Inferência Bayesiana em Distribuição de Poisson com Gama Priori - Simulações em R

i Obter a Distribuição a Posteriori os dados seguem uma distribuição Poison θ ii Devese sugerir uma distrição a Priori para θ iii Devese mostrar no R um estudo de simulação estabelecendo um valor paramétrico para θ semelhante ao que fiz na aula de R iv Obter estimativa do parâmetro θ Dada uma sequência de variáveis aleatórias y1 yn com yi Poi θ i1n então a função de verossimilhança de Yθ é dada por π yθ i1 n θ yie θ yi θ i1 n yi e nθ i1 n yi 1 Por conveniência a priori de θ é admitida como uma Gama de parâmetros α e β denotado por θ Gama α β pois esta é a conjugada natural com a verossimilhança em dados de uma distribuição de Poisson isto é π θ β α Γ α θ α1e βθθ α1e βθ Agora sabese que π θy π yθπ θ π y π yθ π θ Logo π θy θ i1 n yi e nθ i1 n yi 1 θ α1e βθθ α i1 n yi1 e nβθ i1 n yi 1 θ α i1 n yi1 e nβθ ou seja a distribuição a posteriori de θ é Gama com parâmetros α i1 n yi e nβ Notação θy Gamaα i1 n yin β A média a posteriori será dada por E θy α i1 n yi n β Estudo de Simulação Para o estudo de simulação admitese uma priori Gama α4 β2 Ainda foi fixado o valor paramétrico θ2 para simular n18 e n40 valores da distribuição de Poisson2 Código R O próximo código calcula a média a posteriori de θ Código R Foi obtido a seguinte estimativa bayesiana θE θy 225 Aumentando tamanho da amostra para n40 o valor da estimativa fica mais aproximada do verdadeiro valor de θ como mostrado a seguir Código R Estudo de Simulacao 1 alpha 4 beta 2 theta 2 setseed1 n 18 y rpoisn theta post rgamma2000 alphasumy nbeta histpost col white xlab expressiontheta ylab Frequência Media a posteriori alpha sumy n beta Output 1 225 Código R Foi obtido a seguinte estimativa bayesiana θE θy 1929 Este valor está próximo do verdadeiro valor de θ fixado no início da simulação θ2 Estudo de Simulacao 2 setseed2 n 40 y rpoisn theta post rgamma2000 alphasumy nbeta histpost col white xlab expressiontheta ylab Frequência Media a posteriori alpha sumy n beta Output 1 1928571 0 100 200 300 400 15 20 25 30 35 θ Frequência Dada uma sequência de variáveis aleatórias 𝑦1 𝑦𝑛 com 𝑦𝑖 𝑃𝑜𝑖𝜃 𝑖 1 𝑛 então a função de verossimilhança de 𝒀𝜃 é dada por 𝜋𝒚𝜃 𝜃𝑦𝑖𝑒𝜃 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 𝜃 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 𝑒𝑛𝜃 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 1 Por conveniência a priori de 𝜃 é admitida como uma Gama de parâmetros 𝛼 e 𝛽 denotado por 𝜃 𝐺𝑎𝑚𝑎𝛼 𝛽 pois esta é a conjugada natural com a verossimilhança em dados de uma distribuição de Poisson isto é 𝜋𝜃 𝛽𝛼 Γ𝛼 𝜃𝛼1𝑒𝛽𝜃 𝜃𝛼1𝑒𝛽𝜃 Agora sabese que 𝜋𝜃𝒚 𝜋𝒚𝜃𝜋𝜃 𝜋𝒚 𝜋𝒚𝜃𝜋𝜃 Logo 𝜋𝜃𝒚 𝜃 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 𝑒𝑛𝜃 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 1 𝜃𝛼1𝑒𝛽𝜃 𝜃𝛼 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 1𝑒𝑛𝛽𝜃 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 1 𝜃𝛼 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 1𝑒𝑛𝛽𝜃 ou seja a distribuição a posteriori de 𝜃 é Gama com parâmetros 𝛼 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 e 𝑛 𝛽 Notação 𝜃𝒚 𝐺𝑎𝑚𝑎𝛼 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 𝛽 A média a posteriori será dada por 𝐸𝜃𝒚 𝛼 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 𝛽 Estudo de Simulação Para o estudo de simulação admitese uma priori 𝐺𝑎𝑚𝑎𝛼 4𝛽 2 Ainda foi fixado o valor paramétrico 𝜃 2 para simular 𝑛 18 e 𝑛 40 valores da distribuição de 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2 Código R Estudo de Simulacao 1 alpha 4 beta 2 theta 2 setseed1 n 18 y rpoisn theta post rgamma2000 alphasumy nbeta histpost col white xlab expressiontheta ylab Frequência O próximo código calcula a média a posteriori de 𝜃 Código R Foi obtido a seguinte estimativa bayesiana 𝜃 𝐸𝜃𝒚 225 Aumentando tamanho da amostra para 𝑛 40 o valor da estimativa fica mais aproximada do verdadeiro valor de 𝜃 como mostrado a seguir Código R Media a posteriori alpha sumy n beta Output 1 225 Estudo de Simulacao 2 setseed2 n 40 y rpoisn theta post rgamma2000 alphasumy nbeta histpost col white xlab expressiontheta ylab Frequência Código R Foi obtido a seguinte estimativa bayesiana 𝜃 𝐸𝜃𝒚 1929 Este valor está próximo do verdadeiro valor de 𝜃 fixado no início da simulação 𝜃 2 Media a posteriori alpha sumy n beta Output 1 1928571 0 100 200 300 15 20 25 θ Frequência