Trabalho de Cálculo 2

1 Mostre que o seguinte limite não existe lim xy00 x2 y x4 y2 2 Sabendo que os limites existem calculeos a lim xy00 xy sqrtx2 y2 b lim xy00 sec πx2 y2 sqrtx2 y2 1 1 3 Complete o quadro com as diferentes representações das curvas indicadas Cartesiana Vetorial Geométrica x 1 tan t y sec t t in π2 3π2 x22 y123 1 4 Seja z fxy x2 y2 2y a Determine as curvas de nível k de f e desenheas para alguns valores de k b Determine uma equação da reta tangente no ponto 33 à curva de nível que passa pelo ponto 06 Questão 1 Mostre que o seguinte limite não existe lim xy00 x2 y x4 y2 Solução Consideremos os caminhos y 0 eixo x e y x2 Então calculando o limite quando xy se aproxima da origem por esses caminhos temos lim xy00 x2 y x4 y2 lim x 0 x 0 x4 02 0 e lim xy00 x2 y x4 y2 lim x 0 x2 x2 x4 x4 lim x 0 x4 2x4 1 2 Como os limites ao longo desses caminhos possuem valores distintos concluímos que o limite em questão não existe Questão 2 Sabendo que os limites existem calculeos a lim xy00 xy sqrtx2 y2 b lim xy00 sec πx2 y2 sqrtx2 y2 1 1 Solução a Para calcular este limite vamos utilizar coordenadas polares Sejam x r cosθ e y r senθ Então xy 0 implica que r 0 e lim xy00 xy sqrtx2 y2 lim r 0 r cosθ r senθ sqrtr cosθ2 r senθ2 lim r 0 r2 cosθ senθ sqrtr2 cos2θ r2 sen2θ lim r 0 r2 cosθ senθ sqrtr2cos2θ sen2θ lim r 0 r2 cosθ senθ sqrtr2 lim r 0 r2 cosθ senθ r lim r 0 r cosθ senθ cosθ senθ lim r 0 r 0 b Temos que lim xy00 sec πx2 y2 sqrtx2 y2 1 1 lim xy00 sec πx2 y2 sqrtx2 y2 1 1 sqrtx2 y2 1 1 sqrtx2 y2 1 1 lim xy00 sec πx2 y2 sqrtx2 y2 1 1 x2 y2 1 1 lim xy00 sec πx2 y2 sqrtx2 y2 1 1 x2 y2 lim xy00 sec πsqrtx2 y2 1 1 sec2π 1 Questão 3 Complete o quadro com as diferentes representações das curvas indicadas Solução Consideremos a curva cuja equação vetorial é dada por x 1 tgt y sect para π2 t 3π2 Então temos que tgt x 1 e usando a igualdade trigonométrica sec2t 1 tg2t resulta em y2 x 12 1 que é a representação cartesiana da curva ou seja uma hipérbole de centro 10 vértices 11 e 11 e com semi eixo maior e menor iguais a 1 Como π2 t 3π2 a curva é o ramo inferior da hipérbole como ilustrada na figura abaixo Consideremos uma curva cuja representação cartesiana é x22 y 12 3 1 ou seja uma elipse de centro 01 e focos 00 e 02 sendo sua representação geométrica ilustrada na figura abaixo Agora seja C o círculo α2 β2 1 de centro na origem e raio 1 parametrizado por α cost β sent com t R Como um ponto xy pertence a elipse se e somente se αβ x2 y 13 temos que x 2cost y 1 3sent com t R é uma parametrização representação vetorial da elipse Questão 4 Seja z fxy x2 y22y a Determine as curvas de nível k de f e desenheas para alguns valores de k b Determine uma equação da reta tangente no ponto 33 à curva de nível que passa pelo ponto 06 Solução a As curvas de nível de f são aquelas curvas com equação fx y k x2 y2 2y k x2 y2 2yk x2 y2 2yk 0 Para k 1 temos x2 y2 2y 0 Completando quadrados obtemos x2 y2 2y 0 x2 y2 2y 11 0 x2 y 12 1 0 x2 y 12 1 ou seja a curva de nıvel k 1 e um cırculo de centro 0 1 e raio 1 Para k 2 temos x2 y2 4y 0 Completando quadrados obtemos x2 y2 4y 0 x2 y2 4y 44 0 x2 y 22 4 0 x2 y 22 4 ou seja a curva de nıvel k 2 e um cırculo de centro 0 2 e raio 2 Para k 3 temos x2 y2 6y 0 Completando quadrados obtemos x2 y2 6y 0 x2 y2 6y 99 0 x2 y 32 9 0 x2 y 32 9 ou seja a curva de nıvel k 3 e um cırculo de centro 0 3 e raio 3 Na figura abaixo temos um esboco das curvas de nıvel k 1 2 3 b Note que como f0 6 02 62 2 6 36 12 3 concluımos que a curva de nıvel que passa pelo ponto 0 6 e a curva x2 y2 6y 0 ou seja o cırculo C de centro 0 3 e raio 3 4 Agora aplicando a Regra do Quociente calculamos a derivadas parciais de f com respeito a x e y fx x x2 y22y 12y 2x xy e fy y x2 y22y ddy x2 y2 2y ddy 2y x2 y2 4y2 2y 2y 2x2 y2 4y2 2y2 2x2 4y2 y2 x2 2y2 Assim o gradiente de f é dado por fxy fx fy xy y2 x22y e portanto f33 10 Como o vetor gradiente é ortogonal às curvas de nível de f em particular à curva de nível k 3 encontramos a equação da reta tangente ao ponto 323 resolvendo o produto escalar x3y3f33 0 x3y310 0 1x30y3 0 x 3