Transformada de Laplace em Controle de Processos - Guia Completo para Engenharia Elétrica

TRANSFORMADA DE LAPLACE CONTROLE DE PROCESSOS Curso Engenharia Elétrica Automação e Controle Professor Dêibson Sena MSc Email DeibsonSenaprofessoresunifbvedubr Mundo da Elétrica ROTEIRO INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE TIPOS TRANSFORMADAS FUNCIONAIS TRANSFORMADAS OPERACIONAIS EXEMPLOS E APLICAÇÕES TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PÓLOS E ZEROS DE FS TEOREMAS DO VALOR INICIAL E FINAL REFERÊNCIAS INTRODUÇÃO A Transformada de Laplace é um método de transformar equações diferencias em equações algébricas mais facilmente solucionáveis Equações diferencias que descrevem como um sistema comportase com o tempo são transformadas em relações algébricas simples não envolvendo o tempo em que podemos realizar operações algébricas Então podemos usar uma transformada inversa para obter a solução que descreve como o sinal varia com o tempo Definição A Transformada de Laplace transforma um problema do domínio do tempo em domínio da frequência Observe na equação a presença de uma integral imprópria Pode haver problema de convergência mas as funções aqui estudadas possuem Transformada de Laplace Fs é determinada para pelo comportamento de ft somente para valores positivos de t Limite inferior é zero O expoente de e deve ser adimensional Logo a unidade de s é a frequência Tipos de transformadas TRANSFORMADA FUNCIONAL É a Transformada de Laplace de uma função específica TRANSFORMADA OPERACIONAL Define uma propriedade matemática geral das Transformadas de Laplace Transformadas funcionais Função Degrau ft 0 para t 0 ft A t 0 A função degrau cuja amplitude A for igual a 1 será chamada função degrau unitária expressa por 1t s A L ft Fs A transformada de Laplace da função degrau unitária será s L 1t 1 Transformadas funcionais s2 A L ft Fs Função Rampa ft 0 para t 0 ft At para t 0 Transformadas funcionais Função Exponencial transformadas funcionais Função Senoidal A e ω são constantes 2 2 A f t A sen t F s s Transformadas funcionais Função Impulso A Função Impulso em que a área é igual a unidade é chamada função impulso unitário ou função delta de Dirac E a função impulso unitário que ocorre em t t0 é normalmente representada por 9 tn eat n123 nsan1 10 sen wt ωs2ω2 11 cos ωt ss2 ω2 12 senh ωt ωs2 ω2 13 cosh ωt ss2 ω2 14 1a 1 eat 1ssa 15 1b a eat ebt 1sasb 16 1b a bebt aeat ssasb 1 Impulso unitário δt 1 2 Degrau unitário 1t 1s 3 t 1s2 4 tn1n1 n123 1sn 5 tn n123 nsn1 6 eat 1sa 7 teat 1sa2 8 1n1 tn1 eat n123 1san 17 1ab 1 1a b beat aebt 1ssasb 18 1a2 1 eat ateat 1ssa2 19 1a2 at 1 eat 1s2 sa 20 eat sen ωt ωs a2 ω2 21 eat cos ωt s asa2 ω2 22 ωn1ζ2 eζωn t sen ωn 1 ζ2 t 0 ζ 1 ωn2s2 2ζωn s ωn2 23 11ζ2 eζωn t senωn 1 ζ2 t φ φ tg1 1 ζ2ζ 0 ζ 1 0 φ π2 ss2 2ζωn s ωn2 24 1 11ζ2 eζωn t senωn 1 ζ2 t ϕ ϕ tg1 1 ζ2ζ 0 ζ 1 0 ϕ π2 ωn2ss2 2ζωns ωn2 25 1 cos ωt ω2ss2 ω2 26 ωt sen ωt ω3 s2s2 ω2 27 sen ωt ωt cos ωt 2ω3 s2 ω22 28 1 2ω t sen ωt s s2 ω22 29 t cos ωt s2 ω2 s2 ω22 30 1 ω22 ω12 cos ω1 t cos ω2 t ω12 ω22 s s2 ω12s2 ω22 31 1 2ω sen ωt ωt cos ωt s2 s2 ω22 A soma de duas funções tornase a soma de suas duas transformadas de Laplace f1t f2t tornase F1s F2s A subtração de duas funções tornase a subtração de suas duas transformadas de Laplace f1t f2t tornase F1s F2s A multiplicação de uma função por uma constante tornase a multiplicação da transformada de Laplace da função pela mesma constante aft tornase aFs Uma função com atraso de tempo Ts isto é ftT tornase eTsFs para valores de T maiores ou iguais a zero ftT tornase eTsFs A derivada primeira de uma função tornase s vezes a transformada de Laplace da função menos o valor de ft em t0 ddt ft tornase s Fs f0 onde f0 é o valor da função em t 0 6 A derivada segunda de uma função tornase s² vezes a transformada de Laplace da função menos s vezes o valor da função em t 0 menos o valor da derivada primeira de ft em t 0 d²dt² ft tornase s² Fs s f0 df0dt Onde s f0 é s multiplicado pelo valor da função em t 0 e df0dt é a derivada primeira da função em t 0 7 A nésima derivada de uma função tornase sⁿ vezes a transformada de Laplace da função menos os termos envolvendo ft e suas derivadas em t0 dⁿdtⁿ ft tornase sⁿFs sⁿ¹ f0 dⁿ¹ f0dtⁿ¹ ou L dⁿ ftdtⁿ sⁿ Fs sⁿ¹ f0 sⁿ² df0dt s dⁿ² f0dtⁿ² dⁿ¹ f0dtⁿ¹ 8 A primeira integral de uma função entre o instante 0 e o instante t tornase 1s vezes a transformada de Laplace da função ₀ᵗ ft dt tornase 1s Fs Lista abreviada Operação ft Fs Multiplicação por uma constante Kft KFs Adiçãosubtração f₁t f₂t f₃t f₁s f₂s f₃s Derivada de primeira ordem tempo dftdt sFs f0 Derivada de segunda ordem tempo d²ftdt² s²Fs sf0 df0dt Derivada de ordem n tempo dⁿftdtn sⁿFs sⁿ¹f0 sⁿ² df0dt sⁿ³ d²f0dt² dⁿ¹f0dtn¹ Integral em relação ao tempo ₀ᵗ fxdx Fss Deslocamento no tempo ft aut a a 0 eᵃFs Deslocamento na freqüência eᵃft Fs a Mudança de escala fat a 0 1aFsa Derivada de primeira ordem em s tft dFsds Derivada de ordem n em s tⁿ ft 1ⁿ dⁿFsdsⁿ Integral em s ftt ₛ Fu du Exemplos e aplicações a Determinar utilizando as tabelas a transformada de Laplace das seguintes funções t2 t2 eat t21eat b Para uma tensão de entrada degrau de amplitude V em t0 em um circuito RC série determine a tensão no capacitor Vc utilizando a transformada de Laplace em t0 vct 0 Transformada inversa de laplace Em que é a função Degrau unitário A variável s pode ser considerada o operador diferencial tal que Além disso pode ter o operador integral Transformada inversa de laplace Tabela de Transformadas de Laplace Transformada inversa de Laplace Tabela dos Teoremas da Transformada de Laplace Transformada inversa de laplace EXEMPLO T L Equações Diferenciais 1 Transformar cada termo na equação diferencial em suas transformadas de Laplace isto é mudar a função do tempo para uma função em s 2 Pesquisar todas as manipulações por exemplo considerar o que acontece quando uma entrada degrau é aplicada ao sistema 3 Converter a função de Laplace resultante em uma equação como função do tempo isto é a transformada inversa de Laplace Para usar as tabelas de transformadas de Laplace e assim determinar a conversão é freqüentemente necessário decompor em frações parciais para obter as formas padrão dadas nas tabelas T L Equações Diferenciais Aplic TL Aplic TIL Expansão em frações parciais A expressão abaixo é uma função Racional de x e pode ser expressa na forma de uma razão entre dois polinômios em x tal que nenhuma potência não inteira de x apareça nos polinômios Em geral precisase determinar a transformada inversa de uma função cuja forma é Os coeficientes a e b são constantes reais e os expoentes m e n são inteiros positivos A razão NsDs é denominada uma Função Racional Própria se mn e uma Função Racional Imprópria se mn Somente uma Função Racional Própria pode ser expandida como uma soma de frações parciais Expansão em frações parciais CASO 1 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Distintas Resíduos Solução Em geral dada uma Fs cujo denominador possui raízes reais e distintas uma expansão em frações parciais pode ser realizada se a ordem de Ns for menor do que a ordem de Ds Expansão em frações parciais CASO 1 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Distintas Para calcular cada resíduo Ki multiplicamos a Eq do Slide anterior pelo denominador da fração parcial correspondente Assim se desejamos obter Km multiplicamos a Eq do Slide anterior por s pm e obtemos Expansão em frações parciais CASO 1 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Distintas Se fazemos s tender a pm todos os termos do lado direito da Eq do Slide anterior tendem a zero exceto o termo Km restando Expansão em frações parciais CASO 1 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Distintas Solução Expansão em frações parciais CASO 2 As raízes do Denominador de Fs são Complexas e Distintas Solução A diferença entre determinar os coeficientes associados as raízes complexas distintas e determinar os coeficientes associados no Caso 1 é que para o Caso 2 a álgebra envolve números complexos Exemplo Expansão em frações parciais CASO 2 As raízes do Denominador de Fs são Complexas e Distintas OBSERVAÇÕES 1 Em circuitos fisicamente realizáveis raízes complexas aparecem em pares conjugados 2 Os coeficientes associados a esses pares também são conjugados Assim para raízes complexas conjugadas precisase apenas calcular metade dos coeficientes 3 Em geral não é desejável que a função no domínio do tempo contenha componentes imaginários Expansão em frações parciais CASO 2 As raízes do Denominador de Fs são Complexas e Distintas EM RESUMO Sempre que o denominador Ds contiver raízes complexas distintas na forma 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 e 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 um par de termos na forma 𝐾 𝑠𝛼𝑗𝛽 𝐾 𝑠𝛼𝑗𝛽 aparecerá na expansão por frações parciais Expansão em frações parciais CASO 3 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Repetidas Passos para determinar os coeficientes associados aos termos gerados por uma raiz múltipla de multiplicidade r 1 Multiplicar ambos os lados da identidade pela raiz múltipla elevada à sua potência de ordem r e determinar a constante que aparece acima do fator elevado à potência r e seguir como no Caso 1 2 Para determinar os r1 coeficientes restantes derivar ambos os lados da identidade r1 vezes e avaliar ambos os lados da identidade na raiz múltipla 3 O lado direito é sempre o k desejado e o lado esquerdo é sempre seu valor numérico Expansão em frações parciais CASO 3 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Repetidas Solução Expansão em frações parciais CASO 3 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Repetidas Em geral dada uma Fs cujo denominador tenha raízes reais e repetidas uma expansão em frações parciais pode ser realizada se a ordem de Ns for menor do que a ordem de Ds e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em p1 Expansão em frações parciais CASO 3 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Repetidas Para obter K1 até Kr para as raízes com multiplicidade maior que a unidade multiplicase inicialmente a Eq do Slide anterior por s p1r obtendose F1s que é Expansão em frações parciais CASO 3 As raízes do Denominador de Fs são Reais e Repetidas Imediatamente podemos determinar K1 fazendo s tender a p1 Podemos determinar K2 derivando a Eq do Slide anterior em relação a s e em seguida fazendo s tender a p1 Derivações sucessivas permitirão que determinemos K3 até Kr A expressão geral para K1 até Kr para raízes múltiplas é Expansão em frações parciais CASO 4 As raízes do Denominador de Fs são Complexas e Repetidas As raízes Complexas repetidas são tratadas do mesmo modo do Caso 3 A única diferença é álgebra com números complexos OBSERVAÇÃO Lembrar que raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados e que os coeficientes associados ao par conjugado também são conjugados Portanto só metade deles precisam ser avaliados Expansão em frações parciais CASO 4 As raízes do Denominador de Fs são Complexas e Repetidas Solução Exemplo Expansão em frações parciais CASO 4 As raízes do Denominador de Fs são Complexas e Repetidas OBSERVAÇÕES 1 Se Fs tiver uma raiz real a de multiplicidade r em seu denominador o termo correspondente na expansão por frações parciais é da forma 2 Se tiver Raiz complexa temos Expansão em frações parciais RESUMO Pólos e zeros de fs A função racional Fs abaixo pode ser expressa como a razão de dois polinômios fatorados As raízes do polinômio do Denominado Ds são denominadas de Pólos de Fs As raízes do polinômio do Numerador Ns são denominadas de Zeros de Fs Teoremas do valor inicial e final Os teoremas do valor inicial e do valor final são úteis porque nos possibilitam determinar a partir de Fs o comportamento de ft em 0 e no referências DORF R C BISHOP R H Sistemas de Controle Moderno 8 ed Rio de Janeiro LTC 2001 NISE N S Engenharia de Sistemas de Controle 5 ed Rio de Janeiro LTC 2009 Essel Engenharia Cursos NILSON J W RIEDEL S A Circuitos Elétricos 8 ed São Paulo PEARSON 2009 OBRIGADO PELA ATENÇÃO GERADORMEMESCOM