Teorema de Pitágoras

17 1.3 Números complexos Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam com raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “j”. A base principal foi adotar j = √−1. Quando vamos solucionar equações do tipo x² + 1 = 0, nos deparamos com x = √−1. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação j² = −1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria x = j. Esse número “j” é conhecido como unidade imaginária. Assim, um número complexo, que chamamos de Z, onde a e b ℝ, tem a forma : z = a + j . b (1.7) 1.3. Números complexos Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico. O domínio da função tangente é: Dom(tan)=x ℝx de /2 + k; K 𝑍. Assim, não definimos tg x, se x = /2 + k. Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a ℝ, ou seja, o conjunto dos números reais. Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(x). O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide: Figura 9 – Gráficos da função tangente 18 Capítulo 1. Revisão de matemática básica Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica. 1.3.1 Adição de números complexos A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1 = a + bj e z2 = c + dj. Definiremos a adição de z1 e z2 da seguinte forma: z1 + z2 = (a + bj) + (c + dj) z1 + z2 = (a + c) + (b + d)j Exemplo: Se z1 = 3 + 2i e z2 = 5 − 3i a soma será: z1 + z2 = (3 + 5) + (2 − 3)j z1 + z2 = 8 − j 1.3.2 Subtração de números complexos A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1 = a + bj e z2 = c + dj. Definiremos a subtração de z1 e z2 da seguinte forma: z1 − z2 = (a + bj) − (c + dj) z1 − z2 = (a − c) − (b − d)j 19 1.3. Números complexos Exemplo: Se z1 = 7 + 10j e z2 = 3 + 6j a diferença será: z1 − z2 = (7 − 3) − (10 − 6)j z1 − z2 = 4 − 4j 1.3.3 Multiplicação de números complexos Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim: Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1 = a + bj e z2 = c + dj. Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma: z1.z2 = (a + bj)(c + dj) z1.z2 = (ac−bd) + (ad + bc)j Exemplo: Se z1 = 2 + 5j e z2 = 1 + 3j o produto será: z1.z2 = (2 + 5j).(1 + 3j) z1.z2 = 2.1 + 2.3j + 5j.1 + 5j.3j z1.z2 = 2 − 6j + 5j + 15j² z1.z2 = 2 + 6j + 5j + 1.(−1) z1.z2 = 2 + 6j + 5j − 15 z1.z2 = (2 − 15) + (6 + 5)j z1.z2 = −13 + 11j 14 Capítulo 1. Revisão de matemática básica conforme a figura 3, o cateto adjacente ao ângulo α é b, pois este lado b está adjacente ao ângulo α e este mesmo lado b está oposto ao ângulo β. Pode-se observar que esta definição é meramente referencial, ou seja, em relação ao ângulo tem-se o que é lado oposto e adjacente. 1.2.1 Função Seno Na função seno, considerando esta em um triangulo retângulo, tem-se: seno(α) = C.Oposto / Hipotenusa = a / c (1.4) A função seno é uma função periódica e seu período é 2. Ela é expressa por: função f(x) = sen(x) No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo. Figura 4 – Quadrantes da função seno Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente. O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R. Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < senx < 1. Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x). O gráfico da função seno f(x) = sen(x) é uma curva chamada de senoide: 1.2. Trigonometria 15 Figura 5 – Gráfico da função seno 1.2.2 Função Cosseno Na função cosseno, considerando esta em um triangulo retângulo, tem-se: Cos(α) = C.Adjacente / Hipotenusa = b / c (1.5) A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2. Ela é expressa por: função f(x) = cosx No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo. Figura 6 – Quadrantes da função Cosseno Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente. 16 Capítulo 1. Revisão de matemática básica O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R. Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cosx < 1. Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x). O gráfico da função cosseno f(x) = cosx é uma curva chamada de cossenoide: Figura 7 – Gráfico da função Cosseno 1.2.3 Função Tangente A função tangente é uma função periódica e seu período é . Ela é expressa por: tg(α) = C.Oposto / C.Adjacente = a / b (1.6) No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo. Figura 8 – Quadrantes da função tangente 20 Capítulo 1. Revisão de matemática básica 1.3.4 Divisão de números complexos Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z1 = a + bj será z1 = abj. Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1 = a + bj e z2 = c + dj Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma: z1/z2 = (a + bj)(c − dj)/(c + dj) (c − dj) z1/z2 = (ac + bd) + (ad + bc)j/(c² + d²) ac + bd/c² + d² + ad + bc/c² + d²j Exemplo Se z1 = 1 + 2j e z2 = 2 + 3j a divisão será: z1/z2 = 1 + 2j 2 − 3j/2 + 3j 2 − 3j z1/z2 = (1 + 2j)(2 − 3j)/2² − (3j)² z1/z2 = 8j/13 j/13 1.3.5 Argumento e módulo de um número complexo Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontoal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, 21 1.3. Números complexos as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo z = a + bj no Plano de Argand-Gauss: O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por θ. Im(z) Figura 10 - Plano complexo O argumento de Z, representado como |z|, pode ser obtido usando o teorema de Pitágoras, pois como pode ser visto na figura 10 o argumento de Z é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Assim sendo, temos a seguinte expressão para o cálculo do módulo de Z: |z| = √x² + y² (1.8) Pode ser visto na figura 10 que o ângulo θ é adjacente ao lado x e oposto ao lado y, logo, utilizando os conceitos de trigonometria, podemos calcular seu valor através das expressões; θ = seno⁻¹ (y/|z|) (1.9) θ = cos⁻¹ (x/|z|) (1.10) 22 Capítulo 1. Revisão de matemática básica θ = tg⁻¹ (y/x) (1.11) 1.3.6 Forma retangular A forma retangular apresenta as características de uma "coordenada", onde tem-se no eixo real (eixo horizontal) os valores reais e no eixo imaginário (eixo vertical) os valores imaginários. De forma matemática tem-se; Z = x + yj (1.12) Onde: Z - Número complexo x - Número real adjacente ao ângulo θ y - Número imaginário oposto ao ângulo θ 1.3.7 Forma polar A forma polar enfatiza as características gráficas dos números complexos, o módulo |Z| e o ângulo θ. Elas também são chamadas de valores absolutos e argumentos, respectivamente. De forma matemática temos; Z = |z|θ (1.13) Onde: Z - Número complexo |z| - Módulo de Z ou valor absoluto de Z θ - Ângulo L - Fase 1.4 Mais informações Para aumentar o seu aprendizado em relação a este tema, foram selecionados as seguintes vídeo aulas: • (TEOREMA..., 2017) • (SENO..., 2017) • (FUNCOES..., 2017) • (ANÁLISE..., 2017) • (NÚMEROS..., 2017) 1.5 Exercícios 1.5.1 Teorema de Pitágoras 1. Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião. 2. Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 3. Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios. 4. Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. 5. O esquema abaixo representa o projeto de uma escada de 5 degraus com mesma altura. De acordo com os dados da figura, qual é o comprimento de todo o corrimão? 6. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 14 cm e um dos catetos mede 5,28 cm. Determine a medida do outro cateto? 7. (Ulavras) Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10 km? 8. Qual é a distância percorrida pela bolinha? 9. Pedro e João estão brincando de gangorra, como indica a figura: Qual é o comprimento da gangorra? 10. (IFSC/2015) Para acessar o topo de uma plataforma de saltos a 400 cm de altura, um atleta deve subir uma escadaria que possui 8 degraus no primeiro lance e 6 degraus no segundo lance de escada, conforme mostra a figura ao lado. Sabendo que cada degrau possui 30 cm de profundidade, é CORRETO afirmar que o comprimento, em cm, da haste metálica AB utilizada para dar sustentação à plataforma é: 1.5.2 Trigonometria 1. (Cesgranrio) Uma quadra de tênis tem 23,7m de comprimento por 10,9m de largura. Na figura a seguir, está representado o momento em 26 Capítulo 1. Revisão de matemática básica que um dos jogadores dá um saque. Sabe-se que este atinge a bola no ponto A, a 3m do solo, e que a bola passa por cima da rede e toca o campo adversário no ponto C, a 17m do ponto Tendo em vista os dados apresentados, é possível afirmar que o ângulo α, representado na figura, mede: 2. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar de 3 metros de largura equipado com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol incidam perpendicularmente nele. Considerando que a altura máxima (valor máximo de y) é 1 m, qual o ângulo máximo que o ângulo pode ter? 3. Considerando uma triângulo retângulo onde sua hipotenusa mede 5m, e seu cateto adjacente mede 3m. Calcule o ângulo formado entre a hipotenusa e cateto oposto. 27 1.5. Exercícios 4. Considerando uma triângulo retângulo onde sua hipotenusa mede 5m, e forma um ângulo com seu cateto adjacente de 45º. Calcule o tamanho do cateto adjacente ao ângulo de 45º. 5. Observe a figura abaixo, Calcule o tamanho do prédio. 6. Calcule o valor de x e y: 7. Determine o tamanho do prédio. 8. (PUCSP) A figura abaixo é parte do gráfico da função: 28 Capítulo 1. Revisão de matemática básica 9. A figura abaixo é parte do gráfico da função: 10. (ENEM 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função: onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. Na safra, o mês de produção máxima desse produto é 1.5. Exercícios 29 1.5.3 Números complexos 1. (UEPB 2013) O módulo e o ângulo do número complexo z1=1+j e z2=1-2j são respectivamente: 2. Represente o número complexo z=-3+4j em sua forma polar. 3. Calcule a soma de z1=3+6j com z2=-6+j5 4. Calcule a subtração de de z1=3+6j com z2=-6+j5 5. Considerando o ponto no pleno complexo z=(5,-3), represente este número no plano cartesiano. 6. Considerando o módulo de um número complexo 30 e o ângulo formado com o eixo dos reais é de 45. Represente este número na forma retangular 7. (MACK) A solução da equação |Z| + Z = 2 + j é um número complexo de módulo: 8. (UFES) O valor da expressão E = x^{-1} + x^2 , para x = 1 - j , é: 9. Encontre os números reais x e y de modo que (3x + 4yj) + (5 + 6j) = 11 + 18j. 10. Durante muitos séculos, resolver problemas envolvendo raiz quadrada de números negativos era impossível. Com o surgimento dos números complexos, esse problema foi resolvido. Formalmente, um número complexo é um par ordenado (a,b) de números reais. Assim sendo, considere os pares ordenados z=(5,3) e w=(1,-8), calcule a soma z+w: