Estabilidade de Sistemas Lineares e Critério de Routh-Hurwitz

INTRODUÇÃO A estabilidade é a especificação de sistema mais importante Caso um sistema seja instável a resposta transitória e os erros em regime permanente são uma questão irrelevante Um sistema instável não pode ser projetado para ter uma resposta transitória específica ou para atender um requisito de erro em regime permanente O que então é estabilidade Existem muitas definições de estabilidade dependendo do tipo de sistema ou do ponto de vista Nesta seção nos limitamos a sistemas lineares e invariantes no tempo Utilizando esses conceitos apresentamos as seguintes definições de estabilidade instabilidade e estabilidade marginal Um sistema linear invariante no tempo é estável se a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a infinito Um sistema linear invariante no tempo é instável se a resposta natural aumenta sem limites à medida que o tempo tende a infinito Um sistema linear invariante no tempo é marginalmente estável caso a resposta natural não decaia nem aumente mas permaneça constante ou oscile à medida que o tempo tende a infinito EXEMPLO Sistema estável sistema instável Polos em malha fechada do sistema estável escala Polos em malha fechada do sistema instável Tempo segundos Tempo segundos CRITÉRIO DE ROUTHHURWITZ Um método que fornece informações sobre a estabilidade sem a necessidade de se calcular os polos do sistema em malha fechada Utilizando este método podemos dizer quantos polos do sistema em malha fechada estão no semiplano da esquerda no semiplano da direita e sobre o eixo jω Observe que foi dito quantos e não onde Podemos obter o número de polos em cada seção de plano s porém não podemos obter suas coordenadas O método é chamado de critério de RouthHurwitz para a estabilidade Routh 1905 O método requer dois passos 1 gerar uma tabela de dados chamada de tabela de Routh 2 interpretar a tabela de Routh para dizer quantos polos de sistema em malha fechada estão no semiplano esquerdo no semiplano direito e sobre o eixo jω CONTRUINDO A TABELA ROUTHHURWITZ FT MALHA FECHADA Comece rotulando as linhas com potências de s indo da potência mais alta do denominador da função de transferência em malha fechada até s0 Em seguida inicie com o coeficiente da potência mais alta de s no denominador e liste horizontalmente na primeira linha os demais coeficientes mas sempre pulando um coeficiente Na segunda linha liste horizontalmente começando com a segunda potência mais alta de s todos os coeficientes que foram pulados na primeira linha EXEMPLO Construa a tabela de Routh Rs Es 1000 s2s3s5 Cs CONTRUINDO A TABELA ROUTHHURWITZ Os elementos remanescentes são preenchidos da seguinte forma cada elemento é o negativo do determinante de elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento na primeira coluna diretamente acima da linha que está sendo calculada A coluna da esquerda do determinante é sempre a primeira coluna das duas linhas anteriores e a coluna da direita é constituída dos elementos da coluna acima e à direita A tabela está completa quando todas as linhas estiverem completas até s0 EXEMPLO Construa a tabela de Routh FTMALHA FECHADA Rs Es 1000 s2s3s5 Cs 1000 s3 10 s2 31 1030 s0 FT Gs 1 GsHs s3 1 31 0 s2 10 103 1030 0 s1 b1 7 5 s0 1 31 3 103 72 b2 1 0 103 0 CENTRO UNIVERSITÁRIO UniFBV EXEMPLO Construa a tabela de Routh Rs Es 1000 s2s3s5 Cs Rs 1000 s3 10s2 31s 1030 Cs s3 1 31 0 s2 1 103 0 s1 1 31 72 1 1 0 0 s0 72 103 s1 1 0 0 72 1 0 0 EXEMPLO Construa a tabela de Routh Rs Es 1000 s2s3s5 Cs Rs 1000 s3 10s2 31s 1030 Cs s3 1 31 0 s2 1 103 0 s1 1 31 72 1 1 0 0 s0 72 103 s1 1 0 0 72 1 0 0 EXEMPLO Construa a tabela de Routh Rs Es 1000 s2s3s5 Cs Rs 1000 s3 10s2 31s 1030 Cs s3 1 31 0 s2 1 103 0 s1 1 31 72 1 1 0 0 s0 72 103 s1 1 0 0 72 1 0 0 EXEMPLO Construa a tabela de Routh 1000s 2s 3s 5 1000s³ 10s² 31s 1030 1 31 0 1 103 0 1 31 72 1 0 0 1 0 0 1 103 1 0 1 1 103 72 0 72 103 72 0 72 0 72 0 72 0 s³ s² s¹ s⁰ s³ 1 31 0 s² 1 103 0 s¹ 72 0 0 s⁰ c₁ 103 0 EXEMPLO Construa a tabela de Routh 1000s 2s 3s 5 1000s³ 10s² 31s 1030 1 31 0 1 103 0 1 31 72 1 0 0 1 0 0 1 103 1 0 1 1 103 72 0 72 103 72 0 72 0 72 0 72 0 s³ s² s¹ s⁰ s³ 1 31 0 s² 1 103 0 s¹ 72 0 0 s⁰ c₁ c₂ c₃ 103 103 0 0 Verificar a troca de sinais na primeira coluna EXERCÍCIO PROBLEMA Construa uma tabela de Routh e diga quantas raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita e no semiplano da esquerda Ps 3s⁷ 9s⁶ 6s⁵ 4s⁴ 7s³ 8s² 2s 6 RESPOSTA Quatro no semiplano da direita spd e três no semiplano da esquerda spe j Description Tape Trodfs Tubes Ointments LeUTNOS El Reaer Eutuality Apparatus Ewperg 0 7 060 werx F Sprig Weight F Retet Ed Extra Jelly Displiance 10 Lii Dispensel ad Woke Estandad 1 32 EP 2006 USP37 2014 content Uniformity Uses 10 samples and 85 and 115 Content Acceptance 10 units were content is in the range FDA article 5 USP 32 General Chapter 905 Body weight 4 kg Pawan Sri Meow Angle W EANGEBODY ctions do not include throw or gum Min Hath 1000A Nov 14 12 Pmw A MOM Pentate neck 2ginfo Proagus Surfactants Weigh Jioich 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Multimediia Managed Operations KHC 5134262609 Check your gear transform and make sure your HP is above400 Turn on leap attack and make sure you can reach the last spikes Try to time leap attack right before the spikes and spam attack Repeat this until all The Last Spikes are destroyed This method requires a good sense of timing and quick reflexes but it is very effective for clearing The Last Spikes quickly Hopefully this guide will help you with your colony Have fun