Lista de Exercícios Resolvidos: Distribuição de Probabilidade Binomial

Andrey Sarmento meugurunet Questão 1 Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas Retire três bolas com reposição e defina a va 𝑋 igual ao número de bolas pretas Obtenha a distribuição de probabilidade da variável X Resolução 𝑋 número de bolas pretas Temos o seguinte experimento 𝜀 retirar uma bola de uma caixa e observar a sua cor vermelha ou preta Um fato importante é a retirada ser com reposição assim a probabilidade de retirar uma bola preta é a mesma para todas as retiradas e é dada por 𝑝 𝑛º 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑝 5 8 0625 pois na caixa tem 3 bolas vermelhas e 5 pretas totalizando 8 bolas 3 5 8 Cada retirada da bola é uma realização do experimento 𝜀 e além disso as retiradas das bolas são independentes Portanto cada realização do experimento temos uma prova de Bernoulli como o experimento é repetido 3 vezes 3 bolas são retiradas de forma independente teremos uma distribuição Binomial Logo 𝑋 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑛 3 𝑝 0625 Com isso a função distribuição de probabilidade da va 𝑋 é dada por 𝑃𝑋 𝑥 3 𝑥 0625𝑥1 06253𝑥 𝑥 0 1 2 3 A tabela de distribuição de probabilidade é dada por X 0 1 2 3 Soma PX x 0053 0264 0439 0244 1 Nota 𝑛 𝑘 𝑛 𝑘 𝑛 𝑘 Andrey Sarmento meugurunet Questão 2 Uma moeda perfeita é lançada quatro vezes Seja Y o número de caras obtidas Calcule a distribuição de probabilidade da variável Y Resolução 𝑌 número de caras obtidas Experimento 𝜀 Lançar uma moeda perfeita e observar o resultado Percebese que cada lançamento independe do outro por exemplo obter cara no 1º lançamento não influencia o resultado no 2º lançamento e assim por diante Por isso cada realização do experimento 𝜀 é uma prova de Bernoulli e como o experimento é realizado quatro vezes a moeda é lançada quatro vezes de forma independente teremos a distribuição Binomial Além disso a moeda é perfeita ou seja mesma chance de obter cara ou coroa assim 𝑝 05 sendo que 𝑝 é a probabilidade de obter cara em um lançamento Logo 𝑌 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑛 4 𝑝 05 Com isso a função distribuição de probabilidade da va 𝑌 é dada por 𝑃𝑌 𝑦 4 𝑦 05𝑦1 054𝑦 4 𝑦 054 𝑦 0 1 2 3 4 A tabela de distribuição de probabilidade é dada por Y 0 1 2 3 4 Soma PY y 0063 0250 0375 0250 0063 1 Andrey Sarmento meugurunet Questão 3 𝐸𝑌 𝑦𝑃𝑌 𝑦 𝑛 𝑦1 Assim 𝐸𝑌 0 0063 1 0250 2 0375 3 0250 4 0063 𝐸𝑌 2 Interpretação Esperase ao lançar uma moeda perfeita 4 vezes que o número de caras observado seja 2 Questão 4 Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça Obtenha a distribuição de X Observe que nesse problema pelo menos teoricamente X pode assumir um número infinito de valores Resposta A variável de interesse aqui é a seguinte 𝑋 número de lançamentos da moeda perfeita até que ocorra a face cara pela primeira vez Aqui realmente o suporte da variável 𝑋 isto é os possíveis valores que a variável pode assumir é um conjunto infinito de números inteiros 𝑆 1 2 3 Os lançamentos da moeda são feitos de forma independente Como o experimento só irá finalizar quando ocorrer a face cara pela primeira vez então teremos 𝑋 lançamentos ao todo onde 𝑋 1 deverão dar o resultado coroa Esquema Andrey Sarmento meugurunet 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 𝑥1 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑥 No esquema acima percebemos a ocorrência de 𝑥 1 coroas antes da primeira ocorrência de cara A probabilidade para cada ocorrência cara ou coroa é igual a 05 dado que a moeda é perfeita Portanto teremos 𝑃𝑋 𝑥 05 05 05 05 𝑥1 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎𝑠 05 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑃𝑋 𝑥 05𝑥1 05 𝑥 1 2 Ainda podemos simplificar a expressão acima obtendo 𝑃𝑋 𝑥 05𝑥 𝑥 1 2 Questão 5 Vamos definir a seguinte variável aleatória 𝑉 número de doses da vacina que a criança tomou Teremos 𝑃𝑉 𝑣 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑖𝑎𝑛ç𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣 𝑑𝑜𝑠𝑒𝑠 𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑖𝑎𝑛ç𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑑𝑎𝑠 Nota sabese que o número de crianças analisadas ao todo foram 1000 a Supondo que uma criança dessa população é sorteada ao acaso qual será a probabilidade dela ter recebido apenas 2 doses Resposta 𝑃𝑉 2 288 1000 0288 288 b Qual a probabilidade da criança ter recebido até 2 doses Resposta O termo até 2 doses é equivalente a 𝑉 2 portanto Andrey Sarmento meugurunet 𝑃𝑉 2 𝑃𝑉 1 𝑃𝑉 2 𝑃𝑉 2 245 1000 288 1000 0245 0288 𝑃𝑉 2 0533 533 c Qual é a esperança matemática ou valor esperado Resposta Temse 𝐸𝑉 1 0245 2 0288 3 0256 4 0145 5 066 𝐸𝑉 2499 3