINEAR Existem dois métodos básicos para analisar o comportamento ou resposta de um sisteam linear a uma sinal de entrada Um método é baseado na solução direta da equação entradasaída que em geral tem a forma yn k1 ak ynk k0M bk xnk EQUAÇÃO A DIFERENÇA No segundo método faz primeiro a decomposição do sinal de entrada em uma soma de sinais elementares Os sinais elementares são selecionados tal que a resposta do sistema para cada componente do sinal seja facilmente determinada Então usando a propriedade da linearidade do sistema as respostas do sistema para os sinais elementares são somados para obter a resposta total do sistema para o sinal de entrada dado TÉCNICAS PARA ANÁLISE DE SISTEMAS LINEAR Segundo método xn ck xkn Soma de sinais elementare s ponderados ykn ℑxkn yn ℑxn ℑ ck xkn yn ck ℑxkn ck yk n Se não colocamos nenhuma restrição nas características dos sinais de entrada sua resolução em uma soma ponderada de impulsos unitários prova ser matematicamente conveniente e completamente geral Entretanto se restringirmos nossa atenção para uma suclasse de sinais de entrada pode haver outro conjunto de sinais elementares que é mais conveniente matematicamente na determinação da saída ex periódicos RESOLUÇÃO DE UM SINAL DE TEMPO DISCRETO EM IMPULSOS 3042 n x k n x k n x k n x k k n n x k δ δ δ 2 3 4 1 2 3042 n n n n x n x δ δ δ RESPOSTA DE UM SISTEMA LTI A ENTRADAS ARBITRÁRIAS A SOMA DE CONVOLUÇÃO resposta do sistema é correspondentemente escalada a Se o impulso na entrada esta escalado por uma quantidade ℑ k n x k n x x k c x k h n k h n k c k n h n k n k y k k k δ δ Sistema LTI hn k hn Para qualquer sistema linear variante no tempo ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ k x k h n y n k n n x k h n k n y k n x k n y k n x k x n n y k k k k δ δ δ δ 1 2 3 1 1 2 1 1 n x h n 1 0 un xn a a un hn n PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO E A INTERCONEXÃO DE SISTEMAS LTI Identidade e deslocamento yn xnδn xn xnδnk ynk xnk Lei comutativa xnhn hnxn yn xnhn xkhnk k yn hnxn hkxnk k Figure 234 Interpretation of the commutative property of convolution PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO E A INTERCONEXÃO DE SISTEMAS LTI Lei associativa xnh₁nh₂n xnh₁nh₂n yn y₁nh₂n xnh₁nh₂n hn h₁nh₂n yn xnhn hn h₁nh₂nhᶫn Figure 235 Implications of the associative a and the associative and commutative b properties of convolution EXAMPLE 234 Determine the impulse response for the cascade of two linear timeinvariant systems having impulse responses h₁n 12ⁿ un and h₂n 14ⁿ un Solution To determine the overall impulse response of the two systems in cascade we simply convolve h₁n with h₂n Hence hn h₁kh₂nk k where h₂n is folded and shifted We define the product sequence vₙk h₁kh₂nk 12ᵏ 14ⁿᵏ which is nonzero for k 0 and nk 0 or n k 0 On the other hand for n 0 we have vₙk 0 for all k and hence hn 0 n 0 For n k 0 the sum of the values of the product sequence vₙk over all k yields hn 12ᵏ 14ⁿᵏ k0 n 14ⁿ 2ᵏ k0 n 14ⁿ 2ⁿ¹ 1 12ⁿ 2 12ⁿ n 0 N1 βⁿ 1 βᴺ1 β β 1 N β 1 n0 PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO E A INTERCONEXÃO DE SISTEMAS LTI Lei distributiva xnh1n h2n xnh1n xnh2n hn h1n h2n hn Σj1L hjn Figure 236 Interpretation of the distributive property of convolution two LTI systems connected in parallel can be replaced by a single system with hn h1n h2n SISTEMAS LINEAR CAUSAL INVARIANTE NO TEMPO Sistema Causal se a saída do sistema em qualquer tempo n depende somente de entrada presente e passada yn0 Σk hkxn0k yn0 Σk0 hkxn0k Σk1 hkxn0k yn0 h0xn0 h1xn01 h2xn02 h1xn01 h2xn02 Um sistema causal LIT não depende de entrada no futuro xn0k Então hn 0 n 0 yn Σk0 hkxnk Σkn xkhnk Se o sinal de entrada for causal xn 0 para n 0 yn Σk0n hkxnk Σk0n xkhnk