Teoremas Limite de Sequências de Variáveis Aleatórias - Tipos de Convergência

Capıtulo 1 Teoremas Limites de Sequˆencias de Variaveis Aleatorias 11 Tipos de Convergˆencia O aspecto mais importante da teoria da probabilidade diz respeito ao comporta mento de sequˆencias de variaveis aleatorias Esta parte da probabilidade e cha mada de Teoria das grandes amostras ou teoria limite ou teoria assintotica A questao basica e esta o que podemos dizer sobre o comportamento limite de uma sequˆencia de variaveis aleatorias X1 X2 X3 Uma vez que estatıstica e mineracao de dados se referem a coleta de dados naturalmente estaremos interes sados no que acontece a medida que reunimos mais e mais dados Definicao 1 Dado um espaco probabılistico Ω F puma sequˆencia de variaveis aleatorias Xn Ω e uma variavel aleatoria X i Dizemos que Xn converge quase certamente quase sempre ou com probabi lidade um para X quando n e escrevemos Xn qs X ou Xn X com probabilidade 1 ou p Xn X 1 se Xnω Xω para todo ω Ω exceto possivelmente em algum evento S com pS 0 Dizer que Xn qs X e equivalente a afirmar que para todo ϵ 0 e para todo w S c existe Nω ϵ 0 talque Xn X ϵ para todo n Nω ϵ Este tipo de convergˆencia tambem e conhecido como convergˆencia forte ii Dizemos que Xn converge em probabilidade para X quando n e escre vemos Xn P X se para todo ϵ 0 p Xn X ϵ n 0 1 Dizer que Xn P X é equivalente a afirmar que para todo ϵ δ 0 existe Nϵ δ 0 talque p Xn X ϵ δ para todo n Nϵ δ iii Se Fn é a sequência de funções de densidade da sequência Xn dizemos que Xn converge em distribuição para X e escrevemos Xn F X se Fn x n F x para todo x ℝ para os quais F é contínua Dizer que Xn F X é equivalente a afirmar que para todo ϵ 0 e para todo x no qual F é contínua existe Nx ϵ 0 talque Fn x F x ϵ para todo n Nx ϵ Este tipo de convergência também é conhecido como convergência fraca iv Dizemos que Xn converge X em média quadrática ou em convergência em L2 e escrevemos Xn mq X se E Xn X2 n 0 Dizer que Xn mq X é equivalente a afirmar que para todo ϵ 0 existe Nϵ 0 tal que E Xn X2 ϵ para todo n Nϵ Teorema 1 As seguintes relações entre os tipo de convergência são válidas i Se Xn qs X então Xn P X ii Se Xn mq X então Xn P X iii Se Xn P X então Xn F X iv Se Xn F X e existe uma constante c talque p X c 1 então Xn P X Prova i Dado ϵ 0 arbitrário vamos provar que p Xn X ϵ n 0 Considere os seguintes eventos A0 ω Ω Xn ω n Xω ϵ An ω Ω para todo k n Xk ω Xω ϵ Pela definição de convergência quasesempre pA0 1 se w A0 para n suficientemente grande Xk ω Xω ϵ para todo k n isso mostra que ω An Com isso concluímos que A0 n1 An vamos provar agora que a sequência An é crescente De fato se ω An então Xk ω Xω ϵ para todo k n o que implica que Xkω Xω ϵ para todo k n 1 portanto ω An1 logo An An 1 como pA0 1 temos 1 pA0 p n1 An como a sequência An é crescente limn pAn 1 Observe agora que An ω Ω Xn ω Xω ϵ portanto pAn p ω Ω Xn ω Xω ϵ portanto concluímos que p Xn X ϵ 1 p Xn X ϵ n 0 provando que Xn converge em probabilidade para X ii Se Xn converge em média quadrática para X vamos provar que para todo ϵ δ 0 existe Nϵ δ 0 talque p Xn X ϵ δ para todo n Nϵ δ De fato usando a desigualdade de Markov temos p Xn X ϵ p Xn X2 ϵ2 EXnX²ϵ² Como p Xn X ϵ 0 e Xn mq X segue o resultado iii Se Xn P X vamos provar que para todo ϵ 0 e para todo x no qual F é contínua existe Nx ϵ 0 talque Fnx Fx ϵ para todo n Nxϵ De fato dado x ℝ onde F é contínua ϵ 0 arbitrário então X x ϵ ou X x ϵ se Xn é uma sequência de vas tal que Xn x então ao relacionarmos Xn e X obtemos Xn x Xn x X x ϵ Xn x X x ϵ X x ϵ Xn x X x ϵ X x ϵ Xn x X x ϵ X x ϵ X Xn ϵ Agora Fn x p Xn x p X x ϵ p X Xn ϵ Como Xn P X lim sup Fn x p X x ϵ F x ϵ 11 Analogamente X x ϵ Xn x X x ϵ Xn x X x ϵ Xn x Xn x X x ϵ Xn x Xn x X x ϵ Xn x X Xn ϵ Agora F x ϵ p X x ϵ p Xn x p X Xn ϵ Como Xn P X F x ϵ lim inf Fn x 12 Finalmente usando as inequações 11 e 12 temos F x ϵ lim inf Fn x lim sup Fn x F x ϵ Como F é contínua em x e ϵ é arbitrário passando o limite quando ϵ 0 obtemos CAPÍTULO 1 TEOREMAS LIMITES DE SEQUÊNCIAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS5 lim n Fnx Fx iv Se existe c tal que PX c 1 então Fx 0 se x c 1 se x c logo F é contínua em todo ponto da forma c ϵ ou c ϵ para todo ϵ 0 p Xn c ϵ p Xn c ϵ ou Xn c ϵ p Xn c ϵ p Xn c ϵ p Xn c ϵ p Xn c ϵ Fnc ϵ 1 Fnc ϵ Desde que c ϵ e c ϵ são pontos de continuidade de F temos lim n p Xn c ϵ Fc ϵ 1 Fc ϵ 0 Portanto Xn P X O teorema 1 permite construir o seguinte diagrama Conv Quase Certa Conv em Probabilidade Conv em Média Quadrática Conv em Distribuição Teorema 2 Teorema de Continuidade de Paul Lévy Se Fn é uma sequência de funções de densidades e F uma função de densidade Se ϕn é a sequência de funções característícas correspondentes a Fn e ϕ é a função caracteristica associada a F Então i Se Fnx n Fx em todos os pontos de continuidade de x então ϕnt n ϕt para todo t ℝ ii Se ϕnt n gt onde g é uma função contínua em t 0 então ϕ é a função catractrerística de F A prova desse teorema será omitida por necessitar de mais resultados CAPÍTULO 1 TEOREMAS LIMITES DE SEQUÊNCIAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS6 12 O Teorema Central do Limite e as Leis dos Grandes Números Agora estamos prontos para formular e provar o famoso Teorema Central do Limite TCL em sua forma mais simples Teorema 3 Teorema Central do limite Sejam X1 X2 Xn uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas iid com média μ finita e variância σ2 finita Sejam Xn 1 n i1 n Xi Gnx Prob nXn μ x σ e Φx 1 2π e t2 2 dt Então Gnx n Φx para todo x ℝ Teorema 4 A Lei Forte dos Grandes Números Se Xj é uma sequencia de var aleat ind e ident distr como média finita μ então Xn i1 n Xi n qs μ Teorema 5 A Lei Fraca dos Grandes Números Se Xi é uma sequencia de var aleat ind e ident distr como média finita μ então Xn i1 n Xi n P μ