Transformada de Laplace - Resumo Teórico e Exercícios Resolvidos

from to δt xt dt x0 from to δtt₀ xt dt xt₀ xt x0 δt 0 xt xt₀ δtt₀ t₀ L δt from 0 to δt est dt est evaluated at t0 1 Alternativa L δt L d utdt s L ut u0 s 1s 0 1 ejθ cos θ j sen θ θ ℂ 1 no nosso curso usaremos θ ℝ ejθ cos θ j sen θ cos θ j sen θ 2 1 2 ejθ ejθ 2 cos θ cos θ ejθ ejθ2 3 1 2 ejθ ejθ 2j sen θ sen θ ejθ ejθ 2j 4 a cos ωt ejωt ejωt 2 L cos ωt L ejωt ejωt 2 LINEARIDADE 12 L ejωt L ejωt 12 1sjω 1sjω 12 1sjω 1sjω abab a² b² 12 sjω sjω sjωsjω 12 2s s² j² ω² s s² 1 ω² s s² ω² Conclusão L cos ωt ss² ω² b sen ωt Poderíamos resolver da mesma forma mas para exercitar vamos usar a transformada da integral sen ωt from 0 to t ω cos ωt dτ dsen ωtdt ω cos ωt dt sen ωt ω from 0 to t cos ωt dτ 30052025 Circuitos Elétricos II Transformada da Laplace Fs L ft from 0 to ft est dt Domínio do tempo Domínio da frequência ft L Fs t ℝ s ℂ s σ jω σ ω ℝ ft L¹ Fs L ut 1s L α t 1sα α ℂ L ft s Fs f0 L δt 1 L from 0 to t ft dt 1s Fs MEMORIZAR Impulso unitário contínuo δt delta de Dirac L delta δt duração nula instantânea amplitude infinita integral unitária from to δt dt ut δt d utdt t δt ut pulso 1τ lim τ0 integral 1 mathcalL sin wt w mathcalL left int0t cos w au d au right w cdot frac1s cdot mathcalL cos wt w cdot frac1s cdot fracss2 w2 fracws2 w2 mathcalL sin wt fracws2 w2 Resolução do Problema de Valor Inicial PVI com a Transformada de Laplace PVI EDO CIs Condições iniciais Equação diferencial ordinário Hs frac1s2 1 frac1frac1s 1 fracss1 rightarrow s0 é um zero rightarrow s1 é um polo Ver anotações detalhadas no pdf da Moodle mathcalL yt 2yt yt mathcalL e2t e3t y0 1 y0 2 Linearidade Obs o método se aplica apenas a EDOs lineares mathcalL yt 2 mathcalL yt mathcalL yt mathcalL e2t mathcalL e3t mathcalL yt s mathcalL yt y0 s Ys y0 mathcalL yt s cdot mathcalL yt y0 s left s Ys y0 right y0 s2 Ys s y0 y0 mathcalL e2t frac1s 2 mathcalL e3t frac1s 3 frac1s 3 Foi dado que y0 1 e y0 2 são as CIs Nessa resolução elas são usadas na transformada da derivada Continuamos nas notas de aula pdf Fazendo todas as substituições chegamos a Ys fracss2 2s 1 frac1s 2s2 2s 1 frac1s 3s2 2s 1 15 que é a solução no domínio da Laplace Para obter a solução no domínio do tempo aplicamos a transformada inversa obtendo yt mathcalL1 Ys Blank pageNo text