Teste de Hipóteses: Análise de Evidências e Cálculos de P-Valor

7 Teste de Hipóteses Escala de Significância de Fisher Pvalor 010 005 0025 001 0005 0001 Evidência contra H0 Fraca Moderada Substancial Forte Muito Forte Fortíssima Questões selecionadas 1 A altura das alunas de Economia em cm é uma a va 𝑿𝑵𝝁 𝝈𝟐 Uma amostra simples com 37 observações de X foi obtida e as estimativas amostrais não viesadas da média e variância foram respectivamente 𝒙 𝟏𝟕𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝟓 a Se um teste unilateral à esquerda para a hipótese 𝑯𝟎 𝝁 𝟏𝟕𝟒 for realizado calcule a probabilidade da amostra rejeitar 𝑯𝟎 quando não deveria Devemos calcular o pvalor do teste de 𝐻0 𝑃 𝑃𝑋 𝑥 𝐻0 𝑃𝑋 172 𝐻0 𝑃 𝑇𝑛 1 172 𝜇0 𝑠 𝑛 𝑃 𝑇𝑛 1 172 174 5 37 𝑃𝑇𝑛 1 24331 001 𝑃 001 Há FORTE evidência contra 𝐻0 pela escala de Fisher 2 A altura dos alunos de Economia em cm é uma a va 𝑿𝑵𝝁 𝟑𝟔 Uma amostra simples com 81 observações de X foi obtida e a estimativa amostral não viesada da média foi 𝒙 𝟏𝟕𝟒 a Se um teste unilateral à direita para a hipótese 𝑯𝟎 𝝁 𝟏𝟕𝟐 for realizado calcule a probabilidade da amostra rejeitar 𝑯𝟎 quando não deveria Devemos calcular o pvalor do teste de 𝐻0 𝑃 𝑃𝑋 𝑥 𝐻0 𝑃𝑋 174 𝐻0 𝑃 𝑍 174 𝜇0 𝜎 𝑛 𝑃 𝑍 174 172 6 81 𝑃𝑍 3 000135 𝑃 000135 b Com o resultado obtido em a classifique a evidência amostral contra 𝑯𝟎 na escala de Fisher Há FORTÍSSIMA evidência contra 𝐻0 pela escala de Fisher 3 Pedro considera trabalhar como representante comercial da empresa de equipamentos para mergulho Aqwa Esta empresa lhe acena para uma renda mensal 𝑿𝑵𝟐𝟎 𝟖𝟏 em 1000 reais Como sua futura renda média 𝝁 não é de fato conhecida Pedro considera a possibilidade dela ser menor ou seja 𝑿𝑵𝟏𝟓𝟑𝟔 Antes de tomar uma decisão Pedro é informado que um grupo de n profissionais da área apresentou renda média 𝒙 Com base nesta informação Pedro decide avaliar a promessa da firma testando as hipóteses 𝑯𝟎 𝝁 𝟐𝟎 𝝈𝟐 𝟖𝟏 𝑯𝟏 𝝁 𝟏𝟓 𝝈𝟐 𝟑𝟔 a Construa a região crítica do teste equilibrado 𝜶 𝜷 Se 𝒏 𝟑𝟔 calcule as probabilidades de erro neste caso Rejeição crítica do teste equilibrado 𝑅𝐶𝑒 𝑋 𝑥𝑒 𝑥𝑒 𝜇0𝜎1 𝜇1𝜎0 𝜎0 𝜎1 206 159 6 9 17 Probabilidade dos erros com 𝑛 36 Tipo I 𝛼 𝑃𝑋 17 𝐻0 𝑃 𝑍 172036 9 𝑃𝑍 2 𝛼 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 20 002275 Tipo II 𝛽 𝑃𝑋 17 𝐻1 𝑃 𝑍 171536 6 𝑃𝑍 2 𝛽 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 2 002275 b Se Pedro admite probabilidades 𝜶 e 𝜷 de 1 de errar rejeitando 𝑯𝟎 e de 2 de errar não rejeitando 𝑯𝟎 respectivamente qual o tamanho da amostra n que ele deve considerar 𝑛 𝜎0𝑧𝛼 𝜎1𝑧𝛽 𝜇0 𝜇1 2 𝛼 001 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 𝑧𝛼 001 𝑧𝛼 23263 𝛽 002 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 𝑧𝛽 002 𝑧𝛽 20537 𝑛 923263 620537 20 15 2 44246 𝑛 45 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 c Se para o tamanho amostral obtido no item anterior a média amostral obtida foi 𝒙 𝟏𝟕 𝟓 calcule a probabilidade deste resultado induzir Pedro a rejeitar 𝑯𝟎 quando ela é verdadeira a promessa da firma é crível Para 𝑛 45 a probabilidade do resultado amostral 𝑥 175 induzir Pedro a rejeitar 𝐻0 quando não deveria será 𝑃𝑋 175 𝐻0 𝑃 𝑍 175 20 9 45 𝑃𝑍 18634 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 18634 0031 31 4 Os retornos X de um ativo negociado na bolsa de valores tem distribuição Normal de média e variância 𝝈𝟐 desconhecidas Para o teste da volatilidade 𝑯𝟎 𝝈𝟐 𝟐 𝑯𝟏 𝝈𝟐 𝟐 foi obtida uma amostra de 17 valores de X sobre os quais obtevese a estimativa amostral não viesada da variância 𝒔𝟐 𝟑 Com base neste resultado a Para o tamanho 5 construa a região crítica do teste de𝑯𝟎 Qual a decisão 𝑅𝐶 𝑆2 𝜎02 𝑛1 𝑞005 onde 𝑃𝜒2𝑛 1 𝑞005 005 Temos 𝑛 17 𝜎0 2 2 𝑞005 26296 𝑅𝐶 𝑆2 2 16 26296 𝑆2 3287 Como 𝑠2 3 𝑅𝐶 a evidência amostral não permite rejeitar 𝐻0 b Calcule a probabilidade da amostra aleatória rejeitar 𝑯𝟎 sendo esta hipótese verdadeira 𝑃𝑆2 3 𝐻0 𝑃 𝜒2𝑛 1 3𝑛 1 𝜎0 2 𝑃 𝜒216 316 2 𝑃𝜒216 24 𝑃 00583 5 Para reduzir a acidez do solo e aumentar a produtividade da lavoura vários tipos de calcário podem ser misturados à terra processo chamado calagem A realização de 21 testes com o calcário calcítico pouco magnésio muito cálcio e 31 com o calcário dolomítico muito magnésio pouco cálcio aplicados à um mesmo tipo de solo apresentaram os seguintes rendimentos média variância por hectare 𝒙𝟏 𝟒 𝒔𝟏 𝟐 𝟒 e 𝒙𝟐 𝟓 𝒔𝟐 𝟐 𝟗 respectivamente Supondo a distribuição Normal dos rendimentos a Faça o teste unilateral de tamanho 5 para a hipótese da igualdade das variâncias 𝑅𝐶 𝑆22 𝑆12 𝑓005 onde 𝑃𝐹3020 𝑓005 005 Pela tabela FisherSnedecor 𝑓005 204 𝑅𝐶 𝑆2 204 Como 𝑠22 𝑠12 9 5 18 𝑅𝐶 a evidência amostral não permite rejeitar a hipótese da igualdade das variâncias b Usando o resultado do item anterior teste a hipótese da igualdade dos rendimentos médios 𝝁𝟐 𝝁𝟏 ao nível 5 contra a alternativa bilateral 𝝁𝟐 𝝁𝟏 Tomando 𝜎1 2 𝜎2 2 𝜎2 considerase a estimativa amostral da variância 𝜎2 𝑠2 𝑛1 1𝑠1 2 𝑛2 2𝑠2 2 𝑛1 𝑛2 2 𝑠2 204 309 21 31 2 𝑠2 7 Temos para o teste bilateral de 𝐻0 a região crítica 𝑅𝐶 𝑋2 𝑋1 𝑠 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑡0025 𝑋2 𝑋1 𝑠 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑡0025 Pela tabela da tStudent com 50 graus de liberdade encontramos 𝑡0025 20086 𝑅𝐶 𝑋2 𝑋1 7 1 21 1 31 20086 𝑋2 𝑋1 7 1 21 1 31 20086 𝑅𝐶 𝑋2 𝑋1 1502 𝑋2 𝑋1 1502 Como 𝑥2 𝑥1 6 5 1 𝑅𝐶 então a evidência amostral não permite rejeitar a hipótese da igualdade dos rendimentos 6 Considere a va 𝑿𝑵𝟎 𝝈𝟐 e uma amostra simples com 41 observações de X A estimativa amostral não viesada da variância é 𝒔𝟐 𝟗 a Com base na estimativa amostral calcule aproximadamente o Pvalor do teste unilateral à direita para a hipótese 𝑯𝟎 𝝈𝟐 𝟔 Como a média é conhecida temos 41𝑆2 𝜎2 𝜒241 𝑃 𝑃𝑆2 9 𝐻0 𝑃 𝜒241 419 6 𝑃𝜒241 615 1 241 2 Γ 41 2 𝑥 41 2 1 𝑒𝑥 2 615 0021 𝑃 0021 OBS Quem considerou 40 graus de liberdade achou 𝑃 0027 7 Os valores de utilidade atribuídos pelos consumidores ao produto de duas firmas concorrentes firmas 1 e 2 são aproximadamente normais 𝑿𝒊 𝑵𝝁𝒊 𝝈𝒊 𝟐 com parâmetros desconhecidos 𝒊 𝟏 𝟐 Os resultados obtidos com duas amostras independentes sobre 21 consumidores do primeiro produto e 31 do segundo foram 𝒙𝟏 𝟕 𝒔𝟏 𝟐 𝟐 e 𝒙𝟐 𝟖 𝒔𝟐 𝟐 𝟑 a Faça o teste unilateral para a hipótese 𝑯𝟎 𝝈𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 𝟏 ao nível de significância 5 𝐻0 𝜎12 𝜎2 2 1 𝐻1 𝜎12 𝜎2 2 1 𝑅𝐶 𝑆12 𝑆2 2 𝑥𝑐 Sob 𝐻0 𝑆12 𝑆2 2 𝐹2030 FisherSnedecor 𝑥𝑐 𝑓1 𝐹2030 𝑓1 005 𝑓1 1 𝑓0053020 Pela tabela FisherSnedecor 𝑓0053020 204 𝑓1 1 204 049 𝑅𝐶005 𝑆1 2 𝑆2 2 049 Como 𝑠12 𝑠2 2 2 3 0667 𝑅𝐶005 não há evidência amostral suficiente para rejeitar 𝐻0 Ou seja podemos tomar 𝜎1 2 𝜎2 2 b Em função do resultado obtido no item a construa um intervalo de confiança 90 para a diferença das médias 𝑰𝑪𝟎𝟗𝟎𝝁𝟐 𝝁𝟏 Para construir o Intervalo de Confiança a 90 para a diferença entre as médias levando em conta o resultado do teste feito em a usamos o fato que 𝑋2 𝑋1 𝜇2 𝜇1 𝑆 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑇𝑛1 𝑛2 2 𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑆2 𝑛1 1𝑆1 2 𝑛2 1𝑆2 2 𝑛1 𝑛2 2 𝜇2 𝜇1 𝑥2 𝑥1 𝑠 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑡005 𝑃𝑇𝑛1 𝑛2 2 𝑡005 005 𝑃𝑇𝑛1 𝑛2 2 𝑡005 𝑛1 𝑛2 2 21 31 2 50 Pela tabela tStudent 𝑃𝑇50 1676 005 𝑠2 202 303 50 26 𝑠 26 16125 𝜇2 𝜇1 8 7 16125 1 21 1 31 1676 1 076381 𝐼𝐶090𝜇2 𝜇1 02362 17638 Como o intervalo acima não inclui 0 podemos concluir em um teste bilateral com significância 10 para a igualdade das médias que esta hipótese será rejeitada 8 No contexto da questão anterior construa um intervalo de confiança 90 para o quociente das variâncias 𝑰𝑪𝟎𝟗𝟎 𝝈𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑆2 2 𝑆1 2 𝐹3020 Pela tabela da FisherSnedecor temos 𝑃𝑓1 𝐹3020 𝑓2 090 𝑓2 204 e 𝑓1 0518 Assim 0518 𝜎12 𝜎2 2 𝑆22 𝑆12 204 0518 𝜎12 𝜎2 2 3 2 204 0345 𝜎12 𝜎2 2 136 O intervalo de confiança 90 fica 𝐼𝐶090 𝜎12 𝜎2 2 0345 136 9 Existem sérias controvérsias sobre os verdadeiros valores da média 𝝁 e da variância 𝝈𝟐 de uma va normal 𝑿 Em uma hipótese 𝑯𝟎 otimista 𝑿𝑵𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎 e em uma outra 𝑯𝟏 pessimista 𝑿𝑵𝟖 𝟑𝟔 O teste de 𝑯𝟎 será baseado na média amostral a Construa a região crítica do teste equilibrado𝜶 𝜷 Para uma amostra simples de 49 valores de X calcule as probabilidades de erro neste caso 𝑅𝐶𝑒 𝑋 𝑥𝑒 𝑥𝑒 𝜇0𝜎1 𝜇1𝜎0 𝜎0 𝜎1 126 810 6 10 95 𝛼 𝑃𝑋 95𝐻0 𝑃 𝑍 95 1249 10 𝑃𝑍 175 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 175 004006 Checando a igualdade 𝛽 𝑃𝑋 95 𝐻1 𝑃 𝑍 95 849 6 𝑃𝑍 175 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 175 004006 b Em uma amostra de 𝒏 𝟔𝟒 valores de X obtevese a média𝒙 𝟏𝟎 Se você usar este resultado para tomar a decisão sobre 𝑯𝟎 calcule i a probabilidade de errar sendo pessimista ii a probabilidade de errar sendo otimista Com base neste resultado se você tem aversão a erros o que você prefere ser i Probabilidade de errar sendo pessimista 𝑃𝑋 10 𝐻0 𝑃 𝑍 10 12 10 8 𝑃𝑍 16 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 16 00548 ii Probabilidade de errar sendo otimista 𝑃𝑋 10 𝐻1 𝑃 𝑍 10 8 6 8 𝑃𝑍 26667 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 26667 00038 Se você é avesso a erros nessa situação preferirá ser otimista c Caso se queira realizar um teste com margem de 1 de erro ao rejeitar 𝑯𝟎e 2 de erro ao aceitar 𝑯𝟎 qual deve ser o tamanho n da amostra 𝑛 𝜎0𝑧𝛼 𝜎1𝑧𝛽 𝜇0 𝜇1 2 𝛼 001 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 𝑧001 001 𝑧001 23263 𝛽 002 1 2𝜋 𝑒1 2 𝑧2 𝑑𝑧 𝑧002 002 𝑧002 20537 𝑛 1023263 620537 12 8 2 79144 𝑛 80 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 10 No experimento uma moeda é lançada 10 vezes rejeitandose a hipótese que a moeda é equilibrada se o número de caras obtido pertencer ao conjunto 𝟎 𝟏 𝟐 𝟖 𝟗 𝟏𝟎 a Explicite a hipótese nula a ser testada a hipótese alternativa a região crítica e a probabilidade do erro de tipo 1𝜶 𝐻0 𝑝 1 2 𝐻1 𝑝 1 2 𝑅𝐶 0128910 𝑋 nº de caras obtidas em 10 lances Sob 𝐻0 𝑋𝐵 10 1 2 𝛼 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 𝑃𝑋 8 𝑃𝑋 9 𝑃𝑋 10 𝛼 21 10 45 1 2 10 𝛼 010938 b O valor observado no experimento foi 𝒙 𝟕 Calcule o pvalor do teste Pvalor 𝑃 2 min𝑃 𝑃 𝑃 𝑃𝑋 7𝐻0 𝑃𝑋 8 𝑃𝑋 9 𝑃𝑋 10 45 10 1 1 2 10 00547 𝑃 𝑃𝑋 7𝐻0 1 00547 09453 𝑃 2 min00547 09453 01094 11 Existem dúvidas entre os economistas regionais sobre qual das duas regiões 𝑹𝟏 ou 𝑹𝟐 tem renda domiciliar mensal 𝑿 maior Há todavia consenso entre eles de que este rendimento é Normal e independente com médias 𝝁𝟏 𝝁𝟐 e variâncias 𝝈𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 todas desconhecidas Para dirimir as dúvidas duas amostras independentes foram realizadas em 41 domicílios em 𝑹𝟏 e 61 domicílios em𝑹𝟐 As estatísticas amostrais obtidas média e desviopadrão foram 𝒙𝟏 𝒔𝟏 𝟒𝟓𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎𝟎 e 𝒙𝟐 𝒔𝟐 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎𝟎 a Faça o teste bilateral para a igualdade das variâncias com nível de significância 10 Qual a decisão ótima 𝐻0 𝜎12 𝜎2 2 1 contra 𝐻1 𝜎12 𝜎2 2 1 Sob 𝐻0 𝑆12 𝑆2 2 𝐹40 60 Fisher 𝑅𝐶 𝑆12 𝑆2 2 𝑓1 𝑆12 𝑆2 2 𝑓2 com tamanho 10 Pela tabela FisherSnedecor 𝑃𝐹4060 𝑓2 005 𝑓2 159 𝑃𝐹4060 𝑓1 005 𝑃𝐹6040 1 𝑓1 005 𝑓1 061 A estatística amostral 𝑠12 𝑠2 2 3000 3500 2 07347 não pertence à região crítica Logo não se rejeita a hipótese que as variâncias sejam iguais 𝜎1 2 𝜎2 2 b Use o resultado obtido no item a para explicitar as hipótese do teste unilateral para a igualdade das médias com nível de significância de 5 Qual a decisão ótima Assumindo σ1 2 σ2 2 a estimativa MVU da variância comum às duas populações é 𝑠2 4030002 6035002 100 1095 107 𝑠 1095 107 33091 𝐻0 𝜇2 𝜇1 0 𝐻1 𝜇2 𝜇1 0 Sob 𝐻0 𝑋2𝑋1 𝑆 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑇𝑛1 𝑛2 2 Pela tabela tStudent achamos 𝑡005100 166 𝑅𝐶 𝑋2 𝑋1 𝑥𝑐 𝑥𝑐 0 𝑠 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑡005 𝑥𝑐 33091 1 41 1 61 166 11093 Como 𝑥2 𝑥1 5000 4500 500 𝑅𝐶 𝑋2 𝑋1 11093 não há evidência estatística para rejeitar a hipótese da igualdade entre as rendas médias das duas regiões c Calcule o valor do pvalor deste último teste 𝑝 𝑃𝑋2 𝑋1 500𝐻0 𝑃 𝑇𝑛1 𝑛2 2 𝑥2 𝑥1 𝑠 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑝 𝑃 𝑇100 500 33091 1 41 1 61 𝑃𝑇100 074822 𝑝 Γ 101 2 Γ 1 2 Γ 100 2 1 100 1 2 1 1 100 𝑡2 101 2 𝑑𝑡 072822 02341 Ou seja na escala de Fisher é fraquíssima a evidência amostral contra 𝐻0 12 O candidato às eleições distritais deseja obter uma boa estimativa sobre a proporção 𝒑 dos eleitores do seu distrito que votarão nele Ele deseja que a precisão da estimativa seja da ordem de 1 5 para mais ou para menos com 95 de chances Para ser eleito é necessário mais de 50 dos votos no distrito Antes da eleição uma pesquisa de opinião junto ao Instituto Constata é encomendada a Com o tamanho da amostra obtido no item anterior do item a suprimido 4269 a estimativa amostral obtida foi 0488 Use o TCL para testar a hipótese que o candidato será eleito ao nível de significância de 5 Qual a conclusão do teste 𝐻0 𝑝 05 𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜 𝐻1 𝑝 05 𝑛ã𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑅𝐶 𝑝 𝑥𝑐 𝑥𝑐 𝑝0 𝑧𝛾 2 1 4𝑛 05 196 1 44269 0485 Como 0488 𝑅𝐶 𝑝 0485 não é possível rejeitar a H de que o candidato será eleito b Calcule a evidência amostral contra a eleição do candidato É ela fraca Forte Fortíssima 𝑃𝑝 0488𝐻0 𝑃 𝑍 0488 05 1 44269 𝑃𝑍 15681 1 2𝜋 𝑒𝑧2 2 𝑑𝑧 15681 0058429 𝑃𝑝 0488𝐻0 584 A evidência amostral contra a hipótese da eleição é de FRACA a MODERADA escala de Fisher QUESTÕES SELECIONADAS CAPÍTULO VII 1 221 T2 Q1b 2 221 P2 Q1bc 3 221 P2 Q2abc 4 221 P2 Q4ab 5 221 P2 Q5ab 6 211 T2 Q1b 7 211 T2 Q2ab 8 211 T2 Q3 9 211 T2 Q4abc 10 202 T2 Q4ab 11 202 T2 Q5abc 12 202 T2 Q6bc