Teorema de Gauss Stokes e Green - Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial

a Usar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de F sobre S sabendo que F 3xî 3yĵ zî se é a parte do gráfico de z 9 x2 y2 com z 0 Calcular o fluxo de F através da parede lateral do vaso usando o teorema de Stokes Nota div F 3x 3y 1 7 Fluxo S Fn dA Q div F dV Curvatura C curva sem corpo duplr Vertande dois bordes C C1 C2 Fluxo S x Fn dA C Fdr C Fdr C Fdr Parametrização C2 t0 t 2π C1 x 4cost y 4sent z 1 C2 x 3cost y 3sent z 0 t 2π Fluxo S Fn dA S Fn dA S Fn dA S Fn dA S Fn dA Restante b O teorema de Stokes é uma extensão do teorema de Green para 3D envolvendo superfície S e suas curvas limites C no lugar de regiões planas R c Mxy dx Nxy dy R Nx My dA que é o teorema de Green c Fdr c Fdr x F n dA que é o teorema de Stokes que se escreve como c Fdr S x Fn dA S é como região do plano xy esta afirma condição como uma superfície fixa e toda a melhor da superfície em S Caso uma algum é R área da Torran S é orientada pela orientação antihora de C orientada na fronte de região R Então que orienta a única a única função rot F ji ij rot F kj jk etc Rot F y x e abc c c x y k dt c x y k dt 3 Seja Fxy 2xy3 1 3x2 y2 a C é conter uma curva C independente do caminho Justifique b Existe função potencial escalar fxy associada a F Se não existe justifique a razão Se encontra Nota MF 2xy3 e NG 6xy2 MF 2xy3 e NG 6xy2 M 2xy3 e N 1 3x2 y2 x e y são variáveis independentes Iniciar de caminho ao longo de C C Fdr é resultado da letra a Poderseafirmar que uma função escalar f tal que fx 2xy3 e fy 1 3x2 y2 fx 12x3 2xy3 fxy 2xy3 Portanto fy 1 3x2 y2 4 Verificar o teorema de Green ou seja calcular os seus dois lados se Fxy y3 xy2 î x2 y3 ĵ e C é o contorno da região R xy x2 x4 y 0 1 y 1 Nota MFxy x2 x 1 a curva C paramétrica x 3cost y 2sent 0 t 2π b 3 Fluxo o falta seguinte etc 0 t 2π 4 Um vaso limita um volume de forma V xyz x2 y2 z 1 com 1 z 4 e j é o campo vetorial Fxy x2 î y2 ĵ 3zk k Calcular o fluxo rotacional de F através da parede lateral do vaso usando o teorema de Stokes Teorema Stokes c Fdr c x Fn dA Fluxo Notar que a curva C é sem corpo duplo Vertande dois bordes C C1 C2 Fluxo S x Fn dA c Fdr c Fdr c Fdr Parametrização C1 z x 2t y 2dt 0 1 2π C2 x 1 y 1 cost z 1 0 t 2π Fluxo c Fdr S x Fn dA c Fdr c Fdr Restante